Analysis Beispiele

$f (x) = \arctan (x^{5})$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \arctan (x)$ und $g (x) = x^{5}$ .

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Schritt 1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{5}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Schritt 1.1.2

Die Ableitung von $\arctan (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Schritt 1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{5}$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{5})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 1.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{5})}^{2}$ .

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Schritt 1.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + x^{5 \cdot 2}} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Schritt 1.2.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$\frac{1}{1 + x^{10}} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$\frac{1}{1 + x^{10}} (5 x^{4})$

Schritt 1.2.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.2.3.1

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{1 + x^{10}}$ .

$\frac{5}{1 + x^{10}} x^{4}$

Schritt 1.2.3.2

Kombiniere $\frac{5}{1 + x^{10}}$ und $x^{4}$ .

$\frac{5 x^{4}}{1 + x^{10}}$

Schritt 1.2.3.3

Stelle die Terme um.

$\frac{5 x^{4}}{x^{10} + 1}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{5 x^{4}}{x^{10} + 1}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{x^{10} + 1}]$ .

$f'' (x) = 5 \frac{d}{d x} (\frac{x^{4}}{x^{10} + 1})$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = x^{10} + 1$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{(x^{10} + 1) \frac{d}{d x} (x^{4}) - x^{4} \frac{d}{d x} (x^{10} + 1)}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

Schritt 2.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{(x^{10} + 1) (4 x^{3}) - x^{4} \frac{d}{d x} (x^{10} + 1)}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

Schritt 2.3.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x^{10} + 1$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{4 \cdot ((x^{10} + 1) x^{3}) - x^{4} \frac{d}{d x} (x^{10} + 1)}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{10} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{10}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{4 (x^{10} + 1) x^{3} - x^{4} (\frac{d}{d x} (x^{10}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 10$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{4 (x^{10} + 1) x^{3} - x^{4} (10 x^{9} + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

Schritt 2.3.5

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{4 (x^{10} + 1) x^{3} - x^{4} (10 x^{9} + 0)}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

Schritt 2.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.6.1

Addiere $10 x^{9}$ und $0$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{4 (x^{10} + 1) x^{3} - x^{4} (10 x^{9})}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

Schritt 2.3.6.2

Mutltipliziere $10$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{4 (x^{10} + 1) x^{3} - 10 x^{4} x^{9}}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

Schritt 2.4

Multipliziere $x^{4}$ mit $x^{9}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.4.1

Bewege $x^{9}$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{4 (x^{10} + 1) x^{3} - 10 (x^{9} x^{4})}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

Schritt 2.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = 5 (\frac{4 (x^{10} + 1) x^{3} - 10 x^{9 + 4}}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

Schritt 2.4.3

Addiere $9$ und $4$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{4 (x^{10} + 1) x^{3} - 10 x^{13}}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

Schritt 2.5

Kombiniere $5$ und $\frac{4 (x^{10} + 1) x^{3} - 10 x^{13}}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{5 (4 (x^{10} + 1) x^{3} - 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.6

Vereinfache.

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Schritt 2.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{5 ((4 x^{10} + 4 \cdot 1) x^{3} - 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{5 (4 x^{10} x^{3} + 4 \cdot (1 x^{3}) - 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{5 (4 x^{10} x^{3}) + 5 (4 \cdot (1 x^{3})) + 5 (- 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.6.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.6.4.1.1

Multipliziere $x^{10}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.6.4.1.1.1

Bewege $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{5 (4 (x^{3} x^{10})) + 5 (4 \cdot (1 x^{3})) + 5 (- 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.6.4.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{5 (4 x^{3 + 10}) + 5 (4 \cdot (1 x^{3})) + 5 (- 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.6.4.1.1.3

Addiere $3$ und $10$ .

$f'' (x) = \frac{5 (4 x^{13}) + 5 (4 \cdot (1 x^{3})) + 5 (- 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.6.4.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$f'' (x) = \frac{20 x^{13} + 5 (4 \cdot (1 x^{3})) + 5 (- 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.6.4.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{20 x^{13} + 5 (4 x^{3}) + 5 (- 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.6.4.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$f'' (x) = \frac{20 x^{13} + 20 x^{3} + 5 (- 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.6.4.1.5

Mutltipliziere $- 10$ mit $5$ .

$f'' (x) = \frac{20 x^{13} + 20 x^{3} - 50 x^{13}}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.6.4.2

Subtrahiere $50 x^{13}$ von $20 x^{13}$ .

$f'' (x) = \frac{- 30 x^{13} + 20 x^{3}}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.6.5

Faktorisiere $10 x^{3}$ aus $- 30 x^{13} + 20 x^{3}$ heraus.

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Schritt 2.6.5.1

Faktorisiere $10 x^{3}$ aus $- 30 x^{13}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{10 x^{3} (- 3 x^{10}) + 20 x^{3}}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.6.5.2

Faktorisiere $10 x^{3}$ aus $20 x^{3}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{10 x^{3} (- 3 x^{10}) + 10 x^{3} (2)}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.6.5.3

Faktorisiere $10 x^{3}$ aus $10 x^{3} (- 3 x^{10}) + 10 x^{3} (2)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{10 x^{3} (- 3 x^{10} + 2)}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.6.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 x^{10}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{10 x^{3} (- (3 x^{10}) + 2)}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.6.7

Schreibe $2$ als $- 1 (- 2)$ um.

$f'' (x) = \frac{10 x^{3} (- (3 x^{10}) - 1 \cdot - 2)}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.6.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x^{10}) - 1 (- 2)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{10 x^{3} (- (3 x^{10} - 2))}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.6.9

Schreibe $- (3 x^{10} - 2)$ als $- 1 (3 x^{10} - 2)$ um.

$f'' (x) = \frac{10 x^{3} (- 1 (3 x^{10} - 2))}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.6.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{(10 x^{3}) (3 x^{10} - 2)}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.6.11

Stelle die Faktoren in $- \frac{(10 x^{3}) (3 x^{10} - 2)}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$ um.

$f'' (x) = - \frac{10 x^{3} (3 x^{10} - 2)}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{5 x^{4}}{x^{10} + 1} = 0$

Schritt 4

Setze den Zähler gleich Null.

$5 x^{4} = 0$

Schritt 5

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x^{4} = 0$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 5.1.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x^{4} = 0$ durch $5$ .

$\frac{5 x^{4}}{5} = \frac{0}{5}$

Schritt 5.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x^{4}}{5} = \frac{0}{5}$

Schritt 5.1.2.1.2

Dividiere $x^{4}$ durch $1$ .

$x^{4} = \frac{0}{5}$

Schritt 5.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1.3.1

Dividiere $0$ durch $5$ .

$x^{4} = 0$

Schritt 5.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

Schritt 5.3

Vereinfache $\pm \sqrt[4]{0}$ .

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Schritt 5.3.1

Schreibe $0$ als $0^{4}$ um.

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

Schritt 5.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 5.3.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 6

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \frac{10 {(0)}^{3} (3 {(0)}^{10} - 2)}{{({(0)}^{10} + 1)}^{2}}$

Schritt 7

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{10 \cdot 0^{3} (3 \cdot 0 - 2)}{{(0^{10} + 1)}^{2}}$

Schritt 7.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$- \frac{10 \cdot 0^{3} (0 - 2)}{{(0^{10} + 1)}^{2}}$

Schritt 7.1.3

Subtrahiere $2$ von $0$ .

$- \frac{10 \cdot 0^{3} \cdot - 2}{{(0^{10} + 1)}^{2}}$

Schritt 7.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $10$ .

$- \frac{- 20 \cdot 0^{3}}{{(0^{10} + 1)}^{2}}$

Schritt 7.1.5

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{- 20 \cdot 0}{{(0^{10} + 1)}^{2}}$

Schritt 7.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{- 20 \cdot 0}{{(0 + 1)}^{2}}$

Schritt 7.2.2

Addiere $0$ und $1$ .

$- \frac{- 20 \cdot 0}{1^{2}}$

Schritt 7.2.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{- 20 \cdot 0}{1}$

Schritt 7.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.3.1

Mutltipliziere $- 20$ mit $0$ .

$- \frac{0}{1}$

Schritt 7.3.2

Dividiere $0$ durch $1$ .

$- 0$

Schritt 7.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$0$

Schritt 8

Da es mindestens einen Punkt mit $0$ oder eine nicht definierte zweite Ableitung gibt, wende den ersten Ableitungstest an.

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Schritt 8.1

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum auf, die die erste Ableitung zu $0$ oder nicht definiert machen.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 8.2

Setze eine beliebige Zahl, wie $- 2$ , aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die erste Ableitung $\frac{5 x^{4}}{x^{10} + 1}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 8.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f' (- 2) = \frac{5 {(- 2)}^{4}}{{(- 2)}^{10} + 1}$

Schritt 8.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.2.1

Potenziere $- 2$ mit $4$ .

$f' (- 2) = \frac{5 \cdot 16}{{(- 2)}^{10} + 1}$

Schritt 8.2.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.2.2.2.1

Potenziere $- 2$ mit $10$ .

$f' (- 2) = \frac{5 \cdot 16}{1024 + 1}$

Schritt 8.2.2.2.2

Addiere $1024$ und $1$ .

$f' (- 2) = \frac{5 \cdot 16}{1025}$

Schritt 8.2.2.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.2.3.1

Mutltipliziere $5$ mit $16$ .

$f' (- 2) = \frac{80}{1025}$

Schritt 8.2.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $80$ und $1025$ .

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Schritt 8.2.2.3.2.1

Faktorisiere $5$ aus $80$ heraus.

$f' (- 2) = \frac{5 (16)}{1025}$

Schritt 8.2.2.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.2.3.2.2.1

Faktorisiere $5$ aus $1025$ heraus.

$f' (- 2) = \frac{5 \cdot 16}{5 \cdot 205}$

Schritt 8.2.2.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (- 2) = \frac{5 \cdot 16}{5 \cdot 205}$

Schritt 8.2.2.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (- 2) = \frac{16}{205}$

Schritt 8.2.2.4

Die endgültige Lösung ist $\frac{16}{205}$ .

$\frac{16}{205}$

Schritt 8.3

Setze eine beliebige Zahl, wie $2$ , aus dem Intervall $(0, \infty)$ in die erste Ableitung $\frac{5 x^{4}}{x^{10} + 1}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 8.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f' (2) = \frac{5 {(2)}^{4}}{{(2)}^{10} + 1}$

Schritt 8.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.3.2.1

Potenziere $2$ mit $4$ .

$f' (2) = \frac{5 \cdot 16}{2^{10} + 1}$

Schritt 8.3.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.3.2.2.1

Potenziere $2$ mit $10$ .

$f' (2) = \frac{5 \cdot 16}{1024 + 1}$

Schritt 8.3.2.2.2

Addiere $1024$ und $1$ .

$f' (2) = \frac{5 \cdot 16}{1025}$

Schritt 8.3.2.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.2.3.1

Mutltipliziere $5$ mit $16$ .

$f' (2) = \frac{80}{1025}$

Schritt 8.3.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $80$ und $1025$ .

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Schritt 8.3.2.3.2.1

Faktorisiere $5$ aus $80$ heraus.

$f' (2) = \frac{5 (16)}{1025}$

Schritt 8.3.2.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.2.3.2.2.1

Faktorisiere $5$ aus $1025$ heraus.

$f' (2) = \frac{5 \cdot 16}{5 \cdot 205}$

Schritt 8.3.2.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (2) = \frac{5 \cdot 16}{5 \cdot 205}$

Schritt 8.3.2.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (2) = \frac{16}{205}$

Schritt 8.3.2.4

Die endgültige Lösung ist $\frac{16}{205}$ .

$\frac{16}{205}$

Schritt 8.4

Da die erste Ableitung das Vorzeichen um $x = 0$ nicht gewechselt hat, ist dies kein lokales Maximum oder Minimum.

Kein lokales Maximum oder Minimum

Schritt 8.5

Keine lokalen Maxima oder Minima für $f (x) = \arctan (x^{5})$ gefunden.

Keine lokalen Maxima oder Minima

Schritt 9