Analysis Beispiele

$f (x) = \arcsin (x) - 2 x$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\arcsin (x) - 2 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\arcsin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\arcsin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\arcsin (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} - 2 \cdot 1$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} - 2$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}]$ .

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Schritt 2.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{1 - x^{2}}$ als ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ als ${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ um.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ({({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 2.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f'' (x) = - {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 2.2.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - {({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 1 - x^{2}$ .

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Schritt 2.2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $1 - x^{2}$ .

$f'' (x) = - {({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (1 - x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 2.2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = - {({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (1 - x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 2.2.4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $1 - x^{2}$ .

$f'' (x) = - {({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (1 - x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 2.2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f'' (x) = - {({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- x^{2})))) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 2.2.6

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - {({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2})))) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 2.2.7

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - {({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d x} x^{2}))) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 2.2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = - {({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (2 x)))) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 2.2.9

Multipliziere die Exponenten in ${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

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Schritt 2.2.9.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (2 x)))) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 2.2.9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.9.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (2 x)))) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 2.2.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (2 x)))) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 2.2.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (2 x)))) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 2.2.10

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - (2 x)))) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 2.2.11

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - (2 x)))) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 2.2.12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - (2 x)))) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 2.2.13

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.13.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - (2 x)))) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 2.2.13.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} (0 - (2 x)))) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 2.2.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 - (2 x)))) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 2.2.15

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 - 2 x))) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 2.2.16

Subtrahiere $2 x$ von $0$ .

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (- 2 x))) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 2.2.17

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} (\frac{{(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot (- 2 x)) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 2.2.18

Kombiniere $- 2$ und $\frac{{(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} (\frac{- 2 {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 2.2.19

Kombiniere $\frac{- 2 {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ und $x$ .

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} \frac{- 2 {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} x}{2} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 2.2.20

Bringe ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} \frac{- 2 x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 2.2.21

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} \frac{2 (- x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 2.2.22

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.22.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} \frac{2 (- x)}{2 ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 2.2.22.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} \frac{2 (- x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 2.2.22.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} \frac{- x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 2.2.23

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} (- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 2.2.24

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 1 {(1 - x^{2})}^{- 1} (\frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 2.2.25

Mutltipliziere ${(1 - x^{2})}^{- 1}$ mit $1$ .

$f'' (x) = {(1 - x^{2})}^{- 1} (\frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 2.2.26

Kombiniere ${(1 - x^{2})}^{- 1}$ und $\frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(1 - x^{2})}^{- 1} x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 2.2.27

Bringe ${(1 - x^{2})}^{- 1}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 - x^{2})} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 2.2.28

Multipliziere ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ mit $1 - x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.28.1

Mutltipliziere ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ mit $1 - x^{2}$ .

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Schritt 2.2.28.1.1

Potenziere $1 - x^{2}$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 - x^{2})} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 2.2.28.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + 1}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 2.2.28.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 2.2.28.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1 + 2}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 2.2.28.4

Addiere $1$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 2.3

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + 0$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Addiere $\frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.4.2

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = \frac{x}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} - 2 = 0$

Schritt 4

Löse nach $\sqrt{1 - x^{2}}$ auf.

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Schritt 4.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} = 2$

Schritt 4.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$\sqrt{1 - x^{2}}, 1$

Schritt 4.2.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$\sqrt{1 - x^{2}}$

Schritt 4.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} = 2$ mit $\sqrt{1 - x^{2}}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 4.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} = 2$ mit $\sqrt{1 - x^{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \sqrt{1 - x^{2}} = 2 \sqrt{1 - x^{2}}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{1 - x^{2}}$ .

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Schritt 4.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \sqrt{1 - x^{2}} = 2 \sqrt{1 - x^{2}}$

Schritt 4.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = 2 \sqrt{1 - x^{2}}$

Schritt 4.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 4.4.1

Schreibe die Gleichung als $2 \sqrt{1 - x^{2}} = 1$ um.

$2 \sqrt{1 - x^{2}} = 1$

Schritt 4.4.2

Teile jeden Ausdruck in $2 \sqrt{1 - x^{2}} = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \sqrt{1 - x^{2}} = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 \sqrt{1 - x^{2}}}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 4.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sqrt{1 - x^{2}}}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 4.4.2.2.1.2

Dividiere $\sqrt{1 - x^{2}}$ durch $1$ .

$\sqrt{1 - x^{2}} = \frac{1}{2}$

Schritt 5

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{1 - x^{2}}}^{2} = {(\frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 6

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{1 - x^{2}}$ als ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache ${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 6.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 6.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(1 - x^{2})}^{1} = {(\frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 6.2.1.2

Vereinfache.

$1 - x^{2} = {(\frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Vereinfache ${(\frac{1}{2})}^{2}$ .

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Schritt 6.3.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$1 - x^{2} = \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Schritt 6.3.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 - x^{2} = \frac{1}{2^{2}}$

Schritt 6.3.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$1 - x^{2} = \frac{1}{4}$

Schritt 7

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 7.1.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{2} = \frac{1}{4} - 1$

Schritt 7.1.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$- x^{2} = \frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 7.1.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{4}{4}$ .

$- x^{2} = \frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}$

Schritt 7.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- x^{2} = \frac{1 - 1 \cdot 4}{4}$

Schritt 7.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$- x^{2} = \frac{1 - 4}{4}$

Schritt 7.1.5.2

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$- x^{2} = \frac{- 3}{4}$

Schritt 7.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- x^{2} = - \frac{3}{4}$

Schritt 7.2

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = - \frac{3}{4}$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = - \frac{3}{4}$ durch $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- \frac{3}{4}}{- 1}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- \frac{3}{4}}{- 1}$

Schritt 7.2.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- \frac{3}{4}}{- 1}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x^{2} = \frac{\frac{3}{4}}{1}$

Schritt 7.2.3.2

Dividiere $\frac{3}{4}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{3}{4}$

Schritt 7.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{\frac{3}{4}}$

Schritt 7.4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{3}{4}}$ .

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Schritt 7.4.1

Schreibe $\sqrt{\frac{3}{4}}$ als $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Schritt 7.4.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.4.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

Schritt 7.4.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 7.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 7.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 7.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 7.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{{(- {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{(- {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 9.2.1

Kombinieren.

$\frac{\sqrt{3} \cdot 1}{2 {(- {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9.2.2

Mutltipliziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 {(- {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.3.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{3}}{2}$ an.

$\frac{\sqrt{3}}{2 {(- \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9.3.1.2

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 9.3.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt{3}}{2 {(- \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9.3.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 {(- \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9.3.1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 {(- \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9.3.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.3.1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{3}}{2 {(- \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9.3.1.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{3}}{2 {(- \frac{3^{1}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9.3.1.2.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{\sqrt{3}}{2 {(- \frac{3}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9.3.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 {(- \frac{3}{4} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9.3.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sqrt{3}}{2 {(- \frac{3}{4} + \frac{4}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sqrt{3}}{2 {(\frac{- 3 + 4}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9.3.4

Addiere $- 3$ und $4$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 {(\frac{1}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9.3.5

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{4}$ an.

$\frac{\sqrt{3}}{2 \frac{1^{\frac{3}{2}}}{4^{\frac{3}{2}}}}$

Schritt 9.3.6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{\sqrt{3}}{2 \frac{1}{4^{\frac{3}{2}}}}$

Schritt 9.3.7

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.3.7.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{3}}{2 \frac{1}{{(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}}$

Schritt 9.3.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 \frac{1}{2^{2 (\frac{3}{2})}}}$

Schritt 9.3.7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.3.7.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{3}}{2 \frac{1}{2^{2 (\frac{3}{2})}}}$

Schritt 9.3.7.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{3}}{2 \frac{1}{2^{3}}}$

Schritt 9.3.7.4

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 (\frac{1}{8})}$

Schritt 9.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 9.4.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{8}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{\frac{2}{8}}$

Schritt 9.4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $8$ .

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Schritt 9.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{\sqrt{3}}{\frac{2 (1)}{8}}$

Schritt 9.4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.4.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$\frac{\sqrt{3}}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}}$

Schritt 9.4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{3}}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}}$

Schritt 9.4.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{3}}{\frac{1}{4}}$

Schritt 9.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\sqrt{3} \cdot 4$

Schritt 9.6

Bringe $4$ auf die linke Seite von $\sqrt{3}$ .

$4 \sqrt{3}$

Schritt 10

$x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{2}) = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2}) - 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.1.1

Der genau Wert von $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ ist $\frac{π}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{π}{3} - 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 11.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 11.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$f (\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{π}{3} + 2 (- 1) (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Schritt 11.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{π}{3} + 2 \cdot (- 1 \frac{\sqrt{3}}{2})$

Schritt 11.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{π}{3} - 1 \sqrt{3}$

Schritt 11.2.1.3

Schreibe $- 1 \sqrt{3}$ als $- \sqrt{3}$ um.

$f (\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{π}{3} - \sqrt{3}$

Schritt 11.2.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{π}{3} - \sqrt{3}$ .

$y = \frac{π}{3} - \sqrt{3}$

Schritt 12

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{{(- {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 13.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{(- {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 13.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 13.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 13.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ an.

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{(- ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}) + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 13.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{3}}{2}$ an.

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{(- ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}) + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 13.2.1.2

Multipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 13.2.1.2.1

Bewege ${(- 1)}^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{({(- 1)}^{2} \cdot - 1 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 13.2.1.2.2

Mutltipliziere ${(- 1)}^{2}$ mit $- 1$ .

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Schritt 13.2.1.2.2.1

Potenziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{({(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 13.2.1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{({(- 1)}^{2 + 1} \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 13.2.1.2.3

Addiere $2$ und $1$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{({(- 1)}^{3} \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 13.2.1.3

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{(- \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 13.2.1.4

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 13.2.1.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{(- \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 13.2.1.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{(- \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 13.2.1.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{(- \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 13.2.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 13.2.1.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{(- \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 13.2.1.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{(- \frac{3^{1}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 13.2.1.4.5

Berechne den Exponenten.

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{(- \frac{3}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 13.2.1.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{(- \frac{3}{4} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 13.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{(- \frac{3}{4} + \frac{4}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 13.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{(\frac{- 3 + 4}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 13.2.4

Addiere $- 3$ und $4$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{(\frac{1}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 13.2.5

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{4}$ an.

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1^{\frac{3}{2}}}{4^{\frac{3}{2}}}}$

Schritt 13.2.6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{4^{\frac{3}{2}}}}$

Schritt 13.2.7

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 13.2.7.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{{(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}}$

Schritt 13.2.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2^{2 (\frac{3}{2})}}}$

Schritt 13.2.7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 13.2.7.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2^{2 (\frac{3}{2})}}}$

Schritt 13.2.7.3.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2^{3}}}$

Schritt 13.2.7.4

Potenziere $2$ mit $3$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{8}}$

Schritt 13.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- \frac{\sqrt{3}}{2} (1 \cdot 8)$

Schritt 13.3.2

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 8$

Schritt 13.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 13.3.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ in den Zähler.

$\frac{- \sqrt{3}}{2} \cdot 8$

Schritt 13.3.3.2

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$\frac{- \sqrt{3}}{2} \cdot (2 (4))$

Schritt 13.3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- \sqrt{3}}{2} \cdot (2 \cdot 4)$

Schritt 13.3.3.4

Forme den Ausdruck um.

$- \sqrt{3} \cdot 4$

Schritt 13.3.4

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$- 4 \sqrt{3}$

Schritt 14

$x = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 15

Ermittele den y-Wert, wenn $x = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Schritt 15.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = \arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2}) - 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Schritt 15.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 15.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.2.1.1

Der genau Wert von $\arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ ist $- \frac{π}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = - \frac{π}{3} - 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Schritt 15.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ in den Zähler.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = - \frac{π}{3} - 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Schritt 15.2.1.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = - \frac{π}{3} + 2 (- 1) (\frac{- \sqrt{3}}{2})$

Schritt 15.2.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = - \frac{π}{3} + 2 \cdot (- 1 \frac{- \sqrt{3}}{2})$

Schritt 15.2.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = - \frac{π}{3} - 1 (- \sqrt{3})$

Schritt 15.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = - \frac{π}{3} + 1 \sqrt{3}$

Schritt 15.2.1.4

Mutltipliziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = - \frac{π}{3} + \sqrt{3}$

Schritt 15.2.2

Die endgültige Lösung ist $- \frac{π}{3} + \sqrt{3}$ .

$y = - \frac{π}{3} + \sqrt{3}$

Schritt 16

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = \arcsin (x) - 2 x$ .

$(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{π}{3} - \sqrt{3})$ ist ein lokales Minimum

$(- \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{π}{3} + \sqrt{3})$ ist ein lokales Maximum

Schritt 17