Analysis Beispiele

$f (x) = \ln ({(3 x)}^{2})$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\ln ({(3 (x))}^{2})]$

Schritt 1.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.2.1

Wende die Produktregel auf $3 (x)$ an.

$\frac{d}{d x} [\ln (3^{2} x^{2})]$

Schritt 1.1.2.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (9 x^{2})]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 9 x^{2}$ .

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Schritt 1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $9 x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

Schritt 1.2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

Schritt 1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $9 x^{2}$ .

$\frac{1}{9 x^{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

Schritt 1.3

Differenziere.

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Schritt 1.3.1

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 x^{2}$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{9 x^{2}} (9 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 1.3.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.3.2.1

Kombiniere $9$ und $\frac{1}{9 x^{2}}$ .

$\frac{9}{9 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 1.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9}{9 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2}} (2 x)$

Schritt 1.3.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.3.4.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{2}{x^{2}} x$

Schritt 1.3.4.2

Kombiniere $\frac{2}{x^{2}}$ und $x$ .

$\frac{2 x}{x^{2}}$

Schritt 1.3.4.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

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Schritt 1.3.4.3.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{x \cdot 2}{x^{2}}$

Schritt 1.3.4.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.4.3.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

Schritt 1.3.4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

Schritt 1.3.4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{x}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2}{x}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Schritt 2.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f'' (x) = 2 (- x^{- 2})$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (x) = - 2 x^{- 2}$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 2.5.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.5.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2}{x^{2}}$

Schritt 2.5.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{2}{x^{2}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{2}{x} = 0$

Schritt 4

Da es keinen Wert von $x$ gibt, der die erste Ableitung gleich $0$ macht, gibt es keine lokalen Extrema.

Keine lokalen Extrema

Schritt 5

Keine lokalen Extrema

Schritt 6