Analysis Beispiele

$f (x) = 8 \sec (x) + 4 \tan (x)$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 \sec (x) + 4 \tan (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [8 \sec (x)] + \frac{d}{d x} [4 \tan (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [8 \sec (x)] + \frac{d}{d x} [4 \tan (x)]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [8 \sec (x)]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 \sec (x)$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [4 \tan (x)]$

Schritt 1.2.2

Die Ableitung von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\sec (x) \tan (x)$ .

$8 \sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [4 \tan (x)]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [4 \tan (x)]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 \tan (x)$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$8 \sec (x) \tan (x) + 4 \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Schritt 1.3.2

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$8 \sec (x) \tan (x) + 4 \sec^{2} (x)$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 \sec (x) \tan (x) + 4 \sec^{2} (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [8 \sec (x) \tan (x)] + \frac{d}{d x} [4 \sec^{2} (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (8 \sec (x) \tan (x)) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{2} (x))$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [8 \sec (x) \tan (x)]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 \sec (x) \tan (x)$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [\sec (x) \tan (x)]$ .

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (\sec (x) \tan (x)) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{2} (x))$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \sec (x)$ und $g (x) = \tan (x)$ .

$f'' (x) = 8 (\sec (x) \frac{d}{d x} (\tan (x)) + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec (x))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{2} (x))$

Schritt 2.2.3

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$f'' (x) = 8 (\sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec (x))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{2} (x))$

Schritt 2.2.4

Die Ableitung von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\sec (x) \tan (x)$ .

$f'' (x) = 8 (\sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{2} (x))$

Schritt 2.2.5

Multipliziere $\sec (x)$ mit $\sec^{2} (x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.5.1

Mutltipliziere $\sec (x)$ mit $\sec^{2} (x)$ .

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Schritt 2.2.5.1.1

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$f'' (x) = 8 (\sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{2} (x))$

Schritt 2.2.5.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = 8 ({\sec (x)}^{1 + 2} + \tan (x) (\sec (x) \tan (x))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{2} (x))$

Schritt 2.2.5.2

Addiere $1$ und $2$ .

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{2} (x))$

Schritt 2.2.6

Potenziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan (x) \tan (x) \sec (x)) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{2} (x))$

Schritt 2.2.7

Potenziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan (x) \tan (x) \sec (x)) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{2} (x))$

Schritt 2.2.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x)) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{2} (x))$

Schritt 2.2.9

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{2} (x))$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [4 \sec^{2} (x)]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 \sec^{2} (x)$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$ .

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)) + 4 \frac{d}{d x} (\sec^{2} (x))$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \sec (x)$ .

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Schritt 2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\sec (x)$ .

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)) + 4 (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

Schritt 2.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)) + 4 (2 u \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

Schritt 2.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\sec (x)$ .

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)) + 4 (2 \sec (x) \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

Schritt 2.3.3

Die Ableitung von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\sec (x) \tan (x)$ .

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)) + 4 (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))$

Schritt 2.3.4

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)) + 4 (2 (\sec (x) \sec (x)) \tan (x))$

Schritt 2.3.5

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)) + 4 (2 (\sec (x) \sec (x)) \tan (x))$

Schritt 2.3.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)) + 4 (2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x))$

Schritt 2.3.7

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)) + 4 (2 \sec^{2} (x) \tan (x))$

Schritt 2.3.8

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)) + 8 \sec^{2} (x) \tan (x)$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = 8 \sec^{3} (x) + 8 (\tan^{2} (x) \sec (x)) + 8 \sec^{2} (x) \tan (x)$

Schritt 2.4.2

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = 8 \tan^{2} (x) \sec (x) + 8 \sec^{2} (x) \tan (x) + 8 \sec^{3} (x)$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$8 \sec (x) \tan (x) + 4 \sec^{2} (x) = 0$

Schritt 4

Stelle jede Seite der Gleichung graphisch dar. Die Lösung ist der x-Wert des Schnittpunktes.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 5

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{7 π}{6} + 2 π n$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$8 \tan^{2} (\frac{7 π}{6} + 2 π n) \sec (\frac{7 π}{6} + 2 π n) + 8 \sec^{2} (\frac{7 π}{6} + 2 π n) \tan (\frac{7 π}{6} + 2 π n) + 8 \sec^{3} (\frac{7 π}{6} + 2 π n)$

Schritt 6

Da der erste Ableitungstest nicht erfolgreich war, gibt es kein lokales Extremum.

Keine lokalen Extrema

Schritt 7