Analysis Beispiele

$f (x) = 9 x^{\frac{7}{5}} - 5 x^{2} + 10^{4}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Summenregel.

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Schritt 1.1.1

Potenziere $10$ mit $4$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{7}{5}} - 5 x^{2} + 10000]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 x^{\frac{7}{5}} - 5 x^{2} + 10000$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{7}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{7}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{7}{5}}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 x^{\frac{7}{5}}$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{5}}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{7}{5}$ .

$9 (\frac{7}{5} x^{\frac{7}{5} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Schritt 1.2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$9 (\frac{7}{5} x^{\frac{7}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Schritt 1.2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{5}{5}$ .

$9 (\frac{7}{5} x^{\frac{7}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Schritt 1.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$9 (\frac{7}{5} x^{\frac{7 - 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Schritt 1.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$9 (\frac{7}{5} x^{\frac{7 - 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Schritt 1.2.6.2

Subtrahiere $5$ von $7$ .

$9 (\frac{7}{5} x^{\frac{2}{5}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Schritt 1.2.7

Kombiniere $\frac{7}{5}$ und $x^{\frac{2}{5}}$ .

$9 \frac{7 x^{\frac{2}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Schritt 1.2.8

Kombiniere $9$ und $\frac{7 x^{\frac{2}{5}}}{5}$ .

$\frac{9 (7 x^{\frac{2}{5}})}{5} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Schritt 1.2.9

Mutltipliziere $7$ mit $9$ .

$\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} - 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [10000]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 5$ .

$\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} - 10 x + \frac{d}{d x} [10000]$

Schritt 1.4

Da $10000$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $10000$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} - 10 x + 0$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Addiere $\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} - 10 x$ und $0$ .

$\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} - 10 x$

Schritt 1.5.2

Stelle die Terme um.

$- 10 x + \frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 10 x + \frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 10 x) + \frac{d}{d x} (\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5})$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 10 x$ nach $x$ gleich $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5})$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5})$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $- 10$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 10 + \frac{d}{d x} (\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5})$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $\frac{63}{5}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5}$ nach $x$ gleich $\frac{63}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{5}}]$ .

$f'' (x) = - 10 + \frac{63}{5} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{5}})$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{2}{5}$ .

$f'' (x) = - 10 + \frac{63}{5} \cdot (\frac{2}{5} x^{\frac{2}{5} - 1})$

Schritt 2.3.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$f'' (x) = - 10 + \frac{63}{5} \cdot (\frac{2}{5} x^{\frac{2}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

Schritt 2.3.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{5}{5}$ .

$f'' (x) = - 10 + \frac{63}{5} \cdot (\frac{2}{5} x^{\frac{2}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

Schritt 2.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = - 10 + \frac{63}{5} \cdot (\frac{2}{5} x^{\frac{2 - 1 \cdot 5}{5}})$

Schritt 2.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$f'' (x) = - 10 + \frac{63}{5} \cdot (\frac{2}{5} x^{\frac{2 - 5}{5}})$

Schritt 2.3.6.2

Subtrahiere $5$ von $2$ .

$f'' (x) = - 10 + \frac{63}{5} \cdot (\frac{2}{5} x^{\frac{- 3}{5}})$

Schritt 2.3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - 10 + \frac{63}{5} \cdot (\frac{2}{5} x^{- \frac{3}{5}})$

Schritt 2.3.8

Kombiniere $\frac{2}{5}$ und $x^{- \frac{3}{5}}$ .

$f'' (x) = - 10 + \frac{63}{5} \cdot \frac{2 x^{- \frac{3}{5}}}{5}$

Schritt 2.3.9

Mutltipliziere $\frac{63}{5}$ mit $\frac{2 x^{- \frac{3}{5}}}{5}$ .

$f'' (x) = - 10 + \frac{63 (2 x^{- \frac{3}{5}})}{5 \cdot 5}$

Schritt 2.3.10

Mutltipliziere $2$ mit $63$ .

$f'' (x) = - 10 + \frac{126 x^{- \frac{3}{5}}}{5 \cdot 5}$

Schritt 2.3.11

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$f'' (x) = - 10 + \frac{126 x^{- \frac{3}{5}}}{25}$

Schritt 2.3.12

Bringe $x^{- \frac{3}{5}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 10 + \frac{126}{25 x^{\frac{3}{5}}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- 10 x + \frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Differenziere unter Anwendung der Summenregel.

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Schritt 4.1.1.1

Potenziere $10$ mit $4$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{7}{5}} - 5 x^{2} + 10000]$

Schritt 4.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 x^{\frac{7}{5}} - 5 x^{2} + 10000$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{7}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{7}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Schritt 4.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{7}{5}}]$ .

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Schritt 4.1.2.1

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 x^{\frac{7}{5}}$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{5}}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{7}{5}$ .

$9 (\frac{7}{5} x^{\frac{7}{5} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Schritt 4.1.2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$9 (\frac{7}{5} x^{\frac{7}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Schritt 4.1.2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{5}{5}$ .

$9 (\frac{7}{5} x^{\frac{7}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Schritt 4.1.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$9 (\frac{7}{5} x^{\frac{7 - 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Schritt 4.1.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$9 (\frac{7}{5} x^{\frac{7 - 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Schritt 4.1.2.6.2

Subtrahiere $5$ von $7$ .

$9 (\frac{7}{5} x^{\frac{2}{5}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Schritt 4.1.2.7

Kombiniere $\frac{7}{5}$ und $x^{\frac{2}{5}}$ .

$9 \frac{7 x^{\frac{2}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Schritt 4.1.2.8

Kombiniere $9$ und $\frac{7 x^{\frac{2}{5}}}{5}$ .

$\frac{9 (7 x^{\frac{2}{5}})}{5} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Schritt 4.1.2.9

Mutltipliziere $7$ mit $9$ .

$\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Schritt 4.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

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Schritt 4.1.3.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Schritt 4.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} - 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [10000]$

Schritt 4.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 5$ .

$\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} - 10 x + \frac{d}{d x} [10000]$

Schritt 4.1.4

Da $10000$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $10000$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} - 10 x + 0$

Schritt 4.1.5

Vereinfache.

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Schritt 4.1.5.1

Addiere $\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} - 10 x$ und $0$ .

$\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} - 10 x$

Schritt 4.1.5.2

Stelle die Terme um.

$f' (x) = - 10 x + \frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5}$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 10 x + \frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5}$ .

$- 10 x + \frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5}$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 10 x + \frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- 10 x + \frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} = 0$

Schritt 5.2

Ermittle einen gemeinsamen Teiler $x^{\frac{2}{5}}$ , der in jedem Term vorkommt.

$- 10 {(x^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}} + \frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5}$

Schritt 5.3

Ersetze $x^{\frac{2}{5}}$ durch $u$ .

$- 10 {(u)}^{\frac{5}{2}} + \frac{63 (u)}{5} = 0$

Schritt 5.4

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $u$ aus $- 10 u^{\frac{5}{2}} + \frac{63 u}{5}$ heraus.

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Schritt 5.4.1.1

Faktorisiere $u$ aus $- 10 u^{\frac{5}{2}}$ heraus.

$u (- 10 u^{\frac{3}{2}}) + \frac{63 u}{5} = 0$

Schritt 5.4.1.2

Faktorisiere $u$ aus $\frac{63 u}{5}$ heraus.

$u (- 10 u^{\frac{3}{2}}) + u (\frac{63}{5}) = 0$

Schritt 5.4.1.3

Faktorisiere $u$ aus $u (- 10 u^{\frac{3}{2}}) + u \frac{63}{5}$ heraus.

$u (- 10 u^{\frac{3}{2}} + \frac{63}{5}) = 0$

Schritt 5.4.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u = 0$

$- 10 u^{\frac{3}{2}} + \frac{63}{5} = 0$

Schritt 5.4.3

Setze $u$ gleich $0$ .

$u = 0$

Schritt 5.4.4

Setze $- 10 u^{\frac{3}{2}} + \frac{63}{5}$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 5.4.4.1

Setze $- 10 u^{\frac{3}{2}} + \frac{63}{5}$ gleich $0$ .

$- 10 u^{\frac{3}{2}} + \frac{63}{5} = 0$

Schritt 5.4.4.2

Löse $- 10 u^{\frac{3}{2}} + \frac{63}{5} = 0$ nach $u$ auf.

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Schritt 5.4.4.2.1

Subtrahiere $\frac{63}{5}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 10 u^{\frac{3}{2}} = - \frac{63}{5}$

Schritt 5.4.4.2.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $\frac{2}{3}$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(- 10 u^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = {(- \frac{63}{5})}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 5.4.4.2.3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 5.4.4.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.4.2.3.1.1

Vereinfache ${(- 10 u^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

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Schritt 5.4.4.2.3.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- 10 u^{\frac{3}{2}}$ an.

${(- 10)}^{\frac{2}{3}} {(u^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = {(- \frac{63}{5})}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 5.4.4.2.3.1.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

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Schritt 5.4.4.2.3.1.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- 10)}^{\frac{2}{3}} u^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = {(- \frac{63}{5})}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 5.4.4.2.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.4.4.2.3.1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(- 10)}^{\frac{2}{3}} u^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = {(- \frac{63}{5})}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 5.4.4.2.3.1.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(- 10)}^{\frac{2}{3}} u^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{63}{5})}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 5.4.4.2.3.1.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.4.4.2.3.1.1.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(- 10)}^{\frac{2}{3}} u^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{63}{5})}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 5.4.4.2.3.1.1.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

${(- 10)}^{\frac{2}{3}} u^{1} = {(- \frac{63}{5})}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 5.4.4.2.3.1.1.3

Vereinfache.

${(- 10)}^{\frac{2}{3}} u = {(- \frac{63}{5})}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 5.4.4.2.3.1.1.4

Stelle die Faktoren in ${(- 10)}^{\frac{2}{3}} u$ um.

$u {(- 10)}^{\frac{2}{3}} = {(- \frac{63}{5})}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 5.4.4.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.4.2.3.2.1

Vereinfache ${(- \frac{63}{5})}^{\frac{2}{3}}$ .

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Schritt 5.4.4.2.3.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 5.4.4.2.3.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{63}{5}$ an.

$u {(- 10)}^{\frac{2}{3}} = {(- 1)}^{\frac{2}{3}} {(\frac{63}{5})}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 5.4.4.2.3.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{63}{5}$ an.

$u {(- 10)}^{\frac{2}{3}} = {(- 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5.4.4.2.3.2.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.4.4.2.3.2.1.2.1

Schreibe $- 1$ als ${(- 1)}^{3}$ um.

$u {(- 10)}^{\frac{2}{3}} = {({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}} \frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5.4.4.2.3.2.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u {(- 10)}^{\frac{2}{3}} = {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})} \frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5.4.4.2.3.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.4.4.2.3.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u {(- 10)}^{\frac{2}{3}} = {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})} \frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5.4.4.2.3.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$u {(- 10)}^{\frac{2}{3}} = {(- 1)}^{2} \frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5.4.4.2.3.2.1.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.4.4.2.3.2.1.4.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$u {(- 10)}^{\frac{2}{3}} = 1 \frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5.4.4.2.3.2.1.4.2

Mutltipliziere $\frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}$ mit $1$ .

$u {(- 10)}^{\frac{2}{3}} = \frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5.4.4.2.4

Teile jeden Ausdruck in $u {(- 10)}^{\frac{2}{3}} = \frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}$ durch ${(- 10)}^{\frac{2}{3}}$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.4.2.4.1

Teile jeden Ausdruck in $u {(- 10)}^{\frac{2}{3}} = \frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}$ durch ${(- 10)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{u {(- 10)}^{\frac{2}{3}}}{{(- 10)}^{\frac{2}{3}}} = \frac{\frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}}{{(- 10)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5.4.4.2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.4.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{u {(- 10)}^{\frac{2}{3}}}{{(- 10)}^{\frac{2}{3}}} = \frac{\frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}}{{(- 10)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5.4.4.2.4.2.2

Dividiere $u$ durch $1$ .

$u = \frac{\frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}}{{(- 10)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5.4.4.2.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.4.2.4.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$u = \frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{{(- 10)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5.4.4.2.4.3.2

Kombinieren.

$u = \frac{63^{\frac{2}{3}} \cdot 1}{5^{\frac{2}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5.4.4.2.4.3.3

Mutltipliziere $63^{\frac{2}{3}}$ mit $1$ .

$u = \frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5.4.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $u (- 10 u^{\frac{3}{2}} + \frac{63}{5}) = 0$ wahr machen.

$u = 0, \frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5.5

Ersetze $u$ durch $x$ .

$x^{\frac{2}{5}} = 0, \frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5.6

Löse nach $x^{\frac{2}{5}} = 0$ auf für $x$ .

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Schritt 5.6.1

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $\frac{5}{2}$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}} = \pm 0^{\frac{5}{2}}$

Schritt 5.6.2

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 5.6.2.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.2.1.1

Vereinfache ${(x^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.2.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}$ .

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Schritt 5.6.2.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}} = \pm 0^{\frac{5}{2}}$

Schritt 5.6.2.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.6.2.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}} = \pm 0^{\frac{5}{2}}$

Schritt 5.6.2.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = \pm 0^{\frac{5}{2}}$

Schritt 5.6.2.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.6.2.1.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = \pm 0^{\frac{5}{2}}$

Schritt 5.6.2.1.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = \pm 0^{\frac{5}{2}}$

Schritt 5.6.2.1.1.2

Vereinfache.

$x = \pm 0^{\frac{5}{2}}$

Schritt 5.6.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.6.2.2.1

Vereinfache $\pm 0^{\frac{5}{2}}$ .

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Schritt 5.6.2.2.1.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.6.2.2.1.1.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm {(0^{2})}^{\frac{5}{2}}$

Schritt 5.6.2.2.1.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm 0^{2 (\frac{5}{2})}$

Schritt 5.6.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.6.2.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm 0^{2 (\frac{5}{2})}$

Schritt 5.6.2.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm 0^{5}$

Schritt 5.6.2.2.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x = \pm 0$

Schritt 5.6.2.2.1.4

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 5.7

Löse nach $x^{\frac{2}{5}} = \frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3}}}$ auf für $x$ .

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Schritt 5.7.1

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $\frac{5}{2}$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}} = \pm {(\frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3}}})}^{\frac{5}{2}}$

Schritt 5.7.2

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 5.7.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.7.2.1.1

Vereinfache ${(x^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}$ .

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Schritt 5.7.2.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}$ .

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Schritt 5.7.2.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}} = \pm {(\frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3}}})}^{\frac{5}{2}}$

Schritt 5.7.2.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.7.2.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}} = \pm {(\frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3}}})}^{\frac{5}{2}}$

Schritt 5.7.2.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = \pm {(\frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3}}})}^{\frac{5}{2}}$

Schritt 5.7.2.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.7.2.1.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = \pm {(\frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3}}})}^{\frac{5}{2}}$

Schritt 5.7.2.1.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = \pm {(\frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3}}})}^{\frac{5}{2}}$

Schritt 5.7.2.1.1.2

Vereinfache.

$x = \pm {(\frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3}}})}^{\frac{5}{2}}$

Schritt 5.7.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.7.2.2.1

Vereinfache $\pm {(\frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3}}})}^{\frac{5}{2}}$ .

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Schritt 5.7.2.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 5.7.2.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3}}}$ an.

$x = \pm \frac{{(63^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}}}{{(5^{\frac{2}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 5.7.2.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $5^{\frac{2}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3}}$ an.

$x = \pm \frac{{(63^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}}}{{(5^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}} {({(- 10)}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 5.7.2.2.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(63^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}}$ .

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Schritt 5.7.2.2.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{63^{\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{2}}}{{(5^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}} {({(- 10)}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 5.7.2.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.7.2.2.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm \frac{63^{\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{2}}}{{(5^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}} {({(- 10)}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 5.7.2.2.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm \frac{63^{\frac{1}{3} \cdot 5}}{{(5^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}} {({(- 10)}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 5.7.2.2.1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $5$ .

$x = \pm \frac{63^{\frac{5}{3}}}{{(5^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}} {({(- 10)}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 5.7.2.2.1.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.7.2.2.1.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${(5^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}}$ .

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Schritt 5.7.2.2.1.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{2}} {({(- 10)}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 5.7.2.2.1.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.7.2.2.1.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{2}} {({(- 10)}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 5.7.2.2.1.3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{1}{3} \cdot 5} {({(- 10)}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 5.7.2.2.1.3.1.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $5$ .

$x = \pm \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{5}{3}} {({(- 10)}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 5.7.2.2.1.3.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(- 10)}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}}$ .

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Schritt 5.7.2.2.1.3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{5}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{2}}}$

Schritt 5.7.2.2.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.7.2.2.1.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{5}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{2}}}$

Schritt 5.7.2.2.1.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{5}{3}} {(- 10)}^{\frac{1}{3} \cdot 5}}$

Schritt 5.7.2.2.1.3.2.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $5$ .

$x = \pm \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{5}{3}} {(- 10)}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 5.7.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.7.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{5}{3}} {(- 10)}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 5.7.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{5}{3}} {(- 10)}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 5.7.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{5}{3}} {(- 10)}^{\frac{5}{3}}}, - \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{5}{3}} {(- 10)}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 5.8

Liste alle Lösungen auf.

$x = 0, \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{5}{3}} {(- 10)}^{\frac{5}{3}}}, - \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{5}{3}} {(- 10)}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 5.9

Schließe die Lösungen aus, die $- 10 x + \frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} = 0$ nicht erfüllen.

$x = 0, - \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{5}{3}} {(- 10)}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 0, - \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{5}{3}} {(- 10)}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- 10 + \frac{126}{25 {(0)}^{\frac{3}{5}}}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.1.1

Schreibe $0$ als $0^{5}$ um.

$- 10 + \frac{126}{25 {(0^{5})}^{\frac{3}{5}}}$

Schritt 9.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 10 + \frac{126}{25 \cdot 0^{5 (\frac{3}{5})}}$

Schritt 9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 9.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 10 + \frac{126}{25 \cdot 0^{5 (\frac{3}{5})}}$

Schritt 9.2.2

Forme den Ausdruck um.

$- 10 + \frac{126}{25 \cdot 0^{3}}$

Schritt 9.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- 10 + \frac{126}{25 \cdot 0}$

Schritt 9.3.2

Mutltipliziere $25$ mit $0$ .

$- 10 + \frac{126}{0}$

Schritt 9.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$- 10 + \frac{126}{0}$

Schritt 9.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 10

Da es mindestens einen Punkt mit $0$ oder eine nicht definierte zweite Ableitung gibt, wende den ersten Ableitungstest an.

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Schritt 10.1

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum auf, die die erste Ableitung zu $0$ oder nicht definiert machen.

$(- \infty, 0) \cup (0, - \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{5}{3}} {(- 10)}^{\frac{5}{3}}}) \cup (- \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{5}{3}} {(- 10)}^{\frac{5}{3}}}, \infty)$

Schritt 10.2

Setze eine beliebige Zahl, wie $- 2$ , aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die erste Ableitung $- 10 x + \frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 10.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f' (- 2) = - 10 \cdot - 2 + \frac{63 {(- 2)}^{\frac{2}{5}}}{5}$

Schritt 10.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 10.2.2.1

Mutltipliziere $- 10$ mit $- 2$ .

$f' (- 2) = 20 + \frac{63 {(- 2)}^{\frac{2}{5}}}{5}$

Schritt 10.2.2.2

Die endgültige Lösung ist $20 + \frac{63 {(- 2)}^{\frac{2}{5}}}{5}$ .

$20 + \frac{63 {(- 2)}^{\frac{2}{5}}}{5}$

Schritt 10.3

Keine lokalen Maxima oder Minima für $f (x) = 9 x^{\frac{7}{5}} - 5 x^{2} + 10^{4}$ gefunden.

Keine lokalen Maxima oder Minima

Schritt 11