Analysis Beispiele

$f (x) = 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} e^{- x}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} e^{- x}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = e^{- x}$ .

$9 (x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x$ .

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Schritt 1.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- x$ .

$9 (x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$9 (x^{\frac{1}{2}} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 1.3.3

Ersetze alle $u$ durch $- x$ .

$9 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 1.4

Differenziere.

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Schritt 1.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$9 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 1.4.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.4.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$9 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 1.4.3.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- x}$ .

$9 (x^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 1.4.3.3

Schreibe $- 1 e^{- x}$ als $- e^{- x}$ um.

$9 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 1.4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$9 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Schritt 1.5

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$9 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Schritt 1.6

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$9 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Schritt 1.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$9 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Schritt 1.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$9 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Schritt 1.8.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$9 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Schritt 1.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$9 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Schritt 1.10

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$9 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Schritt 1.11

Kombiniere $e^{- x}$ und $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$9 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + \frac{e^{- x} x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Schritt 1.12

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$9 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 1.13

Vereinfache.

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Schritt 1.13.1

Wende das Distributivgesetz an.

$9 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 9 \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.13.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.13.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$- 9 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x})) + 9 \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.13.2.2

Kombiniere $9$ und $\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.13.3

Stelle die Terme um.

$- 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $- 9 \frac{d}{d x} [e^{- x} x^{\frac{1}{2}}]$ .

$f'' (x) = - 9 \frac{d}{d x} (e^{- x} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = e^{- x}$ und $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - 9 (e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (e^{- x})) + \frac{d}{d x} (\frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = - 9 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (e^{- x})) + \frac{d}{d x} (\frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x$ .

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Schritt 2.2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $- x$ .

$f'' (x) = - 9 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- x))) + \frac{d}{d x} (\frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 2.2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 9 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- x))) + \frac{d}{d x} (\frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 2.2.4.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $- x$ .

$f'' (x) = - 9 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x))) + \frac{d}{d x} (\frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 2.2.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 9 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x))) + \frac{d}{d x} (\frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 2.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - 9 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} (\frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 2.2.7

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - 9 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} (\frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 2.2.8

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - 9 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} (\frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 2.2.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = - 9 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} (\frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 2.2.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (x) = - 9 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} (\frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 2.2.10.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f'' (x) = - 9 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} (\frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 2.2.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - 9 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} (\frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 2.2.12

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - 9 (e^{- x} (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} (\frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 2.2.13

Kombiniere $e^{- x}$ und $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = - 9 (\frac{e^{- x} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} (\frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 2.2.14

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 9 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} (\frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 2.2.15

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 9 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \cdot - 1)) + \frac{d}{d x} (\frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 2.2.16

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- x}$ .

$f'' (x) = - 9 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot e^{- x})) + \frac{d}{d x} (\frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 2.2.17

Schreibe $- 1 e^{- x}$ als $- e^{- x}$ um.

$f'' (x) = - 9 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{d}{d x} (\frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $\frac{9}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ nach $x$ gleich $\frac{9}{2} \frac{d}{d x} [\frac{e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = - 9 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{9}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = e^{- x}$ und $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - 9 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{9}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (e^{- x}) - e^{- x} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x$ .

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Schritt 2.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $- x$ .

$f'' (x) = - 9 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{9}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x)) - e^{- x} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 9 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{9}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x)) - e^{- x} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.3.3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $- x$ .

$f'' (x) = - 9 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{9}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) - e^{- x} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 9 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{9}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) - e^{- x} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - 9 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{9}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) - e^{- x} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = - 9 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{9}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.3.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 9 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{9}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \cdot - 1) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.3.8

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- x}$ .

$f'' (x) = - 9 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{9}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.3.9

Schreibe $- 1 e^{- x}$ als $- e^{- x}$ um.

$f'' (x) = - 9 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{9}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.3.10

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

Schritt 2.3.11

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - 9 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{9}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.3.12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = - 9 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{9}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.3.13

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.13.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (x) = - 9 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{9}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.3.13.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f'' (x) = - 9 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{9}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.3.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - 9 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{9}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.3.15

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - 9 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{9}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.3.16

Kombiniere $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ und $e^{- x}$ .

$f'' (x) = - 9 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{9}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{x^{- \frac{1}{2}} e^{- x}}{2}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.3.17

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 9 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{9}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.3.18

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.3.18.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 9 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{9}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.3.18.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.18.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = - 9 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{9}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.3.18.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = - 9 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{9}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 2.3.19

Vereinfache.

$f'' (x) = - 9 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{9}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 2.3.20

Mutltipliziere $\frac{9}{2}$ mit $\frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$ .

$f'' (x) = - 9 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{9 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - 9 \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 9 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{9 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Schritt 2.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - 9 \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 9 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{9 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 9 (- \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Schritt 2.4.3

Vereine die Terme

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Schritt 2.4.3.1

Kombiniere $- 9$ und $\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 9 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{9 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 9 (- \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Schritt 2.4.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 9 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{9 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 9 (- \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Schritt 2.4.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 9$ .

$f'' (x) = - \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 9 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x})) + \frac{9 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 9 (- \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Schritt 2.4.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$f'' (x) = - \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 9 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x})) + 9 (- \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Schritt 2.4.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$f'' (x) = - \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - 9 \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Schritt 2.4.3.6

Kombiniere $- 9$ und $\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Schritt 2.4.3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Schritt 2.4.3.8

Um $- \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$f'' (x) = 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{x} + \frac{- 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Schritt 2.4.3.9

Um $\frac{- 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{x} + \frac{- 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.4.3.10

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $2 x \cdot x^{\frac{1}{2}}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.4.3.10.1

Mutltipliziere $\frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$f'' (x) = 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{9 e^{- x} x}{2 x^{\frac{1}{2}} x} + \frac{- 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.4.3.10.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{9 e^{- x} x}{2 (x \cdot x^{\frac{1}{2}})} + \frac{- 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.4.3.10.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{9 e^{- x} x}{2 x^{1 + \frac{1}{2}}} + \frac{- 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.4.3.10.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{9 e^{- x} x}{2 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}} + \frac{- 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.4.3.10.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{9 e^{- x} x}{2 x^{\frac{2 + 1}{2}}} + \frac{- 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.4.3.10.6

Addiere $2$ und $1$ .

$f'' (x) = 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{9 e^{- x} x}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{- 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.4.3.10.7

Mutltipliziere $\frac{- 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$ mit $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{9 e^{- x} x}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{(- 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{2 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.4.3.10.8

Multipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.4.3.10.8.1

Bewege $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{9 e^{- x} x}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{(- 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{2 (x^{\frac{1}{2}} x)}$

Schritt 2.4.3.10.8.2

Mutltipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $x$ .

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Schritt 2.4.3.10.8.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{9 e^{- x} x}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{(- 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{2 (x^{\frac{1}{2}} x)}$

Schritt 2.4.3.10.8.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{9 e^{- x} x}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{(- 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2} + 1}}$

Schritt 2.4.3.10.8.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{9 e^{- x} x}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{(- 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Schritt 2.4.3.10.8.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{9 e^{- x} x}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{(- 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Schritt 2.4.3.10.8.5

Addiere $1$ und $2$ .

$f'' (x) = 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{9 e^{- x} x}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{(- 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.4.3.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 9 e^{- x} x + (- 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.4.4

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 9 e^{- x} x + (- 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.4.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.5.1.1

Faktorisiere $x^{\frac{1}{2}}$ aus $- 9 e^{- x} x + (- 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

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Schritt 2.4.5.1.1.1

Stelle den Ausdruck um.

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Schritt 2.4.5.1.1.1.1

Bewege $e^{- x}$ .

$f'' (x) = 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 9 x e^{- x} + (- 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.4.5.1.1.1.2

Stelle $- 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ und $x^{\frac{1}{2}}$ um.

$f'' (x) = 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 9 x e^{- x} + x^{\frac{1}{2}} (- 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.4.5.1.1.2

Faktorisiere $x^{\frac{1}{2}}$ aus $- 9 x e^{- x}$ heraus.

$f'' (x) = 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (- 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}) + x^{\frac{1}{2}} (- 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.4.5.1.1.3

Faktorisiere $x^{\frac{1}{2}}$ aus $x^{\frac{1}{2}} (- 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}) + x^{\frac{1}{2}} (- 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$ heraus.

$f'' (x) = 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (- 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.4.5.1.2

Subtrahiere $9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}$ von $- 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}$ .

$f'' (x) = 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (- 18 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.4.5.1.3

Faktorisiere $9 e^{- x}$ aus $- 18 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ heraus.

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Schritt 2.4.5.1.3.1

Faktorisiere $9 e^{- x}$ aus $- 18 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}$ heraus.

$f'' (x) = 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (9 e^{- x} (- 2 x^{\frac{1}{2}}) - \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.4.5.1.3.2

Faktorisiere $9 e^{- x}$ aus $- \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ heraus.

$f'' (x) = 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (9 e^{- x} (- 2 x^{\frac{1}{2}}) + 9 e^{- x} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}))}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.4.5.1.3.3

Faktorisiere $9 e^{- x}$ aus $9 e^{- x} (- 2 x^{\frac{1}{2}}) + 9 e^{- x} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$ heraus.

$f'' (x) = 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (9 e^{- x} (- 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}))}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.4.5.1.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ heraus.

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Schritt 2.4.5.1.4.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$f'' (x) = 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (9 e^{- x} (- (2 x^{\frac{1}{2}}) - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}))}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.4.5.1.4.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ heraus.

$f'' (x) = 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (9 e^{- x} (- (2 x^{\frac{1}{2}}) - (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})))}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.4.5.1.4.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x^{\frac{1}{2}}) - (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$ heraus.

$f'' (x) = 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (9 e^{- x} (- (2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})))}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

$f'' (x) = 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (9 e^{- x} \cdot (- 1 (2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})))}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.4.5.1.5

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 2.4.5.1.5.1

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$f'' (x) = 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (- (9 e^{- x} (2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})))}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.4.5.1.5.2

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (- 9 (e^{- x} (2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})))}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

$f'' (x) = 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot (- 9 e^{- x} (2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}))}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.4.5.1.6

Um $2 x^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot (- 9 e^{- x} (2 x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}))}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.4.5.1.7

Kombiniere $2 x^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot (- 9 e^{- x} (\frac{2 x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}))}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.4.5.1.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot (- 9 e^{- x} \frac{2 x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}}) + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.4.5.1.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.5.1.9.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot (- 9 e^{- x} \frac{2 \cdot (2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.4.5.1.9.2

Multipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.4.5.1.9.2.1

Bewege $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot (- 9 e^{- x} \frac{2 \cdot (2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})) + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.4.5.1.9.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot (- 9 e^{- x} \frac{2 \cdot (2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}) + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.4.5.1.9.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot (- 9 e^{- x} \frac{2 \cdot (2 x^{\frac{1 + 1}{2}}) + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.4.5.1.9.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot (- 9 e^{- x} \frac{2 \cdot (2 x^{\frac{2}{2}}) + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.4.5.1.9.2.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$f'' (x) = 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot (- 9 e^{- x} \frac{2 \cdot (2 x) + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.4.5.1.9.3

Vereinfache $2 \cdot 2 x^{1}$ .

$f'' (x) = 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot (- 9 e^{- x} \frac{2 \cdot (2 x) + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.4.5.1.9.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot (- 9 e^{- x} \frac{4 x + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.4.5.1.10

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 2.4.5.1.10.1

Kombiniere $x^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{4 x + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 9 e^{- x} \frac{x^{\frac{1}{2}} (4 x + 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.4.5.1.10.2

Kombiniere $\frac{x^{\frac{1}{2}} (4 x + 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ und $- 9$ .

$f'' (x) = 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (4 x + 1) \cdot - 9}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot e^{- x}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.4.5.1.10.3

Kombiniere $\frac{x^{\frac{1}{2}} (4 x + 1) \cdot - 9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ und $e^{- x}$ .

$f'' (x) = 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (4 x + 1) \cdot (- 9 e^{- x})}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.4.5.1.11

Vereinfache den Ausdruck $\frac{x^{\frac{1}{2}} (4 x + 1) \cdot - 9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.4.5.1.11.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (4 x + 1) \cdot (- 9 e^{- x})}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.4.5.1.11.2

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{\frac{(4 x + 1) \cdot (- 9 e^{- x})}{2}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.4.5.1.12

Bringe $- 9$ auf die linke Seite von $4 x + 1$ .

$f'' (x) = 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{\frac{- 9 \cdot ((4 x + 1) e^{- x})}{2}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.4.5.1.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{- \frac{9 (4 x + 1) e^{- x}}{2}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.4.5.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f'' (x) = 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} - \frac{9 (4 x + 1) e^{- x}}{2} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.4.5.3

Multipliziere $- \frac{9 (4 x + 1) e^{- x}}{2} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ .

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Schritt 2.4.5.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ mit $\frac{9 (4 x + 1) e^{- x}}{2}$ .

$f'' (x) = 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} - \frac{9 (4 x + 1) e^{- x}}{2 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

Schritt 2.4.5.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} - \frac{9 (4 x + 1) e^{- x}}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.4.6

Um $9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{4 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$f'' (x) = 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{9 (4 x + 1) e^{- x}}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.4.7

Kombiniere $9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{4 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} (4 x^{\frac{3}{2}})}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{9 (4 x + 1) e^{- x}}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.4.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} (4 x^{\frac{3}{2}}) - 9 (4 x + 1) e^{- x}}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.4.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.9.1

Faktorisiere $9 e^{- x}$ aus $9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} (4 x^{\frac{3}{2}}) - 9 (4 x + 1) e^{- x}$ heraus.

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Schritt 2.4.9.1.1

Faktorisiere $9 e^{- x}$ aus $9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} (4 x^{\frac{3}{2}})$ heraus.

$f'' (x) = \frac{9 e^{- x} (x^{\frac{1}{2}} (4 x^{\frac{3}{2}})) - 9 (4 x + 1) e^{- x}}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.4.9.1.2

Faktorisiere $9 e^{- x}$ aus $- 9 (4 x + 1) e^{- x}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{9 e^{- x} (x^{\frac{1}{2}} (4 x^{\frac{3}{2}})) + 9 e^{- x} (- (4 x + 1))}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.4.9.1.3

Faktorisiere $9 e^{- x}$ aus $9 e^{- x} (x^{\frac{1}{2}} (4 x^{\frac{3}{2}})) + 9 e^{- x} (- (4 x + 1))$ heraus.

$f'' (x) = \frac{9 e^{- x} (x^{\frac{1}{2}} (4 x^{\frac{3}{2}}) - (4 x + 1))}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.4.9.2

Multipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $x^{\frac{3}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.4.9.2.1

Bewege $x^{\frac{3}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{9 e^{- x} (x^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}} \cdot 4 - (4 x + 1))}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.4.9.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{9 e^{- x} (x^{\frac{3}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 4 - (4 x + 1))}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.4.9.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{9 e^{- x} (x^{\frac{3 + 1}{2}} \cdot 4 - (4 x + 1))}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.4.9.2.4

Addiere $3$ und $1$ .

$f'' (x) = \frac{9 e^{- x} (x^{\frac{4}{2}} \cdot 4 - (4 x + 1))}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.4.9.2.5

Dividiere $4$ durch $2$ .

$f'' (x) = \frac{9 e^{- x} (x^{2} \cdot 4 - (4 x + 1))}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.4.9.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.9.3.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{9 e^{- x} (4 \cdot x^{2} - (4 x + 1))}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.4.9.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{9 e^{- x} (4 x^{2} - (4 x) - 1 \cdot 1)}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.4.9.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{9 e^{- x} (4 x^{2} - 4 x - 1 \cdot 1)}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.4.9.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{9 e^{- x} (4 x^{2} - 4 x - 1)}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} e^{- x}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} e^{- x}]$

Schritt 4.1.2

$9 (x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x$ .

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Schritt 4.1.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- x$ .

$9 (x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 4.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$9 (x^{\frac{1}{2}} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 4.1.3.3

Ersetze alle $u$ durch $- x$ .

$9 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 4.1.4

Differenziere.

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Schritt 4.1.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 4.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$9 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 4.1.4.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1.4.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$9 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 4.1.4.3.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- x}$ .

$9 (x^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 4.1.4.3.3

Schreibe $- 1 e^{- x}$ als $- e^{- x}$ um.

$9 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 4.1.4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$9 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Schritt 4.1.5

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$9 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Schritt 4.1.6

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$9 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Schritt 4.1.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$9 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Schritt 4.1.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$9 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Schritt 4.1.8.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$9 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Schritt 4.1.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$9 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Schritt 4.1.10

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$9 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Schritt 4.1.11

Kombiniere $e^{- x}$ und $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$9 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + \frac{e^{- x} x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Schritt 4.1.12

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$9 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 4.1.13

Vereinfache.

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Schritt 4.1.13.1

Wende das Distributivgesetz an.

$9 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 9 \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.13.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.1.13.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$- 9 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x})) + 9 \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.13.2.2

Kombiniere $9$ und $\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.13.3

Stelle die Terme um.

$f' (x) = - 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 5.2

Ermittle einen gemeinsamen Teiler $e^{- 1 x}$ , der in jedem Term vorkommt.

$- 9 {(e x^{- 1 x})}^{\frac{2 x - 1}{2 x}} + \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.3

Ersetze $e^{- 1 x}$ durch $u$ .

$- 9 {(e x^{- 1 x})}^{\frac{2 x - 1}{2 x}} + \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 5.4

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 5.4.1

Bringe $\frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ auf die rechte Seite der Gleichung, indem du es von beiden Seiten subtrahierst.

$- 9 {(e x^{- 1 x})}^{\frac{2 x - 1}{2 x}} = - \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache $- 9 {(e x^{- 1 x})}^{\frac{2 x - 1}{2 x}}$ .

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Schritt 5.4.2.1

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$- 9 {(e x^{- x})}^{\frac{2 x - 1}{2 x}} = - \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.4.2.2

Wende die Produktregel auf $e x^{- x}$ an.

$- 9 (e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} {(x^{- x})}^{\frac{2 x - 1}{2 x}}) = - \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.4.2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{- x})}^{\frac{2 x - 1}{2 x}}$ .

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Schritt 5.4.2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 9 (e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- x \frac{2 x - 1}{2 x}}) = - \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.4.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.4.2.3.2.1

Faktorisiere $x$ aus $- x$ heraus.

$- 9 (e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{x \cdot - 1 \frac{2 x - 1}{2 x}}) = - \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.4.2.3.2.2

Faktorisiere $x$ aus $2 x$ heraus.

$- 9 (e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{x \cdot - 1 \frac{2 x - 1}{x \cdot 2}}) = - \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.4.2.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 9 (e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{x \cdot - 1 \frac{2 x - 1}{x \cdot 2}}) = - \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.4.2.3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$- 9 (e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- \frac{2 x - 1}{2}}) = - \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

$- 9 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- \frac{2 x - 1}{2}} = - \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.4.3

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.4.3.1

Addiere $\frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 9 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- \frac{2 x - 1}{2}} + \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 5.4.3.2

Um $- 9 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- \frac{2 x - 1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- 9 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- \frac{2 x - 1}{2}} \cdot \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 5.4.3.3

Kombiniere $- 9 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- \frac{2 x - 1}{2}}$ und $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 9 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- \frac{2 x - 1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 5.4.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 9 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- \frac{2 x - 1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}}) + 9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 5.4.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.4.3.5.1

Faktorisiere $9$ aus $- 9 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- \frac{2 x - 1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}}) + 9 e^{- x}$ heraus.

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Schritt 5.4.3.5.1.1

Faktorisiere $9$ aus $- 9 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- \frac{2 x - 1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}})$ heraus.

$\frac{9 (- e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- \frac{2 x - 1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}})) + 9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 5.4.3.5.1.2

Faktorisiere $9$ aus $9 e^{- x}$ heraus.

$\frac{9 (- e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- \frac{2 x - 1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}})) + 9 (e^{- x})}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 5.4.3.5.1.3

Faktorisiere $9$ aus $9 (- e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- \frac{2 x - 1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}})) + 9 (e^{- x})$ heraus.

$\frac{9 (- e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- \frac{2 x - 1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}}) + e^{- x})}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 5.4.3.5.2

Multipliziere $x^{- \frac{2 x - 1}{2}}$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.4.3.5.2.1

Bewege $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{9 (- e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} (x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{2 x - 1}{2}}) \cdot 2 + e^{- x})}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 5.4.3.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{9 (- e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{\frac{1}{2} - \frac{2 x - 1}{2}} \cdot 2 + e^{- x})}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 5.4.3.5.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{9 (- e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{\frac{1 - (2 x - 1)}{2}} \cdot 2 + e^{- x})}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 5.4.3.5.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.3.5.2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{9 (- e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{\frac{1 - (2 x) - - 1}{2}} \cdot 2 + e^{- x})}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 5.4.3.5.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{9 (- e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{\frac{1 - 2 x - - 1}{2}} \cdot 2 + e^{- x})}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 5.4.3.5.2.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{9 (- e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{\frac{1 - 2 x + 1}{2}} \cdot 2 + e^{- x})}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 5.4.3.5.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{9 (- e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{\frac{- 2 x + 2}{2}} \cdot 2 + e^{- x})}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 5.4.3.5.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2 x + 2$ und $2$ .

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Schritt 5.4.3.5.2.6.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{9 (- e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{\frac{2 (- x) + 2}{2}} \cdot 2 + e^{- x})}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 5.4.3.5.2.6.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{9 (- e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{\frac{2 (- x) + 2 \cdot 1}{2}} \cdot 2 + e^{- x})}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 5.4.3.5.2.6.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- x) + 2 (1)$ heraus.

$\frac{9 (- e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{\frac{2 (- x + 1)}{2}} \cdot 2 + e^{- x})}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 5.4.3.5.2.6.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.3.5.2.6.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{9 (- e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{\frac{2 (- x + 1)}{2 (1)}} \cdot 2 + e^{- x})}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 5.4.3.5.2.6.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 (- e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{\frac{2 (- x + 1)}{2 \cdot 1}} \cdot 2 + e^{- x})}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 5.4.3.5.2.6.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{9 (- e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{\frac{- x + 1}{1}} \cdot 2 + e^{- x})}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 5.4.3.5.2.6.4.4

Dividiere $- x + 1$ durch $1$ .

$\frac{9 (- e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- x + 1} \cdot 2 + e^{- x})}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 5.4.3.5.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{9 (- 2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- x + 1} + e^{- x})}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 5.4.3.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- x + 1}$ heraus.

$\frac{9 (- (2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- x + 1}) + e^{- x})}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 5.4.3.7

Faktorisiere $- 1$ aus $e^{- x}$ heraus.

$\frac{9 (- (2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- x + 1}) - 1 (- e^{- x}))}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 5.4.3.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- x + 1}) - 1 (- e^{- x})$ heraus.

$\frac{9 (- (2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- x + 1} - e^{- x}))}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 5.4.3.9

Schreibe $- (2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- x + 1} - e^{- x})$ als $- 1 (2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- x + 1} - e^{- x})$ um.

$\frac{9 (- 1 (2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- x + 1} - e^{- x}))}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 5.4.3.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{9 (2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- x + 1} - e^{- x})}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 5.5

Ersetze $u$ durch $x$ .

$- \frac{9 (2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- x + 1} - e^{- x})}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 5.6

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.6.1

Faktorisiere $9 e^{- x}$ aus $- 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ heraus.

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Schritt 5.6.1.1

Faktorisiere $9 e^{- x}$ aus $- 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$9 e^{- x} (- 1 x^{\frac{1}{2}}) + \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 5.6.1.2

Faktorisiere $9 e^{- x}$ aus $\frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ heraus.

$9 e^{- x} (- 1 x^{\frac{1}{2}}) + 9 e^{- x} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) = 0$

Schritt 5.6.1.3

Faktorisiere $9 e^{- x}$ aus $9 e^{- x} (- 1 x^{\frac{1}{2}}) + 9 e^{- x} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ heraus.

$9 e^{- x} (- 1 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) = 0$

Schritt 5.6.2

Schreibe $- 1 x^{\frac{1}{2}}$ als $- x^{\frac{1}{2}}$ um.

$9 e^{- x} (- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) = 0$

Schritt 5.7

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$e^{- x} = 0$

$- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 5.8

Setze $e^{- x}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.8.1

Setze $e^{- x}$ gleich $0$ .

$e^{- x} = 0$

Schritt 5.8.2

Löse $e^{- x} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.8.2.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Schritt 5.8.2.2

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (0)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 5.8.2.3

Es gibt keine Lösung für $e^{- x} = 0$

Keine Lösung

Schritt 5.9

Setze $- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.9.1

Setze $- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ gleich $0$ .

$- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 5.9.2

Löse $- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.9.2.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 5.9.2.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, 2 x^{\frac{1}{2}}, 1$

Schritt 5.9.2.1.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$2 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 5.9.2.2

Multipliziere jeden Term in $- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$ mit $2 x^{\frac{1}{2}}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 5.9.2.2.1

Multipliziere jeden Term in $- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$ mit $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$- x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 5.9.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.9.2.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.9.2.2.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 1 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 5.9.2.2.2.1.2

Multipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.9.2.2.2.1.2.1

Bewege $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- 1 \cdot 2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 5.9.2.2.2.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 1 \cdot 2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 5.9.2.2.2.1.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 1 \cdot 2 x^{\frac{1 + 1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 5.9.2.2.2.1.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$- 1 \cdot 2 x^{\frac{2}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 5.9.2.2.2.1.2.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$- 1 \cdot 2 x^{1} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 5.9.2.2.2.1.3

Vereinfache $- 1 \cdot 2 x^{1}$ .

$- 1 \cdot 2 x + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 5.9.2.2.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 x + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 5.9.2.2.2.1.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 2 x + 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 5.9.2.2.2.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.9.2.2.2.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 2 x + 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 5.9.2.2.2.1.6.2

Forme den Ausdruck um.

$- 2 x + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 5.9.2.2.2.1.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{\frac{1}{2}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.9.2.2.2.1.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 2 x + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 5.9.2.2.2.1.7.2

Forme den Ausdruck um.

$- 2 x + 1 = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 5.9.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.9.2.2.3.1

Multipliziere $0 (2 x^{\frac{1}{2}})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.9.2.2.3.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$- 2 x + 1 = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 5.9.2.2.3.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 x + 1 = 0$

Schritt 5.9.2.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 5.9.2.3.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x = - 1$

Schritt 5.9.2.3.2

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x = - 1$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 5.9.2.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x = - 1$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 5.9.2.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.9.2.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 5.9.2.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 5.9.2.3.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 5.9.2.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.9.2.3.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 5.10

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $9 e^{- x} (- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

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Schritt 6.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$- 9 e^{- x} \sqrt{x^{1}} + \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6.1.2

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$- 9 e^{- x} \sqrt{x^{1}} + \frac{9 e^{- x}}{2 \sqrt{x^{1}}}$

Schritt 6.1.3

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$- 9 e^{- x} \sqrt{x} + \frac{9 e^{- x}}{2 \sqrt{x^{1}}}$

Schritt 6.1.4

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$- 9 e^{- x} \sqrt{x} + \frac{9 e^{- x}}{2 \sqrt{x}}$

Schritt 6.2

Setze den Nenner in $\frac{9 e^{- x}}{2 \sqrt{x}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 \sqrt{x} = 0$

Schritt 6.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(2 \sqrt{x})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 6.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.2.1

Vereinfache ${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.3.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $2 x^{\frac{1}{2}}$ an.

$2^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.3.2.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.2.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$4 x^{1} = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2.1.4

Vereinfache.

$4 x = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$4 x = 0$

Schritt 6.3.3

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 0$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 0$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 6.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 6.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 6.3.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Schritt 6.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.3.3.1

Dividiere $0$ durch $4$ .

$x = 0$

Schritt 6.4

Setze den Radikanden in $\sqrt{x}$ kleiner als $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x < 0$

Schritt 6.5

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = \frac{1}{2}, 0$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{1}{2}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{9 e^{- (\frac{1}{2})} (4 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 (\frac{1}{2}) - 1)}{4 {(\frac{1}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Bringe $e^{- (\frac{1}{2})}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{9 (4 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 (\frac{1}{2}) - 1)}{4 {(\frac{1}{2})}^{\frac{3}{2}} e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 9.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{9 (4 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 (\frac{1}{2}) - 1)}{2^{2} {(\frac{1}{2})}^{\frac{3}{2}} e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 9.2.2

Schreibe $\frac{1}{2}$ als $2^{- 1}$ um.

$\frac{9 (4 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 (\frac{1}{2}) - 1)}{2^{2} {(2^{- 1})}^{\frac{3}{2}} e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 9.2.3

Potenziere $2$ mit $1$ .

$\frac{9 (4 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 (\frac{1}{2}) - 1)}{2^{2} {({(2^{1})}^{- 1})}^{\frac{3}{2}} e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 9.2.4

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9 (4 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 (\frac{1}{2}) - 1)}{2^{2} {(2^{1 \cdot - 1})}^{\frac{3}{2}} e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 9.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{9 (4 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 (\frac{1}{2}) - 1)}{2^{2} {(2^{- 1})}^{\frac{3}{2}} e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 9.2.6

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9 (4 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 (\frac{1}{2}) - 1)}{2^{2} \cdot 2^{- \frac{3}{2}} e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 9.2.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{9 (4 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 (\frac{1}{2}) - 1)}{2^{2 - \frac{3}{2}} e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 9.2.8

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9 (4 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 (\frac{1}{2}) - 1)}{2^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2}} e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 9.2.9

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9 (4 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 (\frac{1}{2}) - 1)}{2^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2}} e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 9.2.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{9 (4 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 (\frac{1}{2}) - 1)}{2^{\frac{2 \cdot 2 - 3}{2}} e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 9.2.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.2.11.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{9 (4 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 (\frac{1}{2}) - 1)}{2^{\frac{4 - 3}{2}} e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 9.2.11.2

Subtrahiere $3$ von $4$ .

$\frac{9 (4 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 (\frac{1}{2}) - 1)}{2^{\frac{1}{2}} e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 9.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.3.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$\frac{9 (4 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 4 (\frac{1}{2}) - 1)}{2^{\frac{1}{2}} e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 9.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{9 (4 \frac{1}{2^{2}} - 4 (\frac{1}{2}) - 1)}{2^{\frac{1}{2}} e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 9.3.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{9 (4 (\frac{1}{4}) - 4 (\frac{1}{2}) - 1)}{2^{\frac{1}{2}} e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 9.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 9.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 (4 (\frac{1}{4}) - 4 (\frac{1}{2}) - 1)}{2^{\frac{1}{2}} e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 9.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{9 (1 - 4 (\frac{1}{2}) - 1)}{2^{\frac{1}{2}} e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 9.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.3.5.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$\frac{9 (1 + 2 (- 2) \frac{1}{2} - 1)}{2^{\frac{1}{2}} e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 9.3.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 (1 + 2 \cdot - 2 \frac{1}{2} - 1)}{2^{\frac{1}{2}} e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 9.3.5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{9 (1 - 2 - 1)}{2^{\frac{1}{2}} e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 9.3.6

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{9 (- 1 - 1)}{2^{\frac{1}{2}} e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 9.3.7

Subtrahiere $1$ von $- 1$ .

$\frac{9 \cdot - 2}{2^{\frac{1}{2}} e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 9.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.4.1

Mutltipliziere $9$ mit $- 2$ .

$\frac{- 18}{2^{\frac{1}{2}} e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 9.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{18}{2^{\frac{1}{2}} e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10

$x = \frac{1}{2}$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{1}{2}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{1}{2}$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = 9 {(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{2}} e^{- (\frac{1}{2})}$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 11.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$f (\frac{1}{2}) = 9 (\frac{1^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}}) \cdot e^{- (\frac{1}{2})}$

Schritt 11.2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (\frac{1}{2}) = 9 (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}) \cdot e^{- (\frac{1}{2})}$

Schritt 11.2.2

Kombiniere $9$ und $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{9}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot e^{- (\frac{1}{2})}$

Schritt 11.2.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{9}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11.2.4

Kombinieren.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{9 \cdot 1}{2^{\frac{1}{2}} e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11.2.5

Mutltipliziere $9$ mit $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{9}{2^{\frac{1}{2}} e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11.2.6

Die endgültige Lösung ist $\frac{9}{2^{\frac{1}{2}} e^{\frac{1}{2}}}$ .

$y = \frac{9}{2^{\frac{1}{2}} e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{9 e^{- (0)} (4 {(0)}^{2} - 4 \cdot 0 - 1)}{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 13.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 13.1.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$\frac{9 e^{- (0)} (4 {(0)}^{2} - 4 \cdot 0 - 1)}{4 {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 13.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9 e^{- (0)} (4 {(0)}^{2} - 4 \cdot 0 - 1)}{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Schritt 13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 13.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 e^{- (0)} (4 {(0)}^{2} - 4 \cdot 0 - 1)}{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Schritt 13.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{9 e^{- (0)} (4 {(0)}^{2} - 4 \cdot 0 - 1)}{4 \cdot 0^{3}}$

Schritt 13.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 13.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{9 e^{- (0)} (4 {(0)}^{2} - 4 \cdot 0 - 1)}{4 \cdot 0}$

Schritt 13.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$\frac{9 e^{- (0)} (4 {(0)}^{2} - 4 \cdot 0 - 1)}{0}$

Schritt 13.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{9 e^{- (0)} (4 {(0)}^{2} - 4 \cdot 0 - 1)}{0}$

Schritt 13.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 14

Da der erste Ableitungstest nicht erfolgreich war, gibt es kein lokales Extremum.

Keine lokalen Extrema

Schritt 15