Analysis Beispiele

$f (x) = 8 x + 8 \cos (8 x)$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 x + 8 \cos (8 x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [8 \cos (8 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [8 \cos (8 x)]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8 \cos (8 x)]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8 \cos (8 x)]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$8 + \frac{d}{d x} [8 \cos (8 x)]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [8 \cos (8 x)]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 \cos (8 x)$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]$ .

$8 + 8 \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 8 x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $8 x$ .

$8 + 8 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [8 x])$

Schritt 1.3.2.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$8 + 8 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [8 x])$

Schritt 1.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $8 x$ .

$8 + 8 (- \sin (8 x) \frac{d}{d x} [8 x])$

Schritt 1.3.3

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 + 8 (- \sin (8 x) (8 \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$8 + 8 (- \sin (8 x) (8 \cdot 1))$

Schritt 1.3.5

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$8 + 8 (- \sin (8 x) \cdot 8)$

Schritt 1.3.6

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$8 + 8 (- 8 \sin (8 x))$

Schritt 1.3.7

Mutltipliziere $- 8$ mit $8$ .

$8 - 64 \sin (8 x)$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 - 64 \sin (8 x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- 64 \sin (8 x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (8) + \frac{d}{d x} (- 64 \sin (8 x))$

Schritt 2.1.2

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 64 \sin (8 x))$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 64 \sin (8 x)]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Da $- 64$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 64 \sin (8 x)$ nach $x$ gleich $- 64 \frac{d}{d x} [\sin (8 x)]$ .

$f'' (x) = 0 - 64 \frac{d}{d x} \sin (8 x)$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 8 x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $8 x$ .

$f'' (x) = 0 - 64 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (8 x))$

Schritt 2.2.2.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$f'' (x) = 0 - 64 (\cos (u) \frac{d}{d x} (8 x))$

Schritt 2.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $8 x$ .

$f'' (x) = 0 - 64 (\cos (8 x) \frac{d}{d x} (8 x))$

Schritt 2.2.3

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 0 - 64 (\cos (8 x) (8 \frac{d}{d x} (x)))$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 0 - 64 (\cos (8 x) (8 \cdot 1))$

Schritt 2.2.5

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$f'' (x) = 0 - 64 (\cos (8 x) \cdot 8)$

Schritt 2.2.6

Bringe $8$ auf die linke Seite von $\cos (8 x)$ .

$f'' (x) = 0 - 64 (8 \cdot \cos (8 x))$

Schritt 2.2.7

Mutltipliziere $8$ mit $- 64$ .

$f'' (x) = 0 - 512 \cos (8 x)$

Schritt 2.3

Subtrahiere $512 \cos (8 x)$ von $0$ .

$f'' (x) = - 512 \cos (8 x)$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$8 - 64 \sin (8 x) = 0$

Schritt 4

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 64 \sin (8 x) = - 8$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $- 64 \sin (8 x) = - 8$ durch $- 64$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $- 64 \sin (8 x) = - 8$ durch $- 64$ .

$\frac{- 64 \sin (8 x)}{- 64} = \frac{- 8}{- 64}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 64$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 64 \sin (8 x)}{- 64} = \frac{- 8}{- 64}$

Schritt 5.2.1.2

Dividiere $\sin (8 x)$ durch $1$ .

$\sin (8 x) = \frac{- 8}{- 64}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 8$ und $- 64$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1.1

Faktorisiere $- 8$ aus $- 8$ heraus.

$\sin (8 x) = \frac{- 8 (1)}{- 64}$

Schritt 5.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1.2.1

Faktorisiere $- 8$ aus $- 64$ heraus.

$\sin (8 x) = \frac{- 8 \cdot 1}{- 8 \cdot 8}$

Schritt 5.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (8 x) = \frac{- 8 \cdot 1}{- 8 \cdot 8}$

Schritt 5.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sin (8 x) = \frac{1}{8}$

Schritt 6

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$8 x = \arcsin (\frac{1}{8})$

Schritt 7

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Berechne $\arcsin (\frac{1}{8})$ .

$8 x = 0.12532783$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $8 x = 0.12532783$ durch $8$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $8 x = 0.12532783$ durch $8$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{0.12532783}{8}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 x}{8} = \frac{0.12532783}{8}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0.12532783}{8}$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1

Dividiere $0.12532783$ durch $8$ .

$x = 0.01566597$

Schritt 9

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$8 x = (3.14159265) - 0.12532783$

Schritt 10

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Subtrahiere $0.12532783$ von $3.14159265$ .

$8 x = 3.01626482$

Schritt 10.2

Teile jeden Ausdruck in $8 x = 3.01626482$ durch $8$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.1

Teile jeden Ausdruck in $8 x = 3.01626482$ durch $8$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{3.01626482}{8}$

Schritt 10.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 x}{8} = \frac{3.01626482}{8}$

Schritt 10.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{3.01626482}{8}$

Schritt 10.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.3.1

Dividiere $3.01626482$ durch $8$ .

$x = 0.3770331$

Schritt 11

Die Lösung der Gleichung $8 x = 0.12532783$ .

$x = 0.01566597, 0.3770331$

Schritt 12

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0.01566597$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- 512 \cos (8 (0.01566597))$

Schritt 13

Mutltipliziere $8$ mit $0.01566597$ .

$- 512 \cos (0.12532783)$

Schritt 14

$x = 0.01566597$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 0.01566597$ ist ein lokales Maximum

Schritt 15

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 0.01566597$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.01566597$ .

$f (0.01566597) = 8 (0.01566597) + 8 \cos (8 (0.01566597))$

Schritt 15.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.1.1

Mutltipliziere $8$ mit $0.01566597$ .

$f (0.01566597) = 0.12532783 + 8 \cos (8 (0.01566597))$

Schritt 15.2.1.2

Mutltipliziere $8$ mit $0.01566597$ .

$f (0.01566597) = 0.12532783 + 8 \cos (0.12532783)$

Schritt 15.2.2

Addiere $0.12532783$ und $8 \cos (0.12532783)$ .

$f (0.01566597) = 8.06258176$

Schritt 15.2.3

Die endgültige Lösung ist $8.06258176$ .

$y = 8.06258176$

Schritt 16

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0.3770331$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- 512 \cos (8 (0.3770331))$

Schritt 17

Mutltipliziere $8$ mit $0.3770331$ .

$- 512 \cos (3.01626482)$

Schritt 18

$x = 0.3770331$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 0.3770331$ ist ein lokales Minimum

Schritt 19

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 0.3770331$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 19.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.3770331$ .

$f (0.3770331) = 8 (0.3770331) + 8 \cos (8 (0.3770331))$

Schritt 19.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 19.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 19.2.1.1

Mutltipliziere $8$ mit $0.3770331$ .

$f (0.3770331) = 3.01626482 + 8 \cos (8 (0.3770331))$

Schritt 19.2.1.2

Mutltipliziere $8$ mit $0.3770331$ .

$f (0.3770331) = 3.01626482 + 8 \cos (3.01626482)$

Schritt 19.2.2

Addiere $3.01626482$ und $8 \cos (3.01626482)$ .

$f (0.3770331) = - 4.92098911$

Schritt 19.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 4.92098911$ .

$y = - 4.92098911$

Schritt 20

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = 8 x + 8 \cos (8 x)$ .

$(0.01566597, 8.06258176)$ ist ein lokales Maximum

$(0.3770331, - 4.92098911)$ ist ein lokales Minimum

Schritt 21