Analysis Beispiele

$f (x) = {(\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)})}^{2}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$ .

$2 \frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)} \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}]$

Schritt 2

Kombiniere $2$ und $\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$ .

$\frac{2 \cos (x)}{1 - \sin (x)} \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 1 - \sin (x)$ .

$\frac{2 \cos (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{(1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Schritt 4

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$\frac{2 \cos (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Schritt 5

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - \sin (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$\frac{2 \cos (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Schritt 5.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2 \cos (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (0 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Schritt 5.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$\frac{2 \cos (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Schritt 5.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \sin (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{2 \cos (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (- \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Schritt 5.5

Multipliziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{2 \cos (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) + 1 \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Schritt 5.5.2

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{2 \cos (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Schritt 6

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\frac{2 \cos (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) + \cos (x) \cos (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Schritt 7

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{2 \cos (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) + \cos^{1} (x) \cos (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Schritt 8

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{2 \cos (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Schritt 9

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 \cos (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) + {\cos (x)}^{1 + 1}}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Schritt 10

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 \cos (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) + \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Schritt 11

Mutltipliziere $\frac{2 \cos (x)}{1 - \sin (x)}$ mit $\frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) + \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$ .

$\frac{2 \cos (x) ((1 - \sin (x)) (- \sin (x)) + \cos^{2} (x))}{(1 - \sin (x)) {(1 - \sin (x))}^{2}}$

Schritt 12

Multipliziere $1 - \sin (x)$ mit ${(1 - \sin (x))}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1

Mutltipliziere $1 - \sin (x)$ mit ${(1 - \sin (x))}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1.1

Potenziere $1 - \sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{2 \cos (x) ((1 - \sin (x)) (- \sin (x)) + \cos^{2} (x))}{{(1 - \sin (x))}^{1} {(1 - \sin (x))}^{2}}$

Schritt 12.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 \cos (x) ((1 - \sin (x)) (- \sin (x)) + \cos^{2} (x))}{{(1 - \sin (x))}^{1 + 2}}$

Schritt 12.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{2 \cos (x) ((1 - \sin (x)) (- \sin (x)) + \cos^{2} (x))}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$

Schritt 13

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 \cos (x) (1 (- \sin (x)) - \sin (x) (- \sin (x)) + \cos^{2} (x))}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$

Schritt 13.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 \cos (x) (1 (- \sin (x))) + 2 \cos (x) (- \sin (x) (- \sin (x))) + 2 \cos (x) \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$

Schritt 13.3

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.3.1

Stelle $2 \cos (x)$ und $1 (- \sin (x))$ um.

$\frac{1 (- \sin (x)) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (- \sin (x) (- \sin (x))) + 2 \cos (x) \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$

Schritt 13.3.2

Versetze die Klammern.

$\frac{1 (- \sin (x) (2 \cos (x))) + 2 \cos (x) (- \sin (x) (- \sin (x))) + 2 \cos (x) \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$

Schritt 13.3.3

Füge Klammern hinzu.

$\frac{1 (- (\sin (x) (2 \cos (x)))) + 2 \cos (x) (- \sin (x) (- \sin (x))) + 2 \cos (x) \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$

Schritt 13.3.4

Stelle $\sin (x)$ und $2$ um.

$\frac{1 (- (2 \cdot \sin (x) \cos (x))) + 2 \cos (x) (- \sin (x) (- \sin (x))) + 2 \cos (x) \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$

Schritt 13.3.5

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$\frac{1 (- \sin (2 x)) + 2 \cos (x) (- \sin (x) (- \sin (x))) + 2 \cos (x) \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$

Schritt 13.3.6

Mutltipliziere $- \sin (2 x)$ mit $1$ .

$\frac{- \sin (2 x) + 2 \cos (x) (- \sin (x) (- \sin (x))) + 2 \cos (x) \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$

Schritt 13.3.7

Versetze die Klammern.

$\frac{- \sin (2 x) + 2 \cos (x) (- \sin (x)) (- \sin (x)) + 2 \cos (x) \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$

Schritt 13.3.8

Stelle $2 \cos (x)$ und $- \sin (x)$ um.

$\frac{- \sin (2 x) - \sin (x) (2 \cos (x)) (- \sin (x)) + 2 \cos (x) \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$

Schritt 13.3.9

Füge Klammern hinzu.

$\frac{- \sin (2 x) - (\sin (x) (2 \cos (x))) (- \sin (x)) + 2 \cos (x) \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$

Schritt 13.3.10

Stelle $\sin (x)$ und $2$ um.

$\frac{- \sin (2 x) - (2 \cdot \sin (x) \cos (x)) (- \sin (x)) + 2 \cos (x) \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$

Schritt 13.3.11

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$\frac{- \sin (2 x) - \sin (2 x) (- \sin (x)) + 2 \cos (x) \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$

Schritt 13.3.12

Multipliziere $- \sin (2 x) (- \sin (x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.3.12.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{- \sin (2 x) + 1 \sin (2 x) \sin (x) + 2 \cos (x) \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$

Schritt 13.3.12.2

Mutltipliziere $\sin (2 x)$ mit $1$ .

$\frac{- \sin (2 x) + \sin (2 x) \sin (x) + 2 \cos (x) \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$

Schritt 13.3.13

Multipliziere $\cos (x)$ mit $\cos^{2} (x)$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.3.13.1

Bewege $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{- \sin (2 x) + \sin (2 x) \sin (x) + 2 (\cos^{2} (x) \cos (x))}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$

Schritt 13.3.13.2

Mutltipliziere $\cos^{2} (x)$ mit $\cos (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.3.13.2.1

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{- \sin (2 x) + \sin (2 x) \sin (x) + 2 (\cos^{2} (x) \cos^{1} (x))}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$

Schritt 13.3.13.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- \sin (2 x) + \sin (2 x) \sin (x) + 2 {\cos (x)}^{2 + 1}}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$

Schritt 13.3.13.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{- \sin (2 x) + \sin (2 x) \sin (x) + 2 \cos^{3} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$

Schritt 13.4

Stelle die Terme um.

$\frac{\sin (x) \sin (2 x) - \sin (2 x) + 2 \cos^{3} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$