Analysis Beispiele

$f (x) = x \sqrt{x - x^{2}}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x - x^{2}}$ als ${(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [x {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}] + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x - x^{2}$ .

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Schritt 1.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - x^{2}$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - x^{2}]) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - x^{2}]) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x - x^{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - x^{2}]) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x - x^{2}]) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - x^{2}]) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x (\frac{1}{2} {(x - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - x^{2}]) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(x - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - x^{2}]) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(x - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x - x^{2}]) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.8.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x (\frac{1}{2} {(x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - x^{2}]) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.8.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x - x^{2}]) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.8.3

Bringe ${(x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - x^{2}]) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.8.4

Kombiniere $\frac{1}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - x^{2}] + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.9

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.11

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 - \frac{d}{d x} [x^{2}]) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 - (2 x)) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.13

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 - 2 x) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.14

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 - 2 x) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Schritt 1.15

Mutltipliziere ${(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 - 2 x) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.16

Vereinfache.

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Schritt 1.16.1

Stelle die Terme um.

$(1 - 2 x) \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.16.2

Mutltipliziere $1 - 2 x$ mit $\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{(1 - 2 x) x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.16.3

Um ${(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{(1 - 2 x) x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.16.4

Kombiniere ${(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{(1 - 2 x) x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.16.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(1 - 2 x) x + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.16.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.16.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 x - 2 x \cdot x + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.16.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x - 2 x \cdot x + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.16.6.3

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.16.6.3.1

Bewege $x$ .

$\frac{x - 2 (x \cdot x) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.16.6.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x - 2 x^{2} + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.16.6.4

Multipliziere ${(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.16.6.4.1

Bewege ${(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x - 2 x^{2} + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.16.6.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x - 2 x^{2} + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.16.6.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x - 2 x^{2} + {(x - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.16.6.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{x - 2 x^{2} + {(x - x^{2})}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.16.6.4.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{x - 2 x^{2} + {(x - x^{2})}^{1} \cdot 2}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.16.6.5

Vereinfache ${(x - x^{2})}^{1} \cdot 2$ .

$\frac{x - 2 x^{2} + (x - x^{2}) \cdot 2}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.16.6.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x - 2 x^{2} + x \cdot 2 - x^{2} \cdot 2}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.16.6.7

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{x - 2 x^{2} + 2 \cdot x - x^{2} \cdot 2}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.16.6.8

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{x - 2 x^{2} + 2 \cdot x - 2 x^{2}}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.16.6.9

Addiere $x$ und $2 x$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 3 x - 2 x^{2}}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.16.6.10

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $- 2 x^{2}$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.16.6.11

Faktorisiere $x$ aus $- 4 x^{2} + 3 x$ heraus.

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Schritt 1.16.6.11.1

Faktorisiere $x$ aus $- 4 x^{2}$ heraus.

$\frac{x (- 4 x) + 3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.16.6.11.2

Faktorisiere $x$ aus $3 x$ heraus.

$\frac{x (- 4 x) + x \cdot 3}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.16.6.11.3

Faktorisiere $x$ aus $x (- 4 x) + x \cdot 3$ heraus.

$\frac{x (- 4 x + 3)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.16.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 4 x$ heraus.

$\frac{x (- (4 x) + 3)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.16.8

Schreibe $3$ als $- 1 (- 3)$ um.

$\frac{x (- (4 x) - 1 (- 3))}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.16.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- (4 x) - 1 (- 3)$ heraus.

$\frac{x (- (4 x - 3))}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.16.10

Schreibe $- (4 x - 3)$ als $- 1 (4 x - 3)$ um.

$\frac{x (- 1 (4 x - 3))}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.16.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x (4 x - 3)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Da $- \frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{x (4 x - 3)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x (4 x - 3)}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} \frac{x (4 x - 3)}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x (4 x - 3)$ und $g (x) = {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x (4 x - 3)) - x (4 x - 3) \frac{d}{d x} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x (4 x - 3)) - x (4 x - 3) \frac{d}{d x} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x (4 x - 3)) - x (4 x - 3) \frac{d}{d x} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x (4 x - 3)) - x (4 x - 3) \frac{d}{d x} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{x - x^{2}}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x (4 x - 3)) - x (4 x - 3) \frac{d}{d x} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{x - x^{2}}$

Schritt 2.5

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (x \frac{d}{d x} (4 x - 3) + (4 x - 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (4 x - 3) \frac{d}{d x} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{x - x^{2}}$

Schritt 2.6

Differenziere.

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Schritt 2.6.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (x (\frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (- 3)) + (4 x - 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (4 x - 3) \frac{d}{d x} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{x - x^{2}}$

Schritt 2.6.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (x (4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3)) + (4 x - 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (4 x - 3) \frac{d}{d x} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{x - x^{2}}$

Schritt 2.6.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (x (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 3)) + (4 x - 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (4 x - 3) \frac{d}{d x} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{x - x^{2}}$

Schritt 2.6.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (x (4 + \frac{d}{d x} (- 3)) + (4 x - 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (4 x - 3) \frac{d}{d x} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{x - x^{2}}$

Schritt 2.6.5

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (x (4 + 0) + (4 x - 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (4 x - 3) \frac{d}{d x} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{x - x^{2}}$

Schritt 2.6.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.6.6.1

Addiere $4$ und $0$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (x \cdot 4 + (4 x - 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (4 x - 3) \frac{d}{d x} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{x - x^{2}}$

Schritt 2.6.6.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (4 \cdot x + (4 x - 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (4 x - 3) \frac{d}{d x} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{x - x^{2}}$

Schritt 2.6.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (4 x + (4 x - 3) \cdot 1) - x (4 x - 3) \frac{d}{d x} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{x - x^{2}}$

Schritt 2.6.8

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.6.8.1

Mutltipliziere $4 x - 3$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (4 x + 4 x - 3) - x (4 x - 3) \frac{d}{d x} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{x - x^{2}}$

Schritt 2.6.8.2

Addiere $4 x$ und $4 x$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - x (4 x - 3) \frac{d}{d x} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{x - x^{2}}$

Schritt 2.7

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x - x^{2}$ .

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Schritt 2.7.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - x (4 x - 3) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x - x^{2}))}{x - x^{2}}$

Schritt 2.7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - x (4 x - 3) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x - x^{2}))}{x - x^{2}}$

Schritt 2.7.3

Ersetze alle $u$ durch $x - x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - x (4 x - 3) (\frac{1}{2} \cdot {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x - x^{2}))}{x - x^{2}}$

Schritt 2.8

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - x (4 x - 3) (\frac{1}{2} \cdot {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x - x^{2}))}{x - x^{2}}$

Schritt 2.9

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - x (4 x - 3) (\frac{1}{2} \cdot {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x - x^{2}))}{x - x^{2}}$

Schritt 2.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - x (4 x - 3) (\frac{1}{2} \cdot {(x - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x - x^{2}))}{x - x^{2}}$

Schritt 2.11

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.11.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - x (4 x - 3) (\frac{1}{2} \cdot {(x - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x - x^{2}))}{x - x^{2}}$

Schritt 2.11.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - x (4 x - 3) (\frac{1}{2} \cdot {(x - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x - x^{2}))}{x - x^{2}}$

Schritt 2.12

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.12.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - x (4 x - 3) (\frac{1}{2} \cdot {(x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - x^{2}))}{x - x^{2}}$

Schritt 2.12.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - x (4 x - 3) (\frac{{(x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x - x^{2}))}{x - x^{2}}$

Schritt 2.12.3

Bringe ${(x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - x (4 x - 3) (\frac{1}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x - x^{2}))}{x - x^{2}}$

Schritt 2.12.4

Kombiniere $\frac{1}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (4 x - 3) \frac{d}{d x} (x - x^{2})}{x - x^{2}}$

Schritt 2.13

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot ((4 x - 3) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- x^{2})))}{x - x^{2}}$

Schritt 2.14

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot ((4 x - 3) (1 + \frac{d}{d x} (- x^{2})))}{x - x^{2}}$

Schritt 2.15

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot ((4 x - 3) (1 - \frac{d}{d x} x^{2}))}{x - x^{2}}$

Schritt 2.16

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot ((4 x - 3) (1 - (2 x)))}{x - x^{2}}$

Schritt 2.17

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.17.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot ((4 x - 3) (1 - 2 x))}{x - x^{2}}$

Schritt 2.17.2

Mutltipliziere $\frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (4 x - 3) (1 - 2 x)}{x - x^{2}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot ((4 x - 3) (1 - 2 x))}{(x - x^{2}) \cdot 2}$

Schritt 2.17.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x - x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot ((4 x - 3) (1 - 2 x))}{2 \cdot (x - x^{2})}$

Schritt 2.18

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.18.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot ((4 x - 3) (1 - 2 x))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.18.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot - 3 - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot ((4 x - 3) (1 - 2 x))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot - 3 - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot ((4 x - 3) (1 - 2 x))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.3

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von ${(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 \cdot {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot ((4 x - 3) (1 - 2 x))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + (- \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (4 x) - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 3) (1 - 2 x)}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.18.2.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ in den Zähler.

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + (\frac{- x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (4 x) - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 3) (1 - 2 x)}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.5.2

Faktorisiere $2$ aus $2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + (\frac{- x}{2 ({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} \cdot (4 x) - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 3) (1 - 2 x)}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.5.3

Faktorisiere $2$ aus $4 x$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + (\frac{- x}{2 ({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} \cdot (2 (2 x)) - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 3) (1 - 2 x)}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + (\frac{- x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 (2 x)) - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 3) (1 - 2 x)}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.5.5

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + (\frac{- x}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x) - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 3) (1 - 2 x)}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.6

Kombiniere $2$ und $\frac{- x}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + (\frac{2 (- x)}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 3) (1 - 2 x)}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + (\frac{- 2 x}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 3) (1 - 2 x)}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.8

Kombiniere $\frac{- 2 x}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + (\frac{- 2 x \cdot x}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 3) (1 - 2 x)}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.9

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + (\frac{- 2 (x \cdot x)}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 3) (1 - 2 x)}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.10

Potenziere $x$ mit $1$ .

Schritt 2.18.2.11

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + (\frac{- 2 x^{1 + 1}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 3) (1 - 2 x)}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.12

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + (\frac{- 2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 3) (1 - 2 x)}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.13

Multipliziere $- \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 3$ .

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Schritt 2.18.2.13.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + (\frac{- 2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 3 (\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})) (1 - 2 x)}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.13.2

Kombiniere $3$ und $\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + (\frac{- 2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) (1 - 2 x)}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + (- \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) (1 - 2 x)}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.15

Multipliziere $(- \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) (1 - 2 x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.18.2.15.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 - 2 x) + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 - 2 x)}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.15.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x) + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 - 2 x)}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.15.3

Wende das Distributivgesetz an.

Schritt 2.18.2.16

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.18.2.16.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.18.2.16.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x) + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x)}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.16.1.2

Multipliziere $- \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x)$ .

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Schritt 2.18.2.16.1.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) \cdot x + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x)}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.16.1.2.2

Kombiniere $2$ und $\frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (2 x^{2})}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x)}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.16.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x)}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.16.1.2.4

Kombiniere $\frac{4 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 x^{2} x}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x)}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.16.1.2.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 (x \cdot x^{2})}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x)}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.16.1.2.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 x^{1 + 2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x)}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.16.1.2.7

Addiere $1$ und $2$ .

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 x^{3}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x)}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.16.1.3

Mutltipliziere $\frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 x^{3}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x)}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.16.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 x^{3}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.16.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.18.2.16.1.5.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 x^{3}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot (- 1 \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) \cdot x}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.16.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 x^{3}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot (- 1 \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) \cdot x}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.16.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 x^{3}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 x}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.16.1.6

Multipliziere $- \frac{3 x}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.18.2.16.1.6.1

Kombiniere $x$ und $\frac{3 x}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 x^{3}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x (3 x)}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.16.1.6.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 x^{3}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 (x \cdot x)}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.16.1.6.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 x^{3}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 (x \cdot x)}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.16.1.6.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 x^{3}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 x^{1 + 1}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.16.1.6.5

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 x^{3}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.16.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{4 x^{3}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 2 x^{2} - 3 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.17

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{4 x^{3} - 2 x^{2} - 3 x^{2}}{{(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.18

Subtrahiere $3 x^{2}$ von $- 2 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{4 x^{3} - 5 x^{2}}{{(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.19

Faktorisiere $x^{2}$ aus $4 x^{3} - 5 x^{2}$ heraus.

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Schritt 2.18.2.19.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{2} (4 x) - 5 x^{2}}{{(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.19.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 5 x^{2}$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 5}{{(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.19.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 5$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{2} (4 x - 5)}{{(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.20

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{2} (4 x - 5)}{{(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.21

Um $\frac{x^{2} (4 x - 5)}{{(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{2} (4 x - 5)}{{(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 x}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.22

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.18.2.22.1

Mutltipliziere $\frac{x^{2} (4 x - 5)}{{(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{2} (4 x - 5) \cdot 2}{{(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2} + \frac{3 x}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.22.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{2} (4 x - 5) \cdot 2}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.23

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{2} (4 x - 5) \cdot 2 + 3 x}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.24

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.18.2.24.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} (4 x - 5) \cdot 2 + 3 x$ heraus.

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Schritt 2.18.2.24.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} (4 x - 5) \cdot 2$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x ((x (4 x - 5)) \cdot 2) + 3 x}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.24.1.2

Faktorisiere $x$ aus $3 x$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x ((x (4 x - 5)) \cdot 2) + x \cdot 3}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.24.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x ((x (4 x - 5)) \cdot 2) + x \cdot 3$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x ((x (4 x - 5)) \cdot 2 + 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.24.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x ((x (4 x) + x \cdot - 5) \cdot 2 + 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.24.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x ((4 x \cdot x + x \cdot - 5) \cdot 2 + 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.24.4

Bringe $- 5$ auf die linke Seite von $x$ .

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x ((4 x \cdot x - 5 \cdot x) \cdot 2 + 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.24.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.18.2.24.5.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x ((4 (x \cdot x) - 5 \cdot x) \cdot 2 + 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.24.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x ((4 x^{2} - 5 \cdot x) \cdot 2 + 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x ((4 x^{2} - 5 x) \cdot 2 + 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.24.6

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x (4 x^{2} \cdot 2 - 5 x \cdot 2 + 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.24.7

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x (8 x^{2} - 5 x \cdot 2 + 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.24.8

Mutltipliziere $2$ mit $- 5$ .

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x (8 x^{2} - 10 x + 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.24.9

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.18.2.24.9.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 8 \cdot 3 = 24$ und deren Summe gleich $b = - 10$ ist.

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Schritt 2.18.2.24.9.1.1

Faktorisiere $- 10$ aus $- 10 x$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x (8 x^{2} - 10 x + 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.24.9.1.2

Schreibe $- 10$ um als $- 4$ plus $- 6$

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x (8 x^{2} + (- 4 - 6) x + 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.24.9.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x (8 x^{2} - 4 x - 6 x + 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.24.9.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.18.2.24.9.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x ((8 x^{2} - 4 x) - 6 x + 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.24.9.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x (4 x (2 x - 1) - 3 (2 x - 1))}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.24.9.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x - 1$ .

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x ((2 x - 1) (4 x - 3))}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x (2 x - 1) (4 x - 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.25

Um $8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x \cdot \frac{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x (2 x - 1) (4 x - 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.26

Kombiniere $8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x$ und $\frac{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x (2 x - 1) (4 x - 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.27

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = - \frac{\frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}) + x (2 x - 1) (4 x - 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.28

Um $- 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}) + x (2 x - 1) (4 x - 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.29

Kombiniere $- 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}) + x (2 x - 1) (4 x - 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.30

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = - \frac{\frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}) + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.31

Schreibe $\frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}) + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 2.18.2.31.1

Multipliziere $8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})$ .

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Schritt 2.18.2.31.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{16 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.31.1.2

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = - \frac{\frac{16 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.31.1.3

Multipliziere ${(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.18.2.31.1.3.1

Bewege ${(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{16 ({(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}) x + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.31.1.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - \frac{\frac{16 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} x + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.31.1.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = - \frac{\frac{16 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1 + 1}{2}} x + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.31.1.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{16 {(- x^{2} + x)}^{\frac{2}{2}} x + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.31.1.3.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{16 (- x^{2} + x) x + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.31.1.4

Vereinfache $16 {(- x^{2} + x)}^{1} x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{16 (- x^{2} + x) x + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.31.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{\frac{(16 (- x^{2}) + 16 x) x + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.31.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{(- 16 x^{2} + 16 x) x + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.31.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 16 x^{2} x + 16 x \cdot x + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.31.5

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.18.2.31.5.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 16 (x \cdot x^{2}) + 16 x \cdot x + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.31.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.18.2.31.5.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

Schritt 2.18.2.31.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 16 x^{1 + 2} + 16 x \cdot x + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.31.5.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 16 x^{3} + 16 x \cdot x + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.31.6

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.18.2.31.6.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 16 x^{3} + 16 (x \cdot x) + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.31.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.31.7

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + (x (2 x) + x \cdot - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.31.8

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + (2 x \cdot x + x \cdot - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.31.9

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + (2 x \cdot x - 1 \cdot x) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.31.10

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.18.2.31.10.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.18.2.31.10.1.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + (2 (x \cdot x) - 1 \cdot x) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.31.10.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + (2 x^{2} - 1 \cdot x) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.31.10.2

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + (2 x^{2} - x) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.31.11

Multipliziere $(2 x^{2} - x) (4 x - 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.18.2.31.11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 2 x^{2} (4 x - 3) - x (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.31.11.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 2 x^{2} (4 x) + 2 x^{2} \cdot - 3 - x (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.31.11.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 2 x^{2} (4 x) + 2 x^{2} \cdot - 3 - x (4 x) - x \cdot - 3 - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.31.12

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.18.2.31.12.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.18.2.31.12.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 2 \cdot (4 x^{2} x) + 2 x^{2} \cdot - 3 - x (4 x) - x \cdot - 3 - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.31.12.1.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.18.2.31.12.1.2.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 2 \cdot (4 (x \cdot x^{2})) + 2 x^{2} \cdot - 3 - x (4 x) - x \cdot - 3 - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.31.12.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.18.2.31.12.1.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

Schritt 2.18.2.31.12.1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 2 \cdot (4 x^{1 + 2}) + 2 x^{2} \cdot - 3 - x (4 x) - x \cdot - 3 - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.31.12.1.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 2 \cdot (4 x^{3}) + 2 x^{2} \cdot - 3 - x (4 x) - x \cdot - 3 - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.31.12.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} + 2 x^{2} \cdot - 3 - x (4 x) - x \cdot - 3 - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.31.12.1.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 6 x^{2} - x (4 x) - x \cdot - 3 - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.31.12.1.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 6 x^{2} - 1 \cdot (4 x \cdot x) - x \cdot - 3 - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.31.12.1.6

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.18.2.31.12.1.6.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 6 x^{2} - 1 \cdot (4 (x \cdot x)) - x \cdot - 3 - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.31.12.1.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 6 x^{2} - 1 \cdot (4 x^{2}) - x \cdot - 3 - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.31.12.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x^{2} - x \cdot - 3 - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.31.12.1.8

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x^{2} + 3 x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.31.12.2

Subtrahiere $4 x^{2}$ von $- 6 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 10 x^{2} + 3 x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.31.13

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 10 x^{2} + 3 x - 3 \cdot (2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.31.14

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 10 x^{2} + 3 x - 6 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.31.15

Multipliziere $- 6 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.18.2.31.15.1

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 10 x^{2} + 3 x - 6 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.31.15.2

Multipliziere ${(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.18.2.31.15.2.1

Bewege ${(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 10 x^{2} + 3 x - 6 ({(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.31.15.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 10 x^{2} + 3 x - 6 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.31.15.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 10 x^{2} + 3 x - 6 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.31.15.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 10 x^{2} + 3 x - 6 {(- x^{2} + x)}^{\frac{2}{2}}}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.31.15.2.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 10 x^{2} + 3 x - 6 (- x^{2} + x)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.31.15.3

Vereinfache $- 6 {(- x^{2} + x)}^{1}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 10 x^{2} + 3 x - 6 (- x^{2} + x)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.31.16

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 10 x^{2} + 3 x - 6 (- x^{2}) - 6 x}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.31.17

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 6$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 10 x^{2} + 3 x + 6 x^{2} - 6 x}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.31.18

Addiere $- 16 x^{3}$ und $8 x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 8 x^{3} + 16 x^{2} - 10 x^{2} + 3 x + 6 x^{2} - 6 x}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.31.19

Subtrahiere $10 x^{2}$ von $16 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 8 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x + 6 x^{2} - 6 x}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.31.20

Addiere $6 x^{2}$ und $6 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 8 x^{3} + 12 x^{2} + 3 x - 6 x}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.31.21

Subtrahiere $6 x$ von $3 x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 8 x^{3} + 12 x^{2} - 3 x}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.31.22

Faktorisiere $x$ aus $- 8 x^{3} + 12 x^{2} - 3 x$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.18.2.31.22.1

Faktorisiere $x$ aus $- 8 x^{3}$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{\frac{x (- 8 x^{2}) + 12 x^{2} - 3 x}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.31.22.2

Faktorisiere $x$ aus $12 x^{2}$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{\frac{x (- 8 x^{2}) + x (12 x) - 3 x}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.31.22.3

Faktorisiere $x$ aus $- 3 x$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{\frac{x (- 8 x^{2}) + x (12 x) + x \cdot - 3}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.31.22.4

Faktorisiere $x$ aus $x (- 8 x^{2}) + x (12 x)$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{\frac{x (- 8 x^{2} + 12 x) + x \cdot - 3}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.2.31.22.5

Faktorisiere $x$ aus $x (- 8 x^{2} + 12 x) + x \cdot - 3$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{\frac{x (- 8 x^{2} + 12 x - 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Schritt 2.18.3

Vereine die Terme

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Schritt 2.18.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{x (- 8 x^{2} + 12 x - 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 2 x^{2}}$

Schritt 2.18.3.2

Schreibe $\frac{\frac{x (- 8 x^{2} + 12 x - 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 2 x^{2}}$ als ein Produkt um.

$f'' (x) = - (\frac{x (- 8 x^{2} + 12 x - 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x - 2 x^{2}})$

Schritt 2.18.3.3

Mutltipliziere $\frac{x (- 8 x^{2} + 12 x - 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{1}{2 x - 2 x^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{x (- 8 x^{2} + 12 x - 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 2 x^{2})}$

Schritt 2.18.4

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.18.4.1

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x - 2 x^{2}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.18.4.1.1

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{x (- 8 x^{2} + 12 x - 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} (2 x (1) - 2 x^{2})}$

Schritt 2.18.4.1.2

Faktorisiere $2 x$ aus $- 2 x^{2}$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{x (- 8 x^{2} + 12 x - 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} (2 x (1) + 2 x (- x))}$

Schritt 2.18.4.1.3

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (1) + 2 x (- x)$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{x (- 8 x^{2} + 12 x - 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} (2 x (1 - x))}$

$f'' (x) = - \frac{x (- 8 x^{2} + 12 x - 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} \cdot (2 x (1 - x))}$

Schritt 2.18.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = - \frac{x (- 8 x^{2} + 12 x - 3)}{4 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} x (1 - x)}$

Schritt 2.18.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = - \frac{x (- 8 x^{2} + 12 x - 3)}{4 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} x (1 - x)}$

Schritt 2.18.6

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 12 x - 3}{4 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} (1 - x)}$

Schritt 2.18.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 8 x^{2}$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{- (8 x^{2}) + 12 x - 3}{4 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} (1 - x)}$

Schritt 2.18.8

Faktorisiere $- 1$ aus $12 x$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{- (8 x^{2}) - (- 12 x) - 3}{4 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} (1 - x)}$

Schritt 2.18.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- (8 x^{2}) - (- 12 x)$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{- (8 x^{2} - 12 x) - 3}{4 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} (1 - x)}$

Schritt 2.18.10

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$f'' (x) = - \frac{- (8 x^{2} - 12 x) - 1 \cdot 3}{4 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} (1 - x)}$

Schritt 2.18.11

Faktorisiere $- 1$ aus $- (8 x^{2} - 12 x) - 1 (3)$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{- (8 x^{2} - 12 x + 3)}{4 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} (1 - x)}$

Schritt 2.18.12

Schreibe $- (8 x^{2} - 12 x + 3)$ als $- 1 (8 x^{2} - 12 x + 3)$ um.

$f'' (x) = - \frac{- 1 (8 x^{2} - 12 x + 3)}{4 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} (1 - x)}$

Schritt 2.18.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 12 x + 3}{4 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} (1 - x)}$

Schritt 2.18.14

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{8 x^{2} - 12 x + 3}{4 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} (1 - x)})$

Schritt 2.18.15

Mutltipliziere $\frac{8 x^{2} - 12 x + 3}{4 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} (1 - x)}$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 12 x + 3}{4 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} (1 - x)}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- \frac{x (4 x - 3)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x - x^{2}}$ als ${(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 4.1.2

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x - x^{2}$ .

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Schritt 4.1.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - x^{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x - x^{2})) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 4.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x - x^{2})) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 4.1.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x - x^{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x - x^{2})) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 4.1.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x - x^{2})) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 4.1.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x - x^{2})) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 4.1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x - x^{2})) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 4.1.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x - x^{2})) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 4.1.7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x - x^{2})) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 4.1.8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.1.8.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - x^{2})) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 4.1.8.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x (\frac{{(x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x - x^{2})) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 4.1.8.3

Bringe ${(x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x - x^{2})) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 4.1.8.4

Kombiniere $\frac{1}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x - x^{2}) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 4.1.9

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 4.1.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 4.1.11

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 - \frac{d}{d x} x^{2}) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 4.1.12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 - (2 x)) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 4.1.13

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 - 2 x) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 4.1.14

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 - 2 x) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Schritt 4.1.15

Mutltipliziere ${(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 - 2 x) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 4.1.16

Vereinfache.

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Schritt 4.1.16.1

Stelle die Terme um.

$f' (x) = (1 - 2 x) (\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 4.1.16.2

Mutltipliziere $1 - 2 x$ mit $\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{(1 - 2 x) x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 4.1.16.3

Um ${(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{(1 - 2 x) x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.16.4

Kombiniere ${(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{(1 - 2 x) x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.16.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = \frac{(1 - 2 x) x + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.16.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.16.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{1 x - 2 x \cdot x + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot (2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.16.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{x - 2 x \cdot x + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot (2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.16.6.3

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.16.6.3.1

Bewege $x$ .

$f' (x) = \frac{x - 2 (x \cdot x) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot (2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.16.6.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f' (x) = \frac{x - 2 x^{2} + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot (2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.16.6.4

Multipliziere ${(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.16.6.4.1

Bewege ${(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{x - 2 x^{2} + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.16.6.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = \frac{x - 2 x^{2} + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.16.6.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = \frac{x - 2 x^{2} + {(x - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.16.6.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$f' (x) = \frac{x - 2 x^{2} + {(x - x^{2})}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.16.6.4.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$f' (x) = \frac{x - 2 x^{2} + (x - x^{2}) \cdot 2}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.16.6.5

Vereinfache ${(x - x^{2})}^{1} \cdot 2$ .

$f' (x) = \frac{x - 2 x^{2} + (x - x^{2}) \cdot 2}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.16.6.6

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{x - 2 x^{2} + x \cdot 2 - x^{2} \cdot 2}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.16.6.7

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$f' (x) = \frac{x - 2 x^{2} + 2 \cdot x - x^{2} \cdot 2}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.16.6.8

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x - 2 x^{2} + 2 \cdot x - 2 x^{2}}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.16.6.9

Addiere $x$ und $2 x$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 3 x - 2 x^{2}}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.16.6.10

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $- 2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- 4 x^{2} + 3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.16.6.11

Faktorisiere $x$ aus $- 4 x^{2} + 3 x$ heraus.

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Schritt 4.1.16.6.11.1

Faktorisiere $x$ aus $- 4 x^{2}$ heraus.

$f' (x) = \frac{x (- 4 x) + 3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.16.6.11.2

Faktorisiere $x$ aus $3 x$ heraus.

$f' (x) = \frac{x (- 4 x) + x \cdot 3}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.16.6.11.3

Faktorisiere $x$ aus $x (- 4 x) + x \cdot 3$ heraus.

$f' (x) = \frac{x (- 4 x + 3)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.16.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 4 x$ heraus.

$f' (x) = \frac{x (- (4 x) + 3)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.16.8

Schreibe $3$ als $- 1 (- 3)$ um.

$f' (x) = \frac{x (- (4 x) - 1 \cdot - 3)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.16.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- (4 x) - 1 (- 3)$ heraus.

$f' (x) = \frac{x (- (4 x - 3))}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.16.10

Schreibe $- (4 x - 3)$ als $- 1 (4 x - 3)$ um.

$f' (x) = \frac{x (- 1 (4 x - 3))}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.16.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{x (4 x - 3)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{x (4 x - 3)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x (4 x - 3)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{x (4 x - 3)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{x (4 x - 3)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 5.2

Setze den Zähler gleich Null.

$x (4 x - 3) = 0$

Schritt 5.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$4 x - 3 = 0$

Schritt 5.3.2

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 5.3.3

Setze $4 x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.3.1

Setze $4 x - 3$ gleich $0$ .

$4 x - 3 = 0$

Schritt 5.3.3.2

Löse $4 x - 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.3.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = 3$

Schritt 5.3.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 3$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 3$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

Schritt 5.3.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.3.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

Schritt 5.3.3.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{3}{4}$

Schritt 5.3.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (4 x - 3) = 0$ wahr machen.

$x = 0, \frac{3}{4}$

Schritt 5.4

Schließe die Lösungen aus, die $- \frac{x (4 x - 3)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$ nicht erfüllen.

$x = \frac{3}{4}$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

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Schritt 6.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$- \frac{x (4 x - 3)}{2 \sqrt{{(x - x^{2})}^{1}}}$

Schritt 6.1.2

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$- \frac{x (4 x - 3)}{2 \sqrt{x - x^{2}}}$

Schritt 6.2

Setze den Nenner in $\frac{x (4 x - 3)}{2 \sqrt{x - x^{2}}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 \sqrt{x - x^{2}} = 0$

Schritt 6.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(2 \sqrt{x - x^{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 6.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x - x^{2}}$ als ${(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.2.1

Vereinfache ${(2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.3.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ an.

$2^{2} {({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$4 {({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.3.2.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.2.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$4 {(x - x^{2})}^{1} = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2.1.4

Vereinfache.

$4 (x - x^{2}) = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x + 4 (- x^{2}) = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$4 x - 4 x^{2} = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$4 x - 4 x^{2} = 0$

Schritt 6.3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.3.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 6.3.3.1.1

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$4 u - 4 u^{2} = 0$

Schritt 6.3.3.1.2

Faktorisiere $4 u$ aus $4 u - 4 u^{2}$ heraus.

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Schritt 6.3.3.1.2.1

Faktorisiere $4 u$ aus $4 u$ heraus.

$4 u (1) - 4 u^{2} = 0$

Schritt 6.3.3.1.2.2

Faktorisiere $4 u$ aus $- 4 u^{2}$ heraus.

$4 u (1) + 4 u (- u) = 0$

Schritt 6.3.3.1.2.3

Faktorisiere $4 u$ aus $4 u (1) + 4 u (- u)$ heraus.

$4 u (1 - u) = 0$

Schritt 6.3.3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$4 x (1 - x) = 0$

Schritt 6.3.3.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$1 - x = 0$

Schritt 6.3.3.3

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 6.3.3.4

Setze $1 - x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.3.4.1

Setze $1 - x$ gleich $0$ .

$1 - x = 0$

Schritt 6.3.3.4.2

Löse $1 - x = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.3.4.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 1$

Schritt 6.3.3.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.3.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 6.3.3.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.3.4.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 6.3.3.4.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 6.3.3.4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.3.4.2.2.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$x = 1$

Schritt 6.3.3.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $4 x (1 - x) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 1$

Schritt 6.4

Setze den Radikanden in $\sqrt{x - x^{2}}$ kleiner als $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x - x^{2} < 0$

Schritt 6.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.5.1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$x - x^{2} = 0$

Schritt 6.5.2

Faktorisiere $x$ aus $x - x^{2}$ heraus.

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Schritt 6.5.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$x \cdot 1 - x^{2} = 0$

Schritt 6.5.2.2

Faktorisiere $x$ aus $- x^{2}$ heraus.

$x \cdot 1 + x (- x) = 0$

Schritt 6.5.2.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot 1 + x (- x)$ heraus.

$x (1 - x) = 0$

Schritt 6.5.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$1 - x = 0$

Schritt 6.5.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 6.5.5

Setze $1 - x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.5.5.1

Setze $1 - x$ gleich $0$ .

$1 - x = 0$

Schritt 6.5.5.2

Löse $1 - x = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.5.5.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 1$

Schritt 6.5.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 6.5.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 6.5.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.5.5.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 6.5.5.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 6.5.5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.5.5.2.2.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$x = 1$

Schritt 6.5.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (1 - x) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 1$

Schritt 6.5.7

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

Schritt 6.5.8

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 6.5.8.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.5.8.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2$

Schritt 6.5.8.1.2

Ersetze $x$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(- 2) - {(- 2)}^{2} < 0$

Schritt 6.5.8.1.3

Die linke Seite $- 6$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 6.5.8.2

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.5.8.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0.5$

Schritt 6.5.8.2.2

Ersetze $x$ durch $0.5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(0.5) - {(0.5)}^{2} < 0$

Schritt 6.5.8.2.3

Die linke Seite $0.25$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 6.5.8.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.5.8.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 6.5.8.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(4) - {(4)}^{2} < 0$

Schritt 6.5.8.3.3

Die linke Seite $- 12$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 6.5.8.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 0$ Wahr

$0 < x < 1$ Falsch

$x > 1$ Wahr

$x < 0$ Wahr

$0 < x < 1$ Falsch

$x > 1$ Wahr

Schritt 6.5.9

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < 0$ oder $x > 1$

Schritt 6.6

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x \leq 0, x \geq 1$

$(- \infty, 0] \cup [1, \infty)$

$x \leq 0, x \geq 1$

$(- \infty, 0] \cup [1, \infty)$

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = \frac{3}{4}, 0, 1$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{3}{4}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{8 {(\frac{3}{4})}^{2} - 12 (\frac{3}{4}) + 3}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - (\frac{3}{4}))}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Entferne die Klammern.

$\frac{8 {(\frac{3}{4})}^{2} - 12 (\frac{3}{4}) + 3}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - (\frac{3}{4}))}$

Schritt 9.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{4}$ an.

$\frac{8 \frac{3^{2}}{4^{2}} - 12 (\frac{3}{4}) + 3}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

Schritt 9.2.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{8 \frac{9}{4^{2}} - 12 (\frac{3}{4}) + 3}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

Schritt 9.2.3

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\frac{8 (\frac{9}{16}) - 12 (\frac{3}{4}) + 3}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

Schritt 9.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 9.2.4.1

Faktorisiere $8$ aus $16$ heraus.

$\frac{8 \frac{9}{8 (2)} - 12 (\frac{3}{4}) + 3}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

Schritt 9.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 \frac{9}{8 \cdot 2} - 12 (\frac{3}{4}) + 3}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

Schritt 9.2.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{9}{2} - 12 (\frac{3}{4}) + 3}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

Schritt 9.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 9.2.5.1

Faktorisiere $4$ aus $- 12$ heraus.

$\frac{\frac{9}{2} + 4 (- 3) \frac{3}{4} + 3}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

Schritt 9.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{9}{2} + 4 \cdot - 3 \frac{3}{4} + 3}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

Schritt 9.2.5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{9}{2} - 3 \cdot 3 + 3}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

Schritt 9.2.6

Mutltipliziere $- 3$ mit $3$ .

$\frac{\frac{9}{2} - 9 + 3}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

Schritt 9.2.7

Um $- 9$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{9}{2} - 9 \cdot \frac{2}{2} + 3}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

Schritt 9.2.8

Kombiniere $- 9$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{9}{2} + \frac{- 9 \cdot 2}{2} + 3}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

Schritt 9.2.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{9 - 9 \cdot 2}{2} + 3}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

Schritt 9.2.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.2.10.1

Mutltipliziere $- 9$ mit $2$ .

$\frac{\frac{9 - 18}{2} + 3}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

Schritt 9.2.10.2

Subtrahiere $18$ von $9$ .

$\frac{\frac{- 9}{2} + 3}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

Schritt 9.2.11

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{- 9}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

Schritt 9.2.12

Kombiniere $3$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{- 9}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

Schritt 9.2.13

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{- 9 + 3 \cdot 2}{2}}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

Schritt 9.2.14

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.2.14.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{\frac{- 9 + 6}{2}}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

Schritt 9.2.14.2

Addiere $- 9$ und $6$ .

$\frac{\frac{- 3}{2}}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

Schritt 9.2.15

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{- \frac{3}{2}}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

Schritt 9.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.3.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- \frac{3}{2}}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (\frac{4}{4} - \frac{3}{4})}$

Schritt 9.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- \frac{3}{2}}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} \frac{4 - 3}{4}}$

Schritt 9.3.3

Subtrahiere $3$ von $4$ .

$\frac{- \frac{3}{2}}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{4}}$

Schritt 9.3.4

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 9.3.4.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $4$ .

$\frac{- \frac{3}{2}}{\frac{4}{4} {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 9.3.4.2

Kombiniere $\frac{4}{4}$ und ${(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- \frac{3}{2}}{\frac{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}}{4}}$

Schritt 9.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- \frac{3}{2}}{\frac{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}}{4}}$

Schritt 9.3.6

Dividiere ${(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}$ durch $1$ .

$\frac{- \frac{3}{2}}{{(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 9.3.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.3.7.1

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{4}$ an.

$\frac{- \frac{3}{2}}{{(- \frac{3^{2}}{4^{2}} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 9.3.7.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{- \frac{3}{2}}{{(- \frac{9}{4^{2}} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 9.3.7.3

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\frac{- \frac{3}{2}}{{(- \frac{9}{16} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 9.3.8

Um $\frac{3}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- \frac{3}{2}}{{(- \frac{9}{16} + \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{4})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 9.3.9

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $16$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 9.3.9.1

Mutltipliziere $\frac{3}{4}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- \frac{3}{2}}{{(- \frac{9}{16} + \frac{3 \cdot 4}{4 \cdot 4})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 9.3.9.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{- \frac{3}{2}}{{(- \frac{9}{16} + \frac{3 \cdot 4}{16})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 9.3.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- \frac{3}{2}}{{(\frac{- 9 + 3 \cdot 4}{16})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 9.3.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.3.11.1

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{- \frac{3}{2}}{{(\frac{- 9 + 12}{16})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 9.3.11.2

Addiere $- 9$ und $12$ .

$\frac{- \frac{3}{2}}{{(\frac{3}{16})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 9.3.12

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{16}$ an.

$\frac{- \frac{3}{2}}{\frac{3^{\frac{1}{2}}}{16^{\frac{1}{2}}}}$

Schritt 9.3.13

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.3.13.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{- \frac{3}{2}}{\frac{3^{\frac{1}{2}}}{{(4^{2})}^{\frac{1}{2}}}}$

Schritt 9.3.13.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- \frac{3}{2}}{\frac{3^{\frac{1}{2}}}{4^{2 (\frac{1}{2})}}}$

Schritt 9.3.13.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.3.13.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- \frac{3}{2}}{\frac{3^{\frac{1}{2}}}{4^{2 (\frac{1}{2})}}}$

Schritt 9.3.13.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- \frac{3}{2}}{\frac{3^{\frac{1}{2}}}{4^{1}}}$

Schritt 9.3.13.4

Berechne den Exponenten.

$\frac{- \frac{3}{2}}{\frac{3^{\frac{1}{2}}}{4}}$

Schritt 9.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 9.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3}{2}$ in den Zähler.

$\frac{- 3}{2} \cdot \frac{4}{3^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 9.5.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{- 3}{2} \cdot \frac{2 (2)}{3^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 9.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3}{2} \cdot \frac{2 \cdot 2}{3^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 9.5.4

Forme den Ausdruck um.

$- 3 \frac{2}{3^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 9.6

Kombiniere $- 3$ und $\frac{2}{3^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 3 \cdot 2}{3^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 9.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.7.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$\frac{- 6}{3^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 9.7.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{6}{3^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10

$x = \frac{3}{4}$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{3}{4}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{3}{4}$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{3}{4}$ .

$f (\frac{3}{4}) = (\frac{3}{4}) \sqrt{(\frac{3}{4}) - {(\frac{3}{4})}^{2}}$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{4}$ an.

$f (\frac{3}{4}) = \frac{3}{4} \cdot \sqrt{\frac{3}{4} - \frac{3^{2}}{4^{2}}}$

Schritt 11.2.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{3}{4} \cdot \sqrt{\frac{3}{4} - \frac{9}{4^{2}}}$

Schritt 11.2.3

Potenziere $4$ mit $2$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{3}{4} \cdot \sqrt{\frac{3}{4} - \frac{9}{16}}$

Schritt 11.2.4

Um $\frac{3}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{3}{4} \cdot \sqrt{\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{4} - \frac{9}{16}}$

Schritt 11.2.5

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $16$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 11.2.5.1

Mutltipliziere $\frac{3}{4}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{3}{4} \cdot \sqrt{\frac{3 \cdot 4}{4 \cdot 4} - \frac{9}{16}}$

Schritt 11.2.5.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{3}{4} \cdot \sqrt{\frac{3 \cdot 4}{16} - \frac{9}{16}}$

Schritt 11.2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{3}{4}) = \frac{3}{4} \cdot \sqrt{\frac{3 \cdot 4 - 9}{16}}$

Schritt 11.2.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.2.7.1

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{3}{4} \cdot \sqrt{\frac{12 - 9}{16}}$

Schritt 11.2.7.2

Subtrahiere $9$ von $12$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{3}{4} \cdot \sqrt{\frac{3}{16}}$

Schritt 11.2.8

Schreibe $\sqrt{\frac{3}{16}}$ als $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{16}}$ um.

$f (\frac{3}{4}) = \frac{3}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{16}}$

Schritt 11.2.9

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 11.2.9.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$f (\frac{3}{4}) = \frac{3}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4^{2}}}$

Schritt 11.2.9.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (\frac{3}{4}) = \frac{3}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}$

Schritt 11.2.10

Multipliziere $\frac{3}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}$ .

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Schritt 11.2.10.1

Mutltipliziere $\frac{3}{4}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{4}$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{3 \sqrt{3}}{4 \cdot 4}$

Schritt 11.2.10.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{3 \sqrt{3}}{16}$

Schritt 11.2.11

Die endgültige Lösung ist $\frac{3 \sqrt{3}}{16}$ .

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{16}$

Schritt 12

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{8 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 3}{4 {(- {(0)}^{2} + 0)}^{\frac{1}{2}} (1 - (0))}$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 13.1

Entferne die Klammern.

$\frac{8 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 3}{4 {(- {(0)}^{2} + 0)}^{\frac{1}{2}} (1 - (0))}$

Schritt 13.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{8 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 3}{4 {(- 0 + 0)}^{\frac{1}{2}} (1 - (0))}$

Schritt 13.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{8 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 3}{4 {(0 + 0)}^{\frac{1}{2}} (1 - (0))}$

Schritt 13.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.3.1

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{8 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 3}{4 \cdot 0^{\frac{1}{2}} (1 - (0))}$

Schritt 13.3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 13.3.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$\frac{8 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 3}{4 \cdot {(0^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 - (0))}$

Schritt 13.3.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{8 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 3}{4 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})} (1 - (0))}$

Schritt 13.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 13.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 3}{4 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})} (1 - (0))}$

Schritt 13.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{8 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 3}{4 \cdot 0^{1} (1 - (0))}$

Schritt 13.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 13.3.4.1

Berechne den Exponenten.

$\frac{8 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 3}{4 \cdot 0 (1 - (0))}$

Schritt 13.3.4.2

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$\frac{8 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 3}{0 (1 - (0))}$

Schritt 13.3.4.3

Subtrahiere $0$ von $1$ .

$\frac{8 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 3}{0 \cdot 1}$

Schritt 13.3.4.4

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$\frac{8 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 3}{0}$

Schritt 13.3.4.5

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{8 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 3}{0}$

Schritt 13.3.5

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{8 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 3}{0}$

Schritt 13.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 14

Da der erste Ableitungstest nicht erfolgreich war, gibt es kein lokales Extremum.

Keine lokalen Extrema

Schritt 15