Analysis Beispiele

$f (x) = x - \frac{8 x}{x + 2}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - \frac{8 x}{x + 2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x}{x + 2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x}{x + 2}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x}{x + 2}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{8 x}{x + 2}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{8 x}{x + 2}$ nach $x$ gleich $- 8 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 2}]$ .

$1 - 8 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 2}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x + 2$ .

$1 - 8 \frac{(x + 2) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 - 8 \frac{(x + 2) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 1.2.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$1 - 8 \frac{(x + 2) \cdot 1 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 1.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 - 8 \frac{(x + 2) \cdot 1 - x (1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 1.2.6

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 - 8 \frac{(x + 2) \cdot 1 - x (1 + 0)}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 1.2.7

Mutltipliziere $x + 2$ mit $1$ .

$1 - 8 \frac{x + 2 - x (1 + 0)}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 1.2.8

Addiere $1$ und $0$ .

$1 - 8 \frac{x + 2 - x \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 1.2.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$1 - 8 \frac{x + 2 - x}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 1.2.10

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$1 - 8 \frac{0 + 2}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 1.2.11

Addiere $0$ und $2$ .

$1 - 8 \frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 1.2.12

Kombiniere $- 8$ und $\frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$ .

$1 + \frac{- 8 \cdot 2}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 1.2.13

Mutltipliziere $- 8$ mit $2$ .

$1 + \frac{- 16}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 1.2.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$1 - \frac{16}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 1.3

Stelle die Terme um.

$- \frac{16}{{(x + 2)}^{2}} + 1$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- \frac{16}{{(x + 2)}^{2}} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- \frac{16}{{(x + 2)}^{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{16}{{(x + 2)}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{16}{{(x + 2)}^{2}}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{16}{{(x + 2)}^{2}}$ nach $x$ gleich $- 16 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 2)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{d}{d x} \frac{1}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{1}{{(x + 2)}^{2}}$ als ${({(x + 2)}^{2})}^{- 1}$ um.

$f'' (x) = - 16 \frac{d}{d x} {({(x + 2)}^{2})}^{- 1} + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = {(x + 2)}^{2}$ .

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Schritt 2.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch ${(x + 2)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 16 (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2})) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f'' (x) = - 16 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} {(x + 2)}^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch ${(x + 2)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 16 (- {({(x + 2)}^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} {(x + 2)}^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x + 2$ .

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Schritt 2.2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x + 2$ .

$f'' (x) = - 16 (- {({(x + 2)}^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{2}) \frac{d}{d x} (x + 2))) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = - 16 (- {({(x + 2)}^{2})}^{- 2} (2 u_{2} \frac{d}{d x} (x + 2))) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x + 2$ .

$f'' (x) = - 16 (- {({(x + 2)}^{2})}^{- 2} (2 (x + 2) \frac{d}{d x} (x + 2))) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f'' (x) = - 16 (- {({(x + 2)}^{2})}^{- 2} (2 (x + 2) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2)))) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - 16 (- {({(x + 2)}^{2})}^{- 2} (2 (x + 2) (1 + \frac{d}{d x} (2)))) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.7

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - 16 (- {({(x + 2)}^{2})}^{- 2} (2 (x + 2) (1 + 0))) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.8

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 2)}^{2})}^{- 2}$ .

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Schritt 2.2.8.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 16 (- {(x + 2)}^{2 \cdot - 2} (2 (x + 2) (1 + 0))) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = - 16 (- {(x + 2)}^{- 4} (2 (x + 2) (1 + 0))) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.9

Addiere $1$ und $0$ .

$f'' (x) = - 16 (- {(x + 2)}^{- 4} (2 (x + 2) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.10

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 16 (- {(x + 2)}^{- 4} (2 (x + 2))) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.11

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - 16 (- 2 {(x + 2)}^{- 4} (x + 2)) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.12

Potenziere $x + 2$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 16 (- 2 ((x + 2) {(x + 2)}^{- 4})) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.13

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - 16 (- 2 {(x + 2)}^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.14

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$f'' (x) = - 16 (- 2 {(x + 2)}^{- 3}) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.15

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 16$ .

$f'' (x) = 32 {(x + 2)}^{- 3} + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 32 {(x + 2)}^{- 3} + 0$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 32 (\frac{1}{{(x + 2)}^{3}}) + 0$

Schritt 2.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.4.2.1

Kombiniere $32$ und $\frac{1}{{(x + 2)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{32}{{(x + 2)}^{3}} + 0$

Schritt 2.4.2.2

Addiere $\frac{32}{{(x + 2)}^{3}}$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{32}{{(x + 2)}^{3}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- \frac{16}{{(x + 2)}^{2}} + 1 = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Differenziere.

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Schritt 4.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - \frac{8 x}{x + 2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x}{x + 2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{8 x}{x + 2})$

Schritt 4.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{8 x}{x + 2})$

Schritt 4.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{8 x}{x + 2}]$ .

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Schritt 4.1.2.1

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{8 x}{x + 2}$ nach $x$ gleich $- 8 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 2}]$ .

$f' (x) = 1 - 8 \frac{d}{d x} \frac{x}{x + 2}$

Schritt 4.1.2.2

$f' (x) = 1 - 8 \frac{(x + 2) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x + 2)}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 4.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 1 - 8 \frac{(x + 2) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x + 2)}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 4.1.2.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f' (x) = 1 - 8 \frac{(x + 2) \cdot 1 - x (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2))}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 4.1.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 1 - 8 \frac{(x + 2) \cdot 1 - x (1 + \frac{d}{d x} (2))}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 4.1.2.6

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = 1 - 8 \frac{(x + 2) \cdot 1 - x (1 + 0)}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 4.1.2.7

Mutltipliziere $x + 2$ mit $1$ .

$f' (x) = 1 - 8 \frac{x + 2 - x (1 + 0)}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 4.1.2.8

Addiere $1$ und $0$ .

$f' (x) = 1 - 8 \frac{x + 2 - x \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 4.1.2.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f' (x) = 1 - 8 \frac{x + 2 - x}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 4.1.2.10

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$f' (x) = 1 - 8 \frac{0 + 2}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 4.1.2.11

Addiere $0$ und $2$ .

$f' (x) = 1 - 8 \frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 4.1.2.12

Kombiniere $- 8$ und $\frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{- 8 \cdot 2}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 4.1.2.13

Mutltipliziere $- 8$ mit $2$ .

$f' (x) = 1 + \frac{- 16}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 4.1.2.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = 1 - \frac{16}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 4.1.3

Stelle die Terme um.

$f' (x) = - \frac{16}{{(x + 2)}^{2}} + 1$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{16}{{(x + 2)}^{2}} + 1$ .

$- \frac{16}{{(x + 2)}^{2}} + 1$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{16}{{(x + 2)}^{2}} + 1 = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{16}{{(x + 2)}^{2}} + 1 = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{16}{{(x + 2)}^{2}} = - 1$

Schritt 5.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 5.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

${(x + 2)}^{2}, 1$

Schritt 5.3.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

${(x + 2)}^{2}$

Schritt 5.4

Multipliziere jeden Term in $- \frac{16}{{(x + 2)}^{2}} = - 1$ mit ${(x + 2)}^{2}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 5.4.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{16}{{(x + 2)}^{2}} = - 1$ mit ${(x + 2)}^{2}$ .

$- \frac{16}{{(x + 2)}^{2}} {(x + 2)}^{2} = - {(x + 2)}^{2}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(x + 2)}^{2}$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{16}{{(x + 2)}^{2}}$ in den Zähler.

$\frac{- 16}{{(x + 2)}^{2}} {(x + 2)}^{2} = - {(x + 2)}^{2}$

Schritt 5.4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 16}{{(x + 2)}^{2}} {(x + 2)}^{2} = - {(x + 2)}^{2}$

Schritt 5.4.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- 16 = - {(x + 2)}^{2}$

Schritt 5.5

Löse die Gleichung.

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Schritt 5.5.1

Schreibe die Gleichung als $- {(x + 2)}^{2} = - 16$ um.

$- {(x + 2)}^{2} = - 16$

Schritt 5.5.2

Teile jeden Ausdruck in $- {(x + 2)}^{2} = - 16$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- {(x + 2)}^{2} = - 16$ durch $- 1$ .

$\frac{- {(x + 2)}^{2}}{- 1} = \frac{- 16}{- 1}$

Schritt 5.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{{(x + 2)}^{2}}{1} = \frac{- 16}{- 1}$

Schritt 5.5.2.2.2

Dividiere ${(x + 2)}^{2}$ durch $1$ .

${(x + 2)}^{2} = \frac{- 16}{- 1}$

Schritt 5.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.2.3.1

Dividiere $- 16$ durch $- 1$ .

${(x + 2)}^{2} = 16$

Schritt 5.5.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x + 2 = \pm \sqrt{16}$

Schritt 5.5.4

Vereinfache $\pm \sqrt{16}$ .

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Schritt 5.5.4.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x + 2 = \pm \sqrt{4^{2}}$

Schritt 5.5.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x + 2 = \pm 4$

Schritt 5.5.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.5.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x + 2 = 4$

Schritt 5.5.5.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.5.5.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4 - 2$

Schritt 5.5.5.2.2

Subtrahiere $2$ von $4$ .

$x = 2$

Schritt 5.5.5.3

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x + 2 = - 4$

Schritt 5.5.5.4

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.5.5.4.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4 - 2$

Schritt 5.5.5.4.2

Subtrahiere $2$ von $- 4$ .

$x = - 6$

Schritt 5.5.5.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 2, - 6$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Setze den Nenner in $\frac{16}{{(x + 2)}^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

${(x + 2)}^{2} = 0$

Schritt 6.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 2, - 6$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 2$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{32}{{((2) + 2)}^{3}}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.1.1

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{32}{4^{3}}$

Schritt 9.1.2

Potenziere $4$ mit $3$ .

$\frac{32}{64}$

Schritt 9.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $32$ und $64$ .

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Schritt 9.2.1

Faktorisiere $32$ aus $32$ heraus.

$\frac{32 (1)}{64}$

Schritt 9.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.2.1

Faktorisiere $32$ aus $64$ heraus.

$\frac{32 \cdot 1}{32 \cdot 2}$

Schritt 9.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{32 \cdot 1}{32 \cdot 2}$

Schritt 9.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2}$

Schritt 10

$x = 2$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 2$ ist ein lokales Minimum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 2$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = (2) - \frac{8 (2)}{(2) + 2}$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $(2) + 2$ .

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Schritt 11.2.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $8 (2)$ heraus.

$f (2) = 2 - \frac{2 (4 \cdot 2)}{(2) + 2}$

Schritt 11.2.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.2.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f (2) = 2 - \frac{2 (4 \cdot 2)}{2 \cdot 1 + 2}$

Schritt 11.2.1.1.2.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f (2) = 2 - \frac{2 (4 \cdot 2)}{2 \cdot 1 + 2 (1)}$

Schritt 11.2.1.1.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 1 + 2 (1)$ heraus.

$f (2) = 2 - \frac{2 (4 \cdot 2)}{2 \cdot (1 + 1)}$

Schritt 11.2.1.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (2) = 2 - \frac{2 (4 \cdot 2)}{2 \cdot (1 + 1)}$

Schritt 11.2.1.1.2.5

Forme den Ausdruck um.

$f (2) = 2 - \frac{4 \cdot 2}{1 + 1}$

Schritt 11.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$f (2) = 2 - \frac{8}{1 + 1}$

Schritt 11.2.1.3

Addiere $1$ und $1$ .

$f (2) = 2 - \frac{8}{2}$

Schritt 11.2.1.4

Dividiere $8$ durch $2$ .

$f (2) = 2 - 1 \cdot 4$

Schritt 11.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f (2) = 2 - 4$

Schritt 11.2.2

Subtrahiere $4$ von $2$ .

$f (2) = - 2$

Schritt 11.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 2$ .

$y = - 2$

Schritt 12

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - 6$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{32}{{((- 6) + 2)}^{3}}$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 13.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 13.1.1

Addiere $- 6$ und $2$ .

$\frac{32}{{(- 4)}^{3}}$

Schritt 13.1.2

Potenziere $- 4$ mit $3$ .

$\frac{32}{- 64}$

Schritt 13.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $32$ und $- 64$ .

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Schritt 13.2.1.1

Faktorisiere $32$ aus $32$ heraus.

$\frac{32 (1)}{- 64}$

Schritt 13.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.2.1.2.1

Faktorisiere $32$ aus $- 64$ heraus.

$\frac{32 \cdot 1}{32 \cdot - 2}$

Schritt 13.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{32 \cdot 1}{32 \cdot - 2}$

Schritt 13.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{- 2}$

Schritt 13.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{2}$

Schritt 14

$x = - 6$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = - 6$ ist ein lokales Maximum

Schritt 15

Ermittele den y-Wert, wenn $x = - 6$ .

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Schritt 15.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 6$ .

$f (- 6) = (- 6) - \frac{8 (- 6)}{(- 6) + 2}$

Schritt 15.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 15.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $(- 6) + 2$ .

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Schritt 15.2.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $8 (- 6)$ heraus.

$f (- 6) = - 6 - \frac{2 (4 \cdot - 6)}{(- 6) + 2}$

Schritt 15.2.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 15.2.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$f (- 6) = - 6 - \frac{2 (4 \cdot - 6)}{2 \cdot - 3 + 2}$

Schritt 15.2.1.1.2.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f (- 6) = - 6 - \frac{2 (4 \cdot - 6)}{2 \cdot - 3 + 2 (1)}$

Schritt 15.2.1.1.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot - 3 + 2 (1)$ heraus.

$f (- 6) = - 6 - \frac{2 (4 \cdot - 6)}{2 \cdot (- 3 + 1)}$

Schritt 15.2.1.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 6) = - 6 - \frac{2 (4 \cdot - 6)}{2 \cdot (- 3 + 1)}$

Schritt 15.2.1.1.2.5

Forme den Ausdruck um.

$f (- 6) = - 6 - \frac{4 \cdot - 6}{- 3 + 1}$

Schritt 15.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 6$ .

$f (- 6) = - 6 - \frac{- 24}{- 3 + 1}$

Schritt 15.2.1.3

Addiere $- 3$ und $1$ .

$f (- 6) = - 6 - \frac{- 24}{- 2}$

Schritt 15.2.1.4

Dividiere $- 24$ durch $- 2$ .

$f (- 6) = - 6 - 1 \cdot 12$

Schritt 15.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $12$ .

$f (- 6) = - 6 - 12$

Schritt 15.2.2

Subtrahiere $12$ von $- 6$ .

$f (- 6) = - 18$

Schritt 15.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 18$ .

$y = - 18$

Schritt 16

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = x - \frac{8 x}{x + 2}$ .

$(2, - 2)$ ist ein lokales Minimum

$(- 6, - 18)$ ist ein lokales Maximum

Schritt 17