Analysis Beispiele

$f (x) = x \sqrt{x^{2} - 4 x + 8} - 2 \sqrt{x^{2} - 4 x + 8}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x \sqrt{x^{2} - 4 x + 8} - 2 \sqrt{x^{2} - 4 x + 8}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x \sqrt{x^{2} - 4 x + 8}] + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x^{2} - 4 x + 8}]$ .

$\frac{d}{d x} [x \sqrt{x^{2} - 4 x + 8}] + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x^{2} - 4 x + 8}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [x \sqrt{x^{2} - 4 x + 8}]$ .

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Schritt 1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{2} - 4 x + 8}$ als ${(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [x {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x^{2} - 4 x + 8}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}] + {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x^{2} - 4 x + 8}]$

Schritt 1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x^{2} - 4 x + 8$ .

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Schritt 1.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x^{2} - 4 x + 8$ .

$x (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 8]) + {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x^{2} - 4 x + 8}]$

Schritt 1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 8]) + {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x^{2} - 4 x + 8}]$

Schritt 1.2.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x^{2} - 4 x + 8$ .

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 8]) + {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x^{2} - 4 x + 8}]$

Schritt 1.2.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 4 x + 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [8])) + {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x^{2} - 4 x + 8}]$

Schritt 1.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [8])) + {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x^{2} - 4 x + 8}]$

Schritt 1.2.6

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8])) + {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x^{2} - 4 x + 8}]$

Schritt 1.2.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8])) + {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x^{2} - 4 x + 8}]$

Schritt 1.2.8

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x - 4 \cdot 1 + 0)) + {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x^{2} - 4 x + 8}]$

Schritt 1.2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x - 4 \cdot 1 + 0)) + {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x^{2} - 4 x + 8}]$

Schritt 1.2.10

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 x - 4 \cdot 1 + 0)) + {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x^{2} - 4 x + 8}]$

Schritt 1.2.11

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 x - 4 \cdot 1 + 0)) + {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x^{2} - 4 x + 8}]$

Schritt 1.2.12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (2 x - 4 \cdot 1 + 0)) + {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x^{2} - 4 x + 8}]$

Schritt 1.2.13

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.13.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1 - 2}{2}} (2 x - 4 \cdot 1 + 0)) + {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x^{2} - 4 x + 8}]$

Schritt 1.2.13.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{- 1}{2}} (2 x - 4 \cdot 1 + 0)) + {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x^{2} - 4 x + 8}]$

Schritt 1.2.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 4 x + 8)}^{- \frac{1}{2}} (2 x - 4 \cdot 1 + 0)) + {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x^{2} - 4 x + 8}]$

Schritt 1.2.15

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 4 x + 8)}^{- \frac{1}{2}} (2 x - 4 + 0)) + {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x^{2} - 4 x + 8}]$

Schritt 1.2.16

Addiere $2 x - 4$ und $0$ .

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 4 x + 8)}^{- \frac{1}{2}} (2 x - 4)) + {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x^{2} - 4 x + 8}]$

Schritt 1.2.17

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x^{2} - 4 x + 8)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (2 x - 4)) + {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x^{2} - 4 x + 8}]$

Schritt 1.2.18

Bringe ${(x^{2} - 4 x + 8)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 4)) + {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x^{2} - 4 x + 8}]$

Schritt 1.2.19

Kombiniere $\frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$\frac{x}{2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 4) + {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x^{2} - 4 x + 8}]$

Schritt 1.2.20

Mutltipliziere ${(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$\frac{x}{2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 4) + {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x^{2} - 4 x + 8}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x^{2} - 4 x + 8}]$ .

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Schritt 1.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{2} - 4 x + 8}$ als ${(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{x}{2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 4) + {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.3.2

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{x}{2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 4) + {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x^{2} - 4 x + 8$ .

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Schritt 1.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x^{2} - 4 x + 8$ .

$\frac{x}{2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 4) + {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - 2 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 8])$

Schritt 1.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{x}{2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 4) + {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - 2 (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 8])$

Schritt 1.3.3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x^{2} - 4 x + 8$ .

$\frac{x}{2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 4) + {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - 2 (\frac{1}{2} {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 8])$

Schritt 1.3.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 4 x + 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{x}{2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 4) + {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - 2 (\frac{1}{2} {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [8]))$

Schritt 1.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{x}{2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 4) + {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - 2 (\frac{1}{2} {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [8]))$

Schritt 1.3.6

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 4) + {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - 2 (\frac{1}{2} {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]))$

Schritt 1.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 4) + {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - 2 (\frac{1}{2} {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]))$

Schritt 1.3.8

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x}{2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 4) + {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - 2 (\frac{1}{2} {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x - 4 \cdot 1 + 0))$

Schritt 1.3.9

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 4) + {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - 2 (\frac{1}{2} {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 x - 4 \cdot 1 + 0))$

Schritt 1.3.10

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 4) + {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - 2 (\frac{1}{2} {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 x - 4 \cdot 1 + 0))$

Schritt 1.3.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x}{2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 4) + {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - 2 (\frac{1}{2} {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (2 x - 4 \cdot 1 + 0))$

Schritt 1.3.12

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.12.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{x}{2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 4) + {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - 2 (\frac{1}{2} {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1 - 2}{2}} (2 x - 4 \cdot 1 + 0))$

Schritt 1.3.12.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{x}{2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 4) + {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - 2 (\frac{1}{2} {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{- 1}{2}} (2 x - 4 \cdot 1 + 0))$

Schritt 1.3.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{x}{2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 4) + {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - 2 (\frac{1}{2} {(x^{2} - 4 x + 8)}^{- \frac{1}{2}} (2 x - 4 \cdot 1 + 0))$

Schritt 1.3.14

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$\frac{x}{2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 4) + {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - 2 (\frac{1}{2} {(x^{2} - 4 x + 8)}^{- \frac{1}{2}} (2 x - 4 + 0))$

Schritt 1.3.15

Addiere $2 x - 4$ und $0$ .

$\frac{x}{2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 4) + {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - 2 (\frac{1}{2} {(x^{2} - 4 x + 8)}^{- \frac{1}{2}} (2 x - 4))$

Schritt 1.3.16

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x^{2} - 4 x + 8)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x}{2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 4) + {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - 2 (\frac{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (2 x - 4))$

Schritt 1.3.17

Bringe ${(x^{2} - 4 x + 8)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x}{2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 4) + {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - 2 (\frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 4))$

Schritt 1.3.18

Kombiniere $\frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ und $- 2$ .

$\frac{x}{2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 4) + {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2}{2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 4)$

Schritt 1.3.19

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{x}{2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 4) + {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 1}{2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 4)$

Schritt 1.3.20

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.20.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{x}{2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 4) + {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 1}{2 ({(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}})} (2 x - 4)$

Schritt 1.3.20.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x}{2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 4) + {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 1}{2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 4)$

Schritt 1.3.20.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x}{2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 4) + {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 1}{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 4)$

Schritt 1.3.21

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{x}{2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 4) + {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 4)$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Stelle die Terme um.

$(2 x - 4) \frac{x}{2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} - (2 x - 4) \frac{1}{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.2.1

Mutltipliziere $2 x - 4$ mit $\frac{x}{2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{(2 x - 4) x}{2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} - (2 x - 4) \frac{1}{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.4.2.2

Faktorisiere $2$ aus $(2 x - 4) x$ heraus.

$\frac{2 ((x - 2) x)}{2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} - (2 x - 4) \frac{1}{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.4.2.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 ((x - 2) x)}{2 ({(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}})} - (2 x - 4) \frac{1}{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.4.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 ((x - 2) x)}{2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} - (2 x - 4) \frac{1}{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.4.2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x - 2) x}{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} - (2 x - 4) \frac{1}{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.4.2.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(x - 2) x}{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} + (- (2 x) - - 4) \frac{1}{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.4.2.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{(x - 2) x}{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} + (- 2 x - - 4) \frac{1}{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.4.2.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$\frac{(x - 2) x}{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} + (- 2 x + 4) \frac{1}{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.4.2.7

Mutltipliziere $- 2 x + 4$ mit $\frac{1}{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{(x - 2) x}{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 2 x + 4}{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.4.2.8

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x + 4$ heraus.

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Schritt 1.4.2.8.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{(x - 2) x}{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (- x) + 4}{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.4.2.8.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{(x - 2) x}{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (- x) + 2 (2)}{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.4.2.8.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- x) + 2 (2)$ heraus.

$\frac{(x - 2) x}{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (- x + 2)}{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + \frac{(x - 2) x + 2 (- x + 2)}{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.4.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

${(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + \frac{x \cdot x - 2 x + 2 (- x + 2)}{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.4.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

${(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{2} - 2 x + 2 (- x + 2)}{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.4.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

${(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{2} - 2 x + 2 (- x) + 2 \cdot 2}{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.4.4.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

${(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{2} - 2 x - 2 x + 2 \cdot 2}{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.4.4.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

${(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{2} - 2 x - 2 x + 4}{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.4.5

Subtrahiere $2 x$ von $- 2 x$ .

${(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{2} - 4 x + 4}{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.4.6

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 1.4.6.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

${(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{2} - 4 x + 2^{2}}{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.4.6.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Schritt 1.4.6.3

Schreibe das Polynom neu.

${(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}}{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.4.6.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 2$ .

${(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + \frac{{(x - 2)}^{2}}{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.4.7

Um ${(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x - 2)}^{2}}{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.4.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + {(x - 2)}^{2}}{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.4.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.4.9.1

Multipliziere ${(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.4.9.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + {(x - 2)}^{2}}{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.4.9.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1 + 1}{2}} + {(x - 2)}^{2}}{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.4.9.1.3

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{2}{2}} + {(x - 2)}^{2}}{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.4.9.1.4

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{1} + {(x - 2)}^{2}}{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.4.9.2

Vereinfache ${(x^{2} - 4 x + 8)}^{1}$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 8 + {(x - 2)}^{2}}{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.4.9.3

Schreibe ${(x - 2)}^{2}$ als $(x - 2) (x - 2)$ um.

$\frac{x^{2} - 4 x + 8 + (x - 2) (x - 2)}{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.4.9.4

Multipliziere $(x - 2) (x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.4.9.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} - 4 x + 8 + x (x - 2) - 2 (x - 2)}{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.4.9.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} - 4 x + 8 + x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)}{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.4.9.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} - 4 x + 8 + x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2}{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.4.9.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.4.9.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.9.5.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 8 + x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2}{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.4.9.5.1.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 8 + x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2}{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.4.9.5.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 8 + x^{2} - 2 x - 2 x + 4}{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.4.9.5.2

Subtrahiere $2 x$ von $- 2 x$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 8 + x^{2} - 4 x + 4}{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.4.9.6

Addiere $x^{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} - 4 x + 8 - 4 x + 4}{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.4.9.7

Subtrahiere $4 x$ von $- 4 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 8 + 4}{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.4.9.8

Addiere $8$ und $4$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 12}{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.4.9.9

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} - 8 x + 12$ heraus.

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Schritt 1.4.9.9.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$\frac{2 (x^{2}) - 8 x + 12}{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.4.9.9.2

Faktorisiere $2$ aus $- 8 x$ heraus.

$\frac{2 (x^{2}) + 2 (- 4 x) + 12}{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.4.9.9.3

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$\frac{2 x^{2} + 2 (- 4 x) + 2 \cdot 6}{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.4.9.9.4

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} + 2 (- 4 x)$ heraus.

$\frac{2 (x^{2} - 4 x) + 2 \cdot 6}{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.4.9.9.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (x^{2} - 4 x) + 2 \cdot 6$ heraus.

$\frac{2 (x^{2} - 4 x + 6)}{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2 (x^{2} - 4 x + 6)}{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 4 x + 6}{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x^{2} - 4 x + 6}{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2} - 4 x + 6$ und $g (x) = {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 6) - (x^{2} - 4 x + 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Schritt 2.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 6) - (x^{2} - 4 x + 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Schritt 2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 6) - (x^{2} - 4 x + 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Schritt 2.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 6) - (x^{2} - 4 x + 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 4 x + 8})$

Schritt 2.4

Vereinfache.

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 6) - (x^{2} - 4 x + 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 4 x + 8})$

Schritt 2.5

Differenziere.

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Schritt 2.5.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 4 x + 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (6)) - (x^{2} - 4 x + 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 4 x + 8})$

Schritt 2.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} (2 x + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (6)) - (x^{2} - 4 x + 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 4 x + 8})$

Schritt 2.5.3

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 4 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (6)) - (x^{2} - 4 x + 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 4 x + 8})$

Schritt 2.5.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (6)) - (x^{2} - 4 x + 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 4 x + 8})$

Schritt 2.5.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 4 + \frac{d}{d x} (6)) - (x^{2} - 4 x + 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 4 x + 8})$

Schritt 2.5.6

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 4 + 0) - (x^{2} - 4 x + 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 4 x + 8})$

Schritt 2.5.7

Addiere $2 x - 4$ und $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 4) - (x^{2} - 4 x + 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 4 x + 8})$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x^{2} - 4 x + 8$ .

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Schritt 2.6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} - 4 x + 8$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 4) - (x^{2} - 4 x + 6) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 8))}{x^{2} - 4 x + 8})$

Schritt 2.6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 4) - (x^{2} - 4 x + 6) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 8))}{x^{2} - 4 x + 8})$

Schritt 2.6.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - 4 x + 8$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 4) - (x^{2} - 4 x + 6) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 8))}{x^{2} - 4 x + 8})$

Schritt 2.7

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 4) - (x^{2} - 4 x + 6) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 8))}{x^{2} - 4 x + 8})$

Schritt 2.8

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 4) - (x^{2} - 4 x + 6) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 8))}{x^{2} - 4 x + 8})$

Schritt 2.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 4) - (x^{2} - 4 x + 6) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 8))}{x^{2} - 4 x + 8})$

Schritt 2.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 4) - (x^{2} - 4 x + 6) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 8))}{x^{2} - 4 x + 8})$

Schritt 2.10.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 4) - (x^{2} - 4 x + 6) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 8))}{x^{2} - 4 x + 8})$

Schritt 2.11

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.11.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 4) - (x^{2} - 4 x + 6) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 4 x + 8)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 8))}{x^{2} - 4 x + 8})$

Schritt 2.11.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x^{2} - 4 x + 8)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 4) - (x^{2} - 4 x + 6) (\frac{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 8))}{x^{2} - 4 x + 8})$

Schritt 2.11.3

Bringe ${(x^{2} - 4 x + 8)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 4) - (x^{2} - 4 x + 6) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 8))}{x^{2} - 4 x + 8})$

Schritt 2.12

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 4 x + 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 4) - (x^{2} - 4 x + 6) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (8)))}{x^{2} - 4 x + 8})$

Schritt 2.13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 4) - (x^{2} - 4 x + 6) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (8)))}{x^{2} - 4 x + 8})$

Schritt 2.14

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 4) - (x^{2} - 4 x + 6) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 4 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (8)))}{x^{2} - 4 x + 8})$

Schritt 2.15

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 4) - (x^{2} - 4 x + 6) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (8)))}{x^{2} - 4 x + 8})$

Schritt 2.16

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 4) - (x^{2} - 4 x + 6) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 4 + \frac{d}{d x} (8)))}{x^{2} - 4 x + 8})$

Schritt 2.17

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 4) - (x^{2} - 4 x + 6) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 4 + 0))}{x^{2} - 4 x + 8})$

Schritt 2.18

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.18.1

Addiere $2 x - 4$ und $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 4) - (x^{2} - 4 x + 6) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 4))}{x^{2} - 4 x + 8})$

Schritt 2.18.2

Kombiniere $2$ und $\frac{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 4) - (x^{2} - 4 x + 6) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 4))}{x^{2} - 4 x + 8}$ .

$f'' (x) = \frac{2 ({(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 4) - (x^{2} - 4 x + 6) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 4)))}{x^{2} - 4 x + 8}$

Schritt 2.19

Vereinfache.

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Schritt 2.19.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{2 ({(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 4) + (- x^{2} - (- 4 x) - 1 \cdot 6) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 4)))}{x^{2} - 4 x + 8}$

Schritt 2.19.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{2 ({(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 4)) + 2 ((- x^{2} - (- 4 x) - 1 \cdot 6) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 4)))}{x^{2} - 4 x + 8}$

Schritt 2.19.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.19.3.1

Faktorisiere $2 (2 x - 4)$ aus $2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 4) + 2 (- x^{2} - (- 4 x) - 1 \cdot 6) \frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 4)$ heraus.

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Schritt 2.19.3.1.1

Faktorisiere $2 (2 x - 4)$ aus $2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 4)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{2 (2 x - 4) ({(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}) + 2 (- x^{2} - (- 4 x) - 1 \cdot 6) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}) \cdot (2 x - 4)}{x^{2} - 4 x + 8}$

Schritt 2.19.3.1.2

Faktorisiere $2 (2 x - 4)$ aus $2 (- x^{2} - (- 4 x) - 1 \cdot 6) \frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 4)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{2 (2 x - 4) ({(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}) + 2 (2 x - 4) ((- x^{2} - (- 4 x) - 1 \cdot 6) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}))}{x^{2} - 4 x + 8}$

Schritt 2.19.3.1.3

Faktorisiere $2 (2 x - 4)$ aus $2 (2 x - 4) ({(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}) + 2 (2 x - 4) ((- x^{2} - (- 4 x) - 1 \cdot 6) \frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}})$ heraus.

$f'' (x) = \frac{2 (2 x - 4) ({(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + (- x^{2} - (- 4 x) - 1 \cdot 6) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}))}{x^{2} - 4 x + 8}$

Schritt 2.19.3.2

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 2.19.3.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (2 x - 4) ({(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + (- x^{2} + 4 x - 1 \cdot 6) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}))}{x^{2} - 4 x + 8}$

Schritt 2.19.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$f'' (x) = \frac{2 (2 x - 4) ({(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + (- x^{2} + 4 x - 6) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}))}{x^{2} - 4 x + 8}$

Schritt 2.19.3.3

Mutltipliziere $- x^{2} + 4 x - 6$ mit $\frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (2 x - 4) ({(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- x^{2} + 4 x - 6}{2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}})}{x^{2} - 4 x + 8}$

Schritt 2.19.3.4

Um ${(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (2 x - 4) ({(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- x^{2} + 4 x - 6}{2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}})}{x^{2} - 4 x + 8}$

Schritt 2.19.3.5

Kombiniere ${(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (2 x - 4) (\frac{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- x^{2} + 4 x - 6}{2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}})}{x^{2} - 4 x + 8}$

Schritt 2.19.3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{2 (2 x - 4) (\frac{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}) - x^{2} + 4 x - 6}{2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}})}{x^{2} - 4 x + 8}$

Schritt 2.19.3.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.19.3.7.1

Multipliziere ${(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.19.3.7.1.1

Bewege ${(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (2 x - 4) (\frac{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - x^{2} + 4 x - 6}{2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}})}{x^{2} - 4 x + 8}$

Schritt 2.19.3.7.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{2 (2 x - 4) (\frac{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2 - x^{2} + 4 x - 6}{2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}})}{x^{2} - 4 x + 8}$

Schritt 2.19.3.7.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{2 (2 x - 4) (\frac{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2 - x^{2} + 4 x - 6}{2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}})}{x^{2} - 4 x + 8}$

Schritt 2.19.3.7.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (2 x - 4) (\frac{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2 - x^{2} + 4 x - 6}{2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}})}{x^{2} - 4 x + 8}$

Schritt 2.19.3.7.1.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 (2 x - 4) (\frac{(x^{2} - 4 x + 8) \cdot 2 - x^{2} + 4 x - 6}{2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}})}{x^{2} - 4 x + 8}$

Schritt 2.19.3.7.2

Vereinfache ${(x^{2} - 4 x + 8)}^{1} \cdot 2$ .

$f'' (x) = \frac{2 (2 x - 4) (\frac{(x^{2} - 4 x + 8) \cdot 2 - x^{2} + 4 x - 6}{2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}})}{x^{2} - 4 x + 8}$

Schritt 2.19.3.7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{2 (2 x - 4) (\frac{x^{2} \cdot 2 - 4 x \cdot 2 + 8 \cdot 2 - x^{2} + 4 x - 6}{2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}})}{x^{2} - 4 x + 8}$

Schritt 2.19.3.7.4

Vereinfache.

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Schritt 2.19.3.7.4.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (2 x - 4) (\frac{2 \cdot x^{2} - 4 x \cdot 2 + 8 \cdot 2 - x^{2} + 4 x - 6}{2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}})}{x^{2} - 4 x + 8}$

Schritt 2.19.3.7.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{2 (2 x - 4) (\frac{2 \cdot x^{2} - 8 x + 8 \cdot 2 - x^{2} + 4 x - 6}{2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}})}{x^{2} - 4 x + 8}$

Schritt 2.19.3.7.4.3

Mutltipliziere $8$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 (2 x - 4) (\frac{2 \cdot x^{2} - 8 x + 16 - x^{2} + 4 x - 6}{2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}})}{x^{2} - 4 x + 8}$

Schritt 2.19.3.7.5

Subtrahiere $x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (2 x - 4) (\frac{x^{2} - 8 x + 16 + 4 x - 6}{2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}})}{x^{2} - 4 x + 8}$

Schritt 2.19.3.7.6

Addiere $- 8 x$ und $4 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (2 x - 4) (\frac{x^{2} - 4 x + 16 - 6}{2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}})}{x^{2} - 4 x + 8}$

Schritt 2.19.3.7.7

Subtrahiere $6$ von $16$ .

$f'' (x) = \frac{2 (2 x - 4) (\frac{x^{2} - 4 x + 10}{2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}})}{x^{2} - 4 x + 8}$

Schritt 2.19.3.8

Kombiniere $\frac{x^{2} - 4 x + 10}{2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{(x^{2} - 4 x + 10) \cdot 2}{2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 4)}{x^{2} - 4 x + 8}$

Schritt 2.19.3.9

Faktorisiere $2$ aus $2 x - 4$ heraus.

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Schritt 2.19.3.9.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$f'' (x) = \frac{\frac{(x^{2} - 4 x + 10) \cdot 2}{2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 (x) - 4)}{x^{2} - 4 x + 8}$

Schritt 2.19.3.9.2

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$f'' (x) = \frac{\frac{(x^{2} - 4 x + 10) \cdot 2}{2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 2 \cdot - 2)}{x^{2} - 4 x + 8}$

Schritt 2.19.3.9.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 2 \cdot - 2$ heraus.

$f'' (x) = \frac{\frac{(x^{2} - 4 x + 10) \cdot 2}{2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 (x - 2))}{x^{2} - 4 x + 8}$

Schritt 2.19.3.10

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 2.19.3.10.1

Kombiniere $\frac{(x^{2} - 4 x + 10) \cdot 2}{2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{(x^{2} - 4 x + 10) \cdot 2 \cdot 2}{2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (x - 2)}{x^{2} - 4 x + 8}$

Schritt 2.19.3.10.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{(x^{2} - 4 x + 10) \cdot 4}{2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (x - 2)}{x^{2} - 4 x + 8}$

Schritt 2.19.3.11

Vereinfache den Ausdruck $\frac{(x^{2} - 4 x + 10) \cdot 4}{2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.19.3.11.1

Faktorisiere $2$ aus $(x^{2} - 4 x + 10) \cdot 4$ heraus.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 ((x^{2} - 4 x + 10) \cdot 2)}{2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (x - 2)}{x^{2} - 4 x + 8}$

Schritt 2.19.3.11.2

Faktorisiere $2$ aus $2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 ((x^{2} - 4 x + 10) \cdot 2)}{2 ({(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}})} \cdot (x - 2)}{x^{2} - 4 x + 8}$

Schritt 2.19.3.11.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 ((x^{2} - 4 x + 10) \cdot 2)}{2 {(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (x - 2)}{x^{2} - 4 x + 8}$

Schritt 2.19.3.11.4

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{\frac{(x^{2} - 4 x + 10) \cdot 2}{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (x - 2)}{x^{2} - 4 x + 8}$

Schritt 2.19.3.12

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2} - 4 x + 10$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (x^{2} - 4 x + 10)}{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (x - 2)}{x^{2} - 4 x + 8}$

Schritt 2.19.4

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = \frac{(x - 2) (\frac{2 (x^{2} - 4 x + 10)}{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}})}{x^{2} - 4 x + 8}$

Schritt 2.19.5

Faktorisiere $\frac{2 (x^{2} - 4 x + 10)}{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ aus $\frac{(x - 2) \frac{2 (x^{2} - 4 x + 10)}{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4 x + 8}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4 x + 10)}{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x - 2}{x^{2} - 4 x + 8}$

Schritt 2.19.6

Multipliziere $\frac{2 (x^{2} - 4 x + 10)}{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x - 2}{x^{2} - 4 x + 8}$ .

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Schritt 2.19.6.1

Mutltipliziere $\frac{2 (x^{2} - 4 x + 10)}{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{x - 2}{x^{2} - 4 x + 8}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4 x + 10) (x - 2)}{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} - 4 x + 8)}$

Schritt 2.19.6.2

Multipliziere ${(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ mit $x^{2} - 4 x + 8$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.19.6.2.1

Mutltipliziere ${(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ mit $x^{2} - 4 x + 8$ .

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Schritt 2.19.6.2.1.1

Potenziere $x^{2} - 4 x + 8$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4 x + 10) (x - 2)}{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} - 4 x + 8)}$

Schritt 2.19.6.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4 x + 10) (x - 2)}{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Schritt 2.19.6.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4 x + 10) (x - 2)}{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Schritt 2.19.6.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4 x + 10) (x - 2)}{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Schritt 2.19.6.2.4

Addiere $1$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4 x + 10) (x - 2)}{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{2 (x^{2} - 4 x + 6)}{{(x^{2} - 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 4

Da es keinen Wert von $x$ gibt, der die erste Ableitung gleich $0$ macht, gibt es keine lokalen Extrema.

Keine lokalen Extrema

Schritt 5

Keine lokalen Extrema

Schritt 6