Analysis Beispiele

$f (x) = x + | 2 x |$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + | 2 x |$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [| 2 x |]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [| 2 x |]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [| 2 x |]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [| 2 x |]$ .

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Schritt 1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = | x |$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 1.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$1 + \frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.2.1.2

Die Ableitung von $| u |$ nach $u$ ist $\frac{u}{| u |}$ .

$1 + \frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$1 + \frac{2 x}{| 2 x |} \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.2.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 + \frac{2 x}{| 2 x |} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{2 x}{| 2 x |} (2 \cdot 1)$

Schritt 1.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$1 + \frac{2 x}{| 2 x |} \cdot 2$

Schritt 1.2.5

Kombiniere $\frac{2 x}{| 2 x |}$ und $2$ .

$1 + \frac{2 x \cdot 2}{| 2 x |}$

Schritt 1.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$1 + \frac{4 x}{| 2 x |}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Stelle die Terme um.

$\frac{4 x}{| 2 x |} + 1$

Schritt 1.3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.2.1

Entferne nicht-negative Terme aus dem Absolutwert.

$\frac{4 x}{2 | x |} + 1$

Schritt 1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 1.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x$ heraus.

$\frac{2 (2 x)}{2 | x |} + 1$

Schritt 1.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 | x |$ heraus.

$\frac{2 (2 x)}{2 (| x |)} + 1$

Schritt 1.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (2 x)}{2 | x |} + 1$

Schritt 1.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 x}{| x |} + 1$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{2 x}{| x |} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{| x |}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{2 x}{| x |}) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{| x |}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2 x}{| x |}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{| x |}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x}{| x |}) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = | x |$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{| x | \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} | x |}{{| x |}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{| x | \cdot 1 - x \frac{d}{d x} | x |}{{| x |}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.4

Die Ableitung von $| x |$ nach $x$ ist $\frac{x}{| x |}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{| x | \cdot 1 - x \frac{x}{| x |}}{{| x |}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.5

Mutltipliziere $| x |$ mit $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{| x | - x \frac{x}{| x |}}{{| x |}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.6

Kombiniere $\frac{x}{| x |}$ und $x$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{| x | - \frac{x \cdot x}{| x |}}{{| x |}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{| x | - \frac{x \cdot x}{| x |}}{{| x |}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.8

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{| x | - \frac{x \cdot x}{| x |}}{{| x |}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.9

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = 2 (\frac{| x | - \frac{x^{1 + 1}}{| x |}}{{| x |}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.10

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{| x | - \frac{x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.11

Kombiniere $2$ und $\frac{| x | - \frac{x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (| x | - \frac{x^{2}}{| x |})}{{| x |}^{2}} + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{2 (| x | - \frac{x^{2}}{| x |})}{{| x |}^{2}} + 0$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{2 | x | + 2 (- \frac{x^{2}}{| x |})}{{| x |}^{2}} + 0$

Schritt 2.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.4.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 | x | - 2 \frac{x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + 0$

Schritt 2.4.2.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{x^{2}}{| x |}$ .

$f'' (x) = \frac{2 | x | + \frac{- 2 x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + 0$

Schritt 2.4.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{2 | x | - \frac{2 x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + 0$

Schritt 2.4.2.4

Addiere $\frac{2 | x | - \frac{2 x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{2 | x | - \frac{2 x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Schritt 2.4.3

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = \frac{- \frac{2 x^{2}}{| x |} + 2 | x |}{{| x |}^{2}}$

Schritt 2.4.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- \frac{2 x^{2}}{| x |} + 2 | x |$ heraus.

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Schritt 2.4.4.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- \frac{2 x^{2}}{| x |}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{2 (- \frac{x^{2}}{| x |}) + 2 | x |}{{| x |}^{2}}$

Schritt 2.4.4.1.2

Faktorisiere $2$ aus $2 | x |$ heraus.

$f'' (x) = \frac{2 (- \frac{x^{2}}{| x |}) + 2 (| x |)}{{| x |}^{2}}$

Schritt 2.4.4.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- \frac{x^{2}}{| x |}) + 2 (| x |)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{2 (- \frac{x^{2}}{| x |} + | x |)}{{| x |}^{2}}$

Schritt 2.4.4.2

Um $| x |$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{| x |}{| x |}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- \frac{x^{2}}{| x |} + \frac{| x | | x |}{| x |})}{{| x |}^{2}}$

Schritt 2.4.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{2 (\frac{- x^{2} + | x | | x |}{| x |})}{{| x |}^{2}}$

Schritt 2.4.4.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.4.4.1

Multipliziere $| x | | x |$ .

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Schritt 2.4.4.4.1.1

Um Absolutwerte zu multiplizieren, multipliziere die Terme innerhalb jedes Absolutwerts.

$f'' (x) = \frac{2 (\frac{- x^{2} + | x \cdot x |}{| x |})}{{| x |}^{2}}$

Schritt 2.4.4.4.1.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (\frac{- x^{2} + | x \cdot x |}{| x |})}{{| x |}^{2}}$

Schritt 2.4.4.4.1.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (\frac{- x^{2} + | x \cdot x |}{| x |})}{{| x |}^{2}}$

Schritt 2.4.4.4.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{2 (\frac{- x^{2} + | x^{1 + 1} |}{| x |})}{{| x |}^{2}}$

Schritt 2.4.4.4.1.5

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (\frac{- x^{2} + | x^{2} |}{| x |})}{{| x |}^{2}}$

Schritt 2.4.4.4.2

Entferne nicht-negative Terme aus dem Absolutwert.

$f'' (x) = \frac{2 (\frac{- x^{2} + x^{2}}{| x |})}{{| x |}^{2}}$

Schritt 2.4.4.4.3

Addiere $- x^{2}$ und $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (\frac{0}{| x |})}{{| x |}^{2}}$

Schritt 2.4.4.5

Dividiere $0$ durch $| x |$ .

$f'' (x) = \frac{2 \cdot 0}{{| x |}^{2}}$

Schritt 2.4.5

Entferne den Absolutwert in ${| x |}^{2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$f'' (x) = \frac{2 \cdot 0}{x^{2}}$

Schritt 2.4.6

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$f'' (x) = \frac{0}{x^{2}}$

Schritt 2.4.7

Dividiere $0$ durch $x^{2}$ .

$f'' (x) = 0$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{2 x}{| x |} + 1 = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Differenziere.

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Schritt 4.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + | 2 x |$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [| 2 x |]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [| 2 x |]$

Schritt 4.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [| 2 x |]$

Schritt 4.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [| 2 x |]$ .

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Schritt 4.1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = | x |$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 4.1.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$1 + \frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 4.1.2.1.2

Die Ableitung von $| u |$ nach $u$ ist $\frac{u}{| u |}$ .

$1 + \frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 4.1.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$1 + \frac{2 x}{| 2 x |} \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 4.1.2.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 + \frac{2 x}{| 2 x |} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{2 x}{| 2 x |} (2 \cdot 1)$

Schritt 4.1.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$1 + \frac{2 x}{| 2 x |} \cdot 2$

Schritt 4.1.2.5

Kombiniere $\frac{2 x}{| 2 x |}$ und $2$ .

$1 + \frac{2 x \cdot 2}{| 2 x |}$

Schritt 4.1.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$1 + \frac{4 x}{| 2 x |}$

Schritt 4.1.3

Vereinfache.

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Schritt 4.1.3.1

Stelle die Terme um.

$\frac{4 x}{| 2 x |} + 1$

Schritt 4.1.3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.3.2.1

Entferne nicht-negative Terme aus dem Absolutwert.

$\frac{4 x}{2 | x |} + 1$

Schritt 4.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 4.1.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x$ heraus.

$\frac{2 (2 x)}{2 | x |} + 1$

Schritt 4.1.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.3.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 | x |$ heraus.

$\frac{2 (2 x)}{2 (| x |)} + 1$

Schritt 4.1.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (2 x)}{2 | x |} + 1$

Schritt 4.1.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (x) = \frac{2 x}{| x |} + 1$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{2 x}{| x |} + 1$ .

$\frac{2 x}{| x |} + 1$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{2 x}{| x |} + 1 = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{2 x}{| x |} + 1 = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{2 x}{| x |} = - 1$

Schritt 5.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 5.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$| x |, 1$

Schritt 5.3.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$| x |$

Schritt 5.4

Multipliziere jeden Term in $\frac{2 x}{| x |} = - 1$ mit $| x |$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 5.4.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{2 x}{| x |} = - 1$ mit $| x |$ .

$\frac{2 x}{| x |} | x | = - | x |$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $| x |$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{| x |} | x | = - | x |$

Schritt 5.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$2 x = - | x |$

Schritt 5.5

Löse die Gleichung.

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Schritt 5.5.1

Schreibe die Gleichung als $- | x | = 2 x$ um.

$- | x | = 2 x$

Schritt 5.5.2

Teile jeden Ausdruck in $- | x | = 2 x$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- | x | = 2 x$ durch $- 1$ .

$\frac{- | x |}{- 1} = \frac{2 x}{- 1}$

Schritt 5.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{| x |}{1} = \frac{2 x}{- 1}$

Schritt 5.5.2.2.2

Dividiere $| x |$ durch $1$ .

$| x | = \frac{2 x}{- 1}$

Schritt 5.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.2.3.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{2 x}{- 1}$ .

$| x | = - 1 \cdot (2 x)$

Schritt 5.5.2.3.2

Schreibe $- 1 \cdot (2 x)$ als $- (2 x)$ um.

$| x | = - (2 x)$

Schritt 5.5.2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$| x | = - 2 x$

Schritt 5.6

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$x = \pm (- 2 x)$

Schritt 5.7

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.7.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = - 2 x$

Schritt 5.7.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.7.2.1

Addiere $2 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x + 2 x = 0$

Schritt 5.7.2.2

Addiere $x$ und $2 x$ .

$3 x = 0$

Schritt 5.7.3

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 0$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 5.7.3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 0$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 5.7.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.7.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.7.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 5.7.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{3}$

Schritt 5.7.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.7.3.3.1

Dividiere $0$ durch $3$ .

$x = 0$

Schritt 5.7.4

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = 2 x$

Schritt 5.7.5

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.7.5.1

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x - 2 x = 0$

Schritt 5.7.5.2

Subtrahiere $2 x$ von $x$ .

$- x = 0$

Schritt 5.7.6

Teile jeden Ausdruck in $- x = 0$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.7.6.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = 0$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 5.7.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.7.6.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 5.7.6.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{- 1}$

Schritt 5.7.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.7.6.3.1

Dividiere $0$ durch $- 1$ .

$x = 0$

Schritt 5.8

Schließe die Lösungen aus, die $\frac{2 x}{| x |} + 1 = 0$ nicht erfüllen.

$Keine Lösung$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Setze den Nenner in $\frac{2 x}{| x |}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$| x | = 0$

Schritt 6.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$x = \pm 0$

Schritt 6.2.2

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 0$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$0$

Schritt 9

Da es mindestens einen Punkt mit $0$ oder eine nicht definierte zweite Ableitung gibt, wende den ersten Ableitungstest an.

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Schritt 9.1

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum auf, die die erste Ableitung zu $0$ oder nicht definiert machen.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 9.2

Setze eine beliebige Zahl, wie $- 2$ , aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die erste Ableitung $\frac{2 x}{| x |} + 1$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 9.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f' (- 2) = \frac{2 (- 2)}{| - 2 |} + 1$

Schritt 9.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 9.2.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 4}{| - 2 |} + 1$

Schritt 9.2.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.2.2.2.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $- 2$ und $0$ ist $2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 4}{2} + 1$

Schritt 9.2.2.2.2

Dividiere $- 4$ durch $2$ .

$f' (- 2) = - 2 + 1$

Schritt 9.2.2.3

Addiere $- 2$ und $1$ .

$f' (- 2) = - 1$

Schritt 9.2.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 1$ .

$- 1$

Schritt 9.3

Setze eine beliebige Zahl, wie $2$ , aus dem Intervall $(0, \infty)$ in die erste Ableitung $\frac{2 x}{| x |} + 1$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 9.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f' (2) = \frac{2 (2)}{| 2 |} + 1$

Schritt 9.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 9.3.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f' (2) = \frac{4}{| 2 |} + 1$

Schritt 9.3.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.3.2.2.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$f' (2) = \frac{4}{2} + 1$

Schritt 9.3.2.2.2

Dividiere $4$ durch $2$ .

$f' (2) = 2 + 1$

Schritt 9.3.2.3

Addiere $2$ und $1$ .

$f' (2) = 3$

Schritt 9.3.2.4

Die endgültige Lösung ist $3$ .

$3$

Schritt 9.4

Da die erste Ableitung um $x = 0$ herum das Vorzeichen von negativ zu positiv gewechselt hat, ist $x = 0$ ein lokales Minimum.

$x = 0$ ist ein lokales Minimum

Schritt 10