Analysis Beispiele

$f (x) = x \sqrt{x - 4}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x - 4}$ als ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [x {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{\frac{1}{2}}] + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x - 4$ .

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Schritt 1.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 4$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 4$ .

$x (\frac{1}{2} {(x - 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(x - 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(x - 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x (\frac{1}{2} {(x - 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(x - 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(x - 4)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.8.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x (\frac{1}{2} {(x - 4)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.8.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(x - 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.8.3

Bringe ${(x - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.8.4

Kombiniere $\frac{1}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$\frac{x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - 4] + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.9

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 4]) + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.11

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0) + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.12

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.12.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.12.2

Mutltipliziere $\frac{x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ mit $1$ .

$\frac{x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Schritt 1.14

Mutltipliziere ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$\frac{x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.15

Um ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.16

Kombiniere ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.17

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.18

Multipliziere ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.18.1

Bewege ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.18.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x + {(x - 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.18.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x + {(x - 4)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.18.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{x + {(x - 4)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.18.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{x + {(x - 4)}^{1} \cdot 2}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.19

Vereinfache ${(x - 4)}^{1} \cdot 2$ .

$\frac{x + (x - 4) \cdot 2}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.20

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x - 4$ .

$\frac{x + 2 \cdot (x - 4)}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.21

Vereinfache.

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Schritt 1.21.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x + 2 x + 2 \cdot - 4}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.21.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.21.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$\frac{x + 2 x - 8}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.21.2.2

Addiere $x$ und $2 x$ .

$\frac{3 x - 8}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{3 x - 8}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 8}{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{3 x - 8}{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 3 x - 8$ und $g (x) = {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 8) - (3 x - 8) \frac{d}{d x} {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 8) - (3 x - 8) \frac{d}{d x} {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 8) - (3 x - 8) \frac{d}{d x} {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 8) - (3 x - 8) \frac{d}{d x} {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{x - 4}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 8) - (3 x - 8) \frac{d}{d x} {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{x - 4}$

Schritt 2.5

Differenziere.

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Schritt 2.5.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x - 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (- 8)) - (3 x - 8) \frac{d}{d x} {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{x - 4}$

Schritt 2.5.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 8)) - (3 x - 8) \frac{d}{d x} {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{x - 4}$

Schritt 2.5.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 8)) - (3 x - 8) \frac{d}{d x} {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{x - 4}$

Schritt 2.5.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (3 + \frac{d}{d x} (- 8)) - (3 x - 8) \frac{d}{d x} {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{x - 4}$

Schritt 2.5.5

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (3 + 0) - (3 x - 8) \frac{d}{d x} {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{x - 4}$

Schritt 2.5.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.5.6.1

Addiere $3$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3 - (3 x - 8) \frac{d}{d x} {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{x - 4}$

Schritt 2.5.6.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) \frac{d}{d x} {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{x - 4}$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x - 4$ .

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Schritt 2.6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x - 4$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x - 4))}{x - 4}$

Schritt 2.6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x - 4))}{x - 4}$

Schritt 2.6.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x - 4$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2} \cdot {(x - 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x - 4))}{x - 4}$

Schritt 2.7

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2} \cdot {(x - 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x - 4))}{x - 4}$

Schritt 2.8

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2} \cdot {(x - 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x - 4))}{x - 4}$

Schritt 2.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2} \cdot {(x - 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x - 4))}{x - 4}$

Schritt 2.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2} \cdot {(x - 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x - 4))}{x - 4}$

Schritt 2.10.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2} \cdot {(x - 4)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 4))}{x - 4}$

Schritt 2.11

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.11.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2} \cdot {(x - 4)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 4))}{x - 4}$

Schritt 2.11.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{{(x - 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x - 4))}{x - 4}$

Schritt 2.11.3

Bringe ${(x - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x - 4))}{x - 4}$

Schritt 2.12

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)))}{x - 4}$

Schritt 2.13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (- 4)))}{x - 4}$

Schritt 2.14

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + 0))}{x - 4}$

Schritt 2.15

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.15.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1)}{x - 4}$

Schritt 2.15.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) \frac{1}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 4}$

Schritt 2.15.3

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) \frac{1}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 4}$ .

$f'' (x) = \frac{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) \frac{1}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{2 (x - 4)}$

Schritt 2.16

Vereinfache.

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Schritt 2.16.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} + (- (3 x) + 8) (\frac{1}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}})}{2 (x - 4)}$

Schritt 2.16.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} + (- (3 x) + 8) (\frac{1}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot - 4}$

Schritt 2.16.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.16.3.1

Füge Klammern hinzu.

$f'' (x) = \frac{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} + (- 1 \cdot (3 x) + 8) (\frac{1}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot - 4}$

Schritt 2.16.3.2

Es sei $u_{2} = {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ . Ersetze $u_{2}$ für alle ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 2.16.3.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = \frac{\frac{3 \cdot (2 u_{2} u_{2}) - 3 x + 8}{2 u_{2}}}{2 x + 2 \cdot - 4}$

Schritt 2.16.3.2.2

Multipliziere $u_{2}$ mit $u_{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.16.3.2.2.1

Bewege $u_{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{3 \cdot (2 (u_{2} u_{2})) - 3 x + 8}{2 u_{2}}}{2 x + 2 \cdot - 4}$

Schritt 2.16.3.2.2.2

Mutltipliziere $u_{2}$ mit $u_{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{3 \cdot (2 {u_{2}}^{2}) - 3 x + 8}{2 u_{2}}}{2 x + 2 \cdot - 4}$

Schritt 2.16.3.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{6 {u_{2}}^{2} - 3 x + 8}{2 u_{2}}}{2 x + 2 \cdot - 4}$

Schritt 2.16.3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{6 {({(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 3 x + 8}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot - 4}$

Schritt 2.16.3.4

Vereinfache.

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Schritt 2.16.3.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.16.3.4.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.16.3.4.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{6 {(x - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 3 x + 8}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot - 4}$

Schritt 2.16.3.4.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.16.3.4.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = \frac{\frac{6 {(x - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 3 x + 8}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot - 4}$

Schritt 2.16.3.4.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{\frac{6 (x - 4) - 3 x + 8}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot - 4}$

Schritt 2.16.3.4.1.2

Vereinfache.

$f'' (x) = \frac{\frac{6 (x - 4) - 3 x + 8}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot - 4}$

Schritt 2.16.3.4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{\frac{6 x + 6 \cdot - 4 - 3 x + 8}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot - 4}$

Schritt 2.16.3.4.1.4

Mutltipliziere $6$ mit $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{6 x - 24 - 3 x + 8}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot - 4}$

Schritt 2.16.3.4.2

Subtrahiere $3 x$ von $6 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{3 x - 24 + 8}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot - 4}$

Schritt 2.16.3.4.3

Addiere $- 24$ und $8$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{3 x - 16}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot - 4}$

Schritt 2.16.4

Vereine die Terme

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Schritt 2.16.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{3 x - 16}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 8}$

Schritt 2.16.4.2

Schreibe $\frac{\frac{3 x - 16}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 8}$ als ein Produkt um.

$f'' (x) = \frac{3 x - 16}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x - 8}$

Schritt 2.16.4.3

Mutltipliziere $\frac{3 x - 16}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{1}{2 x - 8}$ .

$f'' (x) = \frac{3 x - 16}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 8)}$

Schritt 2.16.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.16.5.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x - 8$ heraus.

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Schritt 2.16.5.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$f'' (x) = \frac{3 x - 16}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (2 (x) - 8)}$

Schritt 2.16.5.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 8$ heraus.

$f'' (x) = \frac{3 x - 16}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (2 x + 2 \cdot - 4)}$

Schritt 2.16.5.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 2 \cdot - 4$ heraus.

$f'' (x) = \frac{3 x - 16}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (2 (x - 4))}$

$f'' (x) = \frac{3 x - 16}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \cdot (2 (x - 4))}$

Schritt 2.16.5.2

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 2.16.5.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{3 x - 16}{4 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (x - 4)}$

Schritt 2.16.5.2.2

Potenziere $x - 4$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{3 x - 16}{4 ((x - 4) {(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 2.16.5.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{3 x - 16}{4 {(x - 4)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Schritt 2.16.5.2.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{3 x - 16}{4 {(x - 4)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Schritt 2.16.5.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{3 x - 16}{4 {(x - 4)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Schritt 2.16.5.2.6

Addiere $2$ und $1$ .

$f'' (x) = \frac{3 x - 16}{4 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{3 x - 8}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x - 4}$ als ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x {(x - 4)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 4.1.2

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(x - 4)}^{\frac{1}{2}}) + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x - 4$ .

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Schritt 4.1.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 4$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 4.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 4.1.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 4$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x - 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 4.1.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x - 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 4.1.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x - 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 4.1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x - 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 4.1.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x - 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 4.1.7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x - 4)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 4.1.8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.1.8.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x - 4)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 4.1.8.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x (\frac{{(x - 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 4.1.8.3

Bringe ${(x - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 4.1.8.4

Kombiniere $\frac{1}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x - 4) + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 4.1.9

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)) + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 4.1.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (- 4)) + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 4.1.11

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + 0) + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 4.1.12

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1.12.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 4.1.12.2

Mutltipliziere $\frac{x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 4.1.13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Schritt 4.1.14

Mutltipliziere ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 4.1.15

Um ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.16

Kombiniere ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.17

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = \frac{x + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.18

Multipliziere ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.18.1

Bewege ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{x + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.18.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = \frac{x + {(x - 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.18.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = \frac{x + {(x - 4)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.18.4

Addiere $1$ und $1$ .

$f' (x) = \frac{x + {(x - 4)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.18.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$f' (x) = \frac{x + (x - 4) \cdot 2}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.19

Vereinfache ${(x - 4)}^{1} \cdot 2$ .

$f' (x) = \frac{x + (x - 4) \cdot 2}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.20

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x - 4$ .

$f' (x) = \frac{x + 2 \cdot (x - 4)}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.21

Vereinfache.

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Schritt 4.1.21.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{x + 2 x + 2 \cdot - 4}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.21.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.21.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$f' (x) = \frac{x + 2 x - 8}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.21.2.2

Addiere $x$ und $2 x$ .

$f' (x) = \frac{3 x - 8}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{3 x - 8}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 x - 8}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{3 x - 8}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{3 x - 8}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 5.2

Setze den Zähler gleich Null.

$3 x - 8 = 0$

Schritt 5.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.1

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 8$

Schritt 5.3.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 8$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 8$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{8}{3}$

Schritt 5.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{8}{3}$

Schritt 5.3.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{8}{3}$

Schritt 5.4

Schließe die Lösungen aus, die $\frac{3 x - 8}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ nicht erfüllen.

$Keine Lösung$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

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Schritt 6.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\frac{3 x - 8}{2 \sqrt{{(x - 4)}^{1}}}$

Schritt 6.1.2

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$\frac{3 x - 8}{2 \sqrt{x - 4}}$

Schritt 6.2

Setze den Nenner in $\frac{3 x - 8}{2 \sqrt{x - 4}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 \sqrt{x - 4} = 0$

Schritt 6.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(2 \sqrt{x - 4})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 6.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x - 4}$ als ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.2.1

Vereinfache ${(2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.3.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ an.

$2^{2} {({(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$4 {({(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.3.2.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(x - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.2.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 {(x - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$4 {(x - 4)}^{1} = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2.1.4

Vereinfache.

$4 (x - 4) = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x + 4 \cdot - 4 = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2.1.6

Mutltipliziere $4$ mit $- 4$ .

$4 x - 16 = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$4 x - 16 = 0$

Schritt 6.3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.3.1

Addiere $16$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = 16$

Schritt 6.3.3.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 16$ durch $4$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 16$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{16}{4}$

Schritt 6.3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 6.3.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{16}{4}$

Schritt 6.3.3.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{16}{4}$

Schritt 6.3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.3.2.3.1

Dividiere $16$ durch $4$ .

$x = 4$

Schritt 6.4

Setze den Radikanden in $\sqrt{x - 4}$ kleiner als $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x - 4 < 0$

Schritt 6.5

Addiere $4$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$x < 4$

Schritt 6.6

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x \leq 4$

$(- \infty, 4]$

$x \leq 4$

$(- \infty, 4]$

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 4$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 4$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{3 (4) - 16}{4 {((4) - 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.1.1

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$\frac{3 (4) - 16}{4 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9.1.2

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$\frac{3 (4) - 16}{4 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9.1.3

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 (4) - 16}{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Schritt 9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (4) - 16}{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Schritt 9.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 (4) - 16}{4 \cdot 0^{3}}$

Schritt 9.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{3 (4) - 16}{4 \cdot 0}$

Schritt 9.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$\frac{3 (4) - 16}{0}$

Schritt 9.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{3 (4) - 16}{0}$

Schritt 9.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 10

Da der erste Ableitungstest nicht erfolgreich war, gibt es kein lokales Extremum.

Keine lokalen Extrema

Schritt 11