Analysis Beispiele

$f (x) = \sin (x) - x$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sin (x) - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (x) - \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\cos (x) - 1 \cdot 1$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\cos (x) - 1$

Schritt 1.4

Stelle die Terme um.

$- 1 + \cos (x)$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 1 + \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Schritt 2.1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = 0 - \sin (x)$

Schritt 2.3

Subtrahiere $\sin (x)$ von $0$ .

$f'' (x) = - \sin (x)$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- 1 + \cos (x) = 0$

Schritt 4

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\cos (x) = 1$

Schritt 5

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (1)$

Schritt 6

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.1

Der genau Wert von $\arccos (1)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 7

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - 0$

Schritt 8

Subtrahiere $0$ von $2 π$ .

$x = 2 π$

Schritt 9

Die Lösung der Gleichung $x = 0$ .

$x = 0, 2 π$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \sin (0)$

Schritt 11

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 11.1

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$- 0$

Schritt 11.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$0$

Schritt 12

Da es mindestens einen Punkt mit $0$ oder eine nicht definierte zweite Ableitung gibt, wende den ersten Ableitungstest an.

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Schritt 12.1

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum auf, die die erste Ableitung zu $0$ oder nicht definiert machen.

$(- \infty, 0) \cup (0, 2 π) \cup (2 π, \infty)$

Schritt 12.2

Setze eine beliebige Zahl, wie $- 2$ , aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die erste Ableitung $- 1 + \cos (x)$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 12.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f' (- 2) = - 1 + \cos (- 2)$

Schritt 12.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 12.2.2.1

Berechne $\cos (- 2)$ .

$f' (- 2) = - 1 - 0.41614683$

Schritt 12.2.2.2

Subtrahiere $0.41614683$ von $- 1$ .

$f' (- 2) = - 1.41614683$

Schritt 12.2.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 1.41614683$ .

$- 1.41614683$

Schritt 12.3

Setze eine beliebige Zahl, wie $3$ , aus dem Intervall $(0, 2 π)$ in die erste Ableitung $- 1 + \cos (x)$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 12.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f' (3) = - 1 + \cos (3)$

Schritt 12.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 12.3.2.1

Berechne $\cos (3)$ .

$f' (3) = - 1 - 0.98999249$

Schritt 12.3.2.2

Subtrahiere $0.98999249$ von $- 1$ .

$f' (3) = - 1.98999249$

Schritt 12.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 1.98999249$ .

$- 1.98999249$

Schritt 12.4

Setze eine beliebige Zahl, wie $9$ , aus dem Intervall $(2 π, \infty)$ in die erste Ableitung $- 1 + \cos (x)$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 12.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $9$ .

$f' (9) = - 1 + \cos (9)$

Schritt 12.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 12.4.2.1

Berechne $\cos (9)$ .

$f' (9) = - 1 - 0.91113026$

Schritt 12.4.2.2

Subtrahiere $0.91113026$ von $- 1$ .

$f' (9) = - 1.91113026$

Schritt 12.4.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 1.91113026$ .

$- 1.91113026$

Schritt 12.5

Da die erste Ableitung das Vorzeichen um $x = 0$ nicht gewechselt hat, ist dies kein lokales Maximum oder Minimum.

Kein lokales Maximum oder Minimum

Schritt 12.6

Keine lokalen Maxima oder Minima für $f (x) = \sin (x) - x$ gefunden.

Keine lokalen Maxima oder Minima

Schritt 13