Analysis Beispiele

$f (x) = x (9 - x^{2})$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = 9 - x^{2}$ .

$x \frac{d}{d x} [9 - x^{2}] + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$x (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2.2

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$x \frac{d}{d x} [- x^{2}] + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x (- (2 x)) + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x (- 2 x) + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 2 (x^{1} x) + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 2 (x^{1} x^{1}) + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 2 x^{1 + 1} + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.6

Addiere $1$ und $1$ .

$- 2 x^{2} + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 x^{2} + (9 - x^{2}) \cdot 1$

Schritt 1.8

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 1.8.1

Mutltipliziere $9 - x^{2}$ mit $1$ .

$- 2 x^{2} + 9 - x^{2}$

Schritt 1.8.2

Subtrahiere $x^{2}$ von $- 2 x^{2}$ .

$- 3 x^{2} + 9$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 3 x^{2} + 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (9)$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (9)$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (9)$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$f'' (x) = - 6 x + \frac{d}{d x} (9)$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.3.1

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - 6 x + 0$

Schritt 2.3.2

Addiere $- 6 x$ und $0$ .

$f'' (x) = - 6 x$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- 3 x^{2} + 9 = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

$x \frac{d}{d x} [9 - x^{2}] + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.2

Differenziere.

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Schritt 4.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$x (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.2.2

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$x \frac{d}{d x} [- x^{2}] + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.2.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x (- (2 x)) + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x (- 2 x) + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 2 (x^{1} x) + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 2 (x^{1} x^{1}) + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 2 x^{1 + 1} + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.6

Addiere $1$ und $1$ .

$- 2 x^{2} + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 x^{2} + (9 - x^{2}) \cdot 1$

Schritt 4.1.8

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 4.1.8.1

Mutltipliziere $9 - x^{2}$ mit $1$ .

$- 2 x^{2} + 9 - x^{2}$

Schritt 4.1.8.2

Subtrahiere $x^{2}$ von $- 2 x^{2}$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 9$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 3 x^{2} + 9$ .

$- 3 x^{2} + 9$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 3 x^{2} + 9 = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- 3 x^{2} + 9 = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 x^{2} = - 9$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $- 3 x^{2} = - 9$ durch $- 3$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 3 x^{2} = - 9$ durch $- 3$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 9}{- 3}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 9}{- 3}$

Schritt 5.3.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 9}{- 3}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Dividiere $- 9$ durch $- 3$ .

$x^{2} = 3$

Schritt 5.4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{3}$

Schritt 5.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{3}$

Schritt 5.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{3}$

Schritt 5.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \sqrt{3}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- 6 \sqrt{3}$

Schritt 9

$x = \sqrt{3}$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \sqrt{3}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 10

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \sqrt{3}$ .

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Schritt 10.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\sqrt{3}$ .

$f (\sqrt{3}) = (\sqrt{3}) (9 - {(\sqrt{3})}^{2})$

Schritt 10.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 10.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.2.1.1

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 10.2.1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (\sqrt{3}) = \sqrt{3} (9 - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2})$

Schritt 10.2.1.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{3}) = \sqrt{3} (9 - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2})$

Schritt 10.2.1.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (\sqrt{3}) = \sqrt{3} (9 - 3^{\frac{2}{2}})$

Schritt 10.2.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.2.1.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\sqrt{3}) = \sqrt{3} (9 - 3^{\frac{2}{2}})$

Schritt 10.2.1.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\sqrt{3}) = \sqrt{3} (9 - 3)$

Schritt 10.2.1.1.5

Berechne den Exponenten.

$f (\sqrt{3}) = \sqrt{3} (9 - 1 \cdot 3)$

Schritt 10.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f (\sqrt{3}) = \sqrt{3} (9 - 3)$

Schritt 10.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 10.2.2.1

Subtrahiere $3$ von $9$ .

$f (\sqrt{3}) = \sqrt{3} \cdot 6$

Schritt 10.2.2.2

Bringe $6$ auf die linke Seite von $\sqrt{3}$ .

$f (\sqrt{3}) = 6 \sqrt{3}$

Schritt 10.2.3

Die endgültige Lösung ist $6 \sqrt{3}$ .

$y = 6 \sqrt{3}$

Schritt 11

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - \sqrt{3}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- 6 (- \sqrt{3})$

Schritt 12

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 6$ .

$6 \sqrt{3}$

Schritt 13

$x = - \sqrt{3}$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = - \sqrt{3}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 14

Ermittele den y-Wert, wenn $x = - \sqrt{3}$ .

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Schritt 14.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \sqrt{3}$ .

$f (- \sqrt{3}) = (- \sqrt{3}) (9 - {(- \sqrt{3})}^{2})$

Schritt 14.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 14.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 14.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{3}$ an.

$f (- \sqrt{3}) = - \sqrt{3} (9 - ({(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}))$

Schritt 14.2.1.2

Multipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 14.2.1.2.1

Bewege ${(- 1)}^{2}$ .

$f (- \sqrt{3}) = - \sqrt{3} (9 + {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 {\sqrt{3}}^{2}))$

Schritt 14.2.1.2.2

Mutltipliziere ${(- 1)}^{2}$ mit $- 1$ .

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Schritt 14.2.1.2.2.1

Potenziere $- 1$ mit $1$ .

$f (- \sqrt{3}) = - \sqrt{3} (9 + {(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) {\sqrt{3}}^{2}))$

Schritt 14.2.1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (- \sqrt{3}) = - \sqrt{3} (9 + {(- 1)}^{2 + 1} {\sqrt{3}}^{2})$

Schritt 14.2.1.2.3

Addiere $2$ und $1$ .

$f (- \sqrt{3}) = - \sqrt{3} (9 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{3}}^{2})$

Schritt 14.2.1.3

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f (- \sqrt{3}) = - \sqrt{3} (9 - {\sqrt{3}}^{2})$

Schritt 14.2.1.4

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 14.2.1.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (- \sqrt{3}) = - \sqrt{3} (9 - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2})$

Schritt 14.2.1.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{3}) = - \sqrt{3} (9 - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2})$

Schritt 14.2.1.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (- \sqrt{3}) = - \sqrt{3} (9 - 3^{\frac{2}{2}})$

Schritt 14.2.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 14.2.1.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \sqrt{3}) = - \sqrt{3} (9 - 3^{\frac{2}{2}})$

Schritt 14.2.1.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (- \sqrt{3}) = - \sqrt{3} (9 - 3)$

Schritt 14.2.1.4.5

Berechne den Exponenten.

$f (- \sqrt{3}) = - \sqrt{3} (9 - 1 \cdot 3)$

Schritt 14.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f (- \sqrt{3}) = - \sqrt{3} (9 - 3)$

Schritt 14.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 14.2.2.1

Subtrahiere $3$ von $9$ .

$f (- \sqrt{3}) = - \sqrt{3} \cdot 6$

Schritt 14.2.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$f (- \sqrt{3}) = - 6 \sqrt{3}$

Schritt 14.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 6 \sqrt{3}$ .

$y = - 6 \sqrt{3}$

Schritt 15

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = x (9 - x^{2})$ .

$(\sqrt{3}, 6 \sqrt{3})$ ist ein lokales Maximum

$(- \sqrt{3}, - 6 \sqrt{3})$ ist ein lokales Minimum

Schritt 16