Analysis Beispiele

$f (x) = x {(\frac{x}{2} - 4)}^{4}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(\frac{x}{2} - 4)}^{4}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(\frac{x}{2} - 4)}^{4}] + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = \frac{x}{2} - 4$ .

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Schritt 1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{x}{2} - 4$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} - 4]) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$x (4 u^{3} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} - 4]) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x}{2} - 4$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} - 4]) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3

Differenziere.

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Schritt 1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{x}{2} - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.2

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.4

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{1}{2} + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.5

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{1}{2} + 0)) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.6

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.3.6.1

Addiere $\frac{1}{2}$ und $0$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} \frac{1}{2}) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.6.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$x (\frac{4}{2} {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.6.3

Kombiniere $\frac{4}{2}$ und ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ .

$x \frac{4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 1.3.6.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ heraus.

$x \frac{2 (2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3})}{2} + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.6.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.6.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$x \frac{2 (2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3})}{2 (1)} + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.6.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x \frac{2 (2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3})}{2 \cdot 1} + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.6.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x \frac{2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{1} + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.6.4.2.4

Dividiere $2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ durch $1$ .

$x (2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \cdot 1$

Schritt 1.3.8

Mutltipliziere ${(\frac{x}{2} - 4)}^{4}$ mit $1$ .

$x (2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Faktorisiere ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ aus $x (2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4}$ heraus.

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Schritt 1.4.1.1

Stelle $x$ und $2$ um.

$2 \cdot x {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4}$

Schritt 1.4.1.2

Faktorisiere ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ aus $2 \cdot x {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ heraus.

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (2 \cdot x) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4}$

Schritt 1.4.1.3

Faktorisiere ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ aus ${(\frac{x}{2} - 4)}^{4}$ heraus.

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (2 \cdot x) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{x}{2} - 4)$

Schritt 1.4.1.4

Faktorisiere ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ aus ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (2 \cdot x) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{x}{2} - 4)$ heraus.

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (2 \cdot x + \frac{x}{2} - 4)$

Schritt 1.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.4.2.1

Um $2 x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (2 x \cdot \frac{2}{2} + \frac{x}{2} - 4)$

Schritt 1.4.2.2

Kombiniere $2 x$ und $\frac{2}{2}$ .

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{2 x \cdot 2}{2} + \frac{x}{2} - 4)$

Schritt 1.4.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{2 x \cdot 2 + x}{2} - 4)$

Schritt 1.4.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{4 x + x}{2} - 4)$

Schritt 1.4.2.5

Addiere $4 x$ und $x$ .

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 4)$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ und $g (x) = \frac{5 x}{2} - 4$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (\frac{5 x}{2} - 4) + (\frac{5 x}{2} - 4) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 4)}^{3})$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{5 x}{2} - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{5 x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{d}{d x} (\frac{5 x}{2}) + \frac{d}{d x} (- 4)) + (\frac{5 x}{2} - 4) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 4)}^{3})$

Schritt 2.2.2

Da $\frac{5}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{5 x}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{5}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{5}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)) + (\frac{5 x}{2} - 4) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 4)}^{3})$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{5}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 4)) + (\frac{5 x}{2} - 4) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 4)}^{3})$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $\frac{5}{2}$ mit $1$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{5}{2} + \frac{d}{d x} (- 4)) + (\frac{5 x}{2} - 4) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 4)}^{3})$

Schritt 2.2.5

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{5}{2} + 0) + (\frac{5 x}{2} - 4) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 4)}^{3})$

Schritt 2.2.6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.2.6.1

Addiere $\frac{5}{2}$ und $0$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{5}{2}) + (\frac{5 x}{2} - 4) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 4)}^{3})$

Schritt 2.2.6.2

Kombiniere ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ und $\frac{5}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 4)}^{3} \cdot 5}{2} + (\frac{5 x}{2} - 4) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 4)}^{3})$

Schritt 2.2.6.3

Bringe $5$ auf die linke Seite von ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{5 \cdot {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + (\frac{5 x}{2} - 4) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 4)}^{3})$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = \frac{x}{2} - 4$ .

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Schritt 2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{x}{2} - 4$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + (\frac{5 x}{2} - 4) (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 4))$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + (\frac{5 x}{2} - 4) (3 u^{2} \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 4))$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x}{2} - 4$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + (\frac{5 x}{2} - 4) (3 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 4))$

Schritt 2.4

Differenziere.

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Schritt 2.4.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\frac{5 x}{2} - 4$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + 3 \cdot ((\frac{5 x}{2} - 4) {(\frac{x}{2} - 4)}^{2}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 4)$

Schritt 2.4.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{x}{2} - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 4) {(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{d}{d x} (\frac{x}{2}) + \frac{d}{d x} (- 4))$

Schritt 2.4.3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 4) {(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4))$

Schritt 2.4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 4) {(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 4))$

Schritt 2.4.5

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 4) {(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{1}{2} + \frac{d}{d x} (- 4))$

Schritt 2.4.6

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 4) {(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{1}{2} + 0)$

Schritt 2.4.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.4.7.1

Addiere $\frac{1}{2}$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 4) {(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{1}{2})$

Schritt 2.4.7.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $3$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + \frac{3}{2} \cdot ((\frac{5 x}{2} - 4) {(\frac{x}{2} - 4)}^{2})$

Schritt 2.4.7.3

Kombiniere ${(\frac{x}{2} - 4)}^{2}$ und $\frac{3}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + \frac{{(\frac{x}{2} - 4)}^{2} \cdot 3}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 4)$

Schritt 2.4.7.4

Bringe $3$ auf die linke Seite von ${(\frac{x}{2} - 4)}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + \frac{3 \cdot {(\frac{x}{2} - 4)}^{2}}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 4)$

Schritt 2.5

Um $\frac{3 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2}}{2} (\frac{5 x}{2} - 4)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + \frac{3 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2}}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 4) \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 2.6

Kombiniere $\frac{3 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2}}{2} (\frac{5 x}{2} - 4)$ und $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + \frac{\frac{3 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2}}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 4) \cdot 2}{2}$

Schritt 2.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} + \frac{3 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2}}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 4) \cdot 2}{2}$

Schritt 2.8

Kombiniere $2$ und $\frac{3 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2}}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} + \frac{2 (3 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2})}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 4)}{2}$

Schritt 2.9

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} + \frac{6 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2}}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 4)}{2}$

Schritt 2.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $2$ .

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Schritt 2.10.1

Faktorisiere $2$ aus $6 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} + \frac{2 (3 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2})}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 4)}{2}$

Schritt 2.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.10.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} + \frac{2 (3 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2})}{2 (1)} \cdot (\frac{5 x}{2} - 4)}{2}$

Schritt 2.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} + \frac{2 (3 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2})}{2 \cdot 1} \cdot (\frac{5 x}{2} - 4)}{2}$

Schritt 2.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} + \frac{3 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2}}{1} \cdot (\frac{5 x}{2} - 4)}{2}$

Schritt 2.10.2.4

Dividiere $3 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2}$ durch $1$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} + 3 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 4)}{2}$

Schritt 2.11

Vereinfache.

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Schritt 2.11.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.11.1.1

Faktorisiere ${(\frac{x}{2} - 4)}^{2}$ aus $5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} + 3 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 4)$ heraus.

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Schritt 2.11.1.1.1

Faktorisiere ${(\frac{x}{2} - 4)}^{2}$ aus $5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (5 (\frac{x}{2} - 4)) + 3 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 4)}{2}$

Schritt 2.11.1.1.2

Faktorisiere ${(\frac{x}{2} - 4)}^{2}$ aus $3 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 4)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (5 (\frac{x}{2} - 4)) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (3 (\frac{5 x}{2} - 4))}{2}$

Schritt 2.11.1.1.3

Faktorisiere ${(\frac{x}{2} - 4)}^{2}$ aus ${(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (5 (\frac{x}{2} - 4)) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (3 (\frac{5 x}{2} - 4))$ heraus.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (5 (\frac{x}{2} - 4) + 3 (\frac{5 x}{2} - 4))}{2}$

Schritt 2.11.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (5 (\frac{x}{2}) + 5 \cdot - 4 + 3 (\frac{5 x}{2} - 4))}{2}$

Schritt 2.11.1.3

Kombiniere $5$ und $\frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{5 x}{2} + 5 \cdot - 4 + 3 (\frac{5 x}{2} - 4))}{2}$

Schritt 2.11.1.4

Mutltipliziere $5$ mit $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 20 + 3 (\frac{5 x}{2} - 4))}{2}$

Schritt 2.11.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 20 + 3 (\frac{5 x}{2}) + 3 \cdot - 4)}{2}$

Schritt 2.11.1.6

Multipliziere $3 \frac{5 x}{2}$ .

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Schritt 2.11.1.6.1

Kombiniere $3$ und $\frac{5 x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 20 + \frac{3 (5 x)}{2} + 3 \cdot - 4)}{2}$

Schritt 2.11.1.6.2

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 20 + \frac{15 x}{2} + 3 \cdot - 4)}{2}$

Schritt 2.11.1.7

Mutltipliziere $3$ mit $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 20 + \frac{15 x}{2} - 12)}{2}$

Schritt 2.11.1.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 20 - 12)}{2}$

Schritt 2.11.1.9

Subtrahiere $12$ von $- 20$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 32)}{2}$

Schritt 2.11.1.10

Um $- 4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 4 \cdot \frac{2}{2})}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 32)}{2}$

Schritt 2.11.1.11

Kombiniere $- 4$ und $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{2})}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 32)}{2}$

Schritt 2.11.1.12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 4 \cdot 2}{2})}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 32)}{2}$

Schritt 2.11.1.13

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 8}{2})}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 32)}{2}$

Schritt 2.11.1.14

Addiere $5 x$ und $15 x$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 8}{2})}^{2} (\frac{20 x}{2} - 32)}{2}$

Schritt 2.11.1.15

Kürze den gemeinsamen Teiler von $20$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.11.1.15.1

Faktorisiere $2$ aus $20 x$ heraus.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 8}{2})}^{2} (\frac{2 (10 x)}{2} - 32)}{2}$

Schritt 2.11.1.15.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.11.1.15.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 8}{2})}^{2} (\frac{2 (10 x)}{2 (1)} - 32)}{2}$

Schritt 2.11.1.15.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 8}{2})}^{2} (\frac{2 (10 x)}{2 \cdot 1} - 32)}{2}$

Schritt 2.11.1.15.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 8}{2})}^{2} (\frac{10 x}{1} - 32)}{2}$

Schritt 2.11.1.15.2.4

Dividiere $10 x$ durch $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 8}{2})}^{2} (10 x - 32)}{2}$

Schritt 2.11.1.16

Wende die Produktregel auf $\frac{x - 8}{2}$ an.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 8)}^{2}}{2^{2}} \cdot (10 x - 32)}{2}$

Schritt 2.11.1.17

Faktorisiere $2$ aus $10 x - 32$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.11.1.17.1

Faktorisiere $2$ aus $10 x$ heraus.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 8)}^{2}}{2^{2}} \cdot (2 (5 x) - 32)}{2}$

Schritt 2.11.1.17.2

Faktorisiere $2$ aus $- 32$ heraus.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 8)}^{2}}{2^{2}} \cdot (2 (5 x) + 2 (- 16))}{2}$

Schritt 2.11.1.17.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (5 x) + 2 (- 16)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 8)}^{2}}{2^{2}} \cdot (2 (5 x - 16))}{2}$

Schritt 2.11.1.18

Kombiniere $\frac{{(x - 8)}^{2}}{2^{2}}$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 8)}^{2} \cdot 2}{2^{2}} \cdot (5 x - 16)}{2}$

Schritt 2.11.1.19

Vereinfache den Ausdruck $\frac{{(x - 8)}^{2} \cdot 2}{2^{2}}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.11.1.19.1

Faktorisiere $2$ aus ${(x - 8)}^{2} \cdot 2$ heraus.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 \cdot {(x - 8)}^{2}}{2^{2}} \cdot (5 x - 16)}{2}$

Schritt 2.11.1.19.2

Faktorisiere $2$ aus $2^{2}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 \cdot {(x - 8)}^{2}}{2 \cdot 2} \cdot (5 x - 16)}{2}$

Schritt 2.11.1.19.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 \cdot {(x - 8)}^{2}}{2 \cdot 2} \cdot (5 x - 16)}{2}$

Schritt 2.11.1.19.4

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 8)}^{2}}{2} \cdot (5 x - 16)}{2}$

Schritt 2.11.2

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = \frac{(5 x - 16) (\frac{{(x - 8)}^{2}}{2})}{2}$

Schritt 2.11.3

Faktorisiere $\frac{{(x - 8)}^{2}}{2}$ aus $\frac{(5 x - 16) \frac{{(x - 8)}^{2}}{2}}{2}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{{(x - 8)}^{2}}{2} \cdot \frac{5 x - 16}{2}$

Schritt 2.11.4

Multipliziere $\frac{{(x - 8)}^{2}}{2} \cdot \frac{5 x - 16}{2}$ .

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Schritt 2.11.4.1

Mutltipliziere $\frac{{(x - 8)}^{2}}{2}$ mit $\frac{5 x - 16}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 8)}^{2} (5 x - 16)}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.11.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 8)}^{2} (5 x - 16)}{4}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 4) = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

$x \frac{d}{d x} [{(\frac{x}{2} - 4)}^{4}] + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = \frac{x}{2} - 4$ .

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Schritt 4.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{x}{2} - 4$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} - 4]) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$x (4 u^{3} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} - 4]) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x}{2} - 4$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} - 4]) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.3

Differenziere.

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Schritt 4.1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{x}{2} - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.3.2

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.3.4

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{1}{2} + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.3.5

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{1}{2} + 0)) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.3.6

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.1.3.6.1

Addiere $\frac{1}{2}$ und $0$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} \frac{1}{2}) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.3.6.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$x (\frac{4}{2} {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.3.6.3

Kombiniere $\frac{4}{2}$ und ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ .

$x \frac{4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.3.6.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ heraus.

$x \frac{2 (2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3})}{2} + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.3.6.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.3.6.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$x \frac{2 (2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3})}{2 (1)} + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.3.6.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x \frac{2 (2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3})}{2 \cdot 1} + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.3.6.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x \frac{2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{1} + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.3.6.4.2.4

Dividiere $2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ durch $1$ .

$x (2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \cdot 1$

Schritt 4.1.3.8

Mutltipliziere ${(\frac{x}{2} - 4)}^{4}$ mit $1$ .

$x (2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4}$

Schritt 4.1.4

Vereinfache.

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Schritt 4.1.4.1

Faktorisiere ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ aus $x (2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4}$ heraus.

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Schritt 4.1.4.1.1

Stelle $x$ und $2$ um.

$2 \cdot x {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4}$

Schritt 4.1.4.1.2

Faktorisiere ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ aus $2 \cdot x {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ heraus.

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (2 \cdot x) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4}$

Schritt 4.1.4.1.3

Faktorisiere ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ aus ${(\frac{x}{2} - 4)}^{4}$ heraus.

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (2 \cdot x) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{x}{2} - 4)$

Schritt 4.1.4.1.4

Faktorisiere ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ aus ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (2 \cdot x) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{x}{2} - 4)$ heraus.

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (2 \cdot x + \frac{x}{2} - 4)$

Schritt 4.1.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.1.4.2.1

Um $2 x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (2 x \cdot \frac{2}{2} + \frac{x}{2} - 4)$

Schritt 4.1.4.2.2

Kombiniere $2 x$ und $\frac{2}{2}$ .

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{2 x \cdot 2}{2} + \frac{x}{2} - 4)$

Schritt 4.1.4.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{2 x \cdot 2 + x}{2} - 4)$

Schritt 4.1.4.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{4 x + x}{2} - 4)$

Schritt 4.1.4.2.5

Addiere $4 x$ und $x$ .

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 4)$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 4)$ .

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 4)$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 4) = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 4) = 0$

Schritt 5.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} = 0$

$\frac{5 x}{2} - 4 = 0$

Schritt 5.3

Setze ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.1

Setze ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ gleich $0$ .

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} = 0$

Schritt 5.3.2

Löse ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.2.1

Setze $\frac{x}{2} - 4$ gleich $0$ .

$\frac{x}{2} - 4 = 0$

Schritt 5.3.2.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.2.2.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{x}{2} = 4$

Schritt 5.3.2.2.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot 4$

Schritt 5.3.2.2.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 5.3.2.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.2.2.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot 4$

Schritt 5.3.2.2.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 2 \cdot 4$

Schritt 5.3.2.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.2.2.3.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$x = 8$

Schritt 5.4

Setze $\frac{5 x}{2} - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.4.1

Setze $\frac{5 x}{2} - 4$ gleich $0$ .

$\frac{5 x}{2} - 4 = 0$

Schritt 5.4.2

Löse $\frac{5 x}{2} - 4 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.4.2.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{5 x}{2} = 4$

Schritt 5.4.2.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{2}{5}$ .

$\frac{2}{5} \cdot \frac{5 x}{2} = \frac{2}{5} \cdot 4$

Schritt 5.4.2.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 5.4.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.3.1.1

Vereinfache $\frac{2}{5} \cdot \frac{5 x}{2}$ .

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Schritt 5.4.2.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.4.2.3.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{5} \cdot \frac{5 x}{2} = \frac{2}{5} \cdot 4$

Schritt 5.4.2.3.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{5} (5 x) = \frac{2}{5} \cdot 4$

Schritt 5.4.2.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.4.2.3.1.1.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x$ heraus.

$\frac{1}{5} (5 (x)) = \frac{2}{5} \cdot 4$

Schritt 5.4.2.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{5} (5 x) = \frac{2}{5} \cdot 4$

Schritt 5.4.2.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{2}{5} \cdot 4$

Schritt 5.4.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.2.3.2.1

Multipliziere $\frac{2}{5} \cdot 4$ .

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Schritt 5.4.2.3.2.1.1

Kombiniere $\frac{2}{5}$ und $4$ .

$x = \frac{2 \cdot 4}{5}$

Schritt 5.4.2.3.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$x = \frac{8}{5}$

Schritt 5.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 4) = 0$ wahr machen.

$x = 8, \frac{8}{5}$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 8, \frac{8}{5}$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 8$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{{((8) - 8)}^{2} (5 (8) - 16)}{4}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $5 (8) - 16$ und $4$ .

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Schritt 9.1.1.1

Faktorisiere $4$ aus ${((8) - 8)}^{2} (5 (8) - 16)$ heraus.

$\frac{4 ({((8) - 8)}^{2} (5 \cdot (2) - 4))}{4}$

Schritt 9.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.1.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{4 ({((8) - 8)}^{2} (5 \cdot (2) - 4))}{4 (1)}$

Schritt 9.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 ({((8) - 8)}^{2} (5 \cdot (2) - 4))}{4 \cdot 1}$

Schritt 9.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{{((8) - 8)}^{2} (5 \cdot (2) - 4)}{1}$

Schritt 9.1.1.2.4

Dividiere ${((8) - 8)}^{2} (5 \cdot (2) - 4)$ durch $1$ .

${((8) - 8)}^{2} (5 \cdot (2) - 4)$

Schritt 9.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.1.2.1

Subtrahiere $8$ von $8$ .

$0^{2} (5 \cdot (2) - 4)$

Schritt 9.1.2.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 (5 \cdot (2) - 4)$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$0 (10 - 4)$

Schritt 9.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.3.1

Subtrahiere $4$ von $10$ .

$0 \cdot 6$

Schritt 9.3.2

Mutltipliziere $0$ mit $6$ .

$0$

Schritt 10

Da es mindestens einen Punkt mit $0$ oder eine nicht definierte zweite Ableitung gibt, wende den ersten Ableitungstest an.

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Schritt 10.1

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum auf, die die erste Ableitung zu $0$ oder nicht definiert machen.

$(- \infty, \frac{8}{5}) \cup (\frac{8}{5}, 8) \cup (8, \infty)$

Schritt 10.2

Setze eine beliebige Zahl, wie $0$ , aus dem Intervall $(- \infty, \frac{8}{5})$ in die erste Ableitung ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 4)$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 10.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f' (0) = {(\frac{0}{2} - 4)}^{3} (\frac{5 (0)}{2} - 4)$

Schritt 10.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 10.2.2.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$f' (0) = {(0 - 4)}^{3} (\frac{5 (0)}{2} - 4)$

Schritt 10.2.2.2

Subtrahiere $4$ von $0$ .

$f' (0) = {(- 4)}^{3} (\frac{5 (0)}{2} - 4)$

Schritt 10.2.2.3

Potenziere $- 4$ mit $3$ .

$f' (0) = - 64 (\frac{5 (0)}{2} - 4)$

Schritt 10.2.2.4

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$f' (0) = - 64 (\frac{0}{2} - 4)$

Schritt 10.2.2.5

Dividiere $0$ durch $2$ .

$f' (0) = - 64 (0 - 4)$

Schritt 10.2.2.6

Subtrahiere $4$ von $0$ .

$f' (0) = - 64 \cdot - 4$

Schritt 10.2.2.7

Mutltipliziere $- 64$ mit $- 4$ .

$f' (0) = 256$

Schritt 10.2.2.8

Die endgültige Lösung ist $256$ .

$256$

Schritt 10.3

Setze eine beliebige Zahl, wie $5$ , aus dem Intervall $(\frac{8}{5}, 8)$ in die erste Ableitung ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 4)$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 10.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $5$ .

$f' (5) = {(\frac{5}{2} - 4)}^{3} (\frac{5 (5)}{2} - 4)$

Schritt 10.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 10.3.2.1

Um $- 4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (5) = {(\frac{5}{2} - 4 \cdot \frac{2}{2})}^{3} (\frac{5 (5)}{2} - 4)$

Schritt 10.3.2.2

Kombiniere $- 4$ und $\frac{2}{2}$ .

$f' (5) = {(\frac{5}{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{2})}^{3} (\frac{5 (5)}{2} - 4)$

Schritt 10.3.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (5) = {(\frac{5 - 4 \cdot 2}{2})}^{3} (\frac{5 (5)}{2} - 4)$

Schritt 10.3.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.3.2.4.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$f' (5) = {(\frac{5 - 8}{2})}^{3} (\frac{5 (5)}{2} - 4)$

Schritt 10.3.2.4.2

Subtrahiere $8$ von $5$ .

$f' (5) = {(\frac{- 3}{2})}^{3} (\frac{5 (5)}{2} - 4)$

Schritt 10.3.2.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (5) = {(- \frac{3}{2})}^{3} (\frac{5 (5)}{2} - 4)$

Schritt 10.3.2.6

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 10.3.2.6.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{3}{2}$ an.

$f' (5) = {(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3} (\frac{5 (5)}{2} - 4)$

Schritt 10.3.2.6.2

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{2}$ an.

$f' (5) = {(- 1)}^{3} (\frac{3^{3}}{2^{3}}) \cdot (\frac{5 (5)}{2} - 4)$

Schritt 10.3.2.7

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f' (5) = - \frac{3^{3}}{2^{3}} \cdot (\frac{5 (5)}{2} - 4)$

Schritt 10.3.2.8

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f' (5) = - \frac{27}{2^{3}} \cdot (\frac{5 (5)}{2} - 4)$

Schritt 10.3.2.9

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f' (5) = - \frac{27}{8} \cdot (\frac{5 (5)}{2} - 4)$

Schritt 10.3.2.10

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$f' (5) = - \frac{27}{8} \cdot (\frac{25}{2} - 4)$

Schritt 10.3.2.11

Um $- 4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (5) = - \frac{27}{8} \cdot (\frac{25}{2} - 4 \cdot \frac{2}{2})$

Schritt 10.3.2.12

Kombiniere $- 4$ und $\frac{2}{2}$ .

$f' (5) = - \frac{27}{8} \cdot (\frac{25}{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{2})$

Schritt 10.3.2.13

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (5) = - \frac{27}{8} \cdot \frac{25 - 4 \cdot 2}{2}$

Schritt 10.3.2.14

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.3.2.14.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$f' (5) = - \frac{27}{8} \cdot \frac{25 - 8}{2}$

Schritt 10.3.2.14.2

Subtrahiere $8$ von $25$ .

$f' (5) = - \frac{27}{8} \cdot \frac{17}{2}$

Schritt 10.3.2.15

Multipliziere $- \frac{27}{8} \cdot \frac{17}{2}$ .

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Schritt 10.3.2.15.1

Mutltipliziere $\frac{17}{2}$ mit $\frac{27}{8}$ .

$f' (5) = - \frac{17 \cdot 27}{2 \cdot 8}$

Schritt 10.3.2.15.2

Mutltipliziere $17$ mit $27$ .

$f' (5) = - \frac{459}{2 \cdot 8}$

Schritt 10.3.2.15.3

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$f' (5) = - \frac{459}{16}$

Schritt 10.3.2.16

Die endgültige Lösung ist $- \frac{459}{16}$ .

$- \frac{459}{16}$

Schritt 10.4

Setze eine beliebige Zahl, wie $10$ , aus dem Intervall $(8, \infty)$ in die erste Ableitung ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 4)$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 10.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $10$ .

$f' (10) = {(\frac{10}{2} - 4)}^{3} (\frac{5 (10)}{2} - 4)$

Schritt 10.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 10.4.2.1

Dividiere $10$ durch $2$ .

$f' (10) = {(5 - 4)}^{3} (\frac{5 (10)}{2} - 4)$

Schritt 10.4.2.2

Subtrahiere $4$ von $5$ .

$f' (10) = 1^{3} (\frac{5 (10)}{2} - 4)$

Schritt 10.4.2.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (10) = 1 (\frac{5 (10)}{2} - 4)$

Schritt 10.4.2.4

Mutltipliziere $\frac{5 (10)}{2} - 4$ mit $1$ .

$f' (10) = \frac{5 (10)}{2} - 4$

Schritt 10.4.2.5

Mutltipliziere $5$ mit $10$ .

$f' (10) = \frac{50}{2} - 4$

Schritt 10.4.2.6

Dividiere $50$ durch $2$ .

$f' (10) = 25 - 4$

Schritt 10.4.2.7

Subtrahiere $4$ von $25$ .

$f' (10) = 21$

Schritt 10.4.2.8

Die endgültige Lösung ist $21$ .

$21$

Schritt 10.5

Da die erste Ableitung um $x = \frac{8}{5}$ herum das Vorzeichen von positiv zu negativ gewechselt hat, ist $x = \frac{8}{5}$ ein lokales Maximum.

$x = \frac{8}{5}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 10.6

Da die erste Ableitung um $x = 8$ herum das Vorzeichen von negativ zu positiv gewechselt hat, ist $x = 8$ ein lokales Minimum.

$x = 8$ ist ein lokales Minimum

Schritt 10.7

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = x {(\frac{x}{2} - 4)}^{4}$ .

$x = \frac{8}{5}$ ist ein lokales Maximum

$x = 8$ ist ein lokales Minimum

$x = \frac{8}{5}$ ist ein lokales Maximum

$x = 8$ ist ein lokales Minimum

Schritt 11