Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x^{2}}{3 x - 2} + 5 x$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{x^{2}}{3 x - 2} + 5 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 x - 2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 x - 2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 x - 2}]$ .

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Schritt 1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = 3 x - 2$ .

$\frac{(3 x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [3 x - 2]}{{(3 x - 2)}^{2}} + \frac{d}{d x} [5 x]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(3 x - 2) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [3 x - 2]}{{(3 x - 2)}^{2}} + \frac{d}{d x} [5 x]$

Schritt 1.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{(3 x - 2) (2 x) - x^{2} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(3 x - 2)}^{2}} + \frac{d}{d x} [5 x]$

Schritt 1.2.4

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(3 x - 2) (2 x) - x^{2} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(3 x - 2)}^{2}} + \frac{d}{d x} [5 x]$

Schritt 1.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(3 x - 2) (2 x) - x^{2} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(3 x - 2)}^{2}} + \frac{d}{d x} [5 x]$

Schritt 1.2.6

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(3 x - 2) (2 x) - x^{2} (3 \cdot 1 + 0)}{{(3 x - 2)}^{2}} + \frac{d}{d x} [5 x]$

Schritt 1.2.7

Bringe $2$ auf die linke Seite von $3 x - 2$ .

$\frac{2 \cdot (3 x - 2) x - x^{2} (3 \cdot 1 + 0)}{{(3 x - 2)}^{2}} + \frac{d}{d x} [5 x]$

Schritt 1.2.8

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{2 (3 x - 2) x - x^{2} (3 + 0)}{{(3 x - 2)}^{2}} + \frac{d}{d x} [5 x]$

Schritt 1.2.9

Addiere $3$ und $0$ .

$\frac{2 (3 x - 2) x - x^{2} \cdot 3}{{(3 x - 2)}^{2}} + \frac{d}{d x} [5 x]$

Schritt 1.2.10

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{2 (3 x - 2) x - 3 x^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}} + \frac{d}{d x} [5 x]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (3 x - 2) x - 3 x^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}} + 5 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2 (3 x - 2) x - 3 x^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}} + 5 \cdot 1$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$\frac{2 (3 x - 2) x - 3 x^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}} + 5$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(2 (3 x) + 2 \cdot - 2) x - 3 x^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}} + 5$

Schritt 1.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (3 x) x + 2 \cdot - 2 x - 3 x^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}} + 5$

Schritt 1.4.3

Vereine die Terme

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Schritt 1.4.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{6 x \cdot x + 2 \cdot - 2 x - 3 x^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}} + 5$

Schritt 1.4.3.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{6 (x^{1} x) + 2 \cdot - 2 x - 3 x^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}} + 5$

Schritt 1.4.3.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{6 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot - 2 x - 3 x^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}} + 5$

Schritt 1.4.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{6 x^{1 + 1} + 2 \cdot - 2 x - 3 x^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}} + 5$

Schritt 1.4.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{6 x^{2} + 2 \cdot - 2 x - 3 x^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}} + 5$

Schritt 1.4.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$\frac{6 x^{2} - 4 x - 3 x^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}} + 5$

Schritt 1.4.3.7

Subtrahiere $3 x^{2}$ von $6 x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2} - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}} + 5$

Schritt 1.4.3.8

Um $5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{(3 x - 2)}^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}}$ .

$\frac{3 x^{2} - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}} + \frac{5 {(3 x - 2)}^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.4.3.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 x^{2} - 4 x + 5 {(3 x - 2)}^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.4.4

Stelle die Terme um.

$\frac{3 x^{2} + 5 {(3 x - 2)}^{2} - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.4.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.4.5.1

Schreibe ${(3 x - 2)}^{2}$ als $(3 x - 2) (3 x - 2)$ um.

$\frac{3 x^{2} + 5 ((3 x - 2) (3 x - 2)) - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.4.5.2

Multipliziere $(3 x - 2) (3 x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.4.5.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 x^{2} + 5 (3 x (3 x - 2) - 2 (3 x - 2)) - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.4.5.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 x^{2} + 5 (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 2 - 2 (3 x - 2)) - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.4.5.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 x^{2} + 5 (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 2 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2) - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.4.5.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.4.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.5.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{3 x^{2} + 5 (3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 2 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2) - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.4.5.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.4.5.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{3 x^{2} + 5 (3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 2 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2) - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.4.5.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{3 x^{2} + 5 (3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot - 2 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2) - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.4.5.3.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{3 x^{2} + 5 (9 x^{2} + 3 x \cdot - 2 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2) - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.4.5.3.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$\frac{3 x^{2} + 5 (9 x^{2} - 6 x - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2) - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.4.5.3.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$\frac{3 x^{2} + 5 (9 x^{2} - 6 x - 6 x - 2 \cdot - 2) - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.4.5.3.1.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$\frac{3 x^{2} + 5 (9 x^{2} - 6 x - 6 x + 4) - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.4.5.3.2

Subtrahiere $6 x$ von $- 6 x$ .

$\frac{3 x^{2} + 5 (9 x^{2} - 12 x + 4) - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.4.5.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 x^{2} + 5 (9 x^{2}) + 5 (- 12 x) + 5 \cdot 4 - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.4.5.5

Vereinfache.

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Schritt 1.4.5.5.1

Mutltipliziere $9$ mit $5$ .

$\frac{3 x^{2} + 45 x^{2} + 5 (- 12 x) + 5 \cdot 4 - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.4.5.5.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $5$ .

$\frac{3 x^{2} + 45 x^{2} - 60 x + 5 \cdot 4 - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.4.5.5.3

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$\frac{3 x^{2} + 45 x^{2} - 60 x + 20 - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.4.5.6

Addiere $3 x^{2}$ und $45 x^{2}$ .

$\frac{48 x^{2} - 60 x + 20 - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.4.5.7

Subtrahiere $4 x$ von $- 60 x$ .

$\frac{48 x^{2} - 64 x + 20}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.4.5.8

Schreibe $48 x^{2} - 64 x + 20$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 1.4.5.8.1

Faktorisiere $4$ aus $48 x^{2} - 64 x + 20$ heraus.

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Schritt 1.4.5.8.1.1

Faktorisiere $4$ aus $48 x^{2}$ heraus.

$\frac{4 (12 x^{2}) - 64 x + 20}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.4.5.8.1.2

Faktorisiere $4$ aus $- 64 x$ heraus.

$\frac{4 (12 x^{2}) + 4 (- 16 x) + 20}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.4.5.8.1.3

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$\frac{4 (12 x^{2}) + 4 (- 16 x) + 4 (5)}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.4.5.8.1.4

Faktorisiere $4$ aus $4 (12 x^{2}) + 4 (- 16 x)$ heraus.

$\frac{4 (12 x^{2} - 16 x) + 4 (5)}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.4.5.8.1.5

Faktorisiere $4$ aus $4 (12 x^{2} - 16 x) + 4 (5)$ heraus.

$\frac{4 (12 x^{2} - 16 x + 5)}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.4.5.8.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.4.5.8.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 12 \cdot 5 = 60$ und deren Summe gleich $b = - 16$ ist.

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Schritt 1.4.5.8.2.1.1

Faktorisiere $- 16$ aus $- 16 x$ heraus.

$\frac{4 (12 x^{2} - 16 (x) + 5)}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.4.5.8.2.1.2

Schreibe $- 16$ um als $- 6$ plus $- 10$

$\frac{4 (12 x^{2} + (- 6 - 10) x + 5)}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.4.5.8.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 (12 x^{2} - 6 x - 10 x + 5)}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.4.5.8.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.4.5.8.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{4 ((12 x^{2} - 6 x) - 10 x + 5)}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.4.5.8.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{4 (6 x (2 x - 1) - 5 (2 x - 1))}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.4.5.8.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x - 1$ .

$\frac{4 ((2 x - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{2}}$

$\frac{4 (2 x - 1) (6 x - 5)}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4 (2 x - 1) (6 x - 5)}{{(3 x - 2)}^{2}}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\frac{(2 x - 1) (6 x - 5)}{{(3 x - 2)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{(2 x - 1) (6 x - 5)}{{(3 x - 2)}^{2}})$

Schritt 2.2

$f'' (x) = 4 (\frac{{(3 x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} ((2 x - 1) (6 x - 5)) - (2 x - 1) (6 x - 5) \frac{d}{d x} {(3 x - 2)}^{2}}{{({(3 x - 2)}^{2})}^{2}})$

Schritt 2.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(3 x - 2)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(3 x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} ((2 x - 1) (6 x - 5)) - (2 x - 1) (6 x - 5) \frac{d}{d x} {(3 x - 2)}^{2}}{{(3 x - 2)}^{2 \cdot 2}})$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(3 x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} ((2 x - 1) (6 x - 5)) - (2 x - 1) (6 x - 5) \frac{d}{d x} {(3 x - 2)}^{2}}{{(3 x - 2)}^{4}})$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 2 x - 1$ und $g (x) = 6 x - 5$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(3 x - 2)}^{2} ((2 x - 1) \frac{d}{d x} (6 x - 5) + (6 x - 5) \frac{d}{d x} (2 x - 1)) - (2 x - 1) (6 x - 5) \frac{d}{d x} {(3 x - 2)}^{2}}{{(3 x - 2)}^{4}})$

Schritt 2.5

Differenziere.

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Schritt 2.5.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 x - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(3 x - 2)}^{2} ((2 x - 1) (\frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 5)) + (6 x - 5) \frac{d}{d x} (2 x - 1)) - (2 x - 1) (6 x - 5) \frac{d}{d x} {(3 x - 2)}^{2}}{{(3 x - 2)}^{4}})$

Schritt 2.5.2

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(3 x - 2)}^{2} ((2 x - 1) (6 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5)) + (6 x - 5) \frac{d}{d x} (2 x - 1)) - (2 x - 1) (6 x - 5) \frac{d}{d x} {(3 x - 2)}^{2}}{{(3 x - 2)}^{4}})$

Schritt 2.5.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(3 x - 2)}^{2} ((2 x - 1) (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 5)) + (6 x - 5) \frac{d}{d x} (2 x - 1)) - (2 x - 1) (6 x - 5) \frac{d}{d x} {(3 x - 2)}^{2}}{{(3 x - 2)}^{4}})$

Schritt 2.5.4

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(3 x - 2)}^{2} ((2 x - 1) (6 + \frac{d}{d x} (- 5)) + (6 x - 5) \frac{d}{d x} (2 x - 1)) - (2 x - 1) (6 x - 5) \frac{d}{d x} {(3 x - 2)}^{2}}{{(3 x - 2)}^{4}})$

Schritt 2.5.5

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(3 x - 2)}^{2} ((2 x - 1) (6 + 0) + (6 x - 5) \frac{d}{d x} (2 x - 1)) - (2 x - 1) (6 x - 5) \frac{d}{d x} {(3 x - 2)}^{2}}{{(3 x - 2)}^{4}})$

Schritt 2.5.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.5.6.1

Addiere $6$ und $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(3 x - 2)}^{2} ((2 x - 1) \cdot 6 + (6 x - 5) \frac{d}{d x} (2 x - 1)) - (2 x - 1) (6 x - 5) \frac{d}{d x} {(3 x - 2)}^{2}}{{(3 x - 2)}^{4}})$

Schritt 2.5.6.2

Bringe $6$ auf die linke Seite von $2 x - 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(3 x - 2)}^{2} (6 \cdot (2 x - 1) + (6 x - 5) \frac{d}{d x} (2 x - 1)) - (2 x - 1) (6 x - 5) \frac{d}{d x} {(3 x - 2)}^{2}}{{(3 x - 2)}^{4}})$

Schritt 2.5.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(3 x - 2)}^{2} (6 (2 x - 1) + (6 x - 5) (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1))) - (2 x - 1) (6 x - 5) \frac{d}{d x} {(3 x - 2)}^{2}}{{(3 x - 2)}^{4}})$

Schritt 2.5.8

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(3 x - 2)}^{2} (6 (2 x - 1) + (6 x - 5) (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))) - (2 x - 1) (6 x - 5) \frac{d}{d x} {(3 x - 2)}^{2}}{{(3 x - 2)}^{4}})$

Schritt 2.5.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(3 x - 2)}^{2} (6 (2 x - 1) + (6 x - 5) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 1))) - (2 x - 1) (6 x - 5) \frac{d}{d x} {(3 x - 2)}^{2}}{{(3 x - 2)}^{4}})$

Schritt 2.5.10

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(3 x - 2)}^{2} (6 (2 x - 1) + (6 x - 5) (2 + \frac{d}{d x} (- 1))) - (2 x - 1) (6 x - 5) \frac{d}{d x} {(3 x - 2)}^{2}}{{(3 x - 2)}^{4}})$

Schritt 2.5.11

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(3 x - 2)}^{2} (6 (2 x - 1) + (6 x - 5) (2 + 0)) - (2 x - 1) (6 x - 5) \frac{d}{d x} {(3 x - 2)}^{2}}{{(3 x - 2)}^{4}})$

Schritt 2.5.12

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.5.12.1

Addiere $2$ und $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(3 x - 2)}^{2} (6 (2 x - 1) + (6 x - 5) \cdot 2) - (2 x - 1) (6 x - 5) \frac{d}{d x} {(3 x - 2)}^{2}}{{(3 x - 2)}^{4}})$

Schritt 2.5.12.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $6 x - 5$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(3 x - 2)}^{2} (6 (2 x - 1) + 2 \cdot (6 x - 5)) - (2 x - 1) (6 x - 5) \frac{d}{d x} {(3 x - 2)}^{2}}{{(3 x - 2)}^{4}})$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = 3 x - 2$ .

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Schritt 2.6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x - 2$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(3 x - 2)}^{2} (6 (2 x - 1) + 2 (6 x - 5)) - (2 x - 1) (6 x - 5) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (3 x - 2))}{{(3 x - 2)}^{4}})$

Schritt 2.6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(3 x - 2)}^{2} (6 (2 x - 1) + 2 (6 x - 5)) - (2 x - 1) (6 x - 5) (2 u \frac{d}{d x} (3 x - 2))}{{(3 x - 2)}^{4}})$

Schritt 2.6.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x - 2$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(3 x - 2)}^{2} (6 (2 x - 1) + 2 (6 x - 5)) - (2 x - 1) (6 x - 5) (2 (3 x - 2) \frac{d}{d x} (3 x - 2))}{{(3 x - 2)}^{4}})$

Schritt 2.7

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.7.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(3 x - 2)}^{2} (6 (2 x - 1) + 2 (6 x - 5)) - 2 (2 x - 1) (6 x - 5) ((3 x - 2) \frac{d}{d x} (3 x - 2))}{{(3 x - 2)}^{4}})$

Schritt 2.7.2

Faktorisiere $3 x - 2$ aus ${(3 x - 2)}^{2} (6 (2 x - 1) + 2 (6 x - 5)) - 2 (2 x - 1) (6 x - 5) ((3 x - 2) \frac{d}{d x} [3 x - 2])$ heraus.

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Schritt 2.7.2.1

Faktorisiere $3 x - 2$ aus ${(3 x - 2)}^{2} (6 (2 x - 1) + 2 (6 x - 5))$ heraus.

$f'' (x) = 4 (\frac{(3 x - 2) ((3 x - 2) (6 (2 x - 1) + 2 (6 x - 5))) - 2 (2 x - 1) (6 x - 5) ((3 x - 2) \frac{d}{d x} (3 x - 2))}{{(3 x - 2)}^{4}})$

Schritt 2.7.2.2

Faktorisiere $3 x - 2$ aus $- 2 (2 x - 1) (6 x - 5) ((3 x - 2) \frac{d}{d x} [3 x - 2])$ heraus.

$f'' (x) = 4 (\frac{(3 x - 2) ((3 x - 2) (6 (2 x - 1) + 2 (6 x - 5))) + (3 x - 2) (- 2 (2 x - 1) (6 x - 5) (\frac{d}{d x} (3 x - 2)))}{{(3 x - 2)}^{4}})$

Schritt 2.7.2.3

Faktorisiere $3 x - 2$ aus $(3 x - 2) ((3 x - 2) (6 (2 x - 1) + 2 (6 x - 5))) + (3 x - 2) (- 2 (2 x - 1) (6 x - 5) (\frac{d}{d x} [3 x - 2]))$ heraus.

$f'' (x) = 4 (\frac{(3 x - 2) ((3 x - 2) (6 (2 x - 1) + 2 (6 x - 5)) - 2 (2 x - 1) (6 x - 5) (\frac{d}{d x} (3 x - 2)))}{{(3 x - 2)}^{4}})$

Schritt 2.8

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.8.1

Faktorisiere $3 x - 2$ aus ${(3 x - 2)}^{4}$ heraus.

$f'' (x) = 4 (\frac{(3 x - 2) ((3 x - 2) (6 (2 x - 1) + 2 (6 x - 5)) - 2 (2 x - 1) (6 x - 5) (\frac{d}{d x} (3 x - 2)))}{(3 x - 2) {(3 x - 2)}^{3}})$

Schritt 2.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = 4 (\frac{(3 x - 2) ((3 x - 2) (6 (2 x - 1) + 2 (6 x - 5)) - 2 (2 x - 1) (6 x - 5) (\frac{d}{d x} (3 x - 2)))}{(3 x - 2) {(3 x - 2)}^{3}})$

Schritt 2.8.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = 4 (\frac{(3 x - 2) (6 (2 x - 1) + 2 (6 x - 5)) - 2 (2 x - 1) (6 x - 5) (\frac{d}{d x} (3 x - 2))}{{(3 x - 2)}^{3}})$

Schritt 2.9

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{(3 x - 2) (6 (2 x - 1) + 2 (6 x - 5)) - 2 (2 x - 1) (6 x - 5) (\frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (- 2))}{{(3 x - 2)}^{3}})$

Schritt 2.10

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{(3 x - 2) (6 (2 x - 1) + 2 (6 x - 5)) - 2 (2 x - 1) (6 x - 5) (3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2))}{{(3 x - 2)}^{3}})$

Schritt 2.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{(3 x - 2) (6 (2 x - 1) + 2 (6 x - 5)) - 2 (2 x - 1) (6 x - 5) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 2))}{{(3 x - 2)}^{3}})$

Schritt 2.12

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{(3 x - 2) (6 (2 x - 1) + 2 (6 x - 5)) - 2 (2 x - 1) (6 x - 5) (3 + \frac{d}{d x} (- 2))}{{(3 x - 2)}^{3}})$

Schritt 2.13

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{(3 x - 2) (6 (2 x - 1) + 2 (6 x - 5)) - 2 (2 x - 1) (6 x - 5) (3 + 0)}{{(3 x - 2)}^{3}})$

Schritt 2.14

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.14.1

Addiere $3$ und $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{(3 x - 2) (6 (2 x - 1) + 2 (6 x - 5)) - 2 (2 x - 1) (6 x - 5) \cdot 3}{{(3 x - 2)}^{3}})$

Schritt 2.14.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{(3 x - 2) (6 (2 x - 1) + 2 (6 x - 5)) - 6 (2 x - 1) (6 x - 5)}{{(3 x - 2)}^{3}})$

Schritt 2.14.3

Kombiniere $4$ und $\frac{(3 x - 2) (6 (2 x - 1) + 2 (6 x - 5)) - 6 (2 x - 1) (6 x - 5)}{{(3 x - 2)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 ((3 x - 2) (6 (2 x - 1) + 2 (6 x - 5)) - 6 (2 x - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Schritt 2.15

Vereinfache.

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Schritt 2.15.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{4 ((3 x - 2) (6 (2 x) + 6 \cdot - 1 + 2 (6 x - 5)) - 6 (2 x - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Schritt 2.15.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{4 ((3 x - 2) (6 (2 x) + 6 \cdot - 1 + 2 (6 x) + 2 \cdot - 5) - 6 (2 x - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Schritt 2.15.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{4 ((3 x - 2) (6 (2 x) + 6 \cdot - 1 + 2 (6 x) + 2 \cdot - 5) + (- 6 (2 x) - 6 \cdot - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Schritt 2.15.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{4 ((3 x - 2) (6 (2 x) + 6 \cdot - 1 + 2 (6 x) + 2 \cdot - 5)) + 4 ((- 6 (2 x) - 6 \cdot - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Schritt 2.15.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.15.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.15.5.1.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.15.5.1.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$f'' (x) = \frac{4 ((3 x - 2) (12 x + 6 \cdot - 1 + 2 (6 x) + 2 \cdot - 5)) + 4 ((- 6 (2 x) - 6 \cdot - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Schritt 2.15.5.1.1.2

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{4 ((3 x - 2) (12 x - 6 + 2 (6 x) + 2 \cdot - 5)) + 4 ((- 6 (2 x) - 6 \cdot - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Schritt 2.15.5.1.1.3

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 ((3 x - 2) (12 x - 6 + 12 x + 2 \cdot - 5)) + 4 ((- 6 (2 x) - 6 \cdot - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Schritt 2.15.5.1.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 5$ .

$f'' (x) = \frac{4 ((3 x - 2) (12 x - 6 + 12 x - 10)) + 4 ((- 6 (2 x) - 6 \cdot - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Schritt 2.15.5.1.2

Addiere $12 x$ und $12 x$ .

$f'' (x) = \frac{4 ((3 x - 2) (24 x - 6 - 10)) + 4 ((- 6 (2 x) - 6 \cdot - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Schritt 2.15.5.1.3

Subtrahiere $10$ von $- 6$ .

$f'' (x) = \frac{4 ((3 x - 2) (24 x - 16)) + 4 ((- 6 (2 x) - 6 \cdot - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Schritt 2.15.5.1.4

Multipliziere $(3 x - 2) (24 x - 16)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.15.5.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x (24 x - 16) - 2 (24 x - 16)) + 4 ((- 6 (2 x) - 6 \cdot - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Schritt 2.15.5.1.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x (24 x) + 3 x \cdot - 16 - 2 (24 x - 16)) + 4 ((- 6 (2 x) - 6 \cdot - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Schritt 2.15.5.1.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x (24 x) + 3 x \cdot - 16 - 2 (24 x) - 2 \cdot - 16) + 4 ((- 6 (2 x) - 6 \cdot - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Schritt 2.15.5.1.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.15.5.1.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.15.5.1.5.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = \frac{4 (3 \cdot (24 x \cdot x) + 3 x \cdot - 16 - 2 (24 x) - 2 \cdot - 16) + 4 ((- 6 (2 x) - 6 \cdot - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Schritt 2.15.5.1.5.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.15.5.1.5.1.2.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 (3 \cdot (24 (x \cdot x)) + 3 x \cdot - 16 - 2 (24 x) - 2 \cdot - 16) + 4 ((- 6 (2 x) - 6 \cdot - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Schritt 2.15.5.1.5.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 (3 \cdot (24 x^{2}) + 3 x \cdot - 16 - 2 (24 x) - 2 \cdot - 16) + 4 ((- 6 (2 x) - 6 \cdot - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Schritt 2.15.5.1.5.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $24$ .

$f'' (x) = \frac{4 (72 x^{2} + 3 x \cdot - 16 - 2 (24 x) - 2 \cdot - 16) + 4 ((- 6 (2 x) - 6 \cdot - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Schritt 2.15.5.1.5.1.4

Mutltipliziere $- 16$ mit $3$ .

$f'' (x) = \frac{4 (72 x^{2} - 48 x - 2 (24 x) - 2 \cdot - 16) + 4 ((- 6 (2 x) - 6 \cdot - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Schritt 2.15.5.1.5.1.5

Mutltipliziere $24$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{4 (72 x^{2} - 48 x - 48 x - 2 \cdot - 16) + 4 ((- 6 (2 x) - 6 \cdot - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Schritt 2.15.5.1.5.1.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 16$ .

$f'' (x) = \frac{4 (72 x^{2} - 48 x - 48 x + 32) + 4 ((- 6 (2 x) - 6 \cdot - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Schritt 2.15.5.1.5.2

Subtrahiere $48 x$ von $- 48 x$ .

$f'' (x) = \frac{4 (72 x^{2} - 96 x + 32) + 4 ((- 6 (2 x) - 6 \cdot - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Schritt 2.15.5.1.6

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{4 (72 x^{2}) + 4 (- 96 x) + 4 \cdot 32 + 4 ((- 6 (2 x) - 6 \cdot - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Schritt 2.15.5.1.7

Vereinfache.

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Schritt 2.15.5.1.7.1

Mutltipliziere $72$ mit $4$ .

$f'' (x) = \frac{288 x^{2} + 4 (- 96 x) + 4 \cdot 32 + 4 ((- 6 (2 x) - 6 \cdot - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Schritt 2.15.5.1.7.2

Mutltipliziere $- 96$ mit $4$ .

$f'' (x) = \frac{288 x^{2} - 384 x + 4 \cdot 32 + 4 ((- 6 (2 x) - 6 \cdot - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Schritt 2.15.5.1.7.3

Mutltipliziere $4$ mit $32$ .

$f'' (x) = \frac{288 x^{2} - 384 x + 128 + 4 ((- 6 (2 x) - 6 \cdot - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Schritt 2.15.5.1.8

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.15.5.1.8.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 6$ .

$f'' (x) = \frac{288 x^{2} - 384 x + 128 + 4 ((- 12 x - 6 \cdot - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Schritt 2.15.5.1.8.2

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{288 x^{2} - 384 x + 128 + 4 ((- 12 x + 6) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Schritt 2.15.5.1.9

Multipliziere $(- 12 x + 6) (6 x - 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.15.5.1.9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{288 x^{2} - 384 x + 128 + 4 (- 12 x (6 x - 5) + 6 (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Schritt 2.15.5.1.9.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{288 x^{2} - 384 x + 128 + 4 (- 12 x (6 x) - 12 x \cdot - 5 + 6 (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Schritt 2.15.5.1.9.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{288 x^{2} - 384 x + 128 + 4 (- 12 x (6 x) - 12 x \cdot - 5 + 6 (6 x) + 6 \cdot - 5)}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Schritt 2.15.5.1.10

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.15.5.1.10.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.15.5.1.10.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = \frac{288 x^{2} - 384 x + 128 + 4 (- 12 \cdot (6 x \cdot x) - 12 x \cdot - 5 + 6 (6 x) + 6 \cdot - 5)}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Schritt 2.15.5.1.10.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.15.5.1.10.1.2.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{288 x^{2} - 384 x + 128 + 4 (- 12 \cdot (6 (x \cdot x)) - 12 x \cdot - 5 + 6 (6 x) + 6 \cdot - 5)}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Schritt 2.15.5.1.10.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f'' (x) = \frac{288 x^{2} - 384 x + 128 + 4 (- 12 \cdot (6 x^{2}) - 12 x \cdot - 5 + 6 (6 x) + 6 \cdot - 5)}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Schritt 2.15.5.1.10.1.3

Mutltipliziere $- 12$ mit $6$ .

$f'' (x) = \frac{288 x^{2} - 384 x + 128 + 4 (- 72 x^{2} - 12 x \cdot - 5 + 6 (6 x) + 6 \cdot - 5)}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Schritt 2.15.5.1.10.1.4

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 12$ .

$f'' (x) = \frac{288 x^{2} - 384 x + 128 + 4 (- 72 x^{2} + 60 x + 6 (6 x) + 6 \cdot - 5)}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Schritt 2.15.5.1.10.1.5

Mutltipliziere $6$ mit $6$ .

$f'' (x) = \frac{288 x^{2} - 384 x + 128 + 4 (- 72 x^{2} + 60 x + 36 x + 6 \cdot - 5)}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Schritt 2.15.5.1.10.1.6

Mutltipliziere $6$ mit $- 5$ .

$f'' (x) = \frac{288 x^{2} - 384 x + 128 + 4 (- 72 x^{2} + 60 x + 36 x - 30)}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Schritt 2.15.5.1.10.2

Addiere $60 x$ und $36 x$ .

$f'' (x) = \frac{288 x^{2} - 384 x + 128 + 4 (- 72 x^{2} + 96 x - 30)}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Schritt 2.15.5.1.11

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{288 x^{2} - 384 x + 128 + 4 (- 72 x^{2}) + 4 (96 x) + 4 \cdot - 30}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Schritt 2.15.5.1.12

Vereinfache.

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Schritt 2.15.5.1.12.1

Mutltipliziere $- 72$ mit $4$ .

$f'' (x) = \frac{288 x^{2} - 384 x + 128 - 288 x^{2} + 4 (96 x) + 4 \cdot - 30}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Schritt 2.15.5.1.12.2

Mutltipliziere $96$ mit $4$ .

$f'' (x) = \frac{288 x^{2} - 384 x + 128 - 288 x^{2} + 384 x + 4 \cdot - 30}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Schritt 2.15.5.1.12.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 30$ .

$f'' (x) = \frac{288 x^{2} - 384 x + 128 - 288 x^{2} + 384 x - 120}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Schritt 2.15.5.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $288 x^{2} - 384 x + 128 - 288 x^{2} + 384 x - 120$ .

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Schritt 2.15.5.2.1

Subtrahiere $288 x^{2}$ von $288 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 384 x + 128 + 0 + 384 x - 120}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Schritt 2.15.5.2.2

Addiere $- 384 x + 128$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 384 x + 128 + 384 x - 120}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Schritt 2.15.5.2.3

Addiere $- 384 x$ und $384 x$ .

$f'' (x) = \frac{0 + 128 - 120}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Schritt 2.15.5.2.4

Addiere $0$ und $128$ .

$f'' (x) = \frac{128 - 120}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Schritt 2.15.5.3

Subtrahiere $120$ von $128$ .

$f'' (x) = \frac{8}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{4 (2 x - 1) (6 x - 5)}{{(3 x - 2)}^{2}} = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{x^{2}}{3 x - 2} + 5 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 x - 2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 x - 2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Schritt 4.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 x - 2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1

$\frac{(3 x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [3 x - 2]}{{(3 x - 2)}^{2}} + \frac{d}{d x} [5 x]$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(3 x - 2) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [3 x - 2]}{{(3 x - 2)}^{2}} + \frac{d}{d x} [5 x]$

Schritt 4.1.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{(3 x - 2) (2 x) - x^{2} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(3 x - 2)}^{2}} + \frac{d}{d x} [5 x]$

Schritt 4.1.2.4

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(3 x - 2) (2 x) - x^{2} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(3 x - 2)}^{2}} + \frac{d}{d x} [5 x]$

Schritt 4.1.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(3 x - 2) (2 x) - x^{2} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(3 x - 2)}^{2}} + \frac{d}{d x} [5 x]$

Schritt 4.1.2.6

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(3 x - 2) (2 x) - x^{2} (3 \cdot 1 + 0)}{{(3 x - 2)}^{2}} + \frac{d}{d x} [5 x]$

Schritt 4.1.2.7

Bringe $2$ auf die linke Seite von $3 x - 2$ .

$\frac{2 \cdot (3 x - 2) x - x^{2} (3 \cdot 1 + 0)}{{(3 x - 2)}^{2}} + \frac{d}{d x} [5 x]$

Schritt 4.1.2.8

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{2 (3 x - 2) x - x^{2} (3 + 0)}{{(3 x - 2)}^{2}} + \frac{d}{d x} [5 x]$

Schritt 4.1.2.9

Addiere $3$ und $0$ .

$\frac{2 (3 x - 2) x - x^{2} \cdot 3}{{(3 x - 2)}^{2}} + \frac{d}{d x} [5 x]$

Schritt 4.1.2.10

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{2 (3 x - 2) x - 3 x^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}} + \frac{d}{d x} [5 x]$

Schritt 4.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Schritt 4.1.3.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (3 x - 2) x - 3 x^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}} + 5 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2 (3 x - 2) x - 3 x^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}} + 5 \cdot 1$

Schritt 4.1.3.3

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$\frac{2 (3 x - 2) x - 3 x^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}} + 5$

Schritt 4.1.4

Vereinfache.

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Schritt 4.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(2 (3 x) + 2 \cdot - 2) x - 3 x^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}} + 5$

Schritt 4.1.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (3 x) x + 2 \cdot - 2 x - 3 x^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}} + 5$

Schritt 4.1.4.3

Vereine die Terme

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Schritt 4.1.4.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{6 x \cdot x + 2 \cdot - 2 x - 3 x^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}} + 5$

Schritt 4.1.4.3.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{6 (x^{1} x) + 2 \cdot - 2 x - 3 x^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}} + 5$

Schritt 4.1.4.3.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{6 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot - 2 x - 3 x^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}} + 5$

Schritt 4.1.4.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{6 x^{1 + 1} + 2 \cdot - 2 x - 3 x^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}} + 5$

Schritt 4.1.4.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{6 x^{2} + 2 \cdot - 2 x - 3 x^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}} + 5$

Schritt 4.1.4.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$\frac{6 x^{2} - 4 x - 3 x^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}} + 5$

Schritt 4.1.4.3.7

Subtrahiere $3 x^{2}$ von $6 x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2} - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}} + 5$

Schritt 4.1.4.3.8

Um $5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{(3 x - 2)}^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}}$ .

$\frac{3 x^{2} - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}} + \frac{5 {(3 x - 2)}^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Schritt 4.1.4.3.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 x^{2} - 4 x + 5 {(3 x - 2)}^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Schritt 4.1.4.4

Stelle die Terme um.

$\frac{3 x^{2} + 5 {(3 x - 2)}^{2} - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Schritt 4.1.4.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.4.5.1

Schreibe ${(3 x - 2)}^{2}$ als $(3 x - 2) (3 x - 2)$ um.

$\frac{3 x^{2} + 5 ((3 x - 2) (3 x - 2)) - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Schritt 4.1.4.5.2

Multipliziere $(3 x - 2) (3 x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.1.4.5.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 x^{2} + 5 (3 x (3 x - 2) - 2 (3 x - 2)) - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Schritt 4.1.4.5.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 x^{2} + 5 (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 2 - 2 (3 x - 2)) - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Schritt 4.1.4.5.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 x^{2} + 5 (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 2 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2) - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Schritt 4.1.4.5.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.1.4.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.4.5.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{3 x^{2} + 5 (3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 2 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2) - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Schritt 4.1.4.5.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.4.5.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{3 x^{2} + 5 (3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 2 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2) - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Schritt 4.1.4.5.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{3 x^{2} + 5 (3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot - 2 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2) - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Schritt 4.1.4.5.3.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{3 x^{2} + 5 (9 x^{2} + 3 x \cdot - 2 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2) - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Schritt 4.1.4.5.3.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$\frac{3 x^{2} + 5 (9 x^{2} - 6 x - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2) - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Schritt 4.1.4.5.3.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$\frac{3 x^{2} + 5 (9 x^{2} - 6 x - 6 x - 2 \cdot - 2) - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Schritt 4.1.4.5.3.1.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$\frac{3 x^{2} + 5 (9 x^{2} - 6 x - 6 x + 4) - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Schritt 4.1.4.5.3.2

Subtrahiere $6 x$ von $- 6 x$ .

$\frac{3 x^{2} + 5 (9 x^{2} - 12 x + 4) - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Schritt 4.1.4.5.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 x^{2} + 5 (9 x^{2}) + 5 (- 12 x) + 5 \cdot 4 - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Schritt 4.1.4.5.5

Vereinfache.

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Schritt 4.1.4.5.5.1

Mutltipliziere $9$ mit $5$ .

$\frac{3 x^{2} + 45 x^{2} + 5 (- 12 x) + 5 \cdot 4 - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Schritt 4.1.4.5.5.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $5$ .

$\frac{3 x^{2} + 45 x^{2} - 60 x + 5 \cdot 4 - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Schritt 4.1.4.5.5.3

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$\frac{3 x^{2} + 45 x^{2} - 60 x + 20 - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Schritt 4.1.4.5.6

Addiere $3 x^{2}$ und $45 x^{2}$ .

$\frac{48 x^{2} - 60 x + 20 - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Schritt 4.1.4.5.7

Subtrahiere $4 x$ von $- 60 x$ .

$\frac{48 x^{2} - 64 x + 20}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Schritt 4.1.4.5.8

Schreibe $48 x^{2} - 64 x + 20$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.1.4.5.8.1

Faktorisiere $4$ aus $48 x^{2} - 64 x + 20$ heraus.

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Schritt 4.1.4.5.8.1.1

Faktorisiere $4$ aus $48 x^{2}$ heraus.

$\frac{4 (12 x^{2}) - 64 x + 20}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Schritt 4.1.4.5.8.1.2

Faktorisiere $4$ aus $- 64 x$ heraus.

$\frac{4 (12 x^{2}) + 4 (- 16 x) + 20}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Schritt 4.1.4.5.8.1.3

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$\frac{4 (12 x^{2}) + 4 (- 16 x) + 4 (5)}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Schritt 4.1.4.5.8.1.4

Faktorisiere $4$ aus $4 (12 x^{2}) + 4 (- 16 x)$ heraus.

$\frac{4 (12 x^{2} - 16 x) + 4 (5)}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Schritt 4.1.4.5.8.1.5

Faktorisiere $4$ aus $4 (12 x^{2} - 16 x) + 4 (5)$ heraus.

$\frac{4 (12 x^{2} - 16 x + 5)}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Schritt 4.1.4.5.8.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.1.4.5.8.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 12 \cdot 5 = 60$ und deren Summe gleich $b = - 16$ ist.

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Schritt 4.1.4.5.8.2.1.1

Faktorisiere $- 16$ aus $- 16 x$ heraus.

$\frac{4 (12 x^{2} - 16 (x) + 5)}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Schritt 4.1.4.5.8.2.1.2

Schreibe $- 16$ um als $- 6$ plus $- 10$

$\frac{4 (12 x^{2} + (- 6 - 10) x + 5)}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Schritt 4.1.4.5.8.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 (12 x^{2} - 6 x - 10 x + 5)}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Schritt 4.1.4.5.8.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.1.4.5.8.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{4 ((12 x^{2} - 6 x) - 10 x + 5)}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Schritt 4.1.4.5.8.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{4 (6 x (2 x - 1) - 5 (2 x - 1))}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Schritt 4.1.4.5.8.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x - 1$ .

$f' (x) = \frac{4 ((2 x - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{2}}$

$f' (x) = \frac{4 (2 x - 1) (6 x - 5)}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{4 (2 x - 1) (6 x - 5)}{{(3 x - 2)}^{2}}$ .

$\frac{4 (2 x - 1) (6 x - 5)}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{4 (2 x - 1) (6 x - 5)}{{(3 x - 2)}^{2}} = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{4 (2 x - 1) (6 x - 5)}{{(3 x - 2)}^{2}} = 0$

Schritt 5.2

Setze den Zähler gleich Null.

$4 (2 x - 1) (6 x - 5) = 0$

Schritt 5.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$6 x - 5 = 0$

Schritt 5.3.2

Setze $2 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.2.1

Setze $2 x - 1$ gleich $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Schritt 5.3.2.2

Löse $2 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.2.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 1$

Schritt 5.3.2.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.2.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 5.3.2.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.2.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 5.3.2.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 5.3.3

Setze $6 x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.3.1

Setze $6 x - 5$ gleich $0$ .

$6 x - 5 = 0$

Schritt 5.3.3.2

Löse $6 x - 5 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.3.2.1

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$6 x = 5$

Schritt 5.3.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $6 x = 5$ durch $6$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $6 x = 5$ durch $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{5}{6}$

Schritt 5.3.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 5.3.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 x}{6} = \frac{5}{6}$

Schritt 5.3.3.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{5}{6}$

Schritt 5.3.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $4 (2 x - 1) (6 x - 5) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{1}{2}, \frac{5}{6}$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Setze den Nenner in $\frac{4 (2 x - 1) (6 x - 5)}{{(3 x - 2)}^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

${(3 x - 2)}^{2} = 0$

Schritt 6.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Setze $3 x - 2$ gleich $0$ .

$3 x - 2 = 0$

Schritt 6.2.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 2$

Schritt 6.2.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 2$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 2$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Schritt 6.2.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.2.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Schritt 6.2.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{2}{3}$

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = \frac{1}{2}, \frac{5}{6}$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{1}{2}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{8}{{(3 (\frac{1}{2}) - 2)}^{3}}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.1.1

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{8}{{(\frac{3}{2} - 2)}^{3}}$

Schritt 9.1.2

Um $- 2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{8}{{(\frac{3}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2})}^{3}}$

Schritt 9.1.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{8}{{(\frac{3}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2})}^{3}}$

Schritt 9.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{8}{{(\frac{3 - 2 \cdot 2}{2})}^{3}}$

Schritt 9.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.5.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{8}{{(\frac{3 - 4}{2})}^{3}}$

Schritt 9.1.5.2

Subtrahiere $4$ von $3$ .

$\frac{8}{{(\frac{- 1}{2})}^{3}}$

Schritt 9.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{8}{{(- \frac{1}{2})}^{3}}$

Schritt 9.1.7

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{2}$ an.

$\frac{8}{{(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3}}$

Schritt 9.1.8

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{8}{- {(\frac{1}{2})}^{3}}$

Schritt 9.1.9

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$\frac{8}{- \frac{1^{3}}{2^{3}}}$

Schritt 9.1.10

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{8}{- \frac{1}{2^{3}}}$

Schritt 9.1.11

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{8}{- \frac{1}{8}}$

Schritt 9.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$8 (- 1 \cdot 8)$

Schritt 9.3

Multipliziere $8 (- 1 \cdot 8)$ .

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Schritt 9.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$8 \cdot - 8$

Schritt 9.3.2

Mutltipliziere $8$ mit $- 8$ .

$- 64$

Schritt 10

$x = \frac{1}{2}$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{1}{2}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{1}{2}$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{3 (\frac{1}{2}) - 2} + 5 (\frac{1}{2})$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1^{2}}{2^{2}}}{3 (\frac{1}{2}) - 2} + 5 (\frac{1}{2})$

Schritt 11.2.1.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{2^{2}}}{3 (\frac{1}{2}) - 2} + 5 (\frac{1}{2})$

Schritt 11.2.1.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{3 (\frac{1}{2}) - 2} + 5 (\frac{1}{2})$

Schritt 11.2.1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 11.2.1.2.1

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{2} - 2} + 5 (\frac{1}{2})$

Schritt 11.2.1.2.2

Um $- 2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}} + 5 (\frac{1}{2})$

Schritt 11.2.1.2.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}} + 5 (\frac{1}{2})$

Schritt 11.2.1.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{3 - 2 \cdot 2}{2}} + 5 (\frac{1}{2})$

Schritt 11.2.1.2.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1.2.5.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{3 - 4}{2}} + 5 (\frac{1}{2})$

Schritt 11.2.1.2.5.2

Subtrahiere $4$ von $3$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{- 1}{2}} + 5 (\frac{1}{2})$

Schritt 11.2.1.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{- \frac{1}{2}} + 5 (\frac{1}{2})$

Schritt 11.2.1.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} \cdot (- 1 \cdot 2) + 5 (\frac{1}{2})$

Schritt 11.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2 (2)} \cdot (- 1 \cdot 2) + 5 (\frac{1}{2})$

Schritt 11.2.1.4.2

Faktorisiere $2$ aus $- 1 \cdot 2$ heraus.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2 (2)} \cdot (2 \cdot - 1) + 5 (\frac{1}{2})$

Schritt 11.2.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1) + 5 (\frac{1}{2})$

Schritt 11.2.1.4.4

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot - 1 + 5 (\frac{1}{2})$

Schritt 11.2.1.5

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 1}{2} + 5 (\frac{1}{2})$

Schritt 11.2.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} + 5 (\frac{1}{2})$

Schritt 11.2.1.7

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} + \frac{5}{2}$

Schritt 11.2.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 11.2.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 1 + 5}{2}$

Schritt 11.2.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.2.2.1

Addiere $- 1$ und $5$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{4}{2}$

Schritt 11.2.2.2.2

Dividiere $4$ durch $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = 2$

Schritt 11.2.3

Die endgültige Lösung ist $2$ .

$y = 2$

Schritt 12

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{5}{6}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{8}{{(3 (\frac{5}{6}) - 2)}^{3}}$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 13.1

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 13.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{8}{{(3 \frac{5}{3 (2)} - 2)}^{3}}$

Schritt 13.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8}{{(3 \frac{5}{3 \cdot 2} - 2)}^{3}}$

Schritt 13.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{8}{{(\frac{5}{2} - 2)}^{3}}$

Schritt 13.1.2

Um $- 2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{8}{{(\frac{5}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2})}^{3}}$

Schritt 13.1.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{8}{{(\frac{5}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2})}^{3}}$

Schritt 13.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{8}{{(\frac{5 - 2 \cdot 2}{2})}^{3}}$

Schritt 13.1.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1.5.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{8}{{(\frac{5 - 4}{2})}^{3}}$

Schritt 13.1.5.2

Subtrahiere $4$ von $5$ .

$\frac{8}{{(\frac{1}{2})}^{3}}$

Schritt 13.1.6

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$\frac{8}{\frac{1^{3}}{2^{3}}}$

Schritt 13.1.7

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{8}{\frac{1}{2^{3}}}$

Schritt 13.1.8

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{8}{\frac{1}{8}}$

Schritt 13.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$8 \cdot 8$

Schritt 13.3

Mutltipliziere $8$ mit $8$ .

$64$

Schritt 14

$x = \frac{5}{6}$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{5}{6}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 15

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{5}{6}$ .

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Schritt 15.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{5}{6}$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{{(\frac{5}{6})}^{2}}{3 (\frac{5}{6}) - 2} + 5 (\frac{5}{6})$

Schritt 15.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 15.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 15.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{5}{6}$ an.

$f (\frac{5}{6}) = \frac{\frac{5^{2}}{6^{2}}}{3 (\frac{5}{6}) - 2} + 5 (\frac{5}{6})$

Schritt 15.2.1.1.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{\frac{25}{6^{2}}}{3 (\frac{5}{6}) - 2} + 5 (\frac{5}{6})$

Schritt 15.2.1.1.3

Potenziere $6$ mit $2$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{\frac{25}{36}}{3 (\frac{5}{6}) - 2} + 5 (\frac{5}{6})$

Schritt 15.2.1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 15.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.1.2.1.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$f (\frac{5}{6}) = \frac{\frac{25}{36}}{3 (\frac{5}{3 (2)}) - 2} + 5 (\frac{5}{6})$

Schritt 15.2.1.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{5}{6}) = \frac{\frac{25}{36}}{3 (\frac{5}{3 \cdot 2}) - 2} + 5 (\frac{5}{6})$

Schritt 15.2.1.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{5}{6}) = \frac{\frac{25}{36}}{\frac{5}{2} - 2} + 5 (\frac{5}{6})$

Schritt 15.2.1.2.2

Um $- 2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{\frac{25}{36}}{\frac{5}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}} + 5 (\frac{5}{6})$

Schritt 15.2.1.2.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{\frac{25}{36}}{\frac{5}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}} + 5 (\frac{5}{6})$

Schritt 15.2.1.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{5}{6}) = \frac{\frac{25}{36}}{\frac{5 - 2 \cdot 2}{2}} + 5 (\frac{5}{6})$

Schritt 15.2.1.2.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.1.2.5.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{\frac{25}{36}}{\frac{5 - 4}{2}} + 5 (\frac{5}{6})$

Schritt 15.2.1.2.5.2

Subtrahiere $4$ von $5$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{\frac{25}{36}}{\frac{1}{2}} + 5 (\frac{5}{6})$

Schritt 15.2.1.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{5}{6}) = \frac{25}{36} \cdot 2 + 5 (\frac{5}{6})$

Schritt 15.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 15.2.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $36$ heraus.

$f (\frac{5}{6}) = \frac{25}{2 (18)} \cdot 2 + 5 (\frac{5}{6})$

Schritt 15.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{5}{6}) = \frac{25}{2 \cdot 18} \cdot 2 + 5 (\frac{5}{6})$

Schritt 15.2.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{5}{6}) = \frac{25}{18} + 5 (\frac{5}{6})$

Schritt 15.2.1.5

Multipliziere $5 (\frac{5}{6})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.1.5.1

Kombiniere $5$ und $\frac{5}{6}$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{25}{18} + \frac{5 \cdot 5}{6}$

Schritt 15.2.1.5.2

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{25}{18} + \frac{25}{6}$

Schritt 15.2.2

Um $\frac{25}{6}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{25}{18} + \frac{25}{6} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 15.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $18$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 15.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{25}{6}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{25}{18} + \frac{25 \cdot 3}{6 \cdot 3}$

Schritt 15.2.3.2

Mutltipliziere $6$ mit $3$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{25}{18} + \frac{25 \cdot 3}{18}$

Schritt 15.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{5}{6}) = \frac{25 + 25 \cdot 3}{18}$

Schritt 15.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 15.2.5.1

Mutltipliziere $25$ mit $3$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{25 + 75}{18}$

Schritt 15.2.5.2

Addiere $25$ und $75$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{100}{18}$

Schritt 15.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $100$ und $18$ .

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Schritt 15.2.6.1

Faktorisiere $2$ aus $100$ heraus.

$f (\frac{5}{6}) = \frac{2 (50)}{18}$

Schritt 15.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 15.2.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $18$ heraus.

$f (\frac{5}{6}) = \frac{2 \cdot 50}{2 \cdot 9}$

Schritt 15.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{5}{6}) = \frac{2 \cdot 50}{2 \cdot 9}$

Schritt 15.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{5}{6}) = \frac{50}{9}$

Schritt 15.2.7

Die endgültige Lösung ist $\frac{50}{9}$ .

$y = \frac{50}{9}$

Schritt 16

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = \frac{x^{2}}{3 x - 2} + 5 x$ .

$(\frac{1}{2}, 2)$ ist ein lokales Maximum

$(\frac{5}{6}, \frac{50}{9})$ ist ein lokales Minimum

Schritt 17