Analysis Beispiele

$f (x) = \sin (x) \cdot \cos^{3} (x)$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = \cos^{3} (x)$ .

$\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)] + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = \cos (x)$ .

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Schritt 1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\cos (x)$ .

$\sin (x) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\sin (x) (3 u^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\cos (x)$ .

$\sin (x) (3 \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 1.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\sin (x)$ .

$3 \cdot \sin (x) \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 1.4

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$3 \sin (x) \cos^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 3 \sin (x) \cos^{2} (x) \sin (x) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 1.6

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$- 3 (\sin^{1} (x) \sin (x)) \cos^{2} (x) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 1.7

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$- 3 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) \cos^{2} (x) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 1.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 3 {\sin (x)}^{1 + 1} \cos^{2} (x) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 1.9

Addiere $1$ und $1$ .

$- 3 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 1.10

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$- 3 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + \cos^{3} (x) \cos (x)$

Schritt 1.11

Multipliziere $\cos^{3} (x)$ mit $\cos (x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.11.1

Mutltipliziere $\cos^{3} (x)$ mit $\cos (x)$ .

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Schritt 1.11.1.1

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$- 3 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + \cos^{3} (x) \cos^{1} (x)$

Schritt 1.11.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 3 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + {\cos (x)}^{3 + 1}$

Schritt 1.11.2

Addiere $3$ und $1$ .

$- 3 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + \cos^{4} (x)$

Schritt 1.12

Stelle die Terme um.

$- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{4} (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)]$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} (\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \cos^{2} (x)$ und $g (x) = \sin^{2} (x)$ .

$f'' (x) = - 3 (\cos^{2} (x) \frac{d}{d x} (\sin^{2} (x)) + \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} (\cos^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \sin (x)$ .

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Schritt 2.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\sin (x)$ .

$f'' (x) = - 3 (\cos^{2} (x) (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{2}) \frac{d}{d x} (\sin (x))) + \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} (\cos^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Schritt 2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = - 3 (\cos^{2} (x) (2 u_{1} \frac{d}{d x} (\sin (x))) + \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} (\cos^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Schritt 2.2.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\sin (x)$ .

$f'' (x) = - 3 (\cos^{2} (x) (2 \sin (x) \frac{d}{d x} (\sin (x))) + \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} (\cos^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Schritt 2.2.4

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 3 (\cos^{2} (x) (2 \sin (x) \cos (x)) + \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} (\cos^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Schritt 2.2.5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \cos (x)$ .

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Schritt 2.2.5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 3 (\cos^{2} (x) (2 \sin (x) \cos (x)) + \sin^{2} (x) (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{2}) \frac{d}{d x} (\cos (x)))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Schritt 2.2.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = - 3 (\cos^{2} (x) (2 \sin (x) \cos (x)) + \sin^{2} (x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} (\cos (x)))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Schritt 2.2.5.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 3 (\cos^{2} (x) (2 \sin (x) \cos (x)) + \sin^{2} (x) (2 \cos (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Schritt 2.2.6

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 3 (\cos^{2} (x) (2 \sin (x) \cos (x)) + \sin^{2} (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Schritt 2.2.7

Multipliziere $\cos^{2} (x)$ mit $\cos (x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.7.1

Bewege $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 3 (\cos (x) \cos^{2} (x) (2 \sin (x)) + \sin^{2} (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Schritt 2.2.7.2

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $\cos^{2} (x)$ .

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Schritt 2.2.7.2.1

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 3 (\cos (x) \cos^{2} (x) (2 \sin (x)) + \sin^{2} (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Schritt 2.2.7.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - 3 ({\cos (x)}^{1 + 2} (2 \sin (x)) + \sin^{2} (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Schritt 2.2.7.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f'' (x) = - 3 (\cos^{3} (x) (2 \sin (x)) + \sin^{2} (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Schritt 2.2.8

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cos^{3} (x)$ .

$f'' (x) = - 3 (2 \cdot (\cos^{3} (x) \sin (x)) + \sin^{2} (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Schritt 2.2.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (x) = - 3 (2 \cos^{3} (x) \sin (x) + \sin^{2} (x) (- 2 \cos (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Schritt 2.2.10

Multipliziere $\sin^{2} (x)$ mit $\sin (x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.10.1

Bewege $\sin (x)$ .

$f'' (x) = - 3 (2 \cos^{3} (x) \sin (x) + \sin (x) \sin^{2} (x) (- 2 \cos (x))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Schritt 2.2.10.2

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $\sin^{2} (x)$ .

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Schritt 2.2.10.2.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 3 (2 \cos^{3} (x) \sin (x) + \sin (x) \sin^{2} (x) (- 2 \cos (x))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Schritt 2.2.10.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - 3 (2 \cos^{3} (x) \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 2} (- 2 \cos (x))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Schritt 2.2.10.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f'' (x) = - 3 (2 \cos^{3} (x) \sin (x) + \sin^{3} (x) (- 2 \cos (x))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\cos^{4} (x)]$ .

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = \cos (x)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{3}$ durch $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 3 (2 \cos^{3} (x) \sin (x) + \sin^{3} (x) (- 2 \cos (x))) + \frac{d}{d u (3)} ({u_{3}}^{4}) \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Schritt 2.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ gleich $n {u_{3}}^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f'' (x) = - 3 (2 \cos^{3} (x) \sin (x) + \sin^{3} (x) (- 2 \cos (x))) + 4 {u_{3}}^{3} \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Schritt 2.3.1.3

Ersetze alle $u_{3}$ durch $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 3 (2 \cos^{3} (x) \sin (x) + \sin^{3} (x) (- 2 \cos (x))) + 4 \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Schritt 2.3.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 3 (2 \cos^{3} (x) \sin (x) + \sin^{3} (x) (- 2 \cos (x))) + 4 \cos^{3} (x) (- \sin (x))$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f'' (x) = - 3 (2 \cos^{3} (x) \sin (x) + \sin^{3} (x) (- 2 \cos (x))) - 4 \cos^{3} (x) \sin (x)$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - 3 (2 \cos^{3} (x) \sin (x)) - 3 (\sin^{3} (x) (- 2 \cos (x))) - 4 \cos^{3} (x) \sin (x)$

Schritt 2.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.4.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{3} (x) \sin (x)) - 3 (\sin^{3} (x) (- 2 \cos (x))) - 4 \cos^{3} (x) \sin (x)$

Schritt 2.4.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 3$ .

$f'' (x) = - 6 \cos^{3} (x) \sin (x) + 6 (\sin^{3} (x) (\cos (x))) - 4 \cos^{3} (x) \sin (x)$

Schritt 2.4.2.3

Subtrahiere $4 \cos^{3} (x) \sin (x)$ von $- 6 \cos^{3} (x) \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 10 \cos^{3} (x) \sin (x) + 6 \sin^{3} (x) \cos (x)$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x) = 0$

Schritt 4

Faktorisiere $\cos^{2} (x)$ aus $- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)$ heraus.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $\cos^{2} (x)$ aus $- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$ heraus.

$\cos^{2} (x) (- 3 \sin^{2} (x)) + \cos^{4} (x) = 0$

Schritt 4.2

Faktorisiere $\cos^{2} (x)$ aus $\cos^{4} (x)$ heraus.

$\cos^{2} (x) (- 3 \sin^{2} (x)) + \cos^{2} (x) \cos^{2} (x) = 0$

Schritt 4.3

Faktorisiere $\cos^{2} (x)$ aus $\cos^{2} (x) (- 3 \sin^{2} (x)) + \cos^{2} (x) \cos^{2} (x)$ heraus.

$\cos^{2} (x) (- 3 \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) = 0$

Schritt 5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\cos^{2} (x) = 0$

$- 3 \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 0$

Schritt 6

Setze $\cos^{2} (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $\cos^{2} (x)$ gleich $0$ .

$\cos^{2} (x) = 0$

Schritt 6.2

Löse $\cos^{2} (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\cos (x) = \pm \sqrt{0}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 6.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$\cos (x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 6.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\cos (x) = \pm 0$

Schritt 6.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$\cos (x) = 0$

Schritt 6.2.3

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (0)$

Schritt 6.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.4.1

Der genau Wert von $\arccos (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 6.2.5

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Schritt 6.2.6

Vereinfache $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 6.2.6.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 6.2.6.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 6.2.6.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 6.2.6.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 6.2.6.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.6.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Schritt 6.2.6.3.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 6.2.7

Die Lösung der Gleichung $x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Schritt 7

Setze $- 3 \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $- 3 \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$ gleich $0$ .

$- 3 \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 0$

Schritt 7.2

Löse $- 3 \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.1

Ersetze die $- 3 \sin^{2} (x)$ durch $- 3 (1 - \cos^{2} (x))$ basierend auf der $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ -Identitätsgleichung.

$- 3 (1 - \cos^{2} (x)) + \cos^{2} (x) = 0$

Schritt 7.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 3 \cdot 1 - 3 (- \cos^{2} (x)) + \cos^{2} (x) = 0$

Schritt 7.2.2.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$- 3 - 3 (- \cos^{2} (x)) + \cos^{2} (x) = 0$

Schritt 7.2.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$- 3 + 3 \cos^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 0$

Schritt 7.2.3

Addiere $3 \cos^{2} (x)$ und $\cos^{2} (x)$ .

$- 3 + 4 \cos^{2} (x) = 0$

Schritt 7.2.4

Stelle das Polynom um.

$4 \cos^{2} (x) - 3 = 0$

Schritt 7.2.5

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 \cos^{2} (x) = 3$

Schritt 7.2.6

Teile jeden Ausdruck in $4 \cos^{2} (x) = 3$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 7.2.6.1

Teile jeden Ausdruck in $4 \cos^{2} (x) = 3$ durch $4$ .

$\frac{4 \cos^{2} (x)}{4} = \frac{3}{4}$

Schritt 7.2.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 7.2.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cos^{2} (x)}{4} = \frac{3}{4}$

Schritt 7.2.6.2.1.2

Dividiere $\cos^{2} (x)$ durch $1$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{3}{4}$

Schritt 7.2.7

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{3}{4}}$

Schritt 7.2.8

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{3}{4}}$ .

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Schritt 7.2.8.1

Schreibe $\sqrt{\frac{3}{4}}$ als $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ um.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Schritt 7.2.8.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.8.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

Schritt 7.2.8.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 7.2.9

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 7.2.9.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 7.2.9.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 7.2.9.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 7.2.10

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 7.2.11

Löse in $\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.11.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Schritt 7.2.11.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.11.2.1

Der genau Wert von $\arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$ ist $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Schritt 7.2.11.3

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{π}{6}$

Schritt 7.2.11.4

Vereinfache $2 π - \frac{π}{6}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.11.4.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 7.2.11.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.2.11.4.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 7.2.11.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Schritt 7.2.11.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.11.4.3.1

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$x = \frac{12 π - π}{6}$

Schritt 7.2.11.4.3.2

Subtrahiere $π$ von $12 π$ .

$x = \frac{11 π}{6}$

Schritt 7.2.11.5

Die Lösung der Gleichung $x = \frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}, \frac{11 π}{6}$

Schritt 7.2.12

Löse in $\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.12.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Schritt 7.2.12.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.12.2.1

Der genau Wert von $\arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ ist $\frac{5 π}{6}$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Schritt 7.2.12.3

Die Cosinus-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{5 π}{6}$

Schritt 7.2.12.4

Vereinfache $2 π - \frac{5 π}{6}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.12.4.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Schritt 7.2.12.4.2

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.12.4.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Schritt 7.2.12.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 6 - 5 π}{6}$

Schritt 7.2.12.4.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.12.4.3.1

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$x = \frac{12 π - 5 π}{6}$

Schritt 7.2.12.4.3.2

Subtrahiere $5 π$ von $12 π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Schritt 7.2.12.5

Die Lösung der Gleichung $x = \frac{5 π}{6}$ .

$x = \frac{5 π}{6}, \frac{7 π}{6}$

Schritt 7.2.13

Liste alle Lösungen auf.

$x = \frac{π}{6}, \frac{11 π}{6}, \frac{5 π}{6}, \frac{7 π}{6}$

Schritt 8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $\cos^{2} (x) (- 3 \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}, \frac{π}{6}, \frac{11 π}{6}, \frac{5 π}{6}, \frac{7 π}{6}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{π}{2}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- 10 \cos^{3} (\frac{π}{2}) \sin (\frac{π}{2}) + 6 \sin^{3} (\frac{π}{2}) \cos (\frac{π}{2})$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 10.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.1.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$- 10 \cdot 0^{3} \sin (\frac{π}{2}) + 6 \sin^{3} (\frac{π}{2}) \cos (\frac{π}{2})$

Schritt 10.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- 10 \cdot 0 \sin (\frac{π}{2}) + 6 \sin^{3} (\frac{π}{2}) \cos (\frac{π}{2})$

Schritt 10.1.3

Mutltipliziere $- 10$ mit $0$ .

$0 \sin (\frac{π}{2}) + 6 \sin^{3} (\frac{π}{2}) \cos (\frac{π}{2})$

Schritt 10.1.4

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$0 \cdot 1 + 6 \sin^{3} (\frac{π}{2}) \cos (\frac{π}{2})$

Schritt 10.1.5

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$0 + 6 \sin^{3} (\frac{π}{2}) \cos (\frac{π}{2})$

Schritt 10.1.6

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$0 + 6 \cdot 1^{3} \cos (\frac{π}{2})$

Schritt 10.1.7

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$0 + 6 \cdot 1 \cos (\frac{π}{2})$

Schritt 10.1.8

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$0 + 6 \cos (\frac{π}{2})$

Schritt 10.1.9

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$0 + 6 \cdot 0$

Schritt 10.1.10

Mutltipliziere $6$ mit $0$ .

$0 + 0$

Schritt 10.2

Addiere $0$ und $0$ .

$0$

Schritt 11

Da es mindestens einen Punkt mit $0$ oder eine nicht definierte zweite Ableitung gibt, wende den ersten Ableitungstest an.

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Schritt 11.1

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum auf, die die erste Ableitung zu $0$ oder nicht definiert machen.

$(- \infty, \frac{π}{6}) \cup (\frac{π}{6}, \frac{π}{2}) \cup (\frac{π}{2}, \frac{5 π}{6}) \cup (\frac{5 π}{6}, \frac{7 π}{6}) \cup (\frac{7 π}{6}, \frac{3 π}{2}) \cup (\frac{3 π}{2}, \frac{11 π}{6}) \cup (\frac{11 π}{6}, \infty)$

Schritt 11.2

Setze eine beliebige Zahl, wie $0$ , aus dem Intervall $(- \infty, \frac{π}{6})$ in die erste Ableitung $- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 11.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f' (0) = - 3 \cos^{2} (0) \sin^{2} (0) + \cos^{4} (0)$

Schritt 11.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.2.1.1

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$f' (0) = - 3 \cdot (1^{2} \sin^{2} (0)) + \cos^{4} (0)$

Schritt 11.2.2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (0) = - 3 \cdot (1 \sin^{2} (0)) + \cos^{4} (0)$

Schritt 11.2.2.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$f' (0) = - 3 \sin^{2} (0) + \cos^{4} (0)$

Schritt 11.2.2.1.4

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$f' (0) = - 3 \cdot 0^{2} + \cos^{4} (0)$

Schritt 11.2.2.1.5

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f' (0) = - 3 \cdot 0 + \cos^{4} (0)$

Schritt 11.2.2.1.6

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$f' (0) = 0 + \cos^{4} (0)$

Schritt 11.2.2.1.7

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$f' (0) = 0 + 1^{4}$

Schritt 11.2.2.1.8

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (0) = 0 + 1$

Schritt 11.2.2.2

Addiere $0$ und $1$ .

$f' (0) = 1$

Schritt 11.2.2.3

Die endgültige Lösung ist $1$ .

$1$

Schritt 11.3

Setze eine beliebige Zahl, wie $1$ , aus dem Intervall $(\frac{π}{6}, \frac{π}{2})$ in die erste Ableitung $- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 11.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f' (1) = - 3 \cos^{2} (1) \sin^{2} (1) + \cos^{4} (1)$

Schritt 11.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.3.2.1.1

Berechne $\cos (1)$ .

$f' (1) = - 3 \cdot ({0.5403023}^{2} \sin^{2} (1)) + \cos^{4} (1)$

Schritt 11.3.2.1.2

Potenziere $0.5403023$ mit $2$ .

$f' (1) = - 3 \cdot (0.29192658 \sin^{2} (1)) + \cos^{4} (1)$

Schritt 11.3.2.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $0.29192658$ .

$f' (1) = - 0.87577974 \sin^{2} (1) + \cos^{4} (1)$

Schritt 11.3.2.1.4

Berechne $\sin (1)$ .

$f' (1) = - 0.87577974 \cdot {0.84147098}^{2} + \cos^{4} (1)$

Schritt 11.3.2.1.5

Potenziere $0.84147098$ mit $2$ .

$f' (1) = - 0.87577974 \cdot 0.70807341 + \cos^{4} (1)$

Schritt 11.3.2.1.6

Mutltipliziere $- 0.87577974$ mit $0.70807341$ .

$f' (1) = - 0.62011635 + \cos^{4} (1)$

Schritt 11.3.2.1.7

Berechne $\cos (1)$ .

$f' (1) = - 0.62011635 + {0.5403023}^{4}$

Schritt 11.3.2.1.8

Potenziere $0.5403023$ mit $4$ .

$f' (1) = - 0.62011635 + 0.08522112$

Schritt 11.3.2.2

Addiere $- 0.62011635$ und $0.08522112$ .

$f' (1) = - 0.53489522$

Schritt 11.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 0.53489522$ .

$- 0.53489522$

Schritt 11.4

Setze eine beliebige Zahl, wie $2$ , aus dem Intervall $(\frac{π}{2}, \frac{5 π}{6})$ in die erste Ableitung $- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 11.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f' (2) = - 3 \cos^{2} (2) \sin^{2} (2) + \cos^{4} (2)$

Schritt 11.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.4.2.1.1

Berechne $\cos (2)$ .

$f' (2) = - 3 {(- 0.41614683)}^{2} \sin^{2} (2) + \cos^{4} (2)$

Schritt 11.4.2.1.2

Potenziere $- 0.41614683$ mit $2$ .

$f' (2) = - 3 \cdot (0.17317818 \sin^{2} (2)) + \cos^{4} (2)$

Schritt 11.4.2.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $0.17317818$ .

$f' (2) = - 0.51953456 \sin^{2} (2) + \cos^{4} (2)$

Schritt 11.4.2.1.4

Berechne $\sin (2)$ .

$f' (2) = - 0.51953456 \cdot {0.90929742}^{2} + \cos^{4} (2)$

Schritt 11.4.2.1.5

Potenziere $0.90929742$ mit $2$ .

$f' (2) = - 0.51953456 \cdot 0.82682181 + \cos^{4} (2)$

Schritt 11.4.2.1.6

Mutltipliziere $- 0.51953456$ mit $0.82682181$ .

$f' (2) = - 0.42956251 + \cos^{4} (2)$

Schritt 11.4.2.1.7

Berechne $\cos (2)$ .

$f' (2) = - 0.42956251 + {(- 0.41614683)}^{4}$

Schritt 11.4.2.1.8

Potenziere $- 0.41614683$ mit $4$ .

$f' (2) = - 0.42956251 + 0.02999068$

Schritt 11.4.2.2

Addiere $- 0.42956251$ und $0.02999068$ .

$f' (2) = - 0.39957182$

Schritt 11.4.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 0.39957182$ .

$- 0.39957182$

Schritt 11.5

Setze eine beliebige Zahl, wie $3$ , aus dem Intervall $(\frac{5 π}{6}, \frac{7 π}{6})$ in die erste Ableitung $- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f' (3) = - 3 \cos^{2} (3) \sin^{2} (3) + \cos^{4} (3)$

Schritt 11.5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.5.2.1.1

Berechne $\cos (3)$ .

$f' (3) = - 3 {(- 0.98999249)}^{2} \sin^{2} (3) + \cos^{4} (3)$

Schritt 11.5.2.1.2

Potenziere $- 0.98999249$ mit $2$ .

$f' (3) = - 3 \cdot (0.98008514 \sin^{2} (3)) + \cos^{4} (3)$

Schritt 11.5.2.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $0.98008514$ .

$f' (3) = - 2.94025542 \sin^{2} (3) + \cos^{4} (3)$

Schritt 11.5.2.1.4

Berechne $\sin (3)$ .

$f' (3) = - 2.94025542 \cdot {0.14112}^{2} + \cos^{4} (3)$

Schritt 11.5.2.1.5

Potenziere $0.14112$ mit $2$ .

$f' (3) = - 2.94025542 \cdot 0.01991485 + \cos^{4} (3)$

Schritt 11.5.2.1.6

Mutltipliziere $- 2.94025542$ mit $0.01991485$ .

$f' (3) = - 0.05855476 + \cos^{4} (3)$

Schritt 11.5.2.1.7

Berechne $\cos (3)$ .

$f' (3) = - 0.05855476 + {(- 0.98999249)}^{4}$

Schritt 11.5.2.1.8

Potenziere $- 0.98999249$ mit $4$ .

$f' (3) = - 0.05855476 + 0.96056688$

Schritt 11.5.2.2

Addiere $- 0.05855476$ und $0.96056688$ .

$f' (3) = 0.90201212$

Schritt 11.5.2.3

Die endgültige Lösung ist $0.90201212$ .

$0.90201212$

Schritt 11.6

Setze eine beliebige Zahl, wie $4$ , aus dem Intervall $(\frac{7 π}{6}, \frac{3 π}{2})$ in die erste Ableitung $- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 11.6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$f' (4) = - 3 \cos^{2} (4) \sin^{2} (4) + \cos^{4} (4)$

Schritt 11.6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.6.2.1.1

Berechne $\cos (4)$ .

$f' (4) = - 3 {(- 0.65364362)}^{2} \sin^{2} (4) + \cos^{4} (4)$

Schritt 11.6.2.1.2

Potenziere $- 0.65364362$ mit $2$ .

$f' (4) = - 3 \cdot (0.42724998 \sin^{2} (4)) + \cos^{4} (4)$

Schritt 11.6.2.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $0.42724998$ .

$f' (4) = - 1.28174994 \sin^{2} (4) + \cos^{4} (4)$

Schritt 11.6.2.1.4

Berechne $\sin (4)$ .

$f' (4) = - 1.28174994 {(- 0.75680249)}^{2} + \cos^{4} (4)$

Schritt 11.6.2.1.5

Potenziere $- 0.75680249$ mit $2$ .

$f' (4) = - 1.28174994 \cdot 0.57275001 + \cos^{4} (4)$

Schritt 11.6.2.1.6

Mutltipliziere $- 1.28174994$ mit $0.57275001$ .

$f' (4) = - 0.7341223 + \cos^{4} (4)$

Schritt 11.6.2.1.7

Berechne $\cos (4)$ .

$f' (4) = - 0.7341223 + {(- 0.65364362)}^{4}$

Schritt 11.6.2.1.8

Potenziere $- 0.65364362$ mit $4$ .

$f' (4) = - 0.7341223 + 0.18254254$

Schritt 11.6.2.2

Addiere $- 0.7341223$ und $0.18254254$ .

$f' (4) = - 0.55157975$

Schritt 11.6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 0.55157975$ .

$- 0.55157975$

Schritt 11.7

Setze eine beliebige Zahl, wie $5$ , aus dem Intervall $(\frac{3 π}{2}, \frac{11 π}{6})$ in die erste Ableitung $- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 11.7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $5$ .

$f' (5) = - 3 \cos^{2} (5) \sin^{2} (5) + \cos^{4} (5)$

Schritt 11.7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.7.2.1.1

Berechne $\cos (5)$ .

$f' (5) = - 3 \cdot ({0.28366218}^{2} \sin^{2} (5)) + \cos^{4} (5)$

Schritt 11.7.2.1.2

Potenziere $0.28366218$ mit $2$ .

$f' (5) = - 3 \cdot (0.08046423 \sin^{2} (5)) + \cos^{4} (5)$

Schritt 11.7.2.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $0.08046423$ .

$f' (5) = - 0.2413927 \sin^{2} (5) + \cos^{4} (5)$

Schritt 11.7.2.1.4

Berechne $\sin (5)$ .

$f' (5) = - 0.2413927 {(- 0.95892427)}^{2} + \cos^{4} (5)$

Schritt 11.7.2.1.5

Potenziere $- 0.95892427$ mit $2$ .

$f' (5) = - 0.2413927 \cdot 0.91953576 + \cos^{4} (5)$

Schritt 11.7.2.1.6

Mutltipliziere $- 0.2413927$ mit $0.91953576$ .

$f' (5) = - 0.22196922 + \cos^{4} (5)$

Schritt 11.7.2.1.7

Berechne $\cos (5)$ .

$f' (5) = - 0.22196922 + {0.28366218}^{4}$

Schritt 11.7.2.1.8

Potenziere $0.28366218$ mit $4$ .

$f' (5) = - 0.22196922 + 0.00647449$

Schritt 11.7.2.2

Addiere $- 0.22196922$ und $0.00647449$ .

$f' (5) = - 0.21549473$

Schritt 11.7.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 0.21549473$ .

$- 0.21549473$

Schritt 11.8

Setze eine beliebige Zahl, wie $8$ , aus dem Intervall $(\frac{11 π}{6}, \infty)$ in die erste Ableitung $- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 11.8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $8$ .

$f' (8) = - 3 \cos^{2} (8) \sin^{2} (8) + \cos^{4} (8)$

Schritt 11.8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.8.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.8.2.1.1

Berechne $\cos (8)$ .

$f' (8) = - 3 {(- 0.14550003)}^{2} \sin^{2} (8) + \cos^{4} (8)$

Schritt 11.8.2.1.2

Potenziere $- 0.14550003$ mit $2$ .

$f' (8) = - 3 \cdot (0.02117025 \sin^{2} (8)) + \cos^{4} (8)$

Schritt 11.8.2.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $0.02117025$ .

$f' (8) = - 0.06351077 \sin^{2} (8) + \cos^{4} (8)$

Schritt 11.8.2.1.4

Berechne $\sin (8)$ .

$f' (8) = - 0.06351077 \cdot {0.98935824}^{2} + \cos^{4} (8)$

Schritt 11.8.2.1.5

Potenziere $0.98935824$ mit $2$ .

$f' (8) = - 0.06351077 \cdot 0.97882974 + \cos^{4} (8)$

Schritt 11.8.2.1.6

Mutltipliziere $- 0.06351077$ mit $0.97882974$ .

$f' (8) = - 0.06216623 + \cos^{4} (8)$

Schritt 11.8.2.1.7

Berechne $\cos (8)$ .

$f' (8) = - 0.06216623 + {(- 0.14550003)}^{4}$

Schritt 11.8.2.1.8

Potenziere $- 0.14550003$ mit $4$ .

$f' (8) = - 0.06216623 + 0.00044817$

Schritt 11.8.2.2

Addiere $- 0.06216623$ und $0.00044817$ .

$f' (8) = - 0.06171805$

Schritt 11.8.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 0.06171805$ .

$- 0.06171805$

Schritt 11.9

Da die erste Ableitung um $x = \frac{π}{6}$ herum das Vorzeichen von positiv zu negativ gewechselt hat, ist $x = \frac{π}{6}$ ein lokales Maximum.

$x = \frac{π}{6}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 11.10

Da die erste Ableitung das Vorzeichen um $x = \frac{π}{2}$ nicht gewechselt hat, ist dies kein lokales Maximum oder Minimum.

Kein lokales Maximum oder Minimum

Schritt 11.11

Da die erste Ableitung um $x = \frac{5 π}{6}$ herum das Vorzeichen von negativ zu positiv gewechselt hat, ist $x = \frac{5 π}{6}$ ein lokales Minimum.

$x = \frac{5 π}{6}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 11.12

Da die erste Ableitung um $x = \frac{7 π}{6}$ herum das Vorzeichen von positiv zu negativ gewechselt hat, ist $x = \frac{7 π}{6}$ ein lokales Maximum.

$x = \frac{7 π}{6}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 11.13

Da die erste Ableitung das Vorzeichen um $x = \frac{3 π}{2}$ nicht gewechselt hat, ist dies kein lokales Maximum oder Minimum.

Kein lokales Maximum oder Minimum

Schritt 11.14

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = \sin (x) \cdot \cos^{3} (x)$ .

$x = \frac{π}{6}$ ist ein lokales Maximum

$x = \frac{5 π}{6}$ ist ein lokales Minimum

$x = \frac{7 π}{6}$ ist ein lokales Maximum

$x = \frac{π}{6}$ ist ein lokales Maximum

$x = \frac{5 π}{6}$ ist ein lokales Minimum

$x = \frac{7 π}{6}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 12