Analysis Beispiele

$f (x) = x (\frac{480 - 3 x}{2})$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $480 - 3 x$ heraus.

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Schritt 1.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $480$ heraus.

$\frac{d}{d x} [x \frac{3 (160) - 3 x}{2}]$

Schritt 1.1.1.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x$ heraus.

$\frac{d}{d x} [x \frac{3 (160) + 3 (- x)}{2}]$

Schritt 1.1.1.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (160) + 3 (- x)$ heraus.

$\frac{d}{d x} [x \frac{3 (160 - x)}{2}]$

Schritt 1.1.2

Kombiniere $x$ und $\frac{3 (160 - x)}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x (3 (160 - x))}{2}]$

Schritt 1.1.3

Da $\frac{3}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x (3 (160 - x))}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x (160 - x)]$ .

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x (160 - x)]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = 160 - x$ .

$\frac{3}{2} (x \frac{d}{d x} [160 - x] + (160 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.3

Differenziere.

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Schritt 1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $160 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [160] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{3}{2} (x (\frac{d}{d x} [160] + \frac{d}{d x} [- x]) + (160 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.3.2

Da $160$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $160$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{3}{2} (x (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (160 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{3}{2} (x \frac{d}{d x} [- x] + (160 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3}{2} (x (- \frac{d}{d x} [x]) + (160 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{3}{2} (x (- 1 \cdot 1) + (160 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{3}{2} (x \cdot - 1 + (160 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.3.6.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{3}{2} (- 1 \cdot x + (160 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.3.6.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\frac{3}{2} (- x + (160 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{3}{2} (- x + (160 - x) \cdot 1)$

Schritt 1.3.8

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 1.3.8.1

Mutltipliziere $160 - x$ mit $1$ .

$\frac{3}{2} (- x + 160 - x)$

Schritt 1.3.8.2

Subtrahiere $x$ von $- x$ .

$\frac{3}{2} (- 2 x + 160)$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3}{2} (- 2 x) + \frac{3}{2} \cdot 160$

Schritt 1.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.4.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{3}{2}$ .

$\frac{- 2 \cdot 3}{2} x + \frac{3}{2} \cdot 160$

Schritt 1.4.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$\frac{- 6}{2} x + \frac{3}{2} \cdot 160$

Schritt 1.4.2.3

Kombiniere $\frac{- 6}{2}$ und $x$ .

$\frac{- 6 x}{2} + \frac{3}{2} \cdot 160$

Schritt 1.4.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $2$ .

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Schritt 1.4.2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 6 x$ heraus.

$\frac{2 (- 3 x)}{2} + \frac{3}{2} \cdot 160$

Schritt 1.4.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.2.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (- 3 x)}{2 (1)} + \frac{3}{2} \cdot 160$

Schritt 1.4.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- 3 x)}{2 \cdot 1} + \frac{3}{2} \cdot 160$

Schritt 1.4.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 3 x}{1} + \frac{3}{2} \cdot 160$

Schritt 1.4.2.4.2.4

Dividiere $- 3 x$ durch $1$ .

$- 3 x + \frac{3}{2} \cdot 160$

Schritt 1.4.2.5

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $160$ .

$- 3 x + \frac{3 \cdot 160}{2}$

Schritt 1.4.2.6

Mutltipliziere $3$ mit $160$ .

$- 3 x + \frac{480}{2}$

Schritt 1.4.2.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $480$ und $2$ .

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Schritt 1.4.2.7.1

Faktorisiere $2$ aus $480$ heraus.

$- 3 x + \frac{2 \cdot 240}{2}$

Schritt 1.4.2.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.2.7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- 3 x + \frac{2 \cdot 240}{2 (1)}$

Schritt 1.4.2.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 3 x + \frac{2 \cdot 240}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.2.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- 3 x + \frac{240}{1}$

Schritt 1.4.2.7.2.4

Dividiere $240$ durch $1$ .

$- 3 x + 240$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 3 x + 240$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [240]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (240)$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (240)$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (240)$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 3 + \frac{d}{d x} (240)$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.3.1

Da $240$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $240$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - 3 + 0$

Schritt 2.3.2

Addiere $- 3$ und $0$ .

$f'' (x) = - 3$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- 3 x + 240 = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 4.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $480 - 3 x$ heraus.

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Schritt 4.1.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $480$ heraus.

$\frac{d}{d x} [x \frac{3 (160) - 3 x}{2}]$

Schritt 4.1.1.1.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x$ heraus.

$\frac{d}{d x} [x \frac{3 (160) + 3 (- x)}{2}]$

Schritt 4.1.1.1.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (160) + 3 (- x)$ heraus.

$\frac{d}{d x} [x \frac{3 (160 - x)}{2}]$

Schritt 4.1.1.2

Kombiniere $x$ und $\frac{3 (160 - x)}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x (3 (160 - x))}{2}]$

Schritt 4.1.1.3

Da $\frac{3}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x (3 (160 - x))}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x (160 - x)]$ .

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x (160 - x)]$

Schritt 4.1.2

$\frac{3}{2} (x \frac{d}{d x} [160 - x] + (160 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.1.3

Differenziere.

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Schritt 4.1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $160 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [160] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{3}{2} (x (\frac{d}{d x} [160] + \frac{d}{d x} [- x]) + (160 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.1.3.2

Da $160$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $160$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{3}{2} (x (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (160 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.1.3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{3}{2} (x \frac{d}{d x} [- x] + (160 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.1.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3}{2} (x (- \frac{d}{d x} [x]) + (160 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.1.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{3}{2} (x (- 1 \cdot 1) + (160 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.1.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1.3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{3}{2} (x \cdot - 1 + (160 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.1.3.6.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{3}{2} (- 1 \cdot x + (160 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.1.3.6.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\frac{3}{2} (- x + (160 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.1.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{3}{2} (- x + (160 - x) \cdot 1)$

Schritt 4.1.3.8

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 4.1.3.8.1

Mutltipliziere $160 - x$ mit $1$ .

$\frac{3}{2} (- x + 160 - x)$

Schritt 4.1.3.8.2

Subtrahiere $x$ von $- x$ .

$\frac{3}{2} (- 2 x + 160)$

Schritt 4.1.4

Vereinfache.

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Schritt 4.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3}{2} (- 2 x) + \frac{3}{2} \cdot 160$

Schritt 4.1.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.1.4.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{3}{2}$ .

$\frac{- 2 \cdot 3}{2} x + \frac{3}{2} \cdot 160$

Schritt 4.1.4.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$\frac{- 6}{2} x + \frac{3}{2} \cdot 160$

Schritt 4.1.4.2.3

Kombiniere $\frac{- 6}{2}$ und $x$ .

$\frac{- 6 x}{2} + \frac{3}{2} \cdot 160$

Schritt 4.1.4.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $2$ .

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Schritt 4.1.4.2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 6 x$ heraus.

$\frac{2 (- 3 x)}{2} + \frac{3}{2} \cdot 160$

Schritt 4.1.4.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.4.2.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (- 3 x)}{2 (1)} + \frac{3}{2} \cdot 160$

Schritt 4.1.4.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- 3 x)}{2 \cdot 1} + \frac{3}{2} \cdot 160$

Schritt 4.1.4.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 3 x}{1} + \frac{3}{2} \cdot 160$

Schritt 4.1.4.2.4.2.4

Dividiere $- 3 x$ durch $1$ .

$- 3 x + \frac{3}{2} \cdot 160$

Schritt 4.1.4.2.5

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $160$ .

$- 3 x + \frac{3 \cdot 160}{2}$

Schritt 4.1.4.2.6

Mutltipliziere $3$ mit $160$ .

$- 3 x + \frac{480}{2}$

Schritt 4.1.4.2.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $480$ und $2$ .

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Schritt 4.1.4.2.7.1

Faktorisiere $2$ aus $480$ heraus.

$- 3 x + \frac{2 \cdot 240}{2}$

Schritt 4.1.4.2.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.4.2.7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- 3 x + \frac{2 \cdot 240}{2 (1)}$

Schritt 4.1.4.2.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 3 x + \frac{2 \cdot 240}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.4.2.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- 3 x + \frac{240}{1}$

Schritt 4.1.4.2.7.2.4

Dividiere $240$ durch $1$ .

$f' (x) = - 3 x + 240$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 3 x + 240$ .

$- 3 x + 240$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 3 x + 240 = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- 3 x + 240 = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $240$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 x = - 240$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $- 3 x = - 240$ durch $- 3$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 3 x = - 240$ durch $- 3$ .

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 240}{- 3}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 240}{- 3}$

Schritt 5.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 240}{- 3}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Dividiere $- 240$ durch $- 3$ .

$x = 80$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 80$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 80$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- 3$

Schritt 9

$x = 80$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 80$ ist ein lokales Maximum

Schritt 10

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 80$ .

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Schritt 10.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $80$ .

$f (80) = (80) (\frac{480 - 3 \cdot 80}{2})$

Schritt 10.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 10.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.2.1.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $80$ .

$f (80) = 80 (\frac{480 - 240}{2})$

Schritt 10.2.1.2

Subtrahiere $240$ von $480$ .

$f (80) = 80 (\frac{240}{2})$

Schritt 10.2.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.2.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $80$ heraus.

$f (80) = 2 (40) (\frac{240}{2})$

Schritt 10.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (80) = 2 \cdot (40 (\frac{240}{2}))$

Schritt 10.2.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$f (80) = 40 \cdot 240$

Schritt 10.2.2.2

Mutltipliziere $40$ mit $240$ .

$f (80) = 9600$

Schritt 10.2.3

Die endgültige Lösung ist $9600$ .

$y = 9600$

Schritt 11

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = x (\frac{480 - 3 x}{2})$ .

$(80, 9600)$ ist ein lokales Maximum

Schritt 12