Analysis Beispiele

$f (x) = x - \sqrt[3]{x}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - \sqrt[3]{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x}]$ .

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Schritt 1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$1 + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 1.2.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{\frac{1}{3}}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$1 - (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Schritt 1.2.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$1 - (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Schritt 1.2.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$1 - (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 1.2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$1 - (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 1.2.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$1 - (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Schritt 1.2.7.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$1 - (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Schritt 1.2.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$1 - (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Schritt 1.2.9

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$1 - \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Schritt 1.2.10

Bringe $x^{- \frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Schritt 2.1.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- \frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ als ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ um.

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

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Schritt 2.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{3} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}}))$

Schritt 2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{3} \cdot (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 2.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{3} \cdot (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{3} \cdot (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Schritt 2.2.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2}$ .

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Schritt 2.2.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{3} \cdot (- x^{\frac{2}{3} \cdot - 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Schritt 2.2.5.2

Multipliziere $\frac{2}{3} \cdot - 2$ .

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Schritt 2.2.5.2.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $- 2$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{3} \cdot (- x^{\frac{2 \cdot - 2}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Schritt 2.2.5.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{3} \cdot (- x^{\frac{- 4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Schritt 2.2.5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Schritt 2.2.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

Schritt 2.2.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

Schritt 2.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}))$

Schritt 2.2.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}))$

Schritt 2.2.9.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}))$

Schritt 2.2.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}))$

Schritt 2.2.11

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3})$

Schritt 2.2.12

Kombiniere $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ und $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2 x^{- \frac{1}{3}} x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

Schritt 2.2.13

Multipliziere $x^{- \frac{1}{3}}$ mit $x^{- \frac{4}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.13.1

Bewege $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2 (x^{- \frac{4}{3}} x^{- \frac{1}{3}})}{3})$

Schritt 2.2.13.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2 x^{- \frac{4}{3} - \frac{1}{3}}}{3})$

Schritt 2.2.13.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2 x^{\frac{- 4 - 1}{3}}}{3})$

Schritt 2.2.13.4

Subtrahiere $1$ von $- 4$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2 x^{\frac{- 5}{3}}}{3})$

Schritt 2.2.13.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2 x^{- \frac{5}{3}}}{3})$

Schritt 2.2.14

Bringe $x^{- \frac{5}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}})$

Schritt 2.2.15

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 0 + 1 (\frac{1}{3}) \cdot \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 2.2.16

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $1$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 2.2.17

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3 (3 x^{\frac{5}{3}})}$

Schritt 2.2.18

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 2.3

Addiere $0$ und $\frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$1 - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Differenziere.

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Schritt 4.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - \sqrt[3]{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \sqrt[3]{x})$

Schritt 4.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (- \sqrt[3]{x})$

Schritt 4.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x}]$ .

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Schritt 4.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 4.1.2.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{\frac{1}{3}}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$f' (x) = 1 - \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}}$

Schritt 4.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$f' (x) = 1 - (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Schritt 4.1.2.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 1 - (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Schritt 4.1.2.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 1 - (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 4.1.2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = 1 - (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 4.1.2.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.2.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f' (x) = 1 - (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Schritt 4.1.2.7.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$f' (x) = 1 - (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Schritt 4.1.2.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = 1 - (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Schritt 4.1.2.9

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = 1 - \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Schritt 4.1.2.10

Bringe $x^{- \frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 1 - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $1 - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$1 - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $1 - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$1 - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} = - 1$

Schritt 5.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 5.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$3 x^{\frac{2}{3}}, 1$

Schritt 5.3.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$3 x^{\frac{2}{3}}$

Schritt 5.4

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} = - 1$ mit $3 x^{\frac{2}{3}}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 5.4.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} = - 1$ mit $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = - (3 x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ in den Zähler.

$\frac{- 1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = - (3 x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 5.4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = - (3 x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 5.4.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- 1 = - (3 x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- 1 = - 3 x^{\frac{2}{3}}$

Schritt 5.5

Löse die Gleichung.

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Schritt 5.5.1

Schreibe die Gleichung als $- 3 x^{\frac{2}{3}} = - 1$ um.

$- 3 x^{\frac{2}{3}} = - 1$

Schritt 5.5.2

Teile jeden Ausdruck in $- 3 x^{\frac{2}{3}} = - 1$ durch $- 3$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 3 x^{\frac{2}{3}} = - 1$ durch $- 3$ .

$\frac{- 3 x^{\frac{2}{3}}}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Schritt 5.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 x^{\frac{2}{3}}}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Schritt 5.5.2.2.2

Dividiere $x^{\frac{2}{3}}$ durch $1$ .

$x^{\frac{2}{3}} = \frac{- 1}{- 3}$

Schritt 5.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x^{\frac{2}{3}} = \frac{1}{3}$

Schritt 5.5.3

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $\frac{3}{2}$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm {(\frac{1}{3})}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 5.5.4

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 5.5.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.4.1.1

Vereinfache ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Schritt 5.5.4.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Schritt 5.5.4.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm {(\frac{1}{3})}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 5.5.4.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.5.4.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm {(\frac{1}{3})}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 5.5.4.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm {(\frac{1}{3})}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 5.5.4.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.5.4.1.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm {(\frac{1}{3})}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 5.5.4.1.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = \pm {(\frac{1}{3})}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 5.5.4.1.1.2

Vereinfache.

$x = \pm {(\frac{1}{3})}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 5.5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.4.2.1

Vereinfache $\pm {(\frac{1}{3})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Schritt 5.5.4.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{3}$ an.

$x = \pm \frac{1^{\frac{3}{2}}}{3^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 5.5.4.2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \pm \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 5.5.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.5.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 5.5.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 5.5.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}, - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$1 - \frac{1}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$

Schritt 6.2

Setze den Nenner in $\frac{1}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$3 \sqrt[3]{x^{2}} = 0$

Schritt 6.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${(3 \sqrt[3]{x^{2}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 6.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x^{2}}$ als $x^{\frac{2}{3}}$ neu zu schreiben.

${(3 x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 6.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.2.1

Vereinfache ${(3 x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 6.3.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $3 x^{\frac{2}{3}}$ an.

$3^{3} {(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 6.3.2.2.1.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$27 {(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 6.3.2.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 6.3.2.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 6.3.2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.3.2.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$27 x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 6.3.2.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$27 x^{2} = 0^{3}$

Schritt 6.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$27 x^{2} = 0$

Schritt 6.3.3

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $27 x^{2} = 0$ durch $27$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $27 x^{2} = 0$ durch $27$ .

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Schritt 6.3.3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $27$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.3.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Schritt 6.3.3.1.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{27}$

Schritt 6.3.3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.3.1.3.1

Dividiere $0$ durch $27$ .

$x^{2} = 0$

Schritt 6.3.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 6.3.3.3

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.3.3.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 6.3.3.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 6.3.3.3.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}, - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}, 0$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{2}{9 {(\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}})}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$ an.

$\frac{2}{9 \frac{1^{\frac{5}{3}}}{{(3^{\frac{3}{2}})}^{\frac{5}{3}}}}$

Schritt 9.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{2}{9 \frac{1}{{(3^{\frac{3}{2}})}^{\frac{5}{3}}}}$

Schritt 9.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(3^{\frac{3}{2}})}^{\frac{5}{3}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{9 \frac{1}{3^{\frac{3}{2} \cdot \frac{5}{3}}}}$

Schritt 9.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 9.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{9 \frac{1}{3^{\frac{3}{2} \cdot \frac{5}{3}}}}$

Schritt 9.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{9 \frac{1}{3^{\frac{1}{2} \cdot 5}}}$

Schritt 9.1.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $5$ .

$\frac{2}{9 \frac{1}{3^{\frac{5}{2}}}}$

Schritt 9.2

Kombiniere $9$ und $\frac{1}{3^{\frac{5}{2}}}$ .

$\frac{2}{\frac{9}{3^{\frac{5}{2}}}}$

Schritt 9.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 \frac{3^{\frac{5}{2}}}{9}$

Schritt 9.4

Kombiniere $2$ und $\frac{3^{\frac{5}{2}}}{9}$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{9}$

Schritt 10

$x = \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$ .

$f (\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) = (\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) - \sqrt[3]{\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}}$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.1.1

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$f (\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} - \sqrt[3]{\frac{1^{3}}{3^{\frac{3}{2}}}}$

Schritt 11.2.1.2

Schreibe $3^{\frac{3}{2}}$ als ${(3^{\frac{1}{2}})}^{3}$ um.

$f (\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} - \sqrt[3]{\frac{1^{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{3}}}$

Schritt 11.2.1.3

Schreibe $\frac{1^{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{3}}$ als ${(\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}})}^{3}$ um.

$f (\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} - \sqrt[3]{{(\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}})}^{3}}$

Schritt 11.2.1.4

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f (\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11.2.2

Um $- \frac{1}{3^{\frac{1}{2}}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{2}{2}}}$ .

$f (\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 11.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $3^{\frac{3}{2}}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 11.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{2}{2}}}$ .

$f (\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 11.2.3.2

Multipliziere $3^{\frac{1}{2}}$ mit $3^{\frac{2}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 11.2.3.2.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Schritt 11.2.3.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Schritt 11.2.3.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f (\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 11.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1 - 3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 11.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.2.5.1

Dividiere $2$ durch $2$ .

$f (\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1 - 3}{3^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 11.2.5.2

Potenziere $3$ mit $1$ .

$f (\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1 - 1 \cdot 3}{3^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 11.2.5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f (\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1 - 3}{3^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 11.2.5.4

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$f (\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) = \frac{- 2}{3^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 11.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) = - \frac{2}{3^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 11.2.7

Die endgültige Lösung ist $- \frac{2}{3^{\frac{3}{2}}}$ .

$y = - \frac{2}{3^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 12

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{2}{9 {(- \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}})}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 13.1

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$ an.

$\frac{2}{9 ({(- 1)}^{\frac{5}{3}} {(\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}})}^{\frac{5}{3}})}$

Schritt 13.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$ an.

$\frac{2}{9 ({(- 1)}^{\frac{5}{3}} \frac{1^{\frac{5}{3}}}{{(3^{\frac{3}{2}})}^{\frac{5}{3}}})}$

Schritt 13.1.2

Schreibe $- 1$ als ${(- 1)}^{3}$ um.

$\frac{2}{9 ({({(- 1)}^{3})}^{\frac{5}{3}} \frac{1^{\frac{5}{3}}}{{(3^{\frac{3}{2}})}^{\frac{5}{3}}})}$

Schritt 13.1.3

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{9 ({(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})} \frac{1^{\frac{5}{3}}}{{(3^{\frac{3}{2}})}^{\frac{5}{3}}})}$

Schritt 13.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{9 ({(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})} \frac{1^{\frac{5}{3}}}{{(3^{\frac{3}{2}})}^{\frac{5}{3}}})}$

Schritt 13.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{9 ({(- 1)}^{5} \frac{1^{\frac{5}{3}}}{{(3^{\frac{3}{2}})}^{\frac{5}{3}}})}$

Schritt 13.1.5

Potenziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{2}{9 (- \frac{1^{\frac{5}{3}}}{{(3^{\frac{3}{2}})}^{\frac{5}{3}}})}$

Schritt 13.1.6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{2}{9 (- \frac{1}{{(3^{\frac{3}{2}})}^{\frac{5}{3}}})}$

Schritt 13.1.7

Multipliziere die Exponenten in ${(3^{\frac{3}{2}})}^{\frac{5}{3}}$ .

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Schritt 13.1.7.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{9 (- \frac{1}{3^{\frac{3}{2} \cdot \frac{5}{3}}})}$

Schritt 13.1.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1.7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{9 (- \frac{1}{3^{\frac{3}{2} \cdot \frac{5}{3}}})}$

Schritt 13.1.7.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{9 (- \frac{1}{3^{\frac{1}{2} \cdot 5}})}$

Schritt 13.1.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $5$ .

$\frac{2}{9 (- \frac{1}{3^{\frac{5}{2}}})}$

$\frac{2}{9 \cdot - 1 \frac{1}{3^{\frac{5}{2}}}}$

Schritt 13.1.8

Kombiniere Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1.8.1

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\frac{2}{- (9 \frac{1}{3^{\frac{5}{2}}})}$

Schritt 13.1.8.2

Kombiniere $9$ und $\frac{1}{3^{\frac{5}{2}}}$ .

$\frac{2}{- \frac{9}{3^{\frac{5}{2}}}}$

Schritt 13.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 (- \frac{3^{\frac{5}{2}}}{9})$

Schritt 13.3

Multipliziere $2 (- \frac{3^{\frac{5}{2}}}{9})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 \frac{3^{\frac{5}{2}}}{9}$

Schritt 13.3.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{3^{\frac{5}{2}}}{9}$ .

$\frac{- 2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{9}$

Schritt 13.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{9}$

Schritt 14

$x = - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 15

Ermittele den y-Wert, wenn $x = - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$ .

$f (- \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) = (- \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) - \sqrt[3]{- \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}}$

Schritt 15.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.1.1

Schreibe $- \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$ als ${(- \frac{1}{3^{\frac{1}{2}}})}^{3}$ um.

$f (- \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) = - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} - \sqrt[3]{{(- \frac{1}{3^{\frac{1}{2}}})}^{3}}$

Schritt 15.2.1.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f (- \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) = - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{3^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 15.2.1.3

Multipliziere $- - \frac{1}{3^{\frac{1}{2}}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) = - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} + 1 (\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 15.2.1.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}}$ mit $1$ .

$f (- \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) = - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{3^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 15.2.2

Um $\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{2}{2}}}$ .

$f (- \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) = - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 15.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $3^{\frac{3}{2}}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{2}{2}}}$ .

$f (- \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) = - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} + \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 15.2.3.2

Multipliziere $3^{\frac{1}{2}}$ mit $3^{\frac{2}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 15.2.3.2.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (- \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) = - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} + \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Schritt 15.2.3.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) = - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} + \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Schritt 15.2.3.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f (- \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) = - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} + \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 15.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) = \frac{- 1 + 3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 15.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 15.2.5.1

Dividiere $2$ durch $2$ .

$f (- \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) = \frac{- 1 + 3}{3^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 15.2.5.2

Potenziere $3$ mit $1$ .

$f (- \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) = \frac{- 1 + 3}{3^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 15.2.5.3

Addiere $- 1$ und $3$ .

$f (- \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) = \frac{2}{3^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 15.2.6

Die endgültige Lösung ist $\frac{2}{3^{\frac{3}{2}}}$ .

$y = \frac{2}{3^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 16

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{2}{9 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 17

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 17.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 17.1.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$\frac{2}{9 {(0^{3})}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 17.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{9 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}$

Schritt 17.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 17.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{9 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}$

Schritt 17.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{9 \cdot 0^{5}}$

Schritt 17.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 17.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{2}{9 \cdot 0}$

Schritt 17.3.2

Mutltipliziere $9$ mit $0$ .

$\frac{2}{0}$

Schritt 17.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{2}{0}$

Schritt 17.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 18

Da es mindestens einen Punkt mit $0$ oder eine nicht definierte zweite Ableitung gibt, wende den ersten Ableitungstest an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.1

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum auf, die die erste Ableitung zu $0$ oder nicht definiert machen.

$(- \infty, - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) \cup (- \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}, 0) \cup (0, \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) \cup (\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}, \infty)$

Schritt 18.2

Setze eine beliebige Zahl, wie $- 3$ , aus dem Intervall $(- \infty, - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}})$ in die erste Ableitung $1 - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 18.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 3$ .

$f' (- 3) = 1 - \frac{1}{3 {(- 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 18.2.2

Die endgültige Lösung ist $1 - \frac{1}{3 {(- 3)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$1 - \frac{1}{3 {(- 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 18.3

Setze eine beliebige Zahl, wie $- 0.1$ , aus dem Intervall $(- \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}, 0)$ in die erste Ableitung $1 - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 18.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.1$ .

$f' (- 0.1) = 1 - \frac{1}{3 {(- 0.1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 18.3.2

Die endgültige Lösung ist $1 - \frac{1}{3 {(- 0.1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$1 - \frac{1}{3 {(- 0.1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 18.4

Setze eine beliebige Zahl, wie $0.1$ , aus dem Intervall $(0, \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}})$ in die erste Ableitung $1 - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 18.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.1$ .

$f' (0.1) = 1 - \frac{1}{3 {(0.1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 18.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 18.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 18.4.2.1.1

Potenziere $0.1$ mit $\frac{2}{3}$ .

$f' (0.1) = 1 - \frac{1}{3 \cdot 0.21544346}$

Schritt 18.4.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $0.21544346$ .

$f' (0.1) = 1 - \frac{1}{0.6463304}$

Schritt 18.4.2.1.3

Dividiere $1$ durch $0.6463304$ .

$f' (0.1) = 1 - 1 \cdot 1.54719627$

Schritt 18.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1.54719627$ .

$f' (0.1) = 1 - 1.54719627$

Schritt 18.4.2.2

Subtrahiere $1.54719627$ von $1$ .

$f' (0.1) = - 0.54719627$

Schritt 18.4.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 0.54719627$ .

$- 0.54719627$

Schritt 18.5

Setze eine beliebige Zahl, wie $3$ , aus dem Intervall $(\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ in die erste Ableitung $1 - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 18.5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f' (3) = 1 - \frac{1}{3 {(3)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 18.5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 18.5.2.1

Multipliziere $3$ mit ${(3)}^{\frac{2}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 18.5.2.1.1

Mutltipliziere $3$ mit ${(3)}^{\frac{2}{3}}$ .

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Schritt 18.5.2.1.1.1

Potenziere $3$ mit $1$ .

$f' (3) = 1 - \frac{1}{3 {(3)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 18.5.2.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (3) = 1 - \frac{1}{3^{1 + \frac{2}{3}}}$

Schritt 18.5.2.1.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f' (3) = 1 - \frac{1}{3^{\frac{3}{3} + \frac{2}{3}}}$

Schritt 18.5.2.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (3) = 1 - \frac{1}{3^{\frac{3 + 2}{3}}}$

Schritt 18.5.2.1.4

Addiere $3$ und $2$ .

$f' (3) = 1 - \frac{1}{3^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 18.5.2.2

Die endgültige Lösung ist $1 - \frac{1}{3^{\frac{5}{3}}}$ .

$1 - \frac{1}{3^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 18.6

Da die erste Ableitung um $x = - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$ herum das Vorzeichen von positiv zu negativ gewechselt hat, ist $x = - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$ ein lokales Maximum.

$x = - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 18.7

Da die erste Ableitung das Vorzeichen um $x = 0$ nicht gewechselt hat, ist dies kein lokales Maximum oder Minimum.

Kein lokales Maximum oder Minimum

Schritt 18.8

Da die erste Ableitung um $x = \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$ herum das Vorzeichen von negativ zu positiv gewechselt hat, ist $x = \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$ ein lokales Minimum.

$x = \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 18.9

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = x - \sqrt[3]{x}$ .

$x = - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$ ist ein lokales Maximum

$x = \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$ ist ein lokales Minimum

$x = - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$ ist ein lokales Maximum

$x = \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 19