Analysis Beispiele

$f (x) = \tan (x) - x$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\tan (x) - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec^{2} (x) - \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\sec^{2} (x) - 1 \cdot 1$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\sec^{2} (x) - 1$

Schritt 1.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1

Stelle die Terme um.

$- 1 + \sec^{2} (x)$

Schritt 1.4.2

Stelle $- 1$ und $\sec^{2} (x)$ um.

$\sec^{2} (x) - 1$

Schritt 1.4.3

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\tan^{2} (x)$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \tan (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\tan (x)$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\tan (x))$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 u \frac{d}{d x} (\tan (x))$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $\tan (x)$ .

$f'' (x) = 2 \tan (x) \frac{d}{d x} (\tan (x))$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$f'' (x) = 2 \tan (x) \sec^{2} (x)$

Schritt 2.3

Stelle die Faktoren von $2 \tan (x) \sec^{2} (x)$ um.

$f'' (x) = 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\tan^{2} (x) = 0$

Schritt 4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\tan (x) = \pm \sqrt{0}$

Schritt 5

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$\tan (x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 5.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\tan (x) = \pm 0$

Schritt 5.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$\tan (x) = 0$

Schritt 6

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (0)$

Schritt 7

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Der genau Wert von $\arctan (0)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 8

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$x = π + 0$

Schritt 9

Addiere $π$ und $0$ .

$x = π$

Schritt 10

Die Lösung der Gleichung $x = 0$ .

$x = 0, π$

Schritt 11

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$2 \sec^{2} (0) \tan (0)$

Schritt 12

Berechne die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$2 \cdot 1^{2} \tan (0)$

Schritt 12.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$2 \cdot 1 \tan (0)$

Schritt 12.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 \tan (0)$

Schritt 12.4

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$2 \cdot 0$

Schritt 12.5

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$0$

Schritt 13

Da der erste Ableitungstest nicht erfolgreich war, gibt es kein lokales Extremum.

Keine lokalen Extrema

Schritt 14