Analysis Beispiele

$f (x) = \ln (4 x)$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 4 x$ .

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Schritt 1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 x$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 1.1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $4 x$ .

$\frac{1}{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.2.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.2.2.1

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{4 x}$ .

$\frac{4}{4 x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4}{4 x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{x} \cdot 1$

Schritt 1.2.4

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $1$ .

$\frac{1}{x}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f'' (x) = - x^{- 2}$

Schritt 2.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{1}{x} = 0$

Schritt 4

Da es keinen Wert von $x$ gibt, der die erste Ableitung gleich $0$ macht, gibt es keine lokalen Extrema.

Keine lokalen Extrema

Schritt 5

Keine lokalen Extrema

Schritt 6