Analysis Beispiele

$f (x) = \sin (x^{2})$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\cos (x^{2}) (2 x)$

Schritt 1.2.2

Stelle die Faktoren von $\cos (x^{2}) (2 x)$ um.

$2 x \cos (x^{2})$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x \cos (x^{2})$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x \cos (x^{2})]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x \cos (x^{2}))$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \cos (x^{2})$ .

$f'' (x) = 2 (x \frac{d}{d x} (\cos (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 2.3.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = 2 (x (- \sin (u) \frac{d}{d x} x^{2}) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 (x (- \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} x^{2}) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.4.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 (x (- \sin (x^{2}) (2 x)) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 2 (x (- 2 \sin (x^{2}) x) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 2.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = 2 (x \cdot x (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 2.6

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = 2 (x \cdot x (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 2.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = 2 (x^{1 + 1} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 2.8

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = 2 (x^{2} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (x^{2} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \cdot 1)$

Schritt 2.10

Mutltipliziere $\cos (x^{2})$ mit $1$ .

$f'' (x) = 2 (x^{2} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}))$

Schritt 2.11

Vereinfache.

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Schritt 2.11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = 2 (x^{2} (- 2 \sin (x^{2}))) + 2 \cos (x^{2})$

Schritt 2.11.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$f'' (x) = - 4 x^{2} \sin (x^{2}) + 2 \cos (x^{2})$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$2 x \cos (x^{2}) = 0$

Schritt 4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$\cos (x^{2}) = 0$

Schritt 5

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 6

Setze $\cos (x^{2})$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $\cos (x^{2})$ gleich $0$ .

$\cos (x^{2}) = 0$

Schritt 6.2

Löse $\cos (x^{2}) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Ersetze $x^{2}$ durch $u$ .

$\cos (u) = 0$

Schritt 6.2.2

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $u$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$u = \arccos (0)$

Schritt 6.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.3.1

Der genau Wert von $\arccos (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$u = \frac{π}{2}$

Schritt 6.2.4

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$u = 2 π - \frac{π}{2}$

Schritt 6.2.5

Vereinfache $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 6.2.5.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$u = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 6.2.5.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 6.2.5.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$u = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 6.2.5.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$u = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 6.2.5.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.5.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$u = \frac{4 π - π}{2}$

Schritt 6.2.5.3.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$u = \frac{3 π}{2}$

Schritt 6.2.6

Die Lösung der Gleichung $u = \frac{π}{2}$ .

$u = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Schritt 6.2.7

Setze $x^{2}$ für $u$ ein und löse $x^{2} = \frac{π}{2}$

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Schritt 6.2.7.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{\frac{π}{2}}$

Schritt 6.2.7.2

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{π}{2}}$ .

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Schritt 6.2.7.2.1

Schreibe $\sqrt{\frac{π}{2}}$ als $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$

Schritt 6.2.7.2.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 6.2.7.2.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.7.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 6.2.7.2.3.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 6.2.7.2.3.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 6.2.7.2.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 6.2.7.2.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 6.2.7.2.3.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 6.2.7.2.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 6.2.7.2.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 6.2.7.2.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.2.7.2.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.7.2.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.2.7.2.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 6.2.7.2.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2}$

Schritt 6.2.7.2.4

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$x = \pm \frac{\sqrt{π \cdot 2}}{2}$

Schritt 6.2.7.2.5

Stelle die Faktoren in $\pm \frac{\sqrt{π \cdot 2}}{2}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 π}}{2}$

Schritt 6.2.7.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 6.2.7.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{\sqrt{2 π}}{2}$

Schritt 6.2.7.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{\sqrt{2 π}}{2}$

Schritt 6.2.7.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{\sqrt{2 π}}{2}, - \frac{\sqrt{2 π}}{2}$

Schritt 6.2.8

Setze $x^{2}$ für $u$ ein und löse $x^{2} = \frac{3 π}{2}$

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Schritt 6.2.8.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{\frac{3 π}{2}}$

Schritt 6.2.8.2

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{3 π}{2}}$ .

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Schritt 6.2.8.2.1

Schreibe $\sqrt{\frac{3 π}{2}}$ als $\frac{\sqrt{3 π}}{\sqrt{2}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π}}{\sqrt{2}}$

Schritt 6.2.8.2.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3 π}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 6.2.8.2.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.8.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3 π}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 6.2.8.2.3.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 6.2.8.2.3.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 6.2.8.2.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 6.2.8.2.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 6.2.8.2.3.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 6.2.8.2.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 6.2.8.2.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 6.2.8.2.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.2.8.2.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.8.2.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.2.8.2.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 6.2.8.2.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{2}$

Schritt 6.2.8.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.8.2.4.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π \cdot 2}}{2}$

Schritt 6.2.8.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

Schritt 6.2.8.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 6.2.8.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

Schritt 6.2.8.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

Schritt 6.2.8.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{\sqrt{6 π}}{2}, - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 x \cos (x^{2}) = 0$ wahr machen.

$x = 0, \frac{\sqrt{6 π}}{2}, - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- 4 {(0)}^{2} \sin ({(0)}^{2}) + 2 \cos ({(0)}^{2})$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- 4 \cdot 0 \sin ({(0)}^{2}) + 2 \cos ({(0)}^{2})$

Schritt 9.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $0$ .

$0 \sin ({(0)}^{2}) + 2 \cos ({(0)}^{2})$

Schritt 9.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 \sin (0) + 2 \cos ({(0)}^{2})$

Schritt 9.1.4

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$0 \cdot 0 + 2 \cos ({(0)}^{2})$

Schritt 9.1.5

Mutltipliziere $0$ mit $0$ .

$0 + 2 \cos ({(0)}^{2})$

Schritt 9.1.6

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 + 2 \cos (0)$

Schritt 9.1.7

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$0 + 2 \cdot 1$

Schritt 9.1.8

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$0 + 2$

Schritt 9.2

Addiere $0$ und $2$ .

$2$

Schritt 10

$x = 0$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 0$ ist ein lokales Minimum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 0$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = \sin ({(0)}^{2})$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = \sin (0)$

Schritt 11.2.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$f (0) = 0$

Schritt 11.2.3

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$y = 0$

Schritt 12

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- 4 {(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 13.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{6 π}}{2}$ an.

$- 4 \frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Schritt 13.1.2

Schreibe ${\sqrt{6 π}}^{2}$ als $6 π$ um.

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Schritt 13.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{6 π}$ als ${(6 π)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- 4 \frac{{({(6 π)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Schritt 13.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 \frac{{(6 π)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Schritt 13.1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- 4 \frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Schritt 13.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 13.1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 4 \frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Schritt 13.1.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- 4 \frac{{(6 π)}^{1}}{2^{2}} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Schritt 13.1.2.5

Vereinfache.

$- 4 \frac{6 π}{2^{2}} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Schritt 13.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$- 4 \frac{6 π}{4} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Schritt 13.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 13.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$4 (- 1) \frac{6 π}{4} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Schritt 13.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \cdot - 1 \frac{6 π}{4} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Schritt 13.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$- 1 (6 π) \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Schritt 13.1.5

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$- 6 π \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Schritt 13.1.6

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{6 π}}{2}$ an.

$- 6 π \sin (\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Schritt 13.1.7

Schreibe ${\sqrt{6 π}}^{2}$ als $6 π$ um.

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Schritt 13.1.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{6 π}$ als ${(6 π)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- 6 π \sin (\frac{{({(6 π)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Schritt 13.1.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 6 π \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Schritt 13.1.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- 6 π \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Schritt 13.1.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 13.1.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 6 π \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Schritt 13.1.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- 6 π \sin (\frac{{(6 π)}^{1}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Schritt 13.1.7.5

Vereinfache.

$- 6 π \sin (\frac{6 π}{2^{2}}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Schritt 13.1.8

Potenziere $2$ mit $2$ .

$- 6 π \sin (\frac{6 π}{4}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Schritt 13.1.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1.9.1

Faktorisiere $2$ aus $6 π$ heraus.

$- 6 π \sin (\frac{2 (3 π)}{4}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Schritt 13.1.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1.9.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$- 6 π \sin (\frac{2 (3 π)}{2 (2)}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Schritt 13.1.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 6 π \sin (\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Schritt 13.1.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- 6 π \sin (\frac{3 π}{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Schritt 13.1.10

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sinus im vierten Quadranten negativ ist.

$- 6 π (- \sin (\frac{π}{2})) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Schritt 13.1.11

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$- 6 π (- 1 \cdot 1) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Schritt 13.1.12

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 6 π \cdot - 1 + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Schritt 13.1.13

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 6$ .

$6 π + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Schritt 13.1.14

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{6 π}}{2}$ an.

$6 π + 2 \cos (\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}})$

Schritt 13.1.15

Schreibe ${\sqrt{6 π}}^{2}$ als $6 π$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1.15.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{6 π}$ als ${(6 π)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$6 π + 2 \cos (\frac{{({(6 π)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}})$

Schritt 13.1.15.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{{(6 π)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}})$

Schritt 13.1.15.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

Schritt 13.1.15.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1.15.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 π + 2 \cos (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

Schritt 13.1.15.4.2

Forme den Ausdruck um.

$6 π + 2 \cos (\frac{{(6 π)}^{1}}{2^{2}})$

Schritt 13.1.15.5

Vereinfache.

$6 π + 2 \cos (\frac{6 π}{2^{2}})$

Schritt 13.1.16

Potenziere $2$ mit $2$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{6 π}{4})$

Schritt 13.1.17

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1.17.1

Faktorisiere $2$ aus $6 π$ heraus.

$6 π + 2 \cos (\frac{2 (3 π)}{4})$

Schritt 13.1.17.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1.17.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$6 π + 2 \cos (\frac{2 (3 π)}{2 (2)})$

Schritt 13.1.17.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 π + 2 \cos (\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2})$

Schritt 13.1.17.2.3

Forme den Ausdruck um.

$6 π + 2 \cos (\frac{3 π}{2})$

Schritt 13.1.18

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$6 π + 2 \cos (\frac{π}{2})$

Schritt 13.1.19

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$6 π + 2 \cdot 0$

Schritt 13.1.20

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$6 π + 0$

Schritt 13.2

Addiere $6 π$ und $0$ .

$6 π$

Schritt 14

$x = \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 15

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Schritt 15.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{6 π}}{2}$ an.

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}})$

Schritt 15.2.2

Schreibe ${\sqrt{6 π}}^{2}$ als $6 π$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{6 π}$ als ${(6 π)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{{({(6 π)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}})$

Schritt 15.2.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}})$

Schritt 15.2.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

Schritt 15.2.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

Schritt 15.2.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{6 π}{2^{2}})$

Schritt 15.2.2.5

Vereinfache.

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{6 π}{2^{2}})$

Schritt 15.2.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{6 π}{4})$

Schritt 15.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $6 π$ heraus.

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{2 (3 π)}{4})$

Schritt 15.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{2 (3 π)}{2 (2)})$

Schritt 15.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2})$

Schritt 15.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{3 π}{2})$

Schritt 15.2.5

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = - \sin (\frac{π}{2})$

Schritt 15.2.6

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = - 1 \cdot 1$

Schritt 15.2.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = - 1$

Schritt 15.2.8

Die endgültige Lösung ist $- 1$ .

$y = - 1$

Schritt 16

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- 4 {(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Schritt 17

Berechne die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 17.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 17.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 17.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ an.

$- 4 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Schritt 17.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{6 π}}{2}$ an.

$- 4 ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}) \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Schritt 17.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$- 4 (1 \frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}) \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Schritt 17.1.3

Mutltipliziere $\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$- 4 \frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Schritt 17.1.4

Schreibe ${\sqrt{6 π}}^{2}$ als $6 π$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 17.1.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{6 π}$ als ${(6 π)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- 4 \frac{{({(6 π)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Schritt 17.1.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 \frac{{(6 π)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Schritt 17.1.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- 4 \frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Schritt 17.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 17.1.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 4 \frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Schritt 17.1.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- 4 \frac{{(6 π)}^{1}}{2^{2}} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Schritt 17.1.4.5

Vereinfache.

$- 4 \frac{6 π}{2^{2}} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Schritt 17.1.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$- 4 \frac{6 π}{4} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Schritt 17.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 17.1.6.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$4 (- 1) \frac{6 π}{4} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Schritt 17.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \cdot - 1 \frac{6 π}{4} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Schritt 17.1.6.3

Forme den Ausdruck um.

$- 1 (6 π) \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Schritt 17.1.7

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$- 6 π \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Schritt 17.1.8

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 17.1.8.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ an.

$- 6 π \sin ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Schritt 17.1.8.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{6 π}}{2}$ an.

$- 6 π \sin ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Schritt 17.1.9

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$- 6 π \sin (1 \frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Schritt 17.1.10

Mutltipliziere $\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$- 6 π \sin (\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Schritt 17.1.11

Schreibe ${\sqrt{6 π}}^{2}$ als $6 π$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 17.1.11.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{6 π}$ als ${(6 π)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- 6 π \sin (\frac{{({(6 π)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Schritt 17.1.11.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 6 π \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Schritt 17.1.11.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- 6 π \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Schritt 17.1.11.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 17.1.11.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 6 π \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Schritt 17.1.11.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- 6 π \sin (\frac{{(6 π)}^{1}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Schritt 17.1.11.5

Vereinfache.

$- 6 π \sin (\frac{6 π}{2^{2}}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Schritt 17.1.12

Potenziere $2$ mit $2$ .

$- 6 π \sin (\frac{6 π}{4}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Schritt 17.1.13

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 17.1.13.1

Faktorisiere $2$ aus $6 π$ heraus.

$- 6 π \sin (\frac{2 (3 π)}{4}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Schritt 17.1.13.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 17.1.13.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$- 6 π \sin (\frac{2 (3 π)}{2 (2)}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Schritt 17.1.13.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 6 π \sin (\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Schritt 17.1.13.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- 6 π \sin (\frac{3 π}{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Schritt 17.1.14

$- 6 π (- \sin (\frac{π}{2})) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Schritt 17.1.15

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$- 6 π (- 1 \cdot 1) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Schritt 17.1.16

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 6 π \cdot - 1 + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Schritt 17.1.17

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 6$ .

$6 π + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Schritt 17.1.18

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 17.1.18.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ an.

$6 π + 2 \cos ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Schritt 17.1.18.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{6 π}}{2}$ an.

$6 π + 2 \cos ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}})$

Schritt 17.1.19

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$6 π + 2 \cos (1 \frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}})$

Schritt 17.1.20

Mutltipliziere $\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}})$

Schritt 17.1.21

Schreibe ${\sqrt{6 π}}^{2}$ als $6 π$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 17.1.21.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{6 π}$ als ${(6 π)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$6 π + 2 \cos (\frac{{({(6 π)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}})$

Schritt 17.1.21.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{{(6 π)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}})$

Schritt 17.1.21.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

Schritt 17.1.21.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 17.1.21.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 π + 2 \cos (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

Schritt 17.1.21.4.2

Forme den Ausdruck um.

$6 π + 2 \cos (\frac{{(6 π)}^{1}}{2^{2}})$

Schritt 17.1.21.5

Vereinfache.

$6 π + 2 \cos (\frac{6 π}{2^{2}})$

Schritt 17.1.22

Potenziere $2$ mit $2$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{6 π}{4})$

Schritt 17.1.23

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 17.1.23.1

Faktorisiere $2$ aus $6 π$ heraus.

$6 π + 2 \cos (\frac{2 (3 π)}{4})$

Schritt 17.1.23.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 17.1.23.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$6 π + 2 \cos (\frac{2 (3 π)}{2 (2)})$

Schritt 17.1.23.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 π + 2 \cos (\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2})$

Schritt 17.1.23.2.3

Forme den Ausdruck um.

$6 π + 2 \cos (\frac{3 π}{2})$

Schritt 17.1.24

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$6 π + 2 \cos (\frac{π}{2})$

Schritt 17.1.25

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$6 π + 2 \cdot 0$

Schritt 17.1.26

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$6 π + 0$

Schritt 17.2

Addiere $6 π$ und $0$ .

$6 π$

Schritt 18

$x = - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 19

Ermittele den y-Wert, wenn $x = - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 19.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Schritt 19.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 19.2.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 19.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ an.

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Schritt 19.2.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{6 π}}{2}$ an.

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin ({(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}))$

Schritt 19.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 19.2.2.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (1 (\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}))$

Schritt 19.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}})$

Schritt 19.2.3

Schreibe ${\sqrt{6 π}}^{2}$ als $6 π$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 19.2.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{6 π}$ als ${(6 π)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{{({(6 π)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}})$

Schritt 19.2.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}})$

Schritt 19.2.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

Schritt 19.2.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 19.2.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

Schritt 19.2.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{6 π}{2^{2}})$

Schritt 19.2.3.5

Vereinfache.

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{6 π}{2^{2}})$

Schritt 19.2.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{6 π}{4})$

Schritt 19.2.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $4$ .

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Schritt 19.2.5.1

Faktorisiere $2$ aus $6 π$ heraus.

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{2 (3 π)}{4})$

Schritt 19.2.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 19.2.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{2 (3 π)}{2 (2)})$

Schritt 19.2.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2})$

Schritt 19.2.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{3 π}{2})$

Schritt 19.2.6

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = - \sin (\frac{π}{2})$

Schritt 19.2.7

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = - 1 \cdot 1$

Schritt 19.2.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = - 1$

Schritt 19.2.9

Die endgültige Lösung ist $- 1$ .

$y = - 1$

Schritt 20

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = \sin (x^{2})$ .

$(0, 0)$ ist ein lokales Minimum

$(\frac{\sqrt{6 π}}{2}, - 1)$ ist ein lokales Minimum

$(- \frac{\sqrt{6 π}}{2}, - 1)$ ist ein lokales Minimum

Schritt 21