Analysis Beispiele

$g (x) = \sqrt{x^{2} - 16 x + 64}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Schreibe $\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} - 16 x + 64}]$ als $\frac{d}{d x} [x - 8]$ um.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 1.1.1.1

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} - 16 x + 8^{2}}]$

Schritt 1.1.1.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$16 x = 2 \cdot x \cdot 8$

Schritt 1.1.1.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 8 + 8^{2}}]$

Schritt 1.1.1.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 8$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{{(x - 8)}^{2}}]$

Schritt 1.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{d}{d x} [x - 8]$

Schritt 1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 8]$

Schritt 1.4

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$g'' (x) = 0$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$1 = 0$

Schritt 4

Da es keinen Wert von $x$ gibt, der die erste Ableitung gleich $0$ macht, gibt es keine lokalen Extrema.

Keine lokalen Extrema

Schritt 5

Keine lokalen Extrema

Schritt 6