Analysis Beispiele

$g (x) = \frac{1}{115 \sqrt{2 p}} \cdot (e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{x - 512}{115})}^{2})$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Mutltipliziere $\frac{1}{115 \sqrt{2 p}}$ mit $\frac{\sqrt{2 p}}{\sqrt{2 p}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{115 \sqrt{2 p}} \cdot \frac{\sqrt{2 p}}{\sqrt{2 p}} \cdot (e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{x - 512}{115})}^{2})]$

Schritt 1.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{115 \sqrt{2 p}}$ mit $\frac{\sqrt{2 p}}{\sqrt{2 p}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{115 \sqrt{2 p} \sqrt{2 p}} \cdot (e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{x - 512}{115})}^{2})]$

Schritt 1.2.2

Bewege $\sqrt{2 p}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{115 (\sqrt{2 p} \sqrt{2 p})} \cdot (e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{x - 512}{115})}^{2})]$

Schritt 1.2.3

Potenziere $\sqrt{2 p}$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{115 ({\sqrt{2 p}}^{1} \sqrt{2 p})} \cdot (e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{x - 512}{115})}^{2})]$

Schritt 1.2.4

Potenziere $\sqrt{2 p}$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{115 ({\sqrt{2 p}}^{1} {\sqrt{2 p}}^{1})} \cdot (e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{x - 512}{115})}^{2})]$

Schritt 1.2.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{115 {\sqrt{2 p}}^{1 + 1}} \cdot (e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{x - 512}{115})}^{2})]$

Schritt 1.2.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{115 {\sqrt{2 p}}^{2}} \cdot (e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{x - 512}{115})}^{2})]$

Schritt 1.2.7

Schreibe ${\sqrt{2 p}}^{2}$ als $2 p$ um.

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Schritt 1.2.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 p}$ als ${(2 p)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{115 {({(2 p)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot (e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{x - 512}{115})}^{2})]$

Schritt 1.2.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{115 {(2 p)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot (e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{x - 512}{115})}^{2})]$

Schritt 1.2.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{115 {(2 p)}^{\frac{2}{2}}} \cdot (e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{x - 512}{115})}^{2})]$

Schritt 1.2.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{115 {(2 p)}^{\frac{2}{2}}} \cdot (e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{x - 512}{115})}^{2})]$

Schritt 1.2.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{115 {(2 p)}^{1}} \cdot (e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{x - 512}{115})}^{2})]$

Schritt 1.2.7.5

Vereinfache.

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{115 (2 p)} \cdot (e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{x - 512}{115})}^{2})]$

Schritt 1.3

Mutltipliziere $115$ mit $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{230 p} \cdot (e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{x - 512}{115})}^{2})]$

Schritt 1.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{230 p} \cdot (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}} {(\frac{x - 512}{115})}^{2})]$

Schritt 1.5

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.5.1

Wende die Produktregel auf $\frac{x - 512}{115}$ an.

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{230 p} \cdot (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(x - 512)}^{2}}{115^{2}})]$

Schritt 1.5.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.5.2.1

Potenziere $115$ mit $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{230 p} \cdot (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(x - 512)}^{2}}{13225})]$

Schritt 1.5.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{{(x - 512)}^{2}}{13225}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{230 p} \cdot \frac{{(x - 512)}^{2}}{e^{\frac{1}{2}} \cdot 13225}]$

Schritt 1.5.2.3

Bringe $13225$ auf die linke Seite von $e^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{230 p} \cdot \frac{{(x - 512)}^{2}}{13225 \cdot e^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 1.5.2.4

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2 p}}{230 p}$ mit $\frac{{(x - 512)}^{2}}{13225 e^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p} {(x - 512)}^{2}}{230 p (13225 e^{\frac{1}{2}})}]$

Schritt 1.5.2.5

Mutltipliziere $13225$ mit $230$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p} {(x - 512)}^{2}}{3041750 p e^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 1.5.3

Da $\frac{\sqrt{2 p}}{3041750 p e^{\frac{1}{2}}}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{\sqrt{2 p} {(x - 512)}^{2}}{3041750 p e^{\frac{1}{2}}}$ nach $x$ gleich $\frac{\sqrt{2 p}}{3041750 p e^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [{(x - 512)}^{2}]$ .

$\frac{\sqrt{2 p}}{3041750 p e^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [{(x - 512)}^{2}]$

Schritt 1.6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x - 512$ .

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Schritt 1.6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 512$ .

$\frac{\sqrt{2 p}}{3041750 p e^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - 512])$

Schritt 1.6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\sqrt{2 p}}{3041750 p e^{\frac{1}{2}}} (2 u \frac{d}{d x} [x - 512])$

Schritt 1.6.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 512$ .

$\frac{\sqrt{2 p}}{3041750 p e^{\frac{1}{2}}} (2 (x - 512) \frac{d}{d x} [x - 512])$

Schritt 1.7

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.7.1

Kombiniere $2$ und $\frac{\sqrt{2 p}}{3041750 p e^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 \sqrt{2 p}}{3041750 p e^{\frac{1}{2}}} ((x - 512) \frac{d}{d x} [x - 512])$

Schritt 1.7.2

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{2 p}$ heraus.

$\frac{2 (\sqrt{2 p})}{3041750 p e^{\frac{1}{2}}} ((x - 512) \frac{d}{d x} [x - 512])$

Schritt 1.8

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.8.1

Faktorisiere $2$ aus $3041750 p e^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 (\sqrt{2 p})}{2 (1520875 p e^{\frac{1}{2}})} ((x - 512) \frac{d}{d x} [x - 512])$

Schritt 1.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sqrt{2 p}}{2 (1520875 p e^{\frac{1}{2}})} ((x - 512) \frac{d}{d x} [x - 512])$

Schritt 1.8.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} ((x - 512) \frac{d}{d x} [x - 512])$

Schritt 1.9

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 512$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 512]$ .

$\frac{\sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} (x - 512) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 512])$

Schritt 1.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} (x - 512) (1 + \frac{d}{d x} [- 512])$

Schritt 1.11

Da $- 512$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 512$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} (x - 512) (1 + 0)$

Schritt 1.12

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.12.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{\sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} (x - 512) \cdot 1$

Schritt 1.12.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} (x - 512)$

Schritt 1.13

Vereinfache.

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Schritt 1.13.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} x + \frac{\sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} \cdot - 512$

Schritt 1.13.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.13.2.1

Kombiniere $\frac{\sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$\frac{\sqrt{2 p} x}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} + \frac{\sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} \cdot - 512$

Schritt 1.13.2.2

Kombiniere $\frac{\sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}$ und $- 512$ .

$\frac{\sqrt{2 p} x}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} + \frac{\sqrt{2 p} \cdot - 512}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.13.2.3

Bringe $- 512$ auf die linke Seite von $\sqrt{2 p}$ .

$\frac{\sqrt{2 p} x}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 512 \cdot \sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.13.2.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{\sqrt{2 p} x}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} - \frac{512 \sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.13.3

Stelle die Terme um.

$- \frac{512 \sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} + \frac{\sqrt{2 p} x}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- \frac{512 \sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} + \frac{\sqrt{2 p} x}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- \frac{512 \sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p} x}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}]$ .

$g'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{512 \sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} (\frac{\sqrt{2 p} x}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 2.1.2

Da $- \frac{512 \sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{512 \sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$g'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\frac{\sqrt{2 p} x}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p} x}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $\frac{\sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{\sqrt{2 p} x}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}$ nach $x$ gleich $\frac{\sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$ .

$g'' (x) = 0 + \frac{\sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$g'' (x) = 0 + \frac{\sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}$ mit $1$ .

$g'' (x) = 0 + \frac{\sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Addiere $0$ und $\frac{\sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}$ .

$g'' (x) = \frac{\sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.3.2

Stelle die Terme um.

$g'' (x) = \frac{\sqrt{2 p}}{1520875 e^{\frac{1}{2}} p}$

Schritt 2.3.3

Stelle die Faktoren in $\frac{\sqrt{2 p}}{1520875 e^{\frac{1}{2}} p}$ um.

$g'' (x) = \frac{\sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- \frac{512 \sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} + \frac{\sqrt{2 p} x}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Mutltipliziere $\frac{1}{115 \sqrt{2 p}}$ mit $\frac{\sqrt{2 p}}{\sqrt{2 p}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{115 \sqrt{2 p}} \cdot \frac{\sqrt{2 p}}{\sqrt{2 p}} \cdot (e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{x - 512}{115})}^{2})]$

Schritt 4.1.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{115 \sqrt{2 p}}$ mit $\frac{\sqrt{2 p}}{\sqrt{2 p}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{115 \sqrt{2 p} \sqrt{2 p}} \cdot (e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{x - 512}{115})}^{2})]$

Schritt 4.1.2.2

Bewege $\sqrt{2 p}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{115 (\sqrt{2 p} \sqrt{2 p})} \cdot (e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{x - 512}{115})}^{2})]$

Schritt 4.1.2.3

Potenziere $\sqrt{2 p}$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{115 ({\sqrt{2 p}}^{1} \sqrt{2 p})} \cdot (e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{x - 512}{115})}^{2})]$

Schritt 4.1.2.4

Potenziere $\sqrt{2 p}$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{115 ({\sqrt{2 p}}^{1} {\sqrt{2 p}}^{1})} \cdot (e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{x - 512}{115})}^{2})]$

Schritt 4.1.2.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{115 {\sqrt{2 p}}^{1 + 1}} \cdot (e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{x - 512}{115})}^{2})]$

Schritt 4.1.2.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{115 {\sqrt{2 p}}^{2}} \cdot (e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{x - 512}{115})}^{2})]$

Schritt 4.1.2.7

Schreibe ${\sqrt{2 p}}^{2}$ als $2 p$ um.

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Schritt 4.1.2.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 p}$ als ${(2 p)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{115 {({(2 p)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot (e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{x - 512}{115})}^{2})]$

Schritt 4.1.2.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{115 {(2 p)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot (e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{x - 512}{115})}^{2})]$

Schritt 4.1.2.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{115 {(2 p)}^{\frac{2}{2}}} \cdot (e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{x - 512}{115})}^{2})]$

Schritt 4.1.2.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.2.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{115 {(2 p)}^{\frac{2}{2}}} \cdot (e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{x - 512}{115})}^{2})]$

Schritt 4.1.2.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{115 {(2 p)}^{1}} \cdot (e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{x - 512}{115})}^{2})]$

Schritt 4.1.2.7.5

Vereinfache.

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{115 (2 p)} \cdot (e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{x - 512}{115})}^{2})]$

Schritt 4.1.3

Mutltipliziere $115$ mit $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{230 p} \cdot (e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{x - 512}{115})}^{2})]$

Schritt 4.1.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{230 p} \cdot (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}} {(\frac{x - 512}{115})}^{2})]$

Schritt 4.1.5

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 4.1.5.1

Wende die Produktregel auf $\frac{x - 512}{115}$ an.

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{230 p} \cdot (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(x - 512)}^{2}}{115^{2}})]$

Schritt 4.1.5.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.1.5.2.1

Potenziere $115$ mit $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{230 p} \cdot (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(x - 512)}^{2}}{13225})]$

Schritt 4.1.5.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{{(x - 512)}^{2}}{13225}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{230 p} \cdot \frac{{(x - 512)}^{2}}{e^{\frac{1}{2}} \cdot 13225}]$

Schritt 4.1.5.2.3

Bringe $13225$ auf die linke Seite von $e^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{230 p} \cdot \frac{{(x - 512)}^{2}}{13225 \cdot e^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 4.1.5.2.4

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2 p}}{230 p}$ mit $\frac{{(x - 512)}^{2}}{13225 e^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p} {(x - 512)}^{2}}{230 p (13225 e^{\frac{1}{2}})}]$

Schritt 4.1.5.2.5

Mutltipliziere $13225$ mit $230$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p} {(x - 512)}^{2}}{3041750 p e^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 4.1.5.3

$\frac{\sqrt{2 p}}{3041750 p e^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [{(x - 512)}^{2}]$

Schritt 4.1.6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x - 512$ .

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Schritt 4.1.6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 512$ .

$\frac{\sqrt{2 p}}{3041750 p e^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - 512])$

Schritt 4.1.6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\sqrt{2 p}}{3041750 p e^{\frac{1}{2}}} (2 u \frac{d}{d x} [x - 512])$

Schritt 4.1.6.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 512$ .

$\frac{\sqrt{2 p}}{3041750 p e^{\frac{1}{2}}} (2 (x - 512) \frac{d}{d x} [x - 512])$

Schritt 4.1.7

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.1.7.1

Kombiniere $2$ und $\frac{\sqrt{2 p}}{3041750 p e^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 \sqrt{2 p}}{3041750 p e^{\frac{1}{2}}} ((x - 512) \frac{d}{d x} [x - 512])$

Schritt 4.1.7.2

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{2 p}$ heraus.

$\frac{2 (\sqrt{2 p})}{3041750 p e^{\frac{1}{2}}} ((x - 512) \frac{d}{d x} [x - 512])$

Schritt 4.1.8

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.8.1

Faktorisiere $2$ aus $3041750 p e^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 (\sqrt{2 p})}{2 (1520875 p e^{\frac{1}{2}})} ((x - 512) \frac{d}{d x} [x - 512])$

Schritt 4.1.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sqrt{2 p}}{2 (1520875 p e^{\frac{1}{2}})} ((x - 512) \frac{d}{d x} [x - 512])$

Schritt 4.1.8.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} ((x - 512) \frac{d}{d x} [x - 512])$

Schritt 4.1.9

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 512$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 512]$ .

$\frac{\sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} (x - 512) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 512])$

Schritt 4.1.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} (x - 512) (1 + \frac{d}{d x} [- 512])$

Schritt 4.1.11

Da $- 512$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 512$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} (x - 512) (1 + 0)$

Schritt 4.1.12

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1.12.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{\sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} (x - 512) \cdot 1$

Schritt 4.1.12.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} (x - 512)$

Schritt 4.1.13

Vereinfache.

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Schritt 4.1.13.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} x + \frac{\sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} \cdot - 512$

Schritt 4.1.13.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.1.13.2.1

Kombiniere $\frac{\sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$\frac{\sqrt{2 p} x}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} + \frac{\sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} \cdot - 512$

Schritt 4.1.13.2.2

Kombiniere $\frac{\sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}$ und $- 512$ .

$\frac{\sqrt{2 p} x}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} + \frac{\sqrt{2 p} \cdot - 512}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.13.2.3

Bringe $- 512$ auf die linke Seite von $\sqrt{2 p}$ .

$\frac{\sqrt{2 p} x}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 512 \cdot \sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.13.2.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{\sqrt{2 p} x}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} - \frac{512 \sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.13.3

Stelle die Terme um.

$f' (x) = - \frac{512 \sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} + \frac{\sqrt{2 p} x}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $g (x)$ nach $x$ ist $- \frac{512 \sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} + \frac{\sqrt{2 p} x}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{512 \sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} + \frac{\sqrt{2 p} x}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{512 \sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} + \frac{\sqrt{2 p} x}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{512 \sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} + \frac{\sqrt{2 p} x}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 5.2

Addiere $\frac{512 \sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{\sqrt{2 p} x}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} = \frac{512 \sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.3

Da der Ausdruck auf jeder Seite der Gleichung den gleichen Nenner hat, müssen die Zähler gleich sein.

$\sqrt{2 p} x = 512 \sqrt{2 p}$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $\sqrt{2 p} x = 512 \sqrt{2 p}$ durch $\sqrt{2 p}$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $\sqrt{2 p} x = 512 \sqrt{2 p}$ durch $\sqrt{2 p}$ .

$\frac{\sqrt{2 p} x}{\sqrt{2 p}} = \frac{512 \sqrt{2 p}}{\sqrt{2 p}}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{2 p}$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{2 p} x}{\sqrt{2 p}} = \frac{512 \sqrt{2 p}}{\sqrt{2 p}}$

Schritt 5.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{512 \sqrt{2 p}}{\sqrt{2 p}}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{2 p}$ .

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Schritt 5.4.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{512 \sqrt{2 p}}{\sqrt{2 p}}$

Schritt 5.4.3.1.2

Dividiere $512$ durch $1$ .

$x = 512$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

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Schritt 6.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$- \frac{512 \sqrt{2 p}}{1520875 p \sqrt{e^{1}}} + \frac{\sqrt{2 p} x}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6.1.2

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$- \frac{512 \sqrt{2 p}}{1520875 p \sqrt{e^{1}}} + \frac{\sqrt{2 p} x}{1520875 p \sqrt{e^{1}}}$

Schritt 6.1.3

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$- \frac{512 \sqrt{2 p}}{1520875 p \sqrt{e}} + \frac{\sqrt{2 p} x}{1520875 p \sqrt{e^{1}}}$

Schritt 6.1.4

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$- \frac{512 \sqrt{2 p}}{1520875 p \sqrt{e}} + \frac{\sqrt{2 p} x}{1520875 p \sqrt{e}}$

Schritt 6.2

Setze den Nenner in $\frac{512 \sqrt{2 p}}{1520875 p \sqrt{e}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$1520875 p \sqrt{e} = 0$

Schritt 6.3

Teile jeden Ausdruck in $1520875 p \sqrt{e} = 0$ durch $1520875 \sqrt{e}$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Teile jeden Ausdruck in $1520875 p \sqrt{e} = 0$ durch $1520875 \sqrt{e}$ .

$\frac{1520875 p \sqrt{e}}{1520875 \sqrt{e}} = \frac{0}{1520875 \sqrt{e}}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1520875$ .

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Schritt 6.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1520875 p \sqrt{e}}{1520875 \sqrt{e}} = \frac{0}{1520875 \sqrt{e}}$

Schritt 6.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{p \sqrt{e}}{\sqrt{e}} = \frac{0}{1520875 \sqrt{e}}$

Schritt 6.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{e}$ .

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Schritt 6.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{p \sqrt{e}}{\sqrt{e}} = \frac{0}{1520875 \sqrt{e}}$

Schritt 6.3.2.2.2

Dividiere $p$ durch $1$ .

$p = \frac{0}{1520875 \sqrt{e}}$

Schritt 6.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $1520875$ .

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Schritt 6.3.3.1.1

Faktorisiere $1520875$ aus $0$ heraus.

$p = \frac{1520875 (0)}{1520875 \sqrt{e}}$

Schritt 6.3.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.3.3.1.2.1

Faktorisiere $1520875$ aus $1520875 \sqrt{e}$ heraus.

$p = \frac{1520875 (0)}{1520875 (\sqrt{e})}$

Schritt 6.3.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$p = \frac{1520875 \cdot 0}{1520875 \sqrt{e}}$

Schritt 6.3.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$p = \frac{0}{\sqrt{e}}$

Schritt 6.3.3.2

Dividiere $0$ durch $\sqrt{e}$ .

$p = 0$

Schritt 6.4

Setze den Radikanden in $\sqrt{2 p}$ kleiner als $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 p < 0$

Schritt 6.5

Teile jeden Ausdruck in $2 p < 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 6.5.1

Teile jeden Ausdruck in $2 p < 0$ durch $2$ .

$\frac{2 p}{2} < \frac{0}{2}$

Schritt 6.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 p}{2} < \frac{0}{2}$

Schritt 6.5.2.1.2

Dividiere $p$ durch $1$ .

$p < \frac{0}{2}$

Schritt 6.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.5.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$p < 0$

Schritt 6.6

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$p \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$p \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 512, 0$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 512$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{\sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 9

Da der erste Ableitungstest nicht erfolgreich war, gibt es kein lokales Extremum.

Keine lokalen Extrema

Schritt 10