Analysis Beispiele

$F (x) = x + 4 \cos (x)$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 4 \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 \cos (x)]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [4 \cos (x)]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 \cos (x)]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 \cos (x)$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$1 + 4 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 1.2.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$1 + 4 (- \sin (x))$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$1 - 4 \sin (x)$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - 4 \sin (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (x)]$ .

$F'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

Schritt 2.1.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$F'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 \sin (x)]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 \sin (x)$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$F'' (x) = 0 - 4 \frac{d}{d x} \sin (x)$

Schritt 2.2.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$F'' (x) = 0 - 4 \cos (x)$

Schritt 2.3

Subtrahiere $4 \cos (x)$ von $0$ .

$F'' (x) = - 4 \cos (x)$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$1 - 4 \sin (x) = 0$

Schritt 4

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 \sin (x) = - 1$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $- 4 \sin (x) = - 1$ durch $- 4$ und vereinfache.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $- 4 \sin (x) = - 1$ durch $- 4$ .

$\frac{- 4 \sin (x)}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 \sin (x)}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Schritt 5.2.1.2

Dividiere $\sin (x)$ durch $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 4}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\sin (x) = \frac{1}{4}$

Schritt 6

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (\frac{1}{4})$

Schritt 7

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Berechne $\arcsin (\frac{1}{4})$ .

$x = 0.25268025$

Schritt 8

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = (3.14159265) - 0.25268025$

Schritt 9

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 9.1

Entferne die Klammern.

$x = 3.14159265 - 0.25268025$

Schritt 9.2

Entferne die Klammern.

$x = (3.14159265) - 0.25268025$

Schritt 9.3

Subtrahiere $0.25268025$ von $3.14159265$ .

$x = 2.88891239$

Schritt 10

Die Lösung der Gleichung $x = 0.25268025$ .

$x = 0.25268025, 2.88891239$

Schritt 11

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0.25268025$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- 4 \cos (0.25268025)$

Schritt 12

$x = 0.25268025$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 0.25268025$ ist ein lokales Maximum

Schritt 13

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 0.25268025$ .

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Schritt 13.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.25268025$ .

$F (0.25268025) = (0.25268025) + 4 \cos (0.25268025)$

Schritt 13.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 13.2.1

Addiere $0.25268025$ und $4 \cos (0.25268025)$ .

$F (0.25268025) = 4.1256636$

Schritt 13.2.2

Die endgültige Lösung ist $4.1256636$ .

$y = 4.1256636$

Schritt 14

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 2.88891239$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- 4 \cos (2.88891239)$

Schritt 15

$x = 2.88891239$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 2.88891239$ ist ein lokales Minimum

Schritt 16

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 2.88891239$ .

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Schritt 16.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2.88891239$ .

$F (2.88891239) = (2.88891239) + 4 \cos (2.88891239)$

Schritt 16.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 16.2.1

Addiere $2.88891239$ und $4 \cos (2.88891239)$ .

$F (2.88891239) = - 0.98407094$

Schritt 16.2.2

Die endgültige Lösung ist $- 0.98407094$ .

$y = - 0.98407094$

Schritt 17

Dies sind die lokalen Extrema für $F (x) = x + 4 \cos (x)$ .

$(0.25268025, 4.1256636)$ ist ein lokales Maximum

$(2.88891239, - 0.98407094)$ ist ein lokales Minimum

Schritt 18