Analysis Beispiele

$f (x) = x - 5 \ln (3 x - 9)$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 5 \ln (3 x - 9)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 \ln (3 x - 9)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 \ln (3 x - 9)]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 5 \ln (3 x - 9)]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 5 \ln (3 x - 9)]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 \ln (3 x - 9)$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 9)]$ .

$1 - 5 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 9)]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 3 x - 9$ .

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Schritt 1.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x - 9$ .

$1 - 5 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

Schritt 1.2.2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$1 - 5 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

Schritt 1.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x - 9$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

Schritt 1.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x - 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]))$

Schritt 1.2.4

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]))$

Schritt 1.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]))$

Schritt 1.2.6

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \cdot 1 + 0))$

Schritt 1.2.7

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} (3 + 0))$

Schritt 1.2.8

Addiere $3$ und $0$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} \cdot 3)$

Schritt 1.2.9

Kombiniere $\frac{1}{3 x - 9}$ und $3$ .

$1 - 5 \frac{3}{3 x - 9}$

Schritt 1.2.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $3 x - 9$ .

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Schritt 1.2.10.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$1 - 5 \frac{3 \cdot 1}{3 x - 9}$

Schritt 1.2.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.10.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$1 - 5 \frac{3 \cdot 1}{3 (x) - 9}$

Schritt 1.2.10.2.2

Faktorisiere $3$ aus $- 9$ heraus.

$1 - 5 \frac{3 \cdot 1}{3 (x) + 3 (- 3)}$

Schritt 1.2.10.2.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (x) + 3 (- 3)$ heraus.

$1 - 5 \frac{3 \cdot 1}{3 (x - 3)}$

Schritt 1.2.10.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 - 5 \frac{3 \cdot 1}{3 (x - 3)}$

Schritt 1.2.10.2.5

Forme den Ausdruck um.

$1 - 5 \frac{1}{x - 3}$

Schritt 1.2.11

Kombiniere $- 5$ und $\frac{1}{x - 3}$ .

$1 + \frac{- 5}{x - 3}$

Schritt 1.2.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$1 - \frac{5}{x - 3}$

Schritt 1.3

Vereine die Terme

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Schritt 1.3.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x - 3}{x - 3} - \frac{5}{x - 3}$

Schritt 1.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x - 3 - 5}{x - 3}$

Schritt 1.3.3

Subtrahiere $5$ von $- 3$ .

$\frac{x - 8}{x - 3}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x - 8$ und $g (x) = x - 3$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 3) \frac{d}{d x} (x - 8) - (x - 8) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 3) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 8)) - (x - 8) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 3) (1 + \frac{d}{d x} (- 8)) - (x - 8) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.2.3

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 3) (1 + 0) - (x - 8) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 3) \cdot 1 - (x - 8) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.2.4.2

Mutltipliziere $x - 3$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{x - 3 - (x - 8) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = \frac{x - 3 - (x - 8) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3))}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{x - 3 - (x - 8) (1 + \frac{d}{d x} (- 3))}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.2.7

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{x - 3 - (x - 8) (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.2.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.8.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{x - 3 - (x - 8) \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.2.8.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{x - 3 - (x - 8)}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{x - 3 - x + 8}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.2.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 3 - x - - 8$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$f'' (x) = \frac{0 - 3 + 8}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.3.2.1.2

Subtrahiere $3$ von $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 3 + 8}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 8$ .

$f'' (x) = \frac{- 3 + 8}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.3.2.3

Addiere $- 3$ und $8$ .

$f'' (x) = \frac{5}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{x - 8}{x - 3} = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Differenziere.

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Schritt 4.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 5 \ln (3 x - 9)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 \ln (3 x - 9)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 \ln (3 x - 9)]$

Schritt 4.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 5 \ln (3 x - 9)]$

Schritt 4.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 5 \ln (3 x - 9)]$ .

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Schritt 4.1.2.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 \ln (3 x - 9)$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 9)]$ .

$1 - 5 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 9)]$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 3 x - 9$ .

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Schritt 4.1.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x - 9$ .

$1 - 5 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

Schritt 4.1.2.2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$1 - 5 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

Schritt 4.1.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x - 9$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

Schritt 4.1.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x - 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]))$

Schritt 4.1.2.4

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]))$

Schritt 4.1.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]))$

Schritt 4.1.2.6

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \cdot 1 + 0))$

Schritt 4.1.2.7

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} (3 + 0))$

Schritt 4.1.2.8

Addiere $3$ und $0$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} \cdot 3)$

Schritt 4.1.2.9

Kombiniere $\frac{1}{3 x - 9}$ und $3$ .

$1 - 5 \frac{3}{3 x - 9}$

Schritt 4.1.2.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $3 x - 9$ .

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Schritt 4.1.2.10.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$1 - 5 \frac{3 \cdot 1}{3 x - 9}$

Schritt 4.1.2.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.2.10.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$1 - 5 \frac{3 \cdot 1}{3 (x) - 9}$

Schritt 4.1.2.10.2.2

Faktorisiere $3$ aus $- 9$ heraus.

$1 - 5 \frac{3 \cdot 1}{3 (x) + 3 (- 3)}$

Schritt 4.1.2.10.2.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (x) + 3 (- 3)$ heraus.

$1 - 5 \frac{3 \cdot 1}{3 (x - 3)}$

Schritt 4.1.2.10.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 - 5 \frac{3 \cdot 1}{3 (x - 3)}$

Schritt 4.1.2.10.2.5

Forme den Ausdruck um.

$1 - 5 \frac{1}{x - 3}$

Schritt 4.1.2.11

Kombiniere $- 5$ und $\frac{1}{x - 3}$ .

$1 + \frac{- 5}{x - 3}$

Schritt 4.1.2.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$1 - \frac{5}{x - 3}$

Schritt 4.1.3

Vereine die Terme

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Schritt 4.1.3.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x - 3}{x - 3} - \frac{5}{x - 3}$

Schritt 4.1.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x - 3 - 5}{x - 3}$

Schritt 4.1.3.3

Subtrahiere $5$ von $- 3$ .

$f' (x) = \frac{x - 8}{x - 3}$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{x - 8}{x - 3}$ .

$\frac{x - 8}{x - 3}$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{x - 8}{x - 3} = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{x - 8}{x - 3} = 0$

Schritt 5.2

Setze den Zähler gleich Null.

$x - 8 = 0$

Schritt 5.3

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 8$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Setze den Nenner in $\frac{x - 8}{x - 3}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x - 3 = 0$

Schritt 6.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 8$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 8$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{5}{{((8) - 3)}^{2}}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.1.1

Subtrahiere $3$ von $8$ .

$\frac{5}{5^{2}}$

Schritt 9.1.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\frac{5}{25}$

Schritt 9.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $5$ und $25$ .

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Schritt 9.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$\frac{5 (1)}{25}$

Schritt 9.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.2.1

Faktorisiere $5$ aus $25$ heraus.

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5}$

Schritt 9.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5}$

Schritt 9.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{5}$

Schritt 10

$x = 8$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 8$ ist ein lokales Minimum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 8$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $8$ .

$f (8) = (8) - 5 \ln (3 (8) - 9)$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$f (8) = 8 - 5 \ln (24 - 9)$

Schritt 11.2.1.2

Subtrahiere $9$ von $24$ .

$f (8) = 8 - 5 \ln (15)$

Schritt 11.2.1.3

Vereinfache $- 5 \ln (15)$ , indem du $5$ in den Logarithmus ziehst.

$f (8) = 8 - \ln (15^{5})$

Schritt 11.2.1.4

Potenziere $15$ mit $5$ .

$f (8) = 8 - \ln (759375)$

Schritt 11.2.2

Die endgültige Lösung ist $8 - \ln (759375)$ .

$y = 8 - \ln (759375)$

Schritt 12

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = x - 5 \ln (3 x - 9)$ .

$(8, 8 - \ln (759375))$ ist ein lokales Minimum

Schritt 13