Analysis Beispiele

$f (x) = x - b \ln (x)$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - b \ln (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- b \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- b \ln (x)]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- b \ln (x)]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- b \ln (x)]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $- b$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- b \ln (x)$ nach $x$ gleich $- b \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$1 - b \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 1.2.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$1 - b \frac{1}{x}$

Schritt 1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $b$ .

$1 - \frac{b}{x}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - \frac{b}{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{b}{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- \frac{b}{x})$

Schritt 2.1.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{b}{x})$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{b}{x}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- b$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{b}{x}$ nach $x$ gleich $- b \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f'' (x) = 0 - b \frac{d}{d x} \frac{1}{x}$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$f'' (x) = 0 - b \frac{d}{d x} x^{- 1}$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f'' (x) = 0 - b (- x^{- 2})$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 0 + 1 b x^{- 2}$

Schritt 2.2.5

Mutltipliziere $b$ mit $1$ .

$f'' (x) = 0 + b x^{- 2}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 0 + b (\frac{1}{x^{2}})$

Schritt 2.3.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.3.2.1

Kombiniere $b$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{b}{x^{2}}$

Schritt 2.3.2.2

Addiere $0$ und $\frac{b}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{b}{x^{2}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$1 - \frac{b}{x} = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Differenziere.

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Schritt 4.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - b \ln (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- b \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- b \ln (x)]$

Schritt 4.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- b \ln (x)]$

Schritt 4.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- b \ln (x)]$ .

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Schritt 4.1.2.1

Da $- b$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- b \ln (x)$ nach $x$ gleich $- b \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$1 - b \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 4.1.2.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$1 - b \frac{1}{x}$

Schritt 4.1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $b$ .

$f' (x) = 1 - \frac{b}{x}$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $1 - \frac{b}{x}$ .

$1 - \frac{b}{x}$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $1 - \frac{b}{x} = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$1 - \frac{b}{x} = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{b}{x} = - 1$

Schritt 5.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 5.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x, 1$

Schritt 5.3.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x$

Schritt 5.4

Multipliziere jeden Term in $- \frac{b}{x} = - 1$ mit $x$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 5.4.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{b}{x} = - 1$ mit $x$ .

$- \frac{b}{x} x = - x$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{b}{x}$ in den Zähler.

$\frac{- b}{x} x = - x$

Schritt 5.4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- b}{x} x = - x$

Schritt 5.4.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- b = - x$

Schritt 5.5

Löse die Gleichung.

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Schritt 5.5.1

Schreibe die Gleichung als $- x = - b$ um.

$- x = - b$

Schritt 5.5.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - b$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - b$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- b}{- 1}$

Schritt 5.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- b}{- 1}$

Schritt 5.5.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- b}{- 1}$

Schritt 5.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{b}{1}$

Schritt 5.5.2.3.2

Dividiere $b$ durch $1$ .

$x = b$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Setze den Nenner in $\frac{b}{x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = 0$

Schritt 6.2

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$b = 0$

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = b$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = b$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{b}{{(b)}^{2}}$

Schritt 9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $b$ und ${(b)}^{2}$ .

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Schritt 9.1

Potenziere $b$ mit $1$ .

$\frac{b^{1}}{{(b)}^{2}}$

Schritt 9.2

Faktorisiere $b$ aus $b^{1}$ heraus.

$\frac{b \cdot 1}{{(b)}^{2}}$

Schritt 9.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.3.1

Faktorisiere $b$ aus ${(b)}^{2}$ heraus.

$\frac{b \cdot 1}{b \cdot b}$

Schritt 9.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{b \cdot 1}{b \cdot b}$

Schritt 9.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{b}$

Schritt 10

Da der erste Ableitungstest nicht erfolgreich war, gibt es kein lokales Extremum.

Keine lokalen Extrema

Schritt 11