Analysis Beispiele

$f (x) = x - 8 \sqrt{x - 5}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 8 \sqrt{x - 5}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8 \sqrt{x - 5}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8 \sqrt{x - 5}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 8 \sqrt{x - 5}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 8 \sqrt{x - 5}]$ .

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Schritt 1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x - 5}$ als ${(x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$1 + \frac{d}{d x} [- 8 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.2.2

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $- 8 \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$1 - 8 \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x - 5$ .

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Schritt 1.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 5$ .

$1 - 8 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - 5])$

Schritt 1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$1 - 8 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Schritt 1.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 5$ .

$1 - 8 (\frac{1}{2} {(x - 5)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Schritt 1.2.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$1 - 8 (\frac{1}{2} {(x - 5)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]))$

Schritt 1.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 - 8 (\frac{1}{2} {(x - 5)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 5]))$

Schritt 1.2.6

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 - 8 (\frac{1}{2} {(x - 5)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0))$

Schritt 1.2.7

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$1 - 8 (\frac{1}{2} {(x - 5)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0))$

Schritt 1.2.8

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$1 - 8 (\frac{1}{2} {(x - 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0))$

Schritt 1.2.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$1 - 8 (\frac{1}{2} {(x - 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0))$

Schritt 1.2.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$1 - 8 (\frac{1}{2} {(x - 5)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0))$

Schritt 1.2.10.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$1 - 8 (\frac{1}{2} {(x - 5)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0))$

Schritt 1.2.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$1 - 8 (\frac{1}{2} {(x - 5)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0))$

Schritt 1.2.12

Addiere $1$ und $0$ .

$1 - 8 (\frac{1}{2} {(x - 5)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1)$

Schritt 1.2.13

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x - 5)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$1 - 8 (\frac{{(x - 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1)$

Schritt 1.2.14

Mutltipliziere $\frac{{(x - 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ mit $1$ .

$1 - 8 \frac{{(x - 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 1.2.15

Bringe ${(x - 5)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - 8 \frac{1}{2 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.2.16

Kombiniere $- 8$ und $\frac{1}{2 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$1 + \frac{- 8}{2 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.2.17

Faktorisiere $2$ aus $- 8$ heraus.

$1 + \frac{2 \cdot - 4}{2 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.2.18

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.18.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$1 + \frac{2 \cdot - 4}{2 ({(x - 5)}^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 1.2.18.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 + \frac{2 \cdot - 4}{2 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.2.18.3

Forme den Ausdruck um.

$1 + \frac{- 4}{{(x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.2.19

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$1 - \frac{4}{{(x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - \frac{4}{{(x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{{(x - 5)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{{(x - 5)}^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 2.1.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{{(x - 5)}^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{4}{{(x - 5)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{4}{{(x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 5)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = 0 - 4 \frac{d}{d x} \frac{1}{{(x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{1}{{(x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$ als ${({(x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ um.

$f'' (x) = 0 - 4 \frac{d}{d x} {({(x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 2.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch ${(x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 0 - 4 (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} ({(x - 5)}^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f'' (x) = 0 - 4 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 2.2.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch ${(x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 0 - 4 (- {({(x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x - 5$ .

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Schritt 2.2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x - 5$ .

$f'' (x) = 0 - 4 (- {({(x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x - 5)))$

Schritt 2.2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = 0 - 4 (- {({(x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x - 5)))$

Schritt 2.2.4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x - 5$ .

$f'' (x) = 0 - 4 (- {({(x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} \cdot {(x - 5)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x - 5)))$

Schritt 2.2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f'' (x) = 0 - 4 (- {({(x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} \cdot ({(x - 5)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5)))))$

Schritt 2.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 0 - 4 (- {({(x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} \cdot ({(x - 5)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} (- 5)))))$

Schritt 2.2.7

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 0 - 4 (- {({(x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} \cdot ({(x - 5)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0))))$

Schritt 2.2.8

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

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Schritt 2.2.8.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 0 - 4 (- {(x - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} \cdot ({(x - 5)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0))))$

Schritt 2.2.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.8.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$f'' (x) = 0 - 4 (- {(x - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} \cdot ({(x - 5)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0))))$

Schritt 2.2.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = 0 - 4 (- {(x - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} \cdot ({(x - 5)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0))))$

Schritt 2.2.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = 0 - 4 (- {(x - 5)}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(x - 5)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0))))$

Schritt 2.2.9

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 0 - 4 (- {(x - 5)}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(x - 5)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0))))$

Schritt 2.2.10

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 0 - 4 (- {(x - 5)}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(x - 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0))))$

Schritt 2.2.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = 0 - 4 (- {(x - 5)}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(x - 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0))))$

Schritt 2.2.12

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.12.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (x) = 0 - 4 (- {(x - 5)}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(x - 5)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0))))$

Schritt 2.2.12.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f'' (x) = 0 - 4 (- {(x - 5)}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(x - 5)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0))))$

Schritt 2.2.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = 0 - 4 (- {(x - 5)}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(x - 5)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0))))$

Schritt 2.2.14

Addiere $1$ und $0$ .

$f'' (x) = 0 - 4 (- {(x - 5)}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(x - 5)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1))$

Schritt 2.2.15

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x - 5)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 0 - 4 (- {(x - 5)}^{- 1} (\frac{{(x - 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1))$

Schritt 2.2.16

Mutltipliziere $\frac{{(x - 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ mit $1$ .

$f'' (x) = 0 - 4 (- {(x - 5)}^{- 1} \frac{{(x - 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Schritt 2.2.17

Bringe ${(x - 5)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 0 - 4 (- {(x - 5)}^{- 1} \frac{1}{2 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 2.2.18

Kombiniere $\frac{1}{2 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$ und ${(x - 5)}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 0 - 4 (- \frac{{(x - 5)}^{- 1}}{2 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 2.2.19

Bringe ${(x - 5)}^{- 1}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 0 - 4 (- \frac{1}{2 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}} (x - 5)})$

Schritt 2.2.20

Multipliziere ${(x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ mit $x - 5$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.20.1

Bewege $x - 5$ .

$f'' (x) = 0 - 4 (- \frac{1}{2 ((x - 5) {(x - 5)}^{\frac{1}{2}})})$

Schritt 2.2.20.2

Mutltipliziere $x - 5$ mit ${(x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 2.2.20.2.1

Potenziere $x - 5$ mit $1$ .

$f'' (x) = 0 - 4 (- \frac{1}{2 ((x - 5) {(x - 5)}^{\frac{1}{2}})})$

Schritt 2.2.20.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = 0 - 4 (- \frac{1}{2 {(x - 5)}^{1 + \frac{1}{2}}})$

Schritt 2.2.20.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = 0 - 4 (- \frac{1}{2 {(x - 5)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}})$

Schritt 2.2.20.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = 0 - 4 (- \frac{1}{2 {(x - 5)}^{\frac{2 + 1}{2}}})$

Schritt 2.2.20.5

Addiere $2$ und $1$ .

$f'' (x) = 0 - 4 (- \frac{1}{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}})$

Schritt 2.2.21

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$f'' (x) = 0 + 4 (\frac{1}{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}})$

Schritt 2.2.22

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{4}{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.2.23

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f'' (x) = 0 + \frac{2 \cdot 2}{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.2.24

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.24.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}$ heraus.

$f'' (x) = 0 + \frac{2 \cdot 2}{2 ({(x - 5)}^{\frac{3}{2}})}$

Schritt 2.2.24.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = 0 + \frac{2 \cdot 2}{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.2.24.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{{(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.3

Addiere $0$ und $\frac{2}{{(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{{(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$1 - \frac{4}{{(x - 5)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Differenziere.

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Schritt 4.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 8 \sqrt{x - 5}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8 \sqrt{x - 5}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8 \sqrt{x - 5}]$

Schritt 4.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 8 \sqrt{x - 5}]$

Schritt 4.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 8 \sqrt{x - 5}]$ .

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Schritt 4.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x - 5}$ als ${(x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$1 + \frac{d}{d x} [- 8 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.1.2.2

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $- 8 \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$1 - 8 \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x - 5$ .

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Schritt 4.1.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 5$ .

$1 - 8 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - 5])$

Schritt 4.1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$1 - 8 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Schritt 4.1.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 5$ .

$1 - 8 (\frac{1}{2} {(x - 5)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Schritt 4.1.2.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$1 - 8 (\frac{1}{2} {(x - 5)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]))$

Schritt 4.1.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 - 8 (\frac{1}{2} {(x - 5)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 5]))$

Schritt 4.1.2.6

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 - 8 (\frac{1}{2} {(x - 5)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0))$

Schritt 4.1.2.7

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$1 - 8 (\frac{1}{2} {(x - 5)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0))$

Schritt 4.1.2.8

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$1 - 8 (\frac{1}{2} {(x - 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0))$

Schritt 4.1.2.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$1 - 8 (\frac{1}{2} {(x - 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0))$

Schritt 4.1.2.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.2.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$1 - 8 (\frac{1}{2} {(x - 5)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0))$

Schritt 4.1.2.10.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$1 - 8 (\frac{1}{2} {(x - 5)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0))$

Schritt 4.1.2.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$1 - 8 (\frac{1}{2} {(x - 5)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0))$

Schritt 4.1.2.12

Addiere $1$ und $0$ .

$1 - 8 (\frac{1}{2} {(x - 5)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1)$

Schritt 4.1.2.13

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x - 5)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$1 - 8 (\frac{{(x - 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1)$

Schritt 4.1.2.14

Mutltipliziere $\frac{{(x - 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ mit $1$ .

$1 - 8 \frac{{(x - 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 4.1.2.15

Bringe ${(x - 5)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - 8 \frac{1}{2 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.2.16

Kombiniere $- 8$ und $\frac{1}{2 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$1 + \frac{- 8}{2 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.2.17

Faktorisiere $2$ aus $- 8$ heraus.

$1 + \frac{2 \cdot - 4}{2 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.2.18

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.2.18.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$1 + \frac{2 \cdot - 4}{2 ({(x - 5)}^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 4.1.2.18.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 + \frac{2 \cdot - 4}{2 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.2.18.3

Forme den Ausdruck um.

$1 + \frac{- 4}{{(x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.2.19

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = 1 - \frac{4}{{(x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $1 - \frac{4}{{(x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$1 - \frac{4}{{(x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $1 - \frac{4}{{(x - 5)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$1 - \frac{4}{{(x - 5)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{4}{{(x - 5)}^{\frac{1}{2}}} = - 1$

Schritt 5.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 5.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

${(x - 5)}^{\frac{1}{2}}, 1$

Schritt 5.3.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

${(x - 5)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 5.4

Multipliziere jeden Term in $- \frac{4}{{(x - 5)}^{\frac{1}{2}}} = - 1$ mit ${(x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 5.4.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{4}{{(x - 5)}^{\frac{1}{2}}} = - 1$ mit ${(x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{4}{{(x - 5)}^{\frac{1}{2}}} {(x - 5)}^{\frac{1}{2}} = - {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{4}{{(x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$ in den Zähler.

$\frac{- 4}{{(x - 5)}^{\frac{1}{2}}} {(x - 5)}^{\frac{1}{2}} = - {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 5.4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4}{{(x - 5)}^{\frac{1}{2}}} {(x - 5)}^{\frac{1}{2}} = - {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 5.4.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- 4 = - {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 5.5

Löse die Gleichung.

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Schritt 5.5.1

Schreibe die Gleichung als $- {(x - 5)}^{\frac{1}{2}} = - 4$ um.

$- {(x - 5)}^{\frac{1}{2}} = - 4$

Schritt 5.5.2

Teile jeden Ausdruck in $- {(x - 5)}^{\frac{1}{2}} = - 4$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- {(x - 5)}^{\frac{1}{2}} = - 4$ durch $- 1$ .

$\frac{- {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 5.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{{(x - 5)}^{\frac{1}{2}}}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 5.5.2.2.2

Dividiere ${(x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ durch $1$ .

${(x - 5)}^{\frac{1}{2}} = \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 5.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.2.3.1

Dividiere $- 4$ durch $- 1$ .

${(x - 5)}^{\frac{1}{2}} = 4$

Schritt 5.5.3

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $2$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${({(x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

Schritt 5.5.4

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 5.5.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.4.1.1

Vereinfache ${({(x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.5.4.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.5.4.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 4^{2}$

Schritt 5.5.4.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.5.4.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 4^{2}$

Schritt 5.5.4.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(x - 5)}^{1} = 4^{2}$

Schritt 5.5.4.1.1.2

Vereinfache.

$x - 5 = 4^{2}$

Schritt 5.5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.4.2.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$x - 5 = 16$

Schritt 5.5.5

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.5.5.1

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 16 + 5$

Schritt 5.5.5.2

Addiere $16$ und $5$ .

$x = 21$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

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Schritt 6.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$1 - \frac{4}{\sqrt{{(x - 5)}^{1}}}$

Schritt 6.1.2

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$1 - \frac{4}{\sqrt{x - 5}}$

Schritt 6.2

Setze den Nenner in $\frac{4}{\sqrt{x - 5}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\sqrt{x - 5} = 0$

Schritt 6.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{x - 5}}^{2} = 0^{2}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 6.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x - 5}$ als ${(x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.2.1

Vereinfache ${({(x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.3.2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.3.2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(x - 5)}^{1} = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2.1.2

Vereinfache.

$x - 5 = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x - 5 = 0$

Schritt 6.3.3

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 6.4

Setze den Radikanden in $\sqrt{x - 5}$ kleiner als $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x - 5 < 0$

Schritt 6.5

Addiere $5$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$x < 5$

Schritt 6.6

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x \leq 5$

$(- \infty, 5]$

$x \leq 5$

$(- \infty, 5]$

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 21, 5$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 21$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{2}{{((21) - 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.1.1

Subtrahiere $5$ von $21$ .

$\frac{2}{16^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9.1.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{2}{{(4^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9.1.3

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{4^{2 (\frac{3}{2})}}$

Schritt 9.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{4^{2 (\frac{3}{2})}}$

Schritt 9.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{4^{3}}$

Schritt 9.1.5

Potenziere $4$ mit $3$ .

$\frac{2}{64}$

Schritt 9.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $64$ .

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Schritt 9.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (1)}{64}$

Schritt 9.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $64$ heraus.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 32}$

Schritt 9.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 32}$

Schritt 9.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{32}$

Schritt 10

$x = 21$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 21$ ist ein lokales Minimum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 21$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $21$ .

$f (21) = (21) - 8 \sqrt{(21) - 5}$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.1.1

Subtrahiere $5$ von $21$ .

$f (21) = 21 - 8 \sqrt{16}$

Schritt 11.2.1.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$f (21) = 21 - 8 \sqrt{4^{2}}$

Schritt 11.2.1.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (21) = 21 - 8 \cdot 4$

Schritt 11.2.1.4

Mutltipliziere $- 8$ mit $4$ .

$f (21) = 21 - 32$

Schritt 11.2.2

Subtrahiere $32$ von $21$ .

$f (21) = - 11$

Schritt 11.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 11$ .

$y = - 11$

Schritt 12

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 5$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{2}{{((5) - 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 13.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 13.1.1

Subtrahiere $5$ von $5$ .

$\frac{2}{0^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 13.1.2

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$\frac{2}{{(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 13.1.3

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Schritt 13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 13.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Schritt 13.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{0^{3}}$

Schritt 13.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{2}{0}$

Schritt 13.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 14

Da der erste Ableitungstest nicht erfolgreich war, gibt es kein lokales Extremum.

Keine lokalen Extrema

Schritt 15