Analysis Beispiele

$f (x) = x - 6 \ln (x^{2} + 1)$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 6 \ln (x^{2} + 1)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{2} + 1)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{2} + 1)]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{2} + 1)]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{2} + 1)]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 \ln (x^{2} + 1)$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 1)]$ .

$1 - 6 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 1)]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Schritt 1.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$1 - 6 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Schritt 1.2.2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$1 - 6 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Schritt 1.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$1 - 6 (\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Schritt 1.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$1 - 6 (\frac{1}{x^{2} + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]))$

Schritt 1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$1 - 6 (\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [1]))$

Schritt 1.2.5

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 - 6 (\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + 0))$

Schritt 1.2.6

Addiere $2 x$ und $0$ .

$1 - 6 (\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x))$

Schritt 1.2.7

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$1 - 6 (\frac{2}{x^{2} + 1} x)$

Schritt 1.2.8

Kombiniere $\frac{2}{x^{2} + 1}$ und $x$ .

$1 - 6 \frac{2 x}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.2.9

Kombiniere $- 6$ und $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ .

$1 + \frac{- 6 (2 x)}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.2.10

Mutltipliziere $2$ mit $- 6$ .

$1 + \frac{- 12 x}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.2.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$1 - \frac{12 x}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Vereine die Terme

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Schritt 1.3.1.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1} - \frac{12 x}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.3.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{2} + 1 - 12 x}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.3.2

Stelle die Terme um.

$\frac{x^{2} - 12 x + 1}{x^{2} + 1}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2} - 12 x + 1$ und $g (x) = x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 12 x + 1) - (x^{2} - 12 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 12 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} - 12 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} - 12 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.2.3

Da $- 12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 12 x$ nach $x$ gleich $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 12 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} - 12 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} - 12 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.2.5

Mutltipliziere $- 12$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 12 + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} - 12 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.2.6

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 12 + 0) - (x^{2} - 12 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.2.7

Addiere $2 x - 12$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 12) - (x^{2} - 12 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.2.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 12) - (x^{2} - 12 x + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 12) - (x^{2} - 12 x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.2.10

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 12) - (x^{2} - 12 x + 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.2.11

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.11.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 12) - (x^{2} - 12 x + 1) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.2.11.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 12) - 2 (x^{2} - 12 x + 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 12) + (- 2 x^{2} - 2 (- 12 x) - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 12) - 2 x^{2} x - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.3.1.1

Multipliziere $(x^{2} + 1) (2 x - 12)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.3.3.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x - 12) + 1 (2 x - 12) - 2 x^{2} x - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.3.3.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 12 + 1 (2 x - 12) - 2 x^{2} x - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.3.3.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 12 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 12 - 2 x^{2} x - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.3.3.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.3.1.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} x + x^{2} \cdot - 12 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 12 - 2 x^{2} x - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.3.3.1.2.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.3.1.2.2.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 12 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 12 - 2 x^{2} x - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.3.3.1.2.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 2.3.3.1.2.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 12 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 12 - 2 x^{2} x - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.3.3.1.2.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 12 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 12 - 2 x^{2} x - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.3.3.1.2.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + x^{2} \cdot - 12 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 12 - 2 x^{2} x - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.3.3.1.2.3

Bringe $- 12$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 12 \cdot x^{2} + 1 (2 x) + 1 \cdot - 12 - 2 x^{2} x - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.3.3.1.2.4

Mutltipliziere $2 x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x + 1 \cdot - 12 - 2 x^{2} x - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.3.3.1.2.5

Mutltipliziere $- 12$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x - 12 - 2 x^{2} x - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.3.3.1.3

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.3.1.3.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x - 12 - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.3.3.1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 2.3.3.1.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x - 12 - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.3.3.1.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x - 12 - 2 x^{1 + 2} - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.3.3.1.3.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x - 12 - 2 x^{3} - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.3.3.1.4

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.3.1.4.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x - 12 - 2 x^{3} - 2 (- 12 (x \cdot x)) - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.3.3.1.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x - 12 - 2 x^{3} - 2 (- 12 x^{2}) - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.3.3.1.5

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x - 12 - 2 x^{3} + 24 x^{2} - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.3.3.1.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x - 12 - 2 x^{3} + 24 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.3.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x - 12 - 2 x^{3} + 24 x^{2} - 2 x$ .

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Schritt 2.3.3.2.1

Subtrahiere $2 x^{3}$ von $2 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{2} + 2 x - 12 + 0 + 24 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.3.3.2.2

Addiere $- 12 x^{2} + 2 x - 12$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{2} + 2 x - 12 + 24 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.3.3.2.3

Subtrahiere $2 x$ von $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{2} - 12 + 24 x^{2} + 0}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.3.3.2.4

Addiere $- 12 x^{2} - 12 + 24 x^{2}$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{2} - 12 + 24 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.3.3.3

Addiere $- 12 x^{2}$ und $24 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{2} - 12}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.4.1

Faktorisiere $12$ aus $12 x^{2} - 12$ heraus.

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Schritt 2.3.4.1.1

Faktorisiere $12$ aus $12 x^{2}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{12 (x^{2}) - 12}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.3.4.1.2

Faktorisiere $12$ aus $- 12$ heraus.

$f'' (x) = \frac{12 (x^{2}) + 12 (- 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.3.4.1.3

Faktorisiere $12$ aus $12 (x^{2}) + 12 (- 1)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{12 (x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.3.4.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$f'' (x) = \frac{12 (x^{2} - 1^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.3.4.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$f'' (x) = \frac{12 (x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{x^{2} - 12 x + 1}{x^{2} + 1} = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Differenziere.

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Schritt 4.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 6 \ln (x^{2} + 1)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{2} + 1)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{2} + 1)]$

Schritt 4.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{2} + 1)]$

Schritt 4.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{2} + 1)]$ .

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Schritt 4.1.2.1

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 \ln (x^{2} + 1)$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 1)]$ .

$1 - 6 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 1)]$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Schritt 4.1.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$1 - 6 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Schritt 4.1.2.2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$1 - 6 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Schritt 4.1.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$1 - 6 (\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Schritt 4.1.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$1 - 6 (\frac{1}{x^{2} + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]))$

Schritt 4.1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$1 - 6 (\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [1]))$

Schritt 4.1.2.5

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 - 6 (\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + 0))$

Schritt 4.1.2.6

Addiere $2 x$ und $0$ .

$1 - 6 (\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x))$

Schritt 4.1.2.7

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$1 - 6 (\frac{2}{x^{2} + 1} x)$

Schritt 4.1.2.8

Kombiniere $\frac{2}{x^{2} + 1}$ und $x$ .

$1 - 6 \frac{2 x}{x^{2} + 1}$

Schritt 4.1.2.9

Kombiniere $- 6$ und $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ .

$1 + \frac{- 6 (2 x)}{x^{2} + 1}$

Schritt 4.1.2.10

Mutltipliziere $2$ mit $- 6$ .

$1 + \frac{- 12 x}{x^{2} + 1}$

Schritt 4.1.2.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$1 - \frac{12 x}{x^{2} + 1}$

Schritt 4.1.3

Vereinfache.

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Schritt 4.1.3.1

Vereine die Terme

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Schritt 4.1.3.1.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1} - \frac{12 x}{x^{2} + 1}$

Schritt 4.1.3.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{2} + 1 - 12 x}{x^{2} + 1}$

Schritt 4.1.3.2

Stelle die Terme um.

$f' (x) = \frac{x^{2} - 12 x + 1}{x^{2} + 1}$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{x^{2} - 12 x + 1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{x^{2} - 12 x + 1}{x^{2} + 1}$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{x^{2} - 12 x + 1}{x^{2} + 1} = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{x^{2} - 12 x + 1}{x^{2} + 1} = 0$

Schritt 5.2

Setze den Zähler gleich Null.

$x^{2} - 12 x + 1 = 0$

Schritt 5.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 5.3.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 12$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.1.1

Potenziere $- 12$ mit $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Schritt 5.3.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.3.1.3

Subtrahiere $4$ von $144$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{140}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.3.1.4

Schreibe $140$ als $2^{2} \cdot 35$ um.

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Schritt 5.3.3.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $140$ heraus.

$x = \frac{12 \pm \sqrt{4 (35)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.3.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 35}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.3.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{35}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{35}}{2}$

Schritt 5.3.3.3

Vereinfache $\frac{12 \pm 2 \sqrt{35}}{2}$ .

$x = 6 \pm \sqrt{35}$

Schritt 5.3.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 5.3.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.4.1.1

Potenziere $- 12$ mit $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Schritt 5.3.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.4.1.3

Subtrahiere $4$ von $144$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{140}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.4.1.4

Schreibe $140$ als $2^{2} \cdot 35$ um.

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Schritt 5.3.4.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $140$ heraus.

$x = \frac{12 \pm \sqrt{4 (35)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.4.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 35}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{35}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{35}}{2}$

Schritt 5.3.4.3

Vereinfache $\frac{12 \pm 2 \sqrt{35}}{2}$ .

$x = 6 \pm \sqrt{35}$

Schritt 5.3.4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = 6 + \sqrt{35}$

Schritt 5.3.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 5.3.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.5.1.1

Potenziere $- 12$ mit $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Schritt 5.3.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.5.1.3

Subtrahiere $4$ von $144$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{140}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.5.1.4

Schreibe $140$ als $2^{2} \cdot 35$ um.

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Schritt 5.3.5.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $140$ heraus.

$x = \frac{12 \pm \sqrt{4 (35)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.5.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 35}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{35}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{35}}{2}$

Schritt 5.3.5.3

Vereinfache $\frac{12 \pm 2 \sqrt{35}}{2}$ .

$x = 6 \pm \sqrt{35}$

Schritt 5.3.5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = 6 - \sqrt{35}$

Schritt 5.3.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 6 + \sqrt{35}, 6 - \sqrt{35}$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 6 + \sqrt{35}, 6 - \sqrt{35}$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 6 + \sqrt{35}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{12 ((6 + \sqrt{35}) + 1) ((6 + \sqrt{35}) - 1)}{{({(6 + \sqrt{35})}^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.1

Addiere $6$ und $1$ .

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (6 + \sqrt{35} - 1)}{{({(6 + \sqrt{35})}^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 9.1.2

Subtrahiere $1$ von $6$ .

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (5 + \sqrt{35})}{{({(6 + \sqrt{35})}^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 9.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.2.1

Schreibe ${(6 + \sqrt{35})}^{2}$ als $(6 + \sqrt{35}) (6 + \sqrt{35})$ um.

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (5 + \sqrt{35})}{{((6 + \sqrt{35}) (6 + \sqrt{35}) + 1)}^{2}}$

Schritt 9.2.2

Multipliziere $(6 + \sqrt{35}) (6 + \sqrt{35})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 9.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (5 + \sqrt{35})}{{(6 (6 + \sqrt{35}) + \sqrt{35} (6 + \sqrt{35}) + 1)}^{2}}$

Schritt 9.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (5 + \sqrt{35})}{{(6 \cdot 6 + 6 \sqrt{35} + \sqrt{35} (6 + \sqrt{35}) + 1)}^{2}}$

Schritt 9.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (5 + \sqrt{35})}{{(6 \cdot 6 + 6 \sqrt{35} + \sqrt{35} \cdot 6 + \sqrt{35} \sqrt{35} + 1)}^{2}}$

Schritt 9.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 9.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.2.3.1.1

Mutltipliziere $6$ mit $6$ .

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (5 + \sqrt{35})}{{(36 + 6 \sqrt{35} + \sqrt{35} \cdot 6 + \sqrt{35} \sqrt{35} + 1)}^{2}}$

Schritt 9.2.3.1.2

Bringe $6$ auf die linke Seite von $\sqrt{35}$ .

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (5 + \sqrt{35})}{{(36 + 6 \sqrt{35} + 6 \cdot \sqrt{35} + \sqrt{35} \sqrt{35} + 1)}^{2}}$

Schritt 9.2.3.1.3

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (5 + \sqrt{35})}{{(36 + 6 \sqrt{35} + 6 \sqrt{35} + \sqrt{35 \cdot 35} + 1)}^{2}}$

Schritt 9.2.3.1.4

Mutltipliziere $35$ mit $35$ .

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (5 + \sqrt{35})}{{(36 + 6 \sqrt{35} + 6 \sqrt{35} + \sqrt{1225} + 1)}^{2}}$

Schritt 9.2.3.1.5

Schreibe $1225$ als $35^{2}$ um.

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (5 + \sqrt{35})}{{(36 + 6 \sqrt{35} + 6 \sqrt{35} + \sqrt{35^{2}} + 1)}^{2}}$

Schritt 9.2.3.1.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (5 + \sqrt{35})}{{(36 + 6 \sqrt{35} + 6 \sqrt{35} + 35 + 1)}^{2}}$

Schritt 9.2.3.2

Addiere $36$ und $35$ .

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (5 + \sqrt{35})}{{(71 + 6 \sqrt{35} + 6 \sqrt{35} + 1)}^{2}}$

Schritt 9.2.3.3

Addiere $6 \sqrt{35}$ und $6 \sqrt{35}$ .

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (5 + \sqrt{35})}{{(71 + 12 \sqrt{35} + 1)}^{2}}$

Schritt 9.2.4

Addiere $71$ und $1$ .

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (5 + \sqrt{35})}{{(72 + 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Schritt 9.3

Gruppiere $5 + \sqrt{35}$ und $7 + \sqrt{35}$ .

$\frac{12 ((5 + \sqrt{35}) (7 + \sqrt{35}))}{{(72 + 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Schritt 9.4

Multipliziere $(5 + \sqrt{35}) (7 + \sqrt{35})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 9.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{12 (5 (7 + \sqrt{35}) + \sqrt{35} (7 + \sqrt{35}))}{{(72 + 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Schritt 9.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{12 (5 \cdot 7 + 5 \sqrt{35} + \sqrt{35} (7 + \sqrt{35}))}{{(72 + 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Schritt 9.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{12 (5 \cdot 7 + 5 \sqrt{35} + \sqrt{35} \cdot 7 + \sqrt{35} \sqrt{35})}{{(72 + 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Schritt 9.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 9.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.5.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $7$ .

$\frac{12 (35 + 5 \sqrt{35} + \sqrt{35} \cdot 7 + \sqrt{35} \sqrt{35})}{{(72 + 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Schritt 9.5.1.2

Bringe $7$ auf die linke Seite von $\sqrt{35}$ .

$\frac{12 (35 + 5 \sqrt{35} + 7 \cdot \sqrt{35} + \sqrt{35} \sqrt{35})}{{(72 + 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Schritt 9.5.1.3

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{12 (35 + 5 \sqrt{35} + 7 \sqrt{35} + \sqrt{35 \cdot 35})}{{(72 + 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Schritt 9.5.1.4

Mutltipliziere $35$ mit $35$ .

$\frac{12 (35 + 5 \sqrt{35} + 7 \sqrt{35} + \sqrt{1225})}{{(72 + 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Schritt 9.5.1.5

Schreibe $1225$ als $35^{2}$ um.

$\frac{12 (35 + 5 \sqrt{35} + 7 \sqrt{35} + \sqrt{35^{2}})}{{(72 + 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Schritt 9.5.1.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{12 (35 + 5 \sqrt{35} + 7 \sqrt{35} + 35)}{{(72 + 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Schritt 9.5.2

Addiere $35$ und $35$ .

$\frac{12 (70 + 5 \sqrt{35} + 7 \sqrt{35})}{{(72 + 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Schritt 9.5.3

Addiere $5 \sqrt{35}$ und $7 \sqrt{35}$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{{(72 + 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Schritt 9.6

Schreibe ${(72 + 12 \sqrt{35})}^{2}$ als $(72 + 12 \sqrt{35}) (72 + 12 \sqrt{35})$ um.

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{(72 + 12 \sqrt{35}) (72 + 12 \sqrt{35})}$

Schritt 9.7

Multipliziere $(72 + 12 \sqrt{35}) (72 + 12 \sqrt{35})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 9.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{72 (72 + 12 \sqrt{35}) + 12 \sqrt{35} (72 + 12 \sqrt{35})}$

Schritt 9.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{72 \cdot 72 + 72 (12 \sqrt{35}) + 12 \sqrt{35} (72 + 12 \sqrt{35})}$

Schritt 9.7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{72 \cdot 72 + 72 (12 \sqrt{35}) + 12 \sqrt{35} \cdot 72 + 12 \sqrt{35} (12 \sqrt{35})}$

Schritt 9.8

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 9.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.8.1.1

Mutltipliziere $72$ mit $72$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 72 (12 \sqrt{35}) + 12 \sqrt{35} \cdot 72 + 12 \sqrt{35} (12 \sqrt{35})}$

Schritt 9.8.1.2

Mutltipliziere $12$ mit $72$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 864 \sqrt{35} + 12 \sqrt{35} \cdot 72 + 12 \sqrt{35} (12 \sqrt{35})}$

Schritt 9.8.1.3

Mutltipliziere $72$ mit $12$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 864 \sqrt{35} + 864 \sqrt{35} + 12 \sqrt{35} (12 \sqrt{35})}$

Schritt 9.8.1.4

Multipliziere $12 \sqrt{35} (12 \sqrt{35})$ .

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Schritt 9.8.1.4.1

Mutltipliziere $12$ mit $12$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 864 \sqrt{35} + 864 \sqrt{35} + 144 \sqrt{35} \sqrt{35}}$

Schritt 9.8.1.4.2

Potenziere $\sqrt{35}$ mit $1$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 864 \sqrt{35} + 864 \sqrt{35} + 144 ({\sqrt{35}}^{1} \sqrt{35})}$

Schritt 9.8.1.4.3

Potenziere $\sqrt{35}$ mit $1$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 864 \sqrt{35} + 864 \sqrt{35} + 144 ({\sqrt{35}}^{1} {\sqrt{35}}^{1})}$

Schritt 9.8.1.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 864 \sqrt{35} + 864 \sqrt{35} + 144 {\sqrt{35}}^{1 + 1}}$

Schritt 9.8.1.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 864 \sqrt{35} + 864 \sqrt{35} + 144 {\sqrt{35}}^{2}}$

Schritt 9.8.1.5

Schreibe ${\sqrt{35}}^{2}$ als $35$ um.

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Schritt 9.8.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{35}$ als $35^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 864 \sqrt{35} + 864 \sqrt{35} + 144 {(35^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 9.8.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 864 \sqrt{35} + 864 \sqrt{35} + 144 \cdot 35^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 9.8.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 864 \sqrt{35} + 864 \sqrt{35} + 144 \cdot 35^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 9.8.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.8.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 864 \sqrt{35} + 864 \sqrt{35} + 144 \cdot 35^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 9.8.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 864 \sqrt{35} + 864 \sqrt{35} + 144 \cdot 35^{1}}$

Schritt 9.8.1.5.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 864 \sqrt{35} + 864 \sqrt{35} + 144 \cdot 35}$

Schritt 9.8.1.6

Mutltipliziere $144$ mit $35$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 864 \sqrt{35} + 864 \sqrt{35} + 5040}$

Schritt 9.8.2

Addiere $5184$ und $5040$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{10224 + 864 \sqrt{35} + 864 \sqrt{35}}$

Schritt 9.8.3

Addiere $864 \sqrt{35}$ und $864 \sqrt{35}$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{10224 + 1728 \sqrt{35}}$

Schritt 9.9

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.9.1

Faktorisiere $12$ aus $10224$ heraus.

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{12 \cdot 852 + 1728 \sqrt{35}}$

Schritt 9.9.2

Faktorisiere $12$ aus $1728 \sqrt{35}$ heraus.

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{12 \cdot 852 + 12 (144 \sqrt{35})}$

Schritt 9.9.3

Faktorisiere $12$ aus $12 (852) + 12 (144 \sqrt{35})$ heraus.

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{12 (852 + 144 \sqrt{35})}$

Schritt 9.9.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{12 (852 + 144 \sqrt{35})}$

Schritt 9.9.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{70 + 12 \sqrt{35}}{852 + 144 \sqrt{35}}$

Schritt 9.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $70 + 12 \sqrt{35}$ und $852 + 144 \sqrt{35}$ .

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Schritt 9.10.1

Faktorisiere $2$ aus $70$ heraus.

$\frac{2 (35) + 12 \sqrt{35}}{852 + 144 \sqrt{35}}$

Schritt 9.10.2

Faktorisiere $2$ aus $12 \sqrt{35}$ heraus.

$\frac{2 (35) + 2 (6 \sqrt{35})}{852 + 144 \sqrt{35}}$

Schritt 9.10.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (35) + 2 (6 \sqrt{35})$ heraus.

$\frac{2 (35 + 6 \sqrt{35})}{852 + 144 \sqrt{35}}$

Schritt 9.10.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.10.4.1

Faktorisiere $2$ aus $852$ heraus.

$\frac{2 (35 + 6 \sqrt{35})}{2 \cdot 426 + 144 \sqrt{35}}$

Schritt 9.10.4.2

Faktorisiere $2$ aus $144 \sqrt{35}$ heraus.

$\frac{2 (35 + 6 \sqrt{35})}{2 \cdot 426 + 2 (72 \sqrt{35})}$

Schritt 9.10.4.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (426) + 2 (72 \sqrt{35})$ heraus.

$\frac{2 (35 + 6 \sqrt{35})}{2 (426 + 72 \sqrt{35})}$

Schritt 9.10.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (35 + 6 \sqrt{35})}{2 (426 + 72 \sqrt{35})}$

Schritt 9.10.4.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{35 + 6 \sqrt{35}}{426 + 72 \sqrt{35}}$

Schritt 9.11

Mutltipliziere $\frac{35 + 6 \sqrt{35}}{426 + 72 \sqrt{35}}$ mit $\frac{426 - 72 \sqrt{35}}{426 - 72 \sqrt{35}}$ .

$\frac{35 + 6 \sqrt{35}}{426 + 72 \sqrt{35}} \cdot \frac{426 - 72 \sqrt{35}}{426 - 72 \sqrt{35}}$

Schritt 9.12

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.12.1

Mutltipliziere $\frac{35 + 6 \sqrt{35}}{426 + 72 \sqrt{35}}$ mit $\frac{426 - 72 \sqrt{35}}{426 - 72 \sqrt{35}}$ .

$\frac{(35 + 6 \sqrt{35}) (426 - 72 \sqrt{35})}{(426 + 72 \sqrt{35}) (426 - 72 \sqrt{35})}$

Schritt 9.12.2

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\frac{(35 + 6 \sqrt{35}) (426 - 72 \sqrt{35})}{181476 - 30672 \sqrt{35} + 30672 \sqrt{35} - 5184 {\sqrt{35}}^{2}}$

Schritt 9.12.3

Vereinfache.

$\frac{(35 + 6 \sqrt{35}) (426 - 72 \sqrt{35})}{36}$

Schritt 9.12.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $426 - 72 \sqrt{35}$ und $36$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.12.4.1

Faktorisiere $6$ aus $(35 + 6 \sqrt{35}) (426 - 72 \sqrt{35})$ heraus.

$\frac{6 ((35 + 6 \sqrt{35}) (71 - 12 \sqrt{35}))}{36}$

Schritt 9.12.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.12.4.2.1

Faktorisiere $6$ aus $36$ heraus.

$\frac{6 ((35 + 6 \sqrt{35}) (71 - 12 \sqrt{35}))}{6 (6)}$

Schritt 9.12.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 ((35 + 6 \sqrt{35}) (71 - 12 \sqrt{35}))}{6 \cdot 6}$

Schritt 9.12.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(35 + 6 \sqrt{35}) (71 - 12 \sqrt{35})}{6}$

Schritt 9.13

Multipliziere $(35 + 6 \sqrt{35}) (71 - 12 \sqrt{35})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.13.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{35 (71 - 12 \sqrt{35}) + 6 \sqrt{35} (71 - 12 \sqrt{35})}{6}$

Schritt 9.13.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{35 \cdot 71 + 35 (- 12 \sqrt{35}) + 6 \sqrt{35} (71 - 12 \sqrt{35})}{6}$

Schritt 9.13.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{35 \cdot 71 + 35 (- 12 \sqrt{35}) + 6 \sqrt{35} \cdot 71 + 6 \sqrt{35} (- 12 \sqrt{35})}{6}$

Schritt 9.14

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.14.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.14.1.1

Mutltipliziere $35$ mit $71$ .

$\frac{2485 + 35 (- 12 \sqrt{35}) + 6 \sqrt{35} \cdot 71 + 6 \sqrt{35} (- 12 \sqrt{35})}{6}$

Schritt 9.14.1.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $35$ .

$\frac{2485 - 420 \sqrt{35} + 6 \sqrt{35} \cdot 71 + 6 \sqrt{35} (- 12 \sqrt{35})}{6}$

Schritt 9.14.1.3

Mutltipliziere $71$ mit $6$ .

$\frac{2485 - 420 \sqrt{35} + 426 \sqrt{35} + 6 \sqrt{35} (- 12 \sqrt{35})}{6}$

Schritt 9.14.1.4

Multipliziere $6 \sqrt{35} (- 12 \sqrt{35})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.14.1.4.1

Mutltipliziere $- 12$ mit $6$ .

$\frac{2485 - 420 \sqrt{35} + 426 \sqrt{35} - 72 \sqrt{35} \sqrt{35}}{6}$

Schritt 9.14.1.4.2

Potenziere $\sqrt{35}$ mit $1$ .

$\frac{2485 - 420 \sqrt{35} + 426 \sqrt{35} - 72 ({\sqrt{35}}^{1} \sqrt{35})}{6}$

Schritt 9.14.1.4.3

Potenziere $\sqrt{35}$ mit $1$ .

$\frac{2485 - 420 \sqrt{35} + 426 \sqrt{35} - 72 ({\sqrt{35}}^{1} {\sqrt{35}}^{1})}{6}$

Schritt 9.14.1.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2485 - 420 \sqrt{35} + 426 \sqrt{35} - 72 {\sqrt{35}}^{1 + 1}}{6}$

Schritt 9.14.1.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2485 - 420 \sqrt{35} + 426 \sqrt{35} - 72 {\sqrt{35}}^{2}}{6}$

Schritt 9.14.1.5

Schreibe ${\sqrt{35}}^{2}$ als $35$ um.

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Schritt 9.14.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{35}$ als $35^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{2485 - 420 \sqrt{35} + 426 \sqrt{35} - 72 {(35^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6}$

Schritt 9.14.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2485 - 420 \sqrt{35} + 426 \sqrt{35} - 72 \cdot 35^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6}$

Schritt 9.14.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{2485 - 420 \sqrt{35} + 426 \sqrt{35} - 72 \cdot 35^{\frac{2}{2}}}{6}$

Schritt 9.14.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.14.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2485 - 420 \sqrt{35} + 426 \sqrt{35} - 72 \cdot 35^{\frac{2}{2}}}{6}$

Schritt 9.14.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2485 - 420 \sqrt{35} + 426 \sqrt{35} - 72 \cdot 35^{1}}{6}$

Schritt 9.14.1.5.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{2485 - 420 \sqrt{35} + 426 \sqrt{35} - 72 \cdot 35}{6}$

Schritt 9.14.1.6

Mutltipliziere $- 72$ mit $35$ .

$\frac{2485 - 420 \sqrt{35} + 426 \sqrt{35} - 2520}{6}$

Schritt 9.14.2

Subtrahiere $2520$ von $2485$ .

$\frac{- 35 - 420 \sqrt{35} + 426 \sqrt{35}}{6}$

Schritt 9.14.3

Addiere $- 420 \sqrt{35}$ und $426 \sqrt{35}$ .

$\frac{- 35 + 6 \sqrt{35}}{6}$

Schritt 9.15

Schreibe $- 35$ als $- 1 (35)$ um.

$\frac{- 1 (35) + 6 \sqrt{35}}{6}$

Schritt 9.16

Faktorisiere $- 1$ aus $6 \sqrt{35}$ heraus.

$\frac{- 1 (35) - (- 6 \sqrt{35})}{6}$

Schritt 9.17

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (35) - (- 6 \sqrt{35})$ heraus.

$\frac{- 1 (35 - 6 \sqrt{35})}{6}$

Schritt 9.18

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{35 - 6 \sqrt{35}}{6}$

Schritt 10

$x = 6 + \sqrt{35}$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 6 + \sqrt{35}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 6 + \sqrt{35}$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $6 + \sqrt{35}$ .

$f (6 + \sqrt{35}) = (6 + \sqrt{35}) - 6 \ln ({(6 + \sqrt{35})}^{2} + 1)$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

Entferne die Klammern.

$f (6 + \sqrt{35}) = 6 + \sqrt{35} - 6 \ln ({(6 + \sqrt{35})}^{2} + 1)$

Schritt 11.2.2

Die endgültige Lösung ist $6 + \sqrt{35} - 6 \ln ({(6 + \sqrt{35})}^{2} + 1)$ .

$y = 6 + \sqrt{35} - 6 \ln ({(6 + \sqrt{35})}^{2} + 1)$

Schritt 12

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 6 - \sqrt{35}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{12 ((6 - \sqrt{35}) + 1) ((6 - \sqrt{35}) - 1)}{{({(6 - \sqrt{35})}^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 13.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.1.1

Addiere $6$ und $1$ .

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (6 - \sqrt{35} - 1)}{{({(6 - \sqrt{35})}^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 13.1.2

Subtrahiere $1$ von $6$ .

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{({(6 - \sqrt{35})}^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 13.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 13.2.1

Schreibe ${(6 - \sqrt{35})}^{2}$ als $(6 - \sqrt{35}) (6 - \sqrt{35})$ um.

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{((6 - \sqrt{35}) (6 - \sqrt{35}) + 1)}^{2}}$

Schritt 13.2.2

Multipliziere $(6 - \sqrt{35}) (6 - \sqrt{35})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(6 (6 - \sqrt{35}) - \sqrt{35} (6 - \sqrt{35}) + 1)}^{2}}$

Schritt 13.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(6 \cdot 6 + 6 (- \sqrt{35}) - \sqrt{35} (6 - \sqrt{35}) + 1)}^{2}}$

Schritt 13.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(6 \cdot 6 + 6 (- \sqrt{35}) - \sqrt{35} \cdot 6 - \sqrt{35} (- \sqrt{35}) + 1)}^{2}}$

Schritt 13.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 13.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.2.3.1.1

Mutltipliziere $6$ mit $6$ .

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 + 6 (- \sqrt{35}) - \sqrt{35} \cdot 6 - \sqrt{35} (- \sqrt{35}) + 1)}^{2}}$

Schritt 13.2.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 - 6 \sqrt{35} - \sqrt{35} \cdot 6 - \sqrt{35} (- \sqrt{35}) + 1)}^{2}}$

Schritt 13.2.3.1.3

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 - 6 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} - \sqrt{35} (- \sqrt{35}) + 1)}^{2}}$

Schritt 13.2.3.1.4

Multipliziere $- \sqrt{35} (- \sqrt{35})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.2.3.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 - 6 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} + 1 \sqrt{35} \sqrt{35} + 1)}^{2}}$

Schritt 13.2.3.1.4.2

Mutltipliziere $\sqrt{35}$ mit $1$ .

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 - 6 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} + \sqrt{35} \sqrt{35} + 1)}^{2}}$

Schritt 13.2.3.1.4.3

Potenziere $\sqrt{35}$ mit $1$ .

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 - 6 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} + {\sqrt{35}}^{1} \sqrt{35} + 1)}^{2}}$

Schritt 13.2.3.1.4.4

Potenziere $\sqrt{35}$ mit $1$ .

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 - 6 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} + {\sqrt{35}}^{1} {\sqrt{35}}^{1} + 1)}^{2}}$

Schritt 13.2.3.1.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 - 6 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} + {\sqrt{35}}^{1 + 1} + 1)}^{2}}$

Schritt 13.2.3.1.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 - 6 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} + {\sqrt{35}}^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 13.2.3.1.5

Schreibe ${\sqrt{35}}^{2}$ als $35$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.2.3.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{35}$ als $35^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 - 6 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} + {(35^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 13.2.3.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 - 6 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} + 35^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1)}^{2}}$

Schritt 13.2.3.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 - 6 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} + 35^{\frac{2}{2}} + 1)}^{2}}$

Schritt 13.2.3.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 13.2.3.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 - 6 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} + 35^{\frac{2}{2}} + 1)}^{2}}$

Schritt 13.2.3.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 - 6 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} + 35^{1} + 1)}^{2}}$

Schritt 13.2.3.1.5.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 - 6 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} + 35 + 1)}^{2}}$

Schritt 13.2.3.2

Addiere $36$ und $35$ .

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(71 - 6 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} + 1)}^{2}}$

Schritt 13.2.3.3

Subtrahiere $6 \sqrt{35}$ von $- 6 \sqrt{35}$ .

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(71 - 12 \sqrt{35} + 1)}^{2}}$

Schritt 13.2.4

Addiere $71$ und $1$ .

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Schritt 13.3

Gruppiere $5 - \sqrt{35}$ und $7 - \sqrt{35}$ .

$\frac{12 ((5 - \sqrt{35}) (7 - \sqrt{35}))}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Schritt 13.4

Multipliziere $(5 - \sqrt{35}) (7 - \sqrt{35})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{12 (5 (7 - \sqrt{35}) - \sqrt{35} (7 - \sqrt{35}))}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Schritt 13.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{12 (5 \cdot 7 + 5 (- \sqrt{35}) - \sqrt{35} (7 - \sqrt{35}))}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Schritt 13.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{12 (5 \cdot 7 + 5 (- \sqrt{35}) - \sqrt{35} \cdot 7 - \sqrt{35} (- \sqrt{35}))}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Schritt 13.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.5.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $7$ .

$\frac{12 (35 + 5 (- \sqrt{35}) - \sqrt{35} \cdot 7 - \sqrt{35} (- \sqrt{35}))}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Schritt 13.5.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{12 (35 - 5 \sqrt{35} - \sqrt{35} \cdot 7 - \sqrt{35} (- \sqrt{35}))}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Schritt 13.5.1.3

Mutltipliziere $7$ mit $- 1$ .

$\frac{12 (35 - 5 \sqrt{35} - 7 \sqrt{35} - \sqrt{35} (- \sqrt{35}))}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Schritt 13.5.1.4

Multipliziere $- \sqrt{35} (- \sqrt{35})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.5.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{12 (35 - 5 \sqrt{35} - 7 \sqrt{35} + 1 \sqrt{35} \sqrt{35})}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Schritt 13.5.1.4.2

Mutltipliziere $\sqrt{35}$ mit $1$ .

$\frac{12 (35 - 5 \sqrt{35} - 7 \sqrt{35} + \sqrt{35} \sqrt{35})}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Schritt 13.5.1.4.3

Potenziere $\sqrt{35}$ mit $1$ .

$\frac{12 (35 - 5 \sqrt{35} - 7 \sqrt{35} + {\sqrt{35}}^{1} \sqrt{35})}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Schritt 13.5.1.4.4

Potenziere $\sqrt{35}$ mit $1$ .

$\frac{12 (35 - 5 \sqrt{35} - 7 \sqrt{35} + {\sqrt{35}}^{1} {\sqrt{35}}^{1})}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Schritt 13.5.1.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{12 (35 - 5 \sqrt{35} - 7 \sqrt{35} + {\sqrt{35}}^{1 + 1})}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Schritt 13.5.1.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{12 (35 - 5 \sqrt{35} - 7 \sqrt{35} + {\sqrt{35}}^{2})}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Schritt 13.5.1.5

Schreibe ${\sqrt{35}}^{2}$ als $35$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.5.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{35}$ als $35^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{12 (35 - 5 \sqrt{35} - 7 \sqrt{35} + {(35^{\frac{1}{2}})}^{2})}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Schritt 13.5.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{12 (35 - 5 \sqrt{35} - 7 \sqrt{35} + 35^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Schritt 13.5.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{12 (35 - 5 \sqrt{35} - 7 \sqrt{35} + 35^{\frac{2}{2}})}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Schritt 13.5.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.5.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{12 (35 - 5 \sqrt{35} - 7 \sqrt{35} + 35^{\frac{2}{2}})}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Schritt 13.5.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{12 (35 - 5 \sqrt{35} - 7 \sqrt{35} + 35^{1})}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Schritt 13.5.1.5.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{12 (35 - 5 \sqrt{35} - 7 \sqrt{35} + 35)}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Schritt 13.5.2

Addiere $35$ und $35$ .

$\frac{12 (70 - 5 \sqrt{35} - 7 \sqrt{35})}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Schritt 13.5.3

Subtrahiere $7 \sqrt{35}$ von $- 5 \sqrt{35}$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Schritt 13.6

Schreibe ${(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}$ als $(72 - 12 \sqrt{35}) (72 - 12 \sqrt{35})$ um.

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{(72 - 12 \sqrt{35}) (72 - 12 \sqrt{35})}$

Schritt 13.7

Multipliziere $(72 - 12 \sqrt{35}) (72 - 12 \sqrt{35})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{72 (72 - 12 \sqrt{35}) - 12 \sqrt{35} (72 - 12 \sqrt{35})}$

Schritt 13.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{72 \cdot 72 + 72 (- 12 \sqrt{35}) - 12 \sqrt{35} (72 - 12 \sqrt{35})}$

Schritt 13.7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{72 \cdot 72 + 72 (- 12 \sqrt{35}) - 12 \sqrt{35} \cdot 72 - 12 \sqrt{35} (- 12 \sqrt{35})}$

Schritt 13.8

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.8.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.8.1.1

Mutltipliziere $72$ mit $72$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 + 72 (- 12 \sqrt{35}) - 12 \sqrt{35} \cdot 72 - 12 \sqrt{35} (- 12 \sqrt{35})}$

Schritt 13.8.1.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $72$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 - 864 \sqrt{35} - 12 \sqrt{35} \cdot 72 - 12 \sqrt{35} (- 12 \sqrt{35})}$

Schritt 13.8.1.3

Mutltipliziere $72$ mit $- 12$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 - 864 \sqrt{35} - 864 \sqrt{35} - 12 \sqrt{35} (- 12 \sqrt{35})}$

Schritt 13.8.1.4

Multipliziere $- 12 \sqrt{35} (- 12 \sqrt{35})$ .

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Schritt 13.8.1.4.1

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 12$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 - 864 \sqrt{35} - 864 \sqrt{35} + 144 \sqrt{35} \sqrt{35}}$

Schritt 13.8.1.4.2

Potenziere $\sqrt{35}$ mit $1$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 - 864 \sqrt{35} - 864 \sqrt{35} + 144 ({\sqrt{35}}^{1} \sqrt{35})}$

Schritt 13.8.1.4.3

Potenziere $\sqrt{35}$ mit $1$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 - 864 \sqrt{35} - 864 \sqrt{35} + 144 ({\sqrt{35}}^{1} {\sqrt{35}}^{1})}$

Schritt 13.8.1.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 - 864 \sqrt{35} - 864 \sqrt{35} + 144 {\sqrt{35}}^{1 + 1}}$

Schritt 13.8.1.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 - 864 \sqrt{35} - 864 \sqrt{35} + 144 {\sqrt{35}}^{2}}$

Schritt 13.8.1.5

Schreibe ${\sqrt{35}}^{2}$ als $35$ um.

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Schritt 13.8.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{35}$ als $35^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 - 864 \sqrt{35} - 864 \sqrt{35} + 144 {(35^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 13.8.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 - 864 \sqrt{35} - 864 \sqrt{35} + 144 \cdot 35^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 13.8.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 - 864 \sqrt{35} - 864 \sqrt{35} + 144 \cdot 35^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 13.8.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 13.8.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 - 864 \sqrt{35} - 864 \sqrt{35} + 144 \cdot 35^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 13.8.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 - 864 \sqrt{35} - 864 \sqrt{35} + 144 \cdot 35^{1}}$

Schritt 13.8.1.5.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 - 864 \sqrt{35} - 864 \sqrt{35} + 144 \cdot 35}$

Schritt 13.8.1.6

Mutltipliziere $144$ mit $35$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 - 864 \sqrt{35} - 864 \sqrt{35} + 5040}$

Schritt 13.8.2

Addiere $5184$ und $5040$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{10224 - 864 \sqrt{35} - 864 \sqrt{35}}$

Schritt 13.8.3

Subtrahiere $864 \sqrt{35}$ von $- 864 \sqrt{35}$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{10224 - 1728 \sqrt{35}}$

Schritt 13.9

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.9.1

Faktorisiere $12$ aus $10224$ heraus.

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{12 \cdot 852 - 1728 \sqrt{35}}$

Schritt 13.9.2

Faktorisiere $12$ aus $- 1728 \sqrt{35}$ heraus.

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{12 \cdot 852 + 12 (- 144 \sqrt{35})}$

Schritt 13.9.3

Faktorisiere $12$ aus $12 (852) + 12 (- 144 \sqrt{35})$ heraus.

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{12 (852 - 144 \sqrt{35})}$

Schritt 13.9.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{12 (852 - 144 \sqrt{35})}$

Schritt 13.9.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{70 - 12 \sqrt{35}}{852 - 144 \sqrt{35}}$

Schritt 13.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $70 - 12 \sqrt{35}$ und $852 - 144 \sqrt{35}$ .

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Schritt 13.10.1

Faktorisiere $2$ aus $70$ heraus.

$\frac{2 (35) - 12 \sqrt{35}}{852 - 144 \sqrt{35}}$

Schritt 13.10.2

Faktorisiere $2$ aus $- 12 \sqrt{35}$ heraus.

$\frac{2 (35) + 2 (- 6 \sqrt{35})}{852 - 144 \sqrt{35}}$

Schritt 13.10.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (35) + 2 (- 6 \sqrt{35})$ heraus.

$\frac{2 (35 - 6 \sqrt{35})}{852 - 144 \sqrt{35}}$

Schritt 13.10.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.10.4.1

Faktorisiere $2$ aus $852$ heraus.

$\frac{2 (35 - 6 \sqrt{35})}{2 \cdot 426 - 144 \sqrt{35}}$

Schritt 13.10.4.2

Faktorisiere $2$ aus $- 144 \sqrt{35}$ heraus.

$\frac{2 (35 - 6 \sqrt{35})}{2 \cdot 426 + 2 (- 72 \sqrt{35})}$

Schritt 13.10.4.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (426) + 2 (- 72 \sqrt{35})$ heraus.

$\frac{2 (35 - 6 \sqrt{35})}{2 (426 - 72 \sqrt{35})}$

Schritt 13.10.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (35 - 6 \sqrt{35})}{2 (426 - 72 \sqrt{35})}$

Schritt 13.10.4.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{35 - 6 \sqrt{35}}{426 - 72 \sqrt{35}}$

Schritt 13.11

Mutltipliziere $\frac{35 - 6 \sqrt{35}}{426 - 72 \sqrt{35}}$ mit $\frac{426 + 72 \sqrt{35}}{426 + 72 \sqrt{35}}$ .

$\frac{35 - 6 \sqrt{35}}{426 - 72 \sqrt{35}} \cdot \frac{426 + 72 \sqrt{35}}{426 + 72 \sqrt{35}}$

Schritt 13.12

Vereinfache Terme.

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Schritt 13.12.1

Mutltipliziere $\frac{35 - 6 \sqrt{35}}{426 - 72 \sqrt{35}}$ mit $\frac{426 + 72 \sqrt{35}}{426 + 72 \sqrt{35}}$ .

$\frac{(35 - 6 \sqrt{35}) (426 + 72 \sqrt{35})}{(426 - 72 \sqrt{35}) (426 + 72 \sqrt{35})}$

Schritt 13.12.2

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\frac{(35 - 6 \sqrt{35}) (426 + 72 \sqrt{35})}{181476 + 30672 \sqrt{35} - 30672 \sqrt{35} - 5184 {\sqrt{35}}^{2}}$

Schritt 13.12.3

Vereinfache.

$\frac{(35 - 6 \sqrt{35}) (426 + 72 \sqrt{35})}{36}$

Schritt 13.12.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $426 + 72 \sqrt{35}$ und $36$ .

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Schritt 13.12.4.1

Faktorisiere $6$ aus $(35 - 6 \sqrt{35}) (426 + 72 \sqrt{35})$ heraus.

$\frac{6 ((35 - 6 \sqrt{35}) (71 + 12 \sqrt{35}))}{36}$

Schritt 13.12.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.12.4.2.1

Faktorisiere $6$ aus $36$ heraus.

$\frac{6 ((35 - 6 \sqrt{35}) (71 + 12 \sqrt{35}))}{6 (6)}$

Schritt 13.12.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 ((35 - 6 \sqrt{35}) (71 + 12 \sqrt{35}))}{6 \cdot 6}$

Schritt 13.12.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(35 - 6 \sqrt{35}) (71 + 12 \sqrt{35})}{6}$

Schritt 13.13

Multipliziere $(35 - 6 \sqrt{35}) (71 + 12 \sqrt{35})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.13.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{35 (71 + 12 \sqrt{35}) - 6 \sqrt{35} (71 + 12 \sqrt{35})}{6}$

Schritt 13.13.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{35 \cdot 71 + 35 (12 \sqrt{35}) - 6 \sqrt{35} (71 + 12 \sqrt{35})}{6}$

Schritt 13.13.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{35 \cdot 71 + 35 (12 \sqrt{35}) - 6 \sqrt{35} \cdot 71 - 6 \sqrt{35} (12 \sqrt{35})}{6}$

Schritt 13.14

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 13.14.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.14.1.1

Mutltipliziere $35$ mit $71$ .

$\frac{2485 + 35 (12 \sqrt{35}) - 6 \sqrt{35} \cdot 71 - 6 \sqrt{35} (12 \sqrt{35})}{6}$

Schritt 13.14.1.2

Mutltipliziere $12$ mit $35$ .

$\frac{2485 + 420 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} \cdot 71 - 6 \sqrt{35} (12 \sqrt{35})}{6}$

Schritt 13.14.1.3

Mutltipliziere $71$ mit $- 6$ .

$\frac{2485 + 420 \sqrt{35} - 426 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} (12 \sqrt{35})}{6}$

Schritt 13.14.1.4

Multipliziere $- 6 \sqrt{35} (12 \sqrt{35})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.14.1.4.1

Mutltipliziere $12$ mit $- 6$ .

$\frac{2485 + 420 \sqrt{35} - 426 \sqrt{35} - 72 \sqrt{35} \sqrt{35}}{6}$

Schritt 13.14.1.4.2

Potenziere $\sqrt{35}$ mit $1$ .

$\frac{2485 + 420 \sqrt{35} - 426 \sqrt{35} - 72 ({\sqrt{35}}^{1} \sqrt{35})}{6}$

Schritt 13.14.1.4.3

Potenziere $\sqrt{35}$ mit $1$ .

$\frac{2485 + 420 \sqrt{35} - 426 \sqrt{35} - 72 ({\sqrt{35}}^{1} {\sqrt{35}}^{1})}{6}$

Schritt 13.14.1.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2485 + 420 \sqrt{35} - 426 \sqrt{35} - 72 {\sqrt{35}}^{1 + 1}}{6}$

Schritt 13.14.1.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2485 + 420 \sqrt{35} - 426 \sqrt{35} - 72 {\sqrt{35}}^{2}}{6}$

Schritt 13.14.1.5

Schreibe ${\sqrt{35}}^{2}$ als $35$ um.

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Schritt 13.14.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{35}$ als $35^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{2485 + 420 \sqrt{35} - 426 \sqrt{35} - 72 {(35^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6}$

Schritt 13.14.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2485 + 420 \sqrt{35} - 426 \sqrt{35} - 72 \cdot 35^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6}$

Schritt 13.14.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{2485 + 420 \sqrt{35} - 426 \sqrt{35} - 72 \cdot 35^{\frac{2}{2}}}{6}$

Schritt 13.14.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 13.14.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2485 + 420 \sqrt{35} - 426 \sqrt{35} - 72 \cdot 35^{\frac{2}{2}}}{6}$

Schritt 13.14.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2485 + 420 \sqrt{35} - 426 \sqrt{35} - 72 \cdot 35^{1}}{6}$

Schritt 13.14.1.5.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{2485 + 420 \sqrt{35} - 426 \sqrt{35} - 72 \cdot 35}{6}$

Schritt 13.14.1.6

Mutltipliziere $- 72$ mit $35$ .

$\frac{2485 + 420 \sqrt{35} - 426 \sqrt{35} - 2520}{6}$

Schritt 13.14.2

Subtrahiere $2520$ von $2485$ .

$\frac{- 35 + 420 \sqrt{35} - 426 \sqrt{35}}{6}$

Schritt 13.14.3

Subtrahiere $426 \sqrt{35}$ von $420 \sqrt{35}$ .

$\frac{- 35 - 6 \sqrt{35}}{6}$

Schritt 13.15

Schreibe $- 35$ als $- 1 (35)$ um.

$\frac{- 1 (35) - 6 \sqrt{35}}{6}$

Schritt 13.16

Faktorisiere $- 1$ aus $- 6 \sqrt{35}$ heraus.

$\frac{- 1 (35) - (6 \sqrt{35})}{6}$

Schritt 13.17

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (35) - (6 \sqrt{35})$ heraus.

$\frac{- 1 (35 + 6 \sqrt{35})}{6}$

Schritt 13.18

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{35 + 6 \sqrt{35}}{6}$

Schritt 14

$x = 6 - \sqrt{35}$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 6 - \sqrt{35}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 15

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 6 - \sqrt{35}$ .

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Schritt 15.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $6 - \sqrt{35}$ .

$f (6 - \sqrt{35}) = (6 - \sqrt{35}) - 6 \ln ({(6 - \sqrt{35})}^{2} + 1)$

Schritt 15.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 15.2.1

Vereinfache $- 6 \ln ({(6 - \sqrt{35})}^{2} + 1)$ , indem du $6$ in den Logarithmus ziehst.

$f (6 - \sqrt{35}) = 6 - \sqrt{35} - \ln ({({(6 - \sqrt{35})}^{2} + 1)}^{6})$

Schritt 15.2.2

Die endgültige Lösung ist $6 - \sqrt{35} - \ln ({({(6 - \sqrt{35})}^{2} + 1)}^{6})$ .

$y = 6 - \sqrt{35} - \ln ({({(6 - \sqrt{35})}^{2} + 1)}^{6})$

Schritt 16

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = x - 6 \ln (x^{2} + 1)$ .

$(6 + \sqrt{35}, 6 + \sqrt{35} - 6 \ln ({(6 + \sqrt{35})}^{2} + 1))$ ist ein lokales Minimum

$(6 - \sqrt{35}, 6 - \sqrt{35} - \ln ({({(6 - \sqrt{35})}^{2} + 1)}^{6}))$ ist ein lokales Maximum

Schritt 17