Analysis Beispiele

$g (t) = (4 - t) \cdot 4^{t}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ gleich $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ist mit $f (t) = 4 - t$ und $g (t) = 4^{t}$ .

$(4 - t) \frac{d}{d t} [4^{t}] + 4^{t} \frac{d}{d t} [4 - t]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ gleich $a^{t} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $4$ .

$(4 - t) (4^{t} \ln (4)) + 4^{t} \frac{d}{d t} [4 - t]$

Schritt 1.3

Differenziere.

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Schritt 1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 - t$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [4] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

$(4 - t) \cdot 4^{t} \ln (4) + 4^{t} (\frac{d}{d t} [4] + \frac{d}{d t} [- t])$

Schritt 1.3.2

Da $4$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$(4 - t) \cdot 4^{t} \ln (4) + 4^{t} (0 + \frac{d}{d t} [- t])$

Schritt 1.3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d t} [- t]$ .

$(4 - t) \cdot 4^{t} \ln (4) + 4^{t} \frac{d}{d t} [- t]$

Schritt 1.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- t$ nach $t$ gleich $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$(4 - t) \cdot 4^{t} \ln (4) + 4^{t} (- \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 1.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(4 - t) \cdot 4^{t} \ln (4) + 4^{t} (- 1 \cdot 1)$

Schritt 1.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$(4 - t) \cdot 4^{t} \ln (4) + 4^{t} \cdot - 1$

Schritt 1.3.6.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $4^{t}$ .

$(4 - t) \cdot 4^{t} \ln (4) - 1 \cdot 4^{t}$

Schritt 1.3.6.3

Schreibe $- 1 \cdot 4^{t}$ als $- 4^{t}$ um.

$(4 - t) \cdot 4^{t} \ln (4) - 4^{t}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(4 \cdot 4^{t} - t \cdot 4^{t}) \ln (4) - 4^{t}$

Schritt 1.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 \cdot 4^{t} \ln (4) - t \cdot 4^{t} \ln (4) - 4^{t}$

Schritt 1.4.3

Mutltipliziere $4$ mit $4^{t}$ .

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Schritt 1.4.3.1

Potenziere $4$ mit $1$ .

$4^{1} \cdot 4^{t} \ln (4) - t \cdot 4^{t} \ln (4) - 4^{t}$

Schritt 1.4.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4^{1 + t} \ln (4) - t \cdot 4^{t} \ln (4) - 4^{t}$

Schritt 1.4.4

Stelle die Terme um.

$4^{1 + t} \ln (4) - 4^{t} t \ln (4) - 4^{t}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4^{1 + t} \ln (4) - 4^{t} t \ln (4) - 4^{t}$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [4^{1 + t} \ln (4)] + \frac{d}{d t} [- 4^{t} t \ln (4)] + \frac{d}{d t} [- 4^{t}]$ .

$g'' (t) = \frac{d}{d t} (4^{1 + t} \ln (4)) + \frac{d}{d t} (- 4^{t} t \ln (4)) + \frac{d}{d t} (- 4^{t})$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d t} [4^{1 + t} \ln (4)]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $\ln (4)$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $4^{1 + t} \ln (4)$ nach $t$ gleich $\ln (4) \frac{d}{d t} [4^{1 + t}]$ .

$g'' (t) = \ln (4) \frac{d}{d t} (4^{1 + t}) + \frac{d}{d t} (- 4^{t} t \ln (4)) + \frac{d}{d t} (- 4^{t})$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = 4^{t}$ und $g (t) = 1 + t$ .

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Schritt 2.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $1 + t$ .

$g'' (t) = \ln (4) (\frac{d}{d u} (4^{u}) \frac{d}{d t} (1 + t)) + \frac{d}{d t} (- 4^{t} t \ln (4)) + \frac{d}{d t} (- 4^{t})$

Schritt 2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $4$ .

$g'' (t) = \ln (4) (4^{u} \ln (4) \frac{d}{d t} (1 + t)) + \frac{d}{d t} (- 4^{t} t \ln (4)) + \frac{d}{d t} (- 4^{t})$

Schritt 2.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $1 + t$ .

$g'' (t) = \ln (4) (4^{1 + t} \ln (4) \frac{d}{d t} (1 + t)) + \frac{d}{d t} (- 4^{t} t \ln (4)) + \frac{d}{d t} (- 4^{t})$

Schritt 2.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + t$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t]$ .

$g'' (t) = \ln (4) (4^{1 + t} \ln (4) (\frac{d}{d t} (1) + \frac{d}{d t} (t))) + \frac{d}{d t} (- 4^{t} t \ln (4)) + \frac{d}{d t} (- 4^{t})$

Schritt 2.2.4

Da $1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$g'' (t) = \ln (4) (4^{1 + t} \ln (4) (0 + \frac{d}{d t} (t))) + \frac{d}{d t} (- 4^{t} t \ln (4)) + \frac{d}{d t} (- 4^{t})$

Schritt 2.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$g'' (t) = \ln (4) (4^{1 + t} \ln (4) (0 + 1)) + \frac{d}{d t} (- 4^{t} t \ln (4)) + \frac{d}{d t} (- 4^{t})$

Schritt 2.2.6

Addiere $0$ und $1$ .

$g'' (t) = \ln (4) (4^{1 + t} \ln (4) \cdot 1) + \frac{d}{d t} (- 4^{t} t \ln (4)) + \frac{d}{d t} (- 4^{t})$

Schritt 2.2.7

Mutltipliziere $4^{1 + t}$ mit $1$ .

$g'' (t) = \ln (4) (4^{1 + t} \ln (4)) + \frac{d}{d t} (- 4^{t} t \ln (4)) + \frac{d}{d t} (- 4^{t})$

Schritt 2.2.8

Potenziere $\ln (4)$ mit $1$ .

$g'' (t) = 4^{1 + t} ((\ln (4)) \ln (4)) + \frac{d}{d t} (- 4^{t} t \ln (4)) + \frac{d}{d t} (- 4^{t})$

Schritt 2.2.9

Potenziere $\ln (4)$ mit $1$ .

$g'' (t) = 4^{1 + t} ((\ln (4)) (\ln (4))) + \frac{d}{d t} (- 4^{t} t \ln (4)) + \frac{d}{d t} (- 4^{t})$

Schritt 2.2.10

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$g'' (t) = 4^{1 + t} {(\ln (4))}^{1 + 1} + \frac{d}{d t} (- 4^{t} t \ln (4)) + \frac{d}{d t} (- 4^{t})$

Schritt 2.2.11

Addiere $1$ und $1$ .

$g'' (t) = 4^{1 + t} \ln^{2} (4) + \frac{d}{d t} (- 4^{t} t \ln (4)) + \frac{d}{d t} (- 4^{t})$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d t} [- 4^{t} t \ln (4)]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- \ln (4)$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 4^{t} t \ln (4)$ nach $t$ gleich $- \ln (4) \frac{d}{d t} [4^{t} t]$ .

$g'' (t) = 4^{1 + t} \ln^{2} (4) - \ln (4) \frac{d}{d t} (4^{t} t) + \frac{d}{d t} (- 4^{t})$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ gleich $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ist mit $f (t) = 4^{t}$ und $g (t) = t$ .

$g'' (t) = 4^{1 + t} \ln^{2} (4) - \ln (4) (4^{t} \frac{d}{d t} (t) + t \frac{d}{d t} (4^{t})) + \frac{d}{d t} (- 4^{t})$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$g'' (t) = 4^{1 + t} \ln^{2} (4) - \ln (4) (4^{t} \cdot 1 + t \frac{d}{d t} (4^{t})) + \frac{d}{d t} (- 4^{t})$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ gleich $a^{t} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $4$ .

$g'' (t) = 4^{1 + t} \ln^{2} (4) - \ln (4) (4^{t} \cdot 1 + t (4^{t} \ln (4))) + \frac{d}{d t} (- 4^{t})$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $4^{t}$ mit $1$ .

$g'' (t) = 4^{1 + t} \ln^{2} (4) - \ln (4) (4^{t} + t (4^{t} \ln (4))) + \frac{d}{d t} (- 4^{t})$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d t} [- 4^{t}]$ .

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Schritt 2.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 4^{t}$ nach $t$ gleich $- \frac{d}{d t} [4^{t}]$ .

$g'' (t) = 4^{1 + t} \ln^{2} (4) - \ln (4) (4^{t} + t (4^{t} \ln (4))) - \frac{d}{d t} \cdot 4^{t}$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ gleich $a^{t} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $4$ .

$g'' (t) = 4^{1 + t} \ln^{2} (4) - \ln (4) (4^{t} + t (4^{t} \ln (4))) - 4^{t} \ln (4)$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$g'' (t) = 4^{1 + t} \ln^{2} (4) - \ln (4) \cdot 4^{t} - \ln (4) (t (4^{t} \ln (4))) - 4^{t} \ln (4)$

Schritt 2.5.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.5.2.1

Potenziere $\ln (4)$ mit $1$ .

$g'' (t) = 4^{1 + t} \ln^{2} (4) - \ln (4) \cdot 4^{t} - (t (4^{t} ((\ln (4)) \ln (4)))) - 4^{t} \ln (4)$

Schritt 2.5.2.2

Potenziere $\ln (4)$ mit $1$ .

$g'' (t) = 4^{1 + t} \ln^{2} (4) - \ln (4) \cdot 4^{t} - (t (4^{t} ((\ln (4)) (\ln (4))))) - 4^{t} \ln (4)$

Schritt 2.5.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$g'' (t) = 4^{1 + t} \ln^{2} (4) - \ln (4) \cdot 4^{t} - (t (4^{t} {(\ln (4))}^{1 + 1})) - 4^{t} \ln (4)$

Schritt 2.5.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$g'' (t) = 4^{1 + t} \ln^{2} (4) - \ln (4) \cdot 4^{t} - (t (4^{t} \ln^{2} (4))) - 4^{t} \ln (4)$

Schritt 2.5.2.5

Subtrahiere $4^{t} \ln (4)$ von $- \ln (4) \cdot 4^{t}$ .

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Schritt 2.5.2.5.1

Bewege $\ln (4)$ .

$g'' (t) = 4^{1 + t} \ln^{2} (4) - 1 \cdot (4^{t} \ln (4)) - 4^{t} \ln (4) - t (4^{t} \ln^{2} (4))$

Schritt 2.5.2.5.2

Subtrahiere $4^{t} \ln (4)$ von $- 1 \cdot 4^{t} \ln (4)$ .

$g'' (t) = 4^{1 + t} \ln^{2} (4) - 2 \cdot (4^{t} \ln (4)) - t (4^{t} \ln^{2} (4))$

Schritt 2.5.2.6

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$g'' (t) = 4^{1 + t} \ln^{2} (4) - 2 \cdot 4^{t} \ln (4) - t (4^{t} \ln^{2} (4))$

Schritt 2.5.2.7

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$g'' (t) = 4^{1 + t} \ln^{2} (4) - 2 \cdot {(2^{2})}^{t} \ln (4) - t (4^{t} \ln^{2} (4))$

Schritt 2.5.2.8

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g'' (t) = 4^{1 + t} \ln^{2} (4) - 2 \cdot 2^{2 t} \ln (4) - t (4^{t} \ln^{2} (4))$

Schritt 2.5.2.9

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$g'' (t) = 4^{1 + t} \ln^{2} (4) - 2^{1 + 2 t} \ln (4) - t (4^{t} \ln^{2} (4))$

Schritt 2.5.3

Stelle die Terme um.

$g'' (t) = 4^{1 + t} \ln^{2} (4) - 2^{1 + 2 t} \ln (4) - 4^{t} t \ln^{2} (4)$

Schritt 2.5.4

Stelle die Faktoren in $4^{1 + t} \ln^{2} (4) - 2^{1 + 2 t} \ln (4) - 4^{t} t \ln^{2} (4)$ um.

$g'' (t) = 4^{1 + t} \ln^{2} (4) - 2^{1 + 2 t} \ln (4) - t \cdot (4^{t} \ln^{2} (4))$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$4^{1 + t} \ln (4) - 4^{t} t \ln (4) - 4^{t} = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

$(4 - t) \frac{d}{d t} [4^{t}] + 4^{t} \frac{d}{d t} [4 - t]$

Schritt 4.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ gleich $a^{t} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $4$ .

$(4 - t) (4^{t} \ln (4)) + 4^{t} \frac{d}{d t} [4 - t]$

Schritt 4.1.3

Differenziere.

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Schritt 4.1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 - t$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [4] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

$(4 - t) \cdot 4^{t} \ln (4) + 4^{t} (\frac{d}{d t} [4] + \frac{d}{d t} [- t])$

Schritt 4.1.3.2

Da $4$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$(4 - t) \cdot 4^{t} \ln (4) + 4^{t} (0 + \frac{d}{d t} [- t])$

Schritt 4.1.3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d t} [- t]$ .

$(4 - t) \cdot 4^{t} \ln (4) + 4^{t} \frac{d}{d t} [- t]$

Schritt 4.1.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- t$ nach $t$ gleich $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$(4 - t) \cdot 4^{t} \ln (4) + 4^{t} (- \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 4.1.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(4 - t) \cdot 4^{t} \ln (4) + 4^{t} (- 1 \cdot 1)$

Schritt 4.1.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1.3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$(4 - t) \cdot 4^{t} \ln (4) + 4^{t} \cdot - 1$

Schritt 4.1.3.6.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $4^{t}$ .

$(4 - t) \cdot 4^{t} \ln (4) - 1 \cdot 4^{t}$

Schritt 4.1.3.6.3

Schreibe $- 1 \cdot 4^{t}$ als $- 4^{t}$ um.

$(4 - t) \cdot 4^{t} \ln (4) - 4^{t}$

Schritt 4.1.4

Vereinfache.

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Schritt 4.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(4 \cdot 4^{t} - t \cdot 4^{t}) \ln (4) - 4^{t}$

Schritt 4.1.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 \cdot 4^{t} \ln (4) - t \cdot 4^{t} \ln (4) - 4^{t}$

Schritt 4.1.4.3

Mutltipliziere $4$ mit $4^{t}$ .

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Schritt 4.1.4.3.1

Potenziere $4$ mit $1$ .

$4^{1} \cdot 4^{t} \ln (4) - t \cdot 4^{t} \ln (4) - 4^{t}$

Schritt 4.1.4.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4^{1 + t} \ln (4) - t \cdot 4^{t} \ln (4) - 4^{t}$

Schritt 4.1.4.4

Stelle die Terme um.

$f' (t) = 4^{1 + t} \ln (4) - 4^{t} t \ln (4) - 4^{t}$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $g (t)$ nach $t$ ist $4^{1 + t} \ln (4) - 4^{t} t \ln (4) - 4^{t}$ .

$4^{1 + t} \ln (4) - 4^{t} t \ln (4) - 4^{t}$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $4^{1 + t} \ln (4) - 4^{t} t \ln (4) - 4^{t} = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$4^{1 + t} \ln (4) - 4^{t} t \ln (4) - 4^{t} = 0$

Schritt 5.2

Stelle die Faktoren in $4^{1 + t} \ln (4) - 4^{t} t \ln (4) - 4^{t}$ um.

$4^{1 + t} \ln (4) - t \cdot 4^{t} \ln (4) - 4^{t} = 0$

Schritt 5.3

Stelle jede Seite der Gleichung graphisch dar. Die Lösung ist der x-Wert des Schnittpunktes.

$t \approx 3.27865247$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$t = 3.27865247$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $t = 3.27865247$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$4^{1 + 3.27865247} \ln^{2} (4) - 2^{1 + 2 (3.27865247)} \ln (4) - 3.27865247 \cdot (4^{3.27865247} \ln^{2} (4))$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Entferne die Klammern.

$4^{1 + 3.27865247} \ln^{2} (4) - 2^{1 + 2 (3.27865247)} \ln (4) - 3.27865247 \cdot (4^{3.27865247} \ln^{2} (4))$

Schritt 9.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.2.1

Addiere $1$ und $3.27865247$ .

$4^{4.27865247} \ln^{2} (4) - 2^{1 + 2 (3.27865247)} \ln (4) - 3.27865247 \cdot (4^{3.27865247} \ln^{2} (4))$

Schritt 9.2.2

Potenziere $4$ mit $4.27865247$ .

$376.70854776 \ln^{2} (4) - 2^{1 + 2 (3.27865247)} \ln (4) - 3.27865247 \cdot (4^{3.27865247} \ln^{2} (4))$

Schritt 9.2.3

Mutltipliziere $376.70854776$ mit $\ln^{2} (4)$ .

$723.96302856 - 2^{1 + 2 (3.27865247)} \ln (4) - 3.27865247 \cdot (4^{3.27865247} \ln^{2} (4))$

Schritt 9.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $3.27865247$ .

$723.96302856 - 2^{1 + 6.55730495} \ln (4) - 3.27865247 \cdot (4^{3.27865247} \ln^{2} (4))$

Schritt 9.2.5

Addiere $1$ und $6.55730495$ .

$723.96302856 - 2^{7.55730495} \ln (4) - 3.27865247 \cdot (4^{3.27865247} \ln^{2} (4))$

Schritt 9.2.6

Potenziere $2$ mit $7.55730495$ .

$723.96302856 - 1 \cdot 188.35427388 \ln (4) - 3.27865247 \cdot (4^{3.27865247} \ln^{2} (4))$

Schritt 9.2.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $188.35427388$ .

$723.96302856 - 188.35427388 \ln (4) - 3.27865247 \cdot (4^{3.27865247} \ln^{2} (4))$

Schritt 9.2.8

Mutltipliziere $- 188.35427388$ mit $\ln (4)$ .

$723.96302856 - 261.11446777 - 3.27865247 \cdot (4^{3.27865247} \ln^{2} (4))$

Schritt 9.2.9

Potenziere $4$ mit $3.27865247$ .

$723.96302856 - 261.11446777 - 3.27865247 \cdot (94.17713694 \ln^{2} (4))$

Schritt 9.2.10

Mutltipliziere $94.17713694$ mit $\ln^{2} (4)$ .

$723.96302856 - 261.11446777 - 3.27865247 \cdot 180.99075714$

Schritt 9.2.11

Mutltipliziere $- 3.27865247$ mit $180.99075714$ .

$723.96302856 - 261.11446777 - 593.40579467$

Schritt 9.3

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 9.3.1

Subtrahiere $261.11446777$ von $723.96302856$ .

$462.84856078 - 593.40579467$

Schritt 9.3.2

Subtrahiere $593.40579467$ von $462.84856078$ .

$- 130.55723388$

Schritt 10

$t = 3.27865247$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$t = 3.27865247$ ist ein lokales Maximum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $t = 3.27865247$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $t$ durch $3.27865247$ .

$g (3.27865247) = (4 - (3.27865247)) \cdot 4^{3.27865247}$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3.27865247$ .

$g (3.27865247) = (4 - 3.27865247) \cdot 4^{3.27865247}$

Schritt 11.2.2

Subtrahiere $3.27865247$ von $4$ .

$g (3.27865247) = 0.72134752 \cdot 4^{3.27865247}$

Schritt 11.2.3

Potenziere $4$ mit $3.27865247$ .

$g (3.27865247) = 0.72134752 \cdot 94.17713694$

Schritt 11.2.4

Mutltipliziere $0.72134752$ mit $94.17713694$ .

$g (3.27865247) = 67.93444421$

Schritt 11.2.5

Die endgültige Lösung ist $67.93444421$ .

$y = 67.93444421$

Schritt 12

Dies sind die lokalen Extrema für $g (t) = (4 - t) \cdot 4^{t}$ .

$(3.27865247, 67.93444421)$ ist ein lokales Maximum

Schritt 13