Analysis Beispiele

$f (x) = x y + y - 11 x$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x y + y - 11 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 11 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 11 x]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $x y$ nach $x$ gleich $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 11 x]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 11 x]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 11 x]$

Schritt 1.3

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$y + 0 + \frac{d}{d x} [- 11 x]$

Schritt 1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 11 x]$ .

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Schritt 1.4.1

Da $- 11$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 11 x$ nach $x$ gleich $- 11 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y + 0 - 11 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$y + 0 - 11 \cdot 1$

Schritt 1.4.3

Mutltipliziere $- 11$ mit $1$ .

$y + 0 - 11$

Schritt 1.5

Addiere $y$ und $0$ .

$y - 11$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y - 11$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 11]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (y) + \frac{d}{d x} (- 11)$

Schritt 2.2

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 11)$

Schritt 2.3

Da $- 11$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 11$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 0 + 0$

Schritt 2.4

Addiere $0$ und $0$ .

$f'' (x) = 0$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$y - 11 = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x y + y - 11 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 11 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 11 x]$

Schritt 4.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Schritt 4.1.2.1

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $x y$ nach $x$ gleich $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 11 x]$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 11 x]$

Schritt 4.1.2.3

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 11 x]$

Schritt 4.1.3

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$y + 0 + \frac{d}{d x} [- 11 x]$

Schritt 4.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 11 x]$ .

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Schritt 4.1.4.1

Da $- 11$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 11 x$ nach $x$ gleich $- 11 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y + 0 - 11 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$y + 0 - 11 \cdot 1$

Schritt 4.1.4.3

Mutltipliziere $- 11$ mit $1$ .

$y + 0 - 11$

Schritt 4.1.5

Addiere $y$ und $0$ .

$f' (x) = y - 11$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $y - 11$ .

$y - 11$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $y - 11 = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$y - 11 = 0$

Schritt 5.2

Addiere $11$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 11$

Schritt 6

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 11$

Schritt 7

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 11$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$0$

Schritt 8

Da der erste Ableitungstest nicht erfolgreich war, gibt es kein lokales Extremum.

Keine lokalen Extrema

Schritt 9