Analysis Beispiele

$f (x) = x \sin (x) + \cos (x)$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x \sin (x) + \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ .

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Schritt 1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \sin (x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 1.2.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 1.2.4

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$x \cos (x) + \sin (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 1.3

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$x \cos (x) + \sin (x) - \sin (x)$

Schritt 1.4

Vereine die Terme

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Schritt 1.4.1

Subtrahiere $\sin (x)$ von $\sin (x)$ .

$x \cos (x) + 0$

Schritt 1.4.2

Addiere $x \cos (x)$ und $0$ .

$x \cos (x)$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

$f'' (x) = x \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1$

Schritt 2.3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.2.1

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$f'' (x) = x (- \sin (x)) + \cos (x)$

Schritt 2.3.2.2

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = - x \sin (x) + \cos (x)$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$x \cos (x) = 0$

Schritt 4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$\cos (x) = 0$

Schritt 5

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 6

Setze $\cos (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $\cos (x)$ gleich $0$ .

$\cos (x) = 0$

Schritt 6.2

Löse $\cos (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (0)$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Der genau Wert von $\arccos (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 6.2.3

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Schritt 6.2.4

Vereinfache $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 6.2.4.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 6.2.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 6.2.4.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 6.2.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 6.2.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.4.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Schritt 6.2.4.3.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 6.2.5

Die Lösung der Gleichung $x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x \cos (x) = 0$ wahr machen.

$x = 0, \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$0 \sin (0) + \cos (0)$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.1.1

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$0 \cdot 0 + \cos (0)$

Schritt 9.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $0$ .

$0 + \cos (0)$

Schritt 9.1.3

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$0 + 1$

Schritt 9.2

Addiere $0$ und $1$ .

$1$

Schritt 10

$x = 0$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 0$ ist ein lokales Minimum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 0$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = (0) \sin (0) + \cos (0)$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.1.1

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$f (0) = 0 \cdot 0 + \cos (0)$

Schritt 11.2.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $0$ .

$f (0) = 0 + \cos (0)$

Schritt 11.2.1.3

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$f (0) = 0 + 1$

Schritt 11.2.2

Addiere $0$ und $1$ .

$f (0) = 1$

Schritt 11.2.3

Die endgültige Lösung ist $1$ .

$y = 1$

Schritt 12

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{π}{2}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2}) + \cos (\frac{π}{2})$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 13.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.1.1

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$- \frac{π}{2} \cdot 1 + \cos (\frac{π}{2})$

Schritt 13.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{π}{2} + \cos (\frac{π}{2})$

Schritt 13.1.3

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$- \frac{π}{2} + 0$

Schritt 13.2

Addiere $- \frac{π}{2}$ und $0$ .

$- \frac{π}{2}$

Schritt 14

$x = \frac{π}{2}$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{π}{2}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 15

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{π}{2}$ .

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Schritt 15.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{π}{2}$ .

$f (\frac{π}{2}) = (\frac{π}{2}) \sin (\frac{π}{2}) + \cos (\frac{π}{2})$

Schritt 15.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 15.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.2.1.1

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{π}{2} \cdot 1 + \cos (\frac{π}{2})$

Schritt 15.2.1.2

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{π}{2} + \cos (\frac{π}{2})$

Schritt 15.2.1.3

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{π}{2} + 0$

Schritt 15.2.2

Addiere $\frac{π}{2}$ und $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{π}{2}$

Schritt 15.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{π}{2}$ .

$y = \frac{π}{2}$

Schritt 16

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{3 π}{2}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \frac{3 π}{2} \sin (\frac{3 π}{2}) + \cos (\frac{3 π}{2})$

Schritt 17

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 17.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 17.1.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sinus im vierten Quadranten negativ ist.

$- \frac{3 π}{2} (- \sin (\frac{π}{2})) + \cos (\frac{3 π}{2})$

Schritt 17.1.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$- \frac{3 π}{2} (- 1 \cdot 1) + \cos (\frac{3 π}{2})$

Schritt 17.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{3 π}{2} \cdot - 1 + \cos (\frac{3 π}{2})$

Schritt 17.1.4

Multipliziere $- \frac{3 π}{2} \cdot - 1$ .

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Schritt 17.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{3 π}{2} + \cos (\frac{3 π}{2})$

Schritt 17.1.4.2

Mutltipliziere $\frac{3 π}{2}$ mit $1$ .

$\frac{3 π}{2} + \cos (\frac{3 π}{2})$

Schritt 17.1.5

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$\frac{3 π}{2} + \cos (\frac{π}{2})$

Schritt 17.1.6

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$\frac{3 π}{2} + 0$

Schritt 17.2

Addiere $\frac{3 π}{2}$ und $0$ .

$\frac{3 π}{2}$

Schritt 18

$x = \frac{3 π}{2}$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{3 π}{2}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 19

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{3 π}{2}$ .

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Schritt 19.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{3 π}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = (\frac{3 π}{2}) \sin (\frac{3 π}{2}) + \cos (\frac{3 π}{2})$

Schritt 19.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 19.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 19.2.1.1

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{3 π}{2} \cdot (- \sin (\frac{π}{2})) + \cos (\frac{3 π}{2})$

Schritt 19.2.1.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{3 π}{2} \cdot (- 1 \cdot 1) + \cos (\frac{3 π}{2})$

Schritt 19.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{3 π}{2} \cdot - 1 + \cos (\frac{3 π}{2})$

Schritt 19.2.1.4

Multipliziere $\frac{3 π}{2} \cdot - 1$ .

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Schritt 19.2.1.4.1

Kombiniere $\frac{3 π}{2}$ und $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{3 π \cdot - 1}{2} + \cos (\frac{3 π}{2})$

Schritt 19.2.1.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{- 3 π}{2} + \cos (\frac{3 π}{2})$

Schritt 19.2.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{3 π}{2}) = - \frac{3 π}{2} + \cos (\frac{3 π}{2})$

Schritt 19.2.1.6

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$f (\frac{3 π}{2}) = - \frac{3 π}{2} + \cos (\frac{π}{2})$

Schritt 19.2.1.7

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - \frac{3 π}{2} + 0$

Schritt 19.2.2

Addiere $- \frac{3 π}{2}$ und $0$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - \frac{3 π}{2}$

Schritt 19.2.3

Die endgültige Lösung ist $- \frac{3 π}{2}$ .

$y = - \frac{3 π}{2}$

Schritt 20

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = x \sin (x) + \cos (x)$ .

$(0, 1)$ ist ein lokales Minimum

$(\frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ ist ein lokales Maximum

$(\frac{3 π}{2}, - \frac{3 π}{2})$ ist ein lokales Minimum

Schritt 21