Analysis Beispiele

$g (x) = x - 2 \arctan (x)$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 2 \arctan (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 \arctan (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 \arctan (x)]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2 \arctan (x)]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 \arctan (x)]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 \arctan (x)$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$ .

$1 - 2 \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Schritt 1.2.2

Die Ableitung von $\arctan (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$1 - 2 \frac{1}{1 + x^{2}}$

Schritt 1.2.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$1 + \frac{- 2}{1 + x^{2}}$

Schritt 1.2.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$1 - \frac{2}{1 + x^{2}}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Vereine die Terme

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Schritt 1.3.1.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} - \frac{2}{1 + x^{2}}$

Schritt 1.3.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 + x^{2} - 2}{1 + x^{2}}$

Schritt 1.3.1.3

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{x^{2} - 1}{1 + x^{2}}$

Schritt 1.3.2

Stelle die Terme um.

$\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2} - 1$ und $g (x) = x^{2} + 1$ .

$g'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$g'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$g'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (- 1)) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$g'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 0) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.4.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$g'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.2.4.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2} + 1$ .

$g'' (x) = \frac{2 \cdot ((x^{2} + 1) x) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$g'' (x) = \frac{2 (x^{2} + 1) x - (x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$g'' (x) = \frac{2 (x^{2} + 1) x - (x^{2} - 1) (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.2.7

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$g'' (x) = \frac{2 (x^{2} + 1) x - (x^{2} - 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.2.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.8.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$g'' (x) = \frac{2 (x^{2} + 1) x - (x^{2} - 1) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.2.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$g'' (x) = \frac{2 (x^{2} + 1) x - 2 (x^{2} - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$g'' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 1) x - 2 (x^{2} - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$g'' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (1 x) - 2 (x^{2} - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$g'' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (1 x) + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$g'' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (1 x) - 2 x^{2} x - 2 \cdot (- 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.5.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x^{2} x + 2 \cdot 1 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot - 1 x$ .

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Schritt 2.3.5.1.1

Subtrahiere $2 x^{2} x$ von $2 x^{2} x$ .

$g'' (x) = \frac{2 \cdot (1 x) + 0 - 2 \cdot (- 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.3.5.1.2

Addiere $2 \cdot 1 x$ und $0$ .

$g'' (x) = \frac{2 \cdot (1 x) - 2 \cdot (- 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.3.5.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.5.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$g'' (x) = \frac{2 x - 2 \cdot (- 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.3.5.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$g'' (x) = \frac{2 x + 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.3.5.3

Addiere $2 x$ und $2 x$ .

$g'' (x) = \frac{4 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1} = 0$

Schritt 4

Setze den Zähler gleich Null.

$x^{2} - 1 = 0$

Schritt 5

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 1$

Schritt 5.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{1}$

Schritt 5.3

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm 1$

Schritt 5.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 1$

Schritt 5.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 1$

Schritt 5.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 1, - 1$

Schritt 6

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 1$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{4 (1)}{{({(1)}^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 7

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{4}{{(1^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 7.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{4}{{(1 + 1)}^{2}}$

Schritt 7.2.2

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{4}{2^{2}}$

Schritt 7.2.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4}{4}$

Schritt 7.3

Dividiere $4$ durch $4$ .

$1$

Schritt 8

$x = 1$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 1$ ist ein lokales Minimum

Schritt 9

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 1$ .

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Schritt 9.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$g (1) = (1) - 2 \arctan (1)$

Schritt 9.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 9.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.2.1.1

Der genau Wert von $\arctan (1)$ ist $\frac{π}{4}$ .

$g (1) = 1 - 2 \frac{π}{4}$

Schritt 9.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$g (1) = 1 + 2 (- 1) (\frac{π}{4})$

Schritt 9.2.1.2.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$g (1) = 1 + 2 \cdot (- 1 \frac{π}{2 \cdot 2})$

Schritt 9.2.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$g (1) = 1 + 2 \cdot (- 1 \frac{π}{2 \cdot 2})$

Schritt 9.2.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$g (1) = 1 - 1 \frac{π}{2}$

Schritt 9.2.1.3

Schreibe $- 1 \frac{π}{2}$ als $- \frac{π}{2}$ um.

$g (1) = 1 - \frac{π}{2}$

Schritt 9.2.2

Die endgültige Lösung ist $1 - \frac{π}{2}$ .

$y = 1 - \frac{π}{2}$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - 1$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{4 (- 1)}{{({(- 1)}^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 11

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 11.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{- 4}{{({(- 1)}^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 11.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 11.2.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{- 4}{{(1 + 1)}^{2}}$

Schritt 11.2.2

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{- 4}{2^{2}}$

Schritt 11.2.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{- 4}{4}$

Schritt 11.3

Dividiere $- 4$ durch $4$ .

$- 1$

Schritt 12

$x = - 1$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = - 1$ ist ein lokales Maximum

Schritt 13

Ermittele den y-Wert, wenn $x = - 1$ .

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Schritt 13.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$g (- 1) = (- 1) - 2 \arctan (- 1)$

Schritt 13.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 13.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.2.1.1

Der genau Wert von $\arctan (- 1)$ ist $- \frac{π}{4}$ .

$g (- 1) = - 1 - 2 (- \frac{π}{4})$

Schritt 13.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 13.2.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{π}{4}$ in den Zähler.

$g (- 1) = - 1 - 2 \frac{- π}{4}$

Schritt 13.2.1.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$g (- 1) = - 1 + 2 (- 1) (\frac{- π}{4})$

Schritt 13.2.1.2.3

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$g (- 1) = - 1 + 2 \cdot (- 1 \frac{- π}{2 \cdot 2})$

Schritt 13.2.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$g (- 1) = - 1 + 2 \cdot (- 1 \frac{- π}{2 \cdot 2})$

Schritt 13.2.1.2.5

Forme den Ausdruck um.

$g (- 1) = - 1 - 1 \frac{- π}{2}$

Schritt 13.2.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$g (- 1) = - 1 - 1 (- \frac{π}{2})$

Schritt 13.2.1.4

Multipliziere $- 1 (- \frac{π}{2})$ .

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Schritt 13.2.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$g (- 1) = - 1 + 1 (\frac{π}{2})$

Schritt 13.2.1.4.2

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $1$ .

$g (- 1) = - 1 + \frac{π}{2}$

Schritt 13.2.2

Die endgültige Lösung ist $- 1 + \frac{π}{2}$ .

$y = - 1 + \frac{π}{2}$

Schritt 14

Dies sind die lokalen Extrema für $g (x) = x - 2 \arctan (x)$ .

$(1, 1 - \frac{π}{2})$ ist ein lokales Minimum

$(- 1, - 1 + \frac{π}{2})$ ist ein lokales Maximum

Schritt 15