Analysis Beispiele

$g (x) = 4 \sqrt[4]{x}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[4]{x}$ als $x^{\frac{1}{4}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{4}}]$

Schritt 1.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{\frac{1}{4}}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{4}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{4}}]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{4}$ .

$4 (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1})$

Schritt 1.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$4 (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

Schritt 1.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{4}{4}$ .

$4 (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

Schritt 1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 (\frac{1}{4} x^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}})$

Schritt 1.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$4 (\frac{1}{4} x^{\frac{1 - 4}{4}})$

Schritt 1.7.2

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$4 (\frac{1}{4} x^{\frac{- 3}{4}})$

Schritt 1.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$4 (\frac{1}{4} x^{- \frac{3}{4}})$

Schritt 1.9

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{- \frac{3}{4}}$ .

$4 \frac{x^{- \frac{3}{4}}}{4}$

Schritt 1.10

Kombiniere $4$ und $\frac{x^{- \frac{3}{4}}}{4}$ .

$\frac{4 x^{- \frac{3}{4}}}{4}$

Schritt 1.11

Bringe $x^{- \frac{3}{4}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{4 x^{\frac{3}{4}}}$

Schritt 1.12

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4}{4 x^{\frac{3}{4}}}$

Schritt 1.13

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.1.1

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$ als ${(x^{\frac{3}{4}})}^{- 1}$ um.

$g'' (x) = \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{3}{4}})}^{- 1})$

Schritt 2.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{3}{4}})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{4} \cdot - 1})$

Schritt 2.1.2.2

Multipliziere $\frac{3}{4} \cdot - 1$ .

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Schritt 2.1.2.2.1

Kombiniere $\frac{3}{4}$ und $- 1$ .

$g'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{3 \cdot - 1}{4}})$

Schritt 2.1.2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$g'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 3}{4}})$

Schritt 2.1.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$g'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{- \frac{3}{4}})$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{3}{4}$ .

$g'' (x) = - \frac{3}{4} x^{- \frac{3}{4} - 1}$

Schritt 2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$g'' (x) = - \frac{3}{4} x^{- \frac{3}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}$

Schritt 2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{4}{4}$ .

$g'' (x) = - \frac{3}{4} x^{- \frac{3}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}$

Schritt 2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$g'' (x) = - \frac{3}{4} x^{\frac{- 3 - 1 \cdot 4}{4}}$

Schritt 2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$g'' (x) = - \frac{3}{4} x^{\frac{- 3 - 4}{4}}$

Schritt 2.6.2

Subtrahiere $4$ von $- 3$ .

$g'' (x) = - \frac{3}{4} x^{\frac{- 7}{4}}$

Schritt 2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$g'' (x) = - \frac{3}{4} x^{- \frac{7}{4}}$

Schritt 2.8

Vereinfache.

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Schritt 2.8.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$g'' (x) = - \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{x^{\frac{7}{4}}}$

Schritt 2.8.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.8.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x^{\frac{7}{4}}}$ mit $\frac{3}{4}$ .

$g'' (x) = - \frac{3}{x^{\frac{7}{4}} \cdot 4}$

Schritt 2.8.2.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x^{\frac{7}{4}}$ .

$g'' (x) = - \frac{3}{4 x^{\frac{7}{4}}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}} = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[4]{x}$ als $x^{\frac{1}{4}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{4}}]$

Schritt 4.1.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{\frac{1}{4}}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{4}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{4}}]$

Schritt 4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{4}$ .

$4 (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1})$

Schritt 4.1.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$4 (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

Schritt 4.1.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{4}{4}$ .

$4 (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

Schritt 4.1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 (\frac{1}{4} x^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}})$

Schritt 4.1.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$4 (\frac{1}{4} x^{\frac{1 - 4}{4}})$

Schritt 4.1.7.2

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$4 (\frac{1}{4} x^{\frac{- 3}{4}})$

Schritt 4.1.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$4 (\frac{1}{4} x^{- \frac{3}{4}})$

Schritt 4.1.9

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{- \frac{3}{4}}$ .

$4 \frac{x^{- \frac{3}{4}}}{4}$

Schritt 4.1.10

Kombiniere $4$ und $\frac{x^{- \frac{3}{4}}}{4}$ .

$\frac{4 x^{- \frac{3}{4}}}{4}$

Schritt 4.1.11

Bringe $x^{- \frac{3}{4}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{4 x^{\frac{3}{4}}}$

Schritt 4.1.12

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4}{4 x^{\frac{3}{4}}}$

Schritt 4.1.13

Forme den Ausdruck um.

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $g (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}} = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}} = 0$

Schritt 5.2

Setze den Zähler gleich Null.

$1 = 0$

Schritt 5.3

Da $1 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\frac{1}{\sqrt[4]{x^{3}}}$

Schritt 6.2

Setze den Nenner in $\frac{1}{\sqrt[4]{x^{3}}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\sqrt[4]{x^{3}} = 0$

Schritt 6.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur $4$ . Potenz.

${\sqrt[4]{x^{3}}}^{4} = 0^{4}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 6.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[4]{x^{3}}$ als $x^{\frac{3}{4}}$ neu zu schreiben.

${(x^{\frac{3}{4}})}^{4} = 0^{4}$

Schritt 6.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{3}{4}})}^{4}$ .

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Schritt 6.3.2.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{3}{4} \cdot 4} = 0^{4}$

Schritt 6.3.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 6.3.2.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{3}{4} \cdot 4} = 0^{4}$

Schritt 6.3.2.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{3} = 0^{4}$

Schritt 6.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x^{3} = 0$

Schritt 6.3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.3.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \sqrt[3]{0}$

Schritt 6.3.3.2

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

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Schritt 6.3.3.2.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 6.3.3.2.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$x = 0$

Schritt 6.4

Setze den Radikanden in $\sqrt[4]{x^{3}}$ kleiner als $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{3} < 0$

Schritt 6.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.5.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Ungleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\sqrt[3]{x^{3}} < \sqrt[3]{0}$

Schritt 6.5.2

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 6.5.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.5.2.1.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x < \sqrt[3]{0}$

Schritt 6.5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.5.2.2.1

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

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Schritt 6.5.2.2.1.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$x < \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 6.5.2.2.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x < 0$

Schritt 6.6

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 0$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \frac{3}{4 {(0)}^{\frac{7}{4}}}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.1.1

Schreibe $0$ als $0^{4}$ um.

$- \frac{3}{4 {(0^{4})}^{\frac{7}{4}}}$

Schritt 9.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3}{4 \cdot 0^{4 (\frac{7}{4})}}$

Schritt 9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 9.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{3}{4 \cdot 0^{4 (\frac{7}{4})}}$

Schritt 9.2.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{3}{4 \cdot 0^{7}}$

Schritt 9.3

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{3}{4 \cdot 0}$

Schritt 9.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$- \frac{3}{0}$

Schritt 9.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$- \frac{3}{0}$

Schritt 9.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 10

Da der erste Ableitungstest nicht erfolgreich war, gibt es kein lokales Extremum.

Keine lokalen Extrema

Schritt 11