Analysis Beispiele

$v (t) = 70 - \frac{35 t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $70 - \frac{35 t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [70] + \frac{d}{d t} [- \frac{35 t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}]$ .

$\frac{d}{d t} [70] + \frac{d}{d t} [- \frac{35 t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}]$

Schritt 1.1.2

Da $70$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $70$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- \frac{35 t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d t} [- \frac{35 t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $- 35$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{35 t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}$ nach $t$ gleich $- 35 \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}]$ .

$0 - 35 \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ gleich $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ist mit $f (t) = t^{2}$ und $g (t) = {(t + 3)}^{2}$ .

$0 - 35 \frac{{(t + 3)}^{2} \frac{d}{d t} [t^{2}] - t^{2} \frac{d}{d t} [{(t + 3)}^{2}]}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 - 35 \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t) - t^{2} \frac{d}{d t} [{(t + 3)}^{2}]}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{2}$ und $g (t) = t + 3$ .

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Schritt 1.2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $t + 3$ .

$0 - 35 \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t) - t^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d t} [t + 3])}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 - 35 \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t) - t^{2} (2 u \frac{d}{d t} [t + 3])}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.2.4.3

Ersetze alle $u$ durch $t + 3$ .

$0 - 35 \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t) - t^{2} (2 (t + 3) \frac{d}{d t} [t + 3])}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t + 3$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3]$ .

$0 - 35 \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t) - t^{2} (2 (t + 3) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3]))}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 - 35 \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t) - t^{2} (2 (t + 3) (1 + \frac{d}{d t} [3]))}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.2.7

Da $3$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$0 - 35 \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t) - t^{2} (2 (t + 3) (1 + 0))}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.2.8

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(t + 3)}^{2}$ .

$0 - 35 \frac{2 \cdot {(t + 3)}^{2} t - t^{2} (2 (t + 3) (1 + 0))}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.2.9

Addiere $1$ und $0$ .

$0 - 35 \frac{2 {(t + 3)}^{2} t - t^{2} (2 (t + 3) \cdot 1)}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.2.10

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$0 - 35 \frac{2 {(t + 3)}^{2} t - t^{2} (2 (t + 3))}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.2.11

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$0 - 35 \frac{2 {(t + 3)}^{2} t - 2 t^{2} (t + 3)}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.2.12

Multipliziere die Exponenten in ${({(t + 3)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 1.2.12.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - 35 \frac{2 {(t + 3)}^{2} t - 2 t^{2} (t + 3)}{{(t + 3)}^{2 \cdot 2}}$

Schritt 1.2.12.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$0 - 35 \frac{2 {(t + 3)}^{2} t - 2 t^{2} (t + 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 1.2.13

Kombiniere $- 35$ und $\frac{2 {(t + 3)}^{2} t - 2 t^{2} (t + 3)}{{(t + 3)}^{4}}$ .

$0 + \frac{- 35 (2 {(t + 3)}^{2} t - 2 t^{2} (t + 3))}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 1.2.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$0 - \frac{35 (2 {(t + 3)}^{2} t - 2 t^{2} (t + 3))}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$0 - \frac{35 (2 {(t + 3)}^{2} t - 2 t^{2} t - 2 t^{2} \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$0 - \frac{35 (2 {(t + 3)}^{2} t) + 35 (- 2 t^{2} t) + 35 (- 2 t^{2} \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 1.3.3

Vereine die Terme

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Schritt 1.3.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $35$ .

$0 - \frac{70 ({(t + 3)}^{2} t) + 35 (- 2 t^{2} t) + 35 (- 2 t^{2} \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 1.3.3.2

Potenziere $t$ mit $1$ .

$0 - \frac{70 {(t + 3)}^{2} t + 35 (- 2 (t^{1} t^{2})) + 35 (- 2 t^{2} \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 1.3.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$0 - \frac{70 {(t + 3)}^{2} t + 35 (- 2 t^{1 + 2}) + 35 (- 2 t^{2} \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 1.3.3.4

Addiere $1$ und $2$ .

$0 - \frac{70 {(t + 3)}^{2} t + 35 (- 2 t^{3}) + 35 (- 2 t^{2} \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 1.3.3.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $35$ .

$0 - \frac{70 {(t + 3)}^{2} t - 70 t^{3} + 35 (- 2 t^{2} \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 1.3.3.6

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$0 - \frac{70 {(t + 3)}^{2} t - 70 t^{3} + 35 (- 6 t^{2})}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 1.3.3.7

Mutltipliziere $- 6$ mit $35$ .

$0 - \frac{70 {(t + 3)}^{2} t - 70 t^{3} - 210 t^{2}}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 1.3.3.8

Subtrahiere $\frac{70 {(t + 3)}^{2} t - 70 t^{3} - 210 t^{2}}{{(t + 3)}^{4}}$ von $0$ .

$- \frac{70 {(t + 3)}^{2} t - 70 t^{3} - 210 t^{2}}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 1.3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.4.1

Faktorisiere $70 t$ aus $70 {(t + 3)}^{2} t - 70 t^{3} - 210 t^{2}$ heraus.

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Schritt 1.3.4.1.1

Faktorisiere $70 t$ aus $70 {(t + 3)}^{2} t$ heraus.

$- \frac{70 t ({(t + 3)}^{2}) - 70 t^{3} - 210 t^{2}}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 1.3.4.1.2

Faktorisiere $70 t$ aus $- 70 t^{3}$ heraus.

$- \frac{70 t ({(t + 3)}^{2}) + 70 t (- t^{2}) - 210 t^{2}}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 1.3.4.1.3

Faktorisiere $70 t$ aus $- 210 t^{2}$ heraus.

$- \frac{70 t ({(t + 3)}^{2}) + 70 t (- t^{2}) + 70 t (- 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 1.3.4.1.4

Faktorisiere $70 t$ aus $70 t ({(t + 3)}^{2}) + 70 t (- t^{2})$ heraus.

$- \frac{70 t ({(t + 3)}^{2} - t^{2}) + 70 t (- 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 1.3.4.1.5

Faktorisiere $70 t$ aus $70 t ({(t + 3)}^{2} - t^{2}) + 70 t (- 3 t)$ heraus.

$- \frac{70 t ({(t + 3)}^{2} - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 1.3.4.2

Schreibe ${(t + 3)}^{2}$ als $(t + 3) (t + 3)$ um.

$- \frac{70 t ((t + 3) (t + 3) - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 1.3.4.3

Multipliziere $(t + 3) (t + 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.3.4.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{70 t (t (t + 3) + 3 (t + 3) - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 1.3.4.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{70 t (t \cdot t + t \cdot 3 + 3 (t + 3) - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 1.3.4.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{70 t (t \cdot t + t \cdot 3 + 3 t + 3 \cdot 3 - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 1.3.4.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.4.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.4.4.1.1

Mutltipliziere $t$ mit $t$ .

$- \frac{70 t (t^{2} + t \cdot 3 + 3 t + 3 \cdot 3 - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 1.3.4.4.1.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $t$ .

$- \frac{70 t (t^{2} + 3 \cdot t + 3 t + 3 \cdot 3 - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 1.3.4.4.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$- \frac{70 t (t^{2} + 3 t + 3 t + 9 - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 1.3.4.4.2

Addiere $3 t$ und $3 t$ .

$- \frac{70 t (t^{2} + 6 t + 9 - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 1.3.4.5

Subtrahiere $t^{2}$ von $t^{2}$ .

$- \frac{70 t (6 t + 9 + 0 - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 1.3.4.6

Addiere $6 t$ und $0$ .

$- \frac{70 t (6 t + 9 - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 1.3.4.7

Subtrahiere $3 t$ von $6 t$ .

$- \frac{70 t (3 t + 9)}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 1.3.4.8

Faktorisiere $3$ aus $3 t + 9$ heraus.

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Schritt 1.3.4.8.1

Faktorisiere $3$ aus $3 t$ heraus.

$- \frac{70 t (3 (t) + 9)}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 1.3.4.8.2

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$- \frac{70 t (3 t + 3 \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 1.3.4.8.3

Faktorisiere $3$ aus $3 t + 3 \cdot 3$ heraus.

$- \frac{70 t (3 (t + 3))}{{(t + 3)}^{4}}$

$- \frac{70 t \cdot 3 (t + 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 1.3.4.9

Mutltipliziere $3$ mit $70$ .

$- \frac{210 t (t + 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 1.3.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $t + 3$ und ${(t + 3)}^{4}$ .

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Schritt 1.3.5.1

Faktorisiere $t + 3$ aus $210 t (t + 3)$ heraus.

$- \frac{(t + 3) (210 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 1.3.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.5.2.1

Faktorisiere $t + 3$ aus ${(t + 3)}^{4}$ heraus.

$- \frac{(t + 3) (210 t)}{(t + 3) {(t + 3)}^{3}}$

Schritt 1.3.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{(t + 3) (210 t)}{(t + 3) {(t + 3)}^{3}}$

Schritt 1.3.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{210 t}{{(t + 3)}^{3}}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Da $- 210$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{210 t}{{(t + 3)}^{3}}$ nach $t$ gleich $- 210 \frac{d}{d t} [\frac{t}{{(t + 3)}^{3}}]$ .

$v'' (t) = - 210 \frac{d}{d t} \frac{t}{{(t + 3)}^{3}}$

Schritt 2.2

$v'' (t) = - 210 \frac{{(t + 3)}^{3} \frac{d}{d t} (t) - t \frac{d}{d t} {(t + 3)}^{3}}{{({(t + 3)}^{3})}^{2}}$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(t + 3)}^{3})}^{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$v'' (t) = - 210 \frac{{(t + 3)}^{3} \frac{d}{d t} (t) - t \frac{d}{d t} {(t + 3)}^{3}}{{(t + 3)}^{3 \cdot 2}}$

Schritt 2.3.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$v'' (t) = - 210 \frac{{(t + 3)}^{3} \frac{d}{d t} (t) - t \frac{d}{d t} {(t + 3)}^{3}}{{(t + 3)}^{6}}$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$v'' (t) = - 210 \frac{{(t + 3)}^{3} \cdot 1 - t \frac{d}{d t} {(t + 3)}^{3}}{{(t + 3)}^{6}}$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere ${(t + 3)}^{3}$ mit $1$ .

$v'' (t) = - 210 \frac{{(t + 3)}^{3} - t \frac{d}{d t} {(t + 3)}^{3}}{{(t + 3)}^{6}}$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{3}$ und $g (t) = t + 3$ .

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Schritt 2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $t + 3$ .

$v'' (t) = - 210 \frac{{(t + 3)}^{3} - t (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d t} (t + 3))}{{(t + 3)}^{6}}$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$v'' (t) = - 210 \frac{{(t + 3)}^{3} - t (3 u^{2} \frac{d}{d t} (t + 3))}{{(t + 3)}^{6}}$

Schritt 2.4.3

Ersetze alle $u$ durch $t + 3$ .

$v'' (t) = - 210 \frac{{(t + 3)}^{3} - t (3 {(t + 3)}^{2} \frac{d}{d t} (t + 3))}{{(t + 3)}^{6}}$

Schritt 2.5

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 2.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$v'' (t) = - 210 \frac{{(t + 3)}^{3} - 3 t ({(t + 3)}^{2} \frac{d}{d t} (t + 3))}{{(t + 3)}^{6}}$

Schritt 2.5.2

Faktorisiere ${(t + 3)}^{2}$ aus ${(t + 3)}^{3} - 3 t ({(t + 3)}^{2} \frac{d}{d t} [t + 3])$ heraus.

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Schritt 2.5.2.1

Faktorisiere ${(t + 3)}^{2}$ aus ${(t + 3)}^{3}$ heraus.

$v'' (t) = - 210 \frac{{(t + 3)}^{2} (t + 3) - 3 t ({(t + 3)}^{2} \frac{d}{d t} (t + 3))}{{(t + 3)}^{6}}$

Schritt 2.5.2.2

Faktorisiere ${(t + 3)}^{2}$ aus $- 3 t ({(t + 3)}^{2} \frac{d}{d t} [t + 3])$ heraus.

$v'' (t) = - 210 \frac{{(t + 3)}^{2} (t + 3) + {(t + 3)}^{2} (- 3 t (\frac{d}{d t} (t + 3)))}{{(t + 3)}^{6}}$

Schritt 2.5.2.3

Faktorisiere ${(t + 3)}^{2}$ aus ${(t + 3)}^{2} (t + 3) + {(t + 3)}^{2} (- 3 t (\frac{d}{d t} [t + 3]))$ heraus.

$v'' (t) = - 210 \frac{{(t + 3)}^{2} (t + 3 - 3 t (\frac{d}{d t} (t + 3)))}{{(t + 3)}^{6}}$

Schritt 2.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.6.1

Faktorisiere ${(t + 3)}^{2}$ aus ${(t + 3)}^{6}$ heraus.

$v'' (t) = - 210 \frac{{(t + 3)}^{2} (t + 3 - 3 t (\frac{d}{d t} (t + 3)))}{{(t + 3)}^{2} {(t + 3)}^{4}}$

Schritt 2.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$v'' (t) = - 210 \frac{{(t + 3)}^{2} (t + 3 - 3 t (\frac{d}{d t} (t + 3)))}{{(t + 3)}^{2} {(t + 3)}^{4}}$

Schritt 2.6.3

Forme den Ausdruck um.

$v'' (t) = - 210 \frac{t + 3 - 3 t (\frac{d}{d t} (t + 3))}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 2.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t + 3$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3]$ .

$v'' (t) = - 210 \frac{t + 3 - 3 t (\frac{d}{d t} (t) + \frac{d}{d t} (3))}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$v'' (t) = - 210 \frac{t + 3 - 3 t (1 + \frac{d}{d t} (3))}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 2.9

Da $3$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$v'' (t) = - 210 \frac{t + 3 - 3 t (1 + 0)}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 2.10

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.10.1

Addiere $1$ und $0$ .

$v'' (t) = - 210 \frac{t + 3 - 3 t \cdot 1}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 2.10.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$v'' (t) = - 210 \frac{t + 3 - 3 t}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 2.10.3

Subtrahiere $3 t$ von $t$ .

$v'' (t) = - 210 \frac{- 2 t + 3}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 2.10.4

Kombiniere $- 210$ und $\frac{- 2 t + 3}{{(t + 3)}^{4}}$ .

$v'' (t) = \frac{- 210 (- 2 t + 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 2.10.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$v'' (t) = - \frac{210 (- 2 t + 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 2.11

Vereinfache.

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Schritt 2.11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$v'' (t) = - \frac{210 (- 2 t) + 210 \cdot 3}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 2.11.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.11.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $210$ .

$v'' (t) = - \frac{- 420 t + 210 \cdot 3}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 2.11.2.2

Mutltipliziere $210$ mit $3$ .

$v'' (t) = - \frac{- 420 t + 630}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 2.11.3

Faktorisiere $210$ aus $- 420 t + 630$ heraus.

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Schritt 2.11.3.1

Faktorisiere $210$ aus $- 420 t$ heraus.

$v'' (t) = - \frac{210 (- 2 t) + 630}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 2.11.3.2

Faktorisiere $210$ aus $630$ heraus.

$v'' (t) = - \frac{210 (- 2 t) + 210 (3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 2.11.3.3

Faktorisiere $210$ aus $210 (- 2 t) + 210 (3)$ heraus.

$v'' (t) = - \frac{210 (- 2 t + 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 2.11.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 t$ heraus.

$v'' (t) = - \frac{210 (- (2 t) + 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 2.11.5

Schreibe $3$ als $- 1 (- 3)$ um.

$v'' (t) = - \frac{210 (- (2 t) - 1 \cdot - 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 2.11.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 t) - 1 (- 3)$ heraus.

$v'' (t) = - \frac{210 (- (2 t - 3))}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 2.11.7

Schreibe $- (2 t - 3)$ als $- 1 (2 t - 3)$ um.

$v'' (t) = - \frac{210 (- 1 (2 t - 3))}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 2.11.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$v'' (t) = \frac{210 (2 t - 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 2.11.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$v'' (t) = 1 (\frac{210 (2 t - 3)}{{(t + 3)}^{4}})$

Schritt 2.11.10

Mutltipliziere $\frac{210 (2 t - 3)}{{(t + 3)}^{4}}$ mit $1$ .

$v'' (t) = \frac{210 (2 t - 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- \frac{210 t}{{(t + 3)}^{3}} = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Differenziere.

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Schritt 4.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $70 - \frac{35 t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [70] + \frac{d}{d t} [- \frac{35 t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}]$ .

$\frac{d}{d t} [70] + \frac{d}{d t} [- \frac{35 t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}]$

Schritt 4.1.1.2

Da $70$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $70$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- \frac{35 t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}]$

Schritt 4.1.2

Berechne $\frac{d}{d t} [- \frac{35 t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}]$ .

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Schritt 4.1.2.1

Da $- 35$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{35 t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}$ nach $t$ gleich $- 35 \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}]$ .

$0 - 35 \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}]$

Schritt 4.1.2.2

$0 - 35 \frac{{(t + 3)}^{2} \frac{d}{d t} [t^{2}] - t^{2} \frac{d}{d t} [{(t + 3)}^{2}]}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 4.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 - 35 \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t) - t^{2} \frac{d}{d t} [{(t + 3)}^{2}]}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 4.1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{2}$ und $g (t) = t + 3$ .

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Schritt 4.1.2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $t + 3$ .

$0 - 35 \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t) - t^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d t} [t + 3])}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 4.1.2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 - 35 \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t) - t^{2} (2 u \frac{d}{d t} [t + 3])}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 4.1.2.4.3

Ersetze alle $u$ durch $t + 3$ .

$0 - 35 \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t) - t^{2} (2 (t + 3) \frac{d}{d t} [t + 3])}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 4.1.2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t + 3$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3]$ .

$0 - 35 \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t) - t^{2} (2 (t + 3) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3]))}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 4.1.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 - 35 \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t) - t^{2} (2 (t + 3) (1 + \frac{d}{d t} [3]))}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 4.1.2.7

Da $3$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$0 - 35 \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t) - t^{2} (2 (t + 3) (1 + 0))}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 4.1.2.8

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(t + 3)}^{2}$ .

$0 - 35 \frac{2 \cdot {(t + 3)}^{2} t - t^{2} (2 (t + 3) (1 + 0))}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 4.1.2.9

Addiere $1$ und $0$ .

$0 - 35 \frac{2 {(t + 3)}^{2} t - t^{2} (2 (t + 3) \cdot 1)}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 4.1.2.10

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$0 - 35 \frac{2 {(t + 3)}^{2} t - t^{2} (2 (t + 3))}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 4.1.2.11

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$0 - 35 \frac{2 {(t + 3)}^{2} t - 2 t^{2} (t + 3)}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 4.1.2.12

Multipliziere die Exponenten in ${({(t + 3)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 4.1.2.12.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - 35 \frac{2 {(t + 3)}^{2} t - 2 t^{2} (t + 3)}{{(t + 3)}^{2 \cdot 2}}$

Schritt 4.1.2.12.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$0 - 35 \frac{2 {(t + 3)}^{2} t - 2 t^{2} (t + 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 4.1.2.13

Kombiniere $- 35$ und $\frac{2 {(t + 3)}^{2} t - 2 t^{2} (t + 3)}{{(t + 3)}^{4}}$ .

$0 + \frac{- 35 (2 {(t + 3)}^{2} t - 2 t^{2} (t + 3))}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 4.1.2.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$0 - \frac{35 (2 {(t + 3)}^{2} t - 2 t^{2} (t + 3))}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 4.1.3

Vereinfache.

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Schritt 4.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$0 - \frac{35 (2 {(t + 3)}^{2} t - 2 t^{2} t - 2 t^{2} \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 4.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$0 - \frac{35 (2 {(t + 3)}^{2} t) + 35 (- 2 t^{2} t) + 35 (- 2 t^{2} \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 4.1.3.3

Vereine die Terme

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Schritt 4.1.3.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $35$ .

$0 - \frac{70 ({(t + 3)}^{2} t) + 35 (- 2 t^{2} t) + 35 (- 2 t^{2} \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 4.1.3.3.2

Potenziere $t$ mit $1$ .

$0 - \frac{70 {(t + 3)}^{2} t + 35 (- 2 (t^{1} t^{2})) + 35 (- 2 t^{2} \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 4.1.3.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$0 - \frac{70 {(t + 3)}^{2} t + 35 (- 2 t^{1 + 2}) + 35 (- 2 t^{2} \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 4.1.3.3.4

Addiere $1$ und $2$ .

$0 - \frac{70 {(t + 3)}^{2} t + 35 (- 2 t^{3}) + 35 (- 2 t^{2} \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 4.1.3.3.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $35$ .

$0 - \frac{70 {(t + 3)}^{2} t - 70 t^{3} + 35 (- 2 t^{2} \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 4.1.3.3.6

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$0 - \frac{70 {(t + 3)}^{2} t - 70 t^{3} + 35 (- 6 t^{2})}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 4.1.3.3.7

Mutltipliziere $- 6$ mit $35$ .

$0 - \frac{70 {(t + 3)}^{2} t - 70 t^{3} - 210 t^{2}}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 4.1.3.3.8

Subtrahiere $\frac{70 {(t + 3)}^{2} t - 70 t^{3} - 210 t^{2}}{{(t + 3)}^{4}}$ von $0$ .

$- \frac{70 {(t + 3)}^{2} t - 70 t^{3} - 210 t^{2}}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 4.1.3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.3.4.1

Faktorisiere $70 t$ aus $70 {(t + 3)}^{2} t - 70 t^{3} - 210 t^{2}$ heraus.

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Schritt 4.1.3.4.1.1

Faktorisiere $70 t$ aus $70 {(t + 3)}^{2} t$ heraus.

$- \frac{70 t ({(t + 3)}^{2}) - 70 t^{3} - 210 t^{2}}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 4.1.3.4.1.2

Faktorisiere $70 t$ aus $- 70 t^{3}$ heraus.

$- \frac{70 t ({(t + 3)}^{2}) + 70 t (- t^{2}) - 210 t^{2}}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 4.1.3.4.1.3

Faktorisiere $70 t$ aus $- 210 t^{2}$ heraus.

$- \frac{70 t ({(t + 3)}^{2}) + 70 t (- t^{2}) + 70 t (- 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 4.1.3.4.1.4

Faktorisiere $70 t$ aus $70 t ({(t + 3)}^{2}) + 70 t (- t^{2})$ heraus.

$- \frac{70 t ({(t + 3)}^{2} - t^{2}) + 70 t (- 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 4.1.3.4.1.5

Faktorisiere $70 t$ aus $70 t ({(t + 3)}^{2} - t^{2}) + 70 t (- 3 t)$ heraus.

$- \frac{70 t ({(t + 3)}^{2} - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 4.1.3.4.2

Schreibe ${(t + 3)}^{2}$ als $(t + 3) (t + 3)$ um.

$- \frac{70 t ((t + 3) (t + 3) - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 4.1.3.4.3

Multipliziere $(t + 3) (t + 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.1.3.4.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{70 t (t (t + 3) + 3 (t + 3) - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 4.1.3.4.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{70 t (t \cdot t + t \cdot 3 + 3 (t + 3) - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 4.1.3.4.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{70 t (t \cdot t + t \cdot 3 + 3 t + 3 \cdot 3 - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 4.1.3.4.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.1.3.4.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.3.4.4.1.1

Mutltipliziere $t$ mit $t$ .

$- \frac{70 t (t^{2} + t \cdot 3 + 3 t + 3 \cdot 3 - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 4.1.3.4.4.1.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $t$ .

$- \frac{70 t (t^{2} + 3 \cdot t + 3 t + 3 \cdot 3 - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 4.1.3.4.4.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$- \frac{70 t (t^{2} + 3 t + 3 t + 9 - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 4.1.3.4.4.2

Addiere $3 t$ und $3 t$ .

$- \frac{70 t (t^{2} + 6 t + 9 - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 4.1.3.4.5

Subtrahiere $t^{2}$ von $t^{2}$ .

$- \frac{70 t (6 t + 9 + 0 - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 4.1.3.4.6

Addiere $6 t$ und $0$ .

$- \frac{70 t (6 t + 9 - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 4.1.3.4.7

Subtrahiere $3 t$ von $6 t$ .

$- \frac{70 t (3 t + 9)}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 4.1.3.4.8

Faktorisiere $3$ aus $3 t + 9$ heraus.

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Schritt 4.1.3.4.8.1

Faktorisiere $3$ aus $3 t$ heraus.

$- \frac{70 t (3 (t) + 9)}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 4.1.3.4.8.2

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$- \frac{70 t (3 t + 3 \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 4.1.3.4.8.3

Faktorisiere $3$ aus $3 t + 3 \cdot 3$ heraus.

$- \frac{70 t (3 (t + 3))}{{(t + 3)}^{4}}$

$- \frac{70 t \cdot 3 (t + 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 4.1.3.4.9

Mutltipliziere $3$ mit $70$ .

$- \frac{210 t (t + 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 4.1.3.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $t + 3$ und ${(t + 3)}^{4}$ .

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Schritt 4.1.3.5.1

Faktorisiere $t + 3$ aus $210 t (t + 3)$ heraus.

$- \frac{(t + 3) (210 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 4.1.3.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.3.5.2.1

Faktorisiere $t + 3$ aus ${(t + 3)}^{4}$ heraus.

$- \frac{(t + 3) (210 t)}{(t + 3) {(t + 3)}^{3}}$

Schritt 4.1.3.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{(t + 3) (210 t)}{(t + 3) {(t + 3)}^{3}}$

Schritt 4.1.3.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (t) = - \frac{210 t}{{(t + 3)}^{3}}$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $v (t)$ nach $t$ ist $- \frac{210 t}{{(t + 3)}^{3}}$ .

$- \frac{210 t}{{(t + 3)}^{3}}$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{210 t}{{(t + 3)}^{3}} = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{210 t}{{(t + 3)}^{3}} = 0$

Schritt 5.2

Setze den Zähler gleich Null.

$210 t = 0$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $210 t = 0$ durch $210$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $210 t = 0$ durch $210$ .

$\frac{210 t}{210} = \frac{0}{210}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $210$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{210 t}{210} = \frac{0}{210}$

Schritt 5.3.2.1.2

Dividiere $t$ durch $1$ .

$t = \frac{0}{210}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Dividiere $0$ durch $210$ .

$t = 0$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Setze den Nenner in $\frac{210 t}{{(t + 3)}^{3}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

${(t + 3)}^{3} = 0$

Schritt 6.2

Löse nach $t$ auf.

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Schritt 6.2.1

Setze $t + 3$ gleich $0$ .

$t + 3 = 0$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$t = - 3$

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$t = 0$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $t = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{210 (2 (0) - 3)}{{((0) + 3)}^{4}}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{210 (0 - 3)}{{(0 + 3)}^{4}}$

Schritt 9.1.2

Subtrahiere $3$ von $0$ .

$\frac{210 \cdot - 3}{{(0 + 3)}^{4}}$

Schritt 9.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.2.1

Addiere $0$ und $3$ .

$\frac{210 \cdot - 3}{3^{4}}$

Schritt 9.2.2

Potenziere $3$ mit $4$ .

$\frac{210 \cdot - 3}{81}$

Schritt 9.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.3.1

Mutltipliziere $210$ mit $- 3$ .

$\frac{- 630}{81}$

Schritt 9.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 630$ und $81$ .

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Schritt 9.3.2.1

Faktorisiere $9$ aus $- 630$ heraus.

$\frac{9 (- 70)}{81}$

Schritt 9.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.3.2.2.1

Faktorisiere $9$ aus $81$ heraus.

$\frac{9 \cdot - 70}{9 \cdot 9}$

Schritt 9.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 \cdot - 70}{9 \cdot 9}$

Schritt 9.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 70}{9}$

Schritt 9.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{70}{9}$

Schritt 10

$t = 0$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$t = 0$ ist ein lokales Maximum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $t = 0$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $t$ durch $0$ .

$v (0) = 70 - \frac{35 {(0)}^{2}}{{((0) + 3)}^{2}}$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$v (0) = 70 - \frac{35 \cdot 0}{{(0 + 3)}^{2}}$

Schritt 11.2.1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 11.2.1.2.1

Addiere $0$ und $3$ .

$v (0) = 70 - \frac{35 \cdot 0}{3^{2}}$

Schritt 11.2.1.2.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$v (0) = 70 - \frac{35 \cdot 0}{9}$

Schritt 11.2.1.3

Mutltipliziere $35$ mit $0$ .

$v (0) = 70 - \frac{0}{9}$

Schritt 11.2.1.4

Dividiere $0$ durch $9$ .

$v (0) = 70 - 0$

Schritt 11.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$v (0) = 70 + 0$

Schritt 11.2.2

Addiere $70$ und $0$ .

$v (0) = 70$

Schritt 11.2.3

Die endgültige Lösung ist $70$ .

$y = 70$

Schritt 12

Dies sind die lokalen Extrema für $v (t) = 70 - \frac{35 t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}$ .

$(0, 70)$ ist ein lokales Maximum

Schritt 13