Analysis Beispiele

$u (y) = 20 \cdot (x) + 70 \cdot (y) + \frac{{(x)}^{2}}{1000} + \frac{(x) \cdot {(y)}^{2}}{100}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $20 \cdot (x) + 70 \cdot (y) + \frac{x^{2}}{1000} + \frac{x y^{2}}{100}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [20 \cdot (x)] + \frac{d}{d y} [70 \cdot (y)] + \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{1000}] + \frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$ .

$\frac{d}{d y} [20 \cdot (x)] + \frac{d}{d y} [70 \cdot (y)] + \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{1000}] + \frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$

Schritt 1.2

Da $20 x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $20 x$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [70 \cdot (y)] + \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{1000}] + \frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [70 \cdot (y)]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $70$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $70 y$ nach $y$ gleich $70 \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + 70 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{1000}] + \frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + 70 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{1000}] + \frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $70$ mit $1$ .

$0 + 70 + \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{1000}] + \frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$

Schritt 1.4

Da $\frac{x^{2}}{1000}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x^{2}}{1000}$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0 + 70 + 0 + \frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$

Schritt 1.5

Berechne $\frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$ .

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Schritt 1.5.1

Da $\frac{x}{100}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x y^{2}}{100}$ nach $y$ gleich $\frac{x}{100} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$0 + 70 + 0 + \frac{x}{100} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 1.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 + 70 + 0 + \frac{x}{100} (2 y)$

Schritt 1.5.3

Kombiniere $2$ und $\frac{x}{100}$ .

$0 + 70 + 0 + \frac{2 x}{100} y$

Schritt 1.5.4

Kombiniere $\frac{2 x}{100}$ und $y$ .

$0 + 70 + 0 + \frac{2 x y}{100}$

Schritt 1.5.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $100$ .

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Schritt 1.5.5.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x y$ heraus.

$0 + 70 + 0 + \frac{2 (x y)}{100}$

Schritt 1.5.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $100$ heraus.

$0 + 70 + 0 + \frac{2 (x y)}{2 \cdot 50}$

Schritt 1.5.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0 + 70 + 0 + \frac{2 (x y)}{2 \cdot 50}$

Schritt 1.5.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$0 + 70 + 0 + \frac{x y}{50}$

Schritt 1.6

Vereinfache.

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Schritt 1.6.1

Vereine die Terme

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Schritt 1.6.1.1

Addiere $0$ und $70$ .

$70 + 0 + \frac{x y}{50}$

Schritt 1.6.1.2

Addiere $70$ und $0$ .

$70 + \frac{x y}{50}$

Schritt 1.6.2

Stelle die Terme um.

$\frac{x y}{50} + 70$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{x y}{50} + 70$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [\frac{x y}{50}] + \frac{d}{d y} [70]$ .

$u'' (y) = \frac{d}{d y} (\frac{x y}{50}) + \frac{d}{d y} (70)$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d y} [\frac{x y}{50}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $\frac{x}{50}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x y}{50}$ nach $y$ gleich $\frac{x}{50} \frac{d}{d y} [y]$ .

$u'' (y) = \frac{x}{50} \cdot \frac{d}{d y} (y) + \frac{d}{d y} (70)$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$u'' (y) = \frac{x}{50} \cdot 1 + \frac{d}{d y} (70)$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $\frac{x}{50}$ mit $1$ .

$u'' (y) = \frac{x}{50} + \frac{d}{d y} (70)$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.3.1

Da $70$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $70$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$u'' (y) = \frac{x}{50} + 0$

Schritt 2.3.2

Addiere $\frac{x}{50}$ und $0$ .

$u'' (y) = \frac{x}{50}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{x y}{50} + 70 = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

$\frac{d}{d y} [20 \cdot (x)] + \frac{d}{d y} [70 \cdot (y)] + \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{1000}] + \frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$

Schritt 4.1.2

Da $20 x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $20 x$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [70 \cdot (y)] + \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{1000}] + \frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$

Schritt 4.1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [70 \cdot (y)]$ .

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Schritt 4.1.3.1

Da $70$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $70 y$ nach $y$ gleich $70 \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + 70 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{1000}] + \frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$

Schritt 4.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + 70 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{1000}] + \frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$

Schritt 4.1.3.3

Mutltipliziere $70$ mit $1$ .

$0 + 70 + \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{1000}] + \frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$

Schritt 4.1.4

Da $\frac{x^{2}}{1000}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x^{2}}{1000}$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0 + 70 + 0 + \frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$

Schritt 4.1.5

Berechne $\frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$ .

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Schritt 4.1.5.1

Da $\frac{x}{100}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x y^{2}}{100}$ nach $y$ gleich $\frac{x}{100} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$0 + 70 + 0 + \frac{x}{100} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 4.1.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 + 70 + 0 + \frac{x}{100} (2 y)$

Schritt 4.1.5.3

Kombiniere $2$ und $\frac{x}{100}$ .

$0 + 70 + 0 + \frac{2 x}{100} y$

Schritt 4.1.5.4

Kombiniere $\frac{2 x}{100}$ und $y$ .

$0 + 70 + 0 + \frac{2 x y}{100}$

Schritt 4.1.5.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $100$ .

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Schritt 4.1.5.5.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x y$ heraus.

$0 + 70 + 0 + \frac{2 (x y)}{100}$

Schritt 4.1.5.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.5.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $100$ heraus.

$0 + 70 + 0 + \frac{2 (x y)}{2 \cdot 50}$

Schritt 4.1.5.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0 + 70 + 0 + \frac{2 (x y)}{2 \cdot 50}$

Schritt 4.1.5.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$0 + 70 + 0 + \frac{x y}{50}$

Schritt 4.1.6

Vereinfache.

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Schritt 4.1.6.1

Vereine die Terme

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Schritt 4.1.6.1.1

Addiere $0$ und $70$ .

$70 + 0 + \frac{x y}{50}$

Schritt 4.1.6.1.2

Addiere $70$ und $0$ .

$70 + \frac{x y}{50}$

Schritt 4.1.6.2

Stelle die Terme um.

$f' (y) = \frac{x y}{50} + 70$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $u (y)$ nach $y$ ist $\frac{x y}{50} + 70$ .

$\frac{x y}{50} + 70$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{x y}{50} + 70 = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{x y}{50} + 70 = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $70$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{x y}{50} = - 70$

Schritt 5.3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $50$ .

$50 \frac{x y}{50} = 50 \cdot - 70$

Schritt 5.4

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 5.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $50$ .

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Schritt 5.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$50 \frac{x y}{50} = 50 \cdot - 70$

Schritt 5.4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x y = 50 \cdot - 70$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Mutltipliziere $50$ mit $- 70$ .

$x y = - 3500$

Schritt 5.5

Teile jeden Ausdruck in $x y = - 3500$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.1

Teile jeden Ausdruck in $x y = - 3500$ durch $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{- 3500}{x}$

Schritt 5.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y}{x} = \frac{- 3500}{x}$

Schritt 5.5.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 3500}{x}$

Schritt 5.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{3500}{x}$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$y = - \frac{3500}{x}$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $y = - \frac{3500}{x}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{x}{50}$

Schritt 9

Da es mindestens einen Punkt mit $0$ oder eine nicht definierte zweite Ableitung gibt, wende den ersten Ableitungstest an.

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Schritt 9.1

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $y$ -Werte herum auf, die die erste Ableitung zu $0$ oder nicht definiert machen.

$(- \infty, \infty)$

Schritt 9.2

Setze eine beliebige Zahl, wie $0$ , aus dem Intervall $(- \infty, \infty)$ in die erste Ableitung $\frac{x y}{50} + 70$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 9.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $y$ durch $0$ .

$u' (0) = \frac{x (0)}{50} + 70$

Schritt 9.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 9.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $50$ .

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Schritt 9.2.2.1.1.1

Faktorisiere $50$ aus $x (0)$ heraus.

$u' (0) = \frac{50 (x \cdot (0))}{50} + 70$

Schritt 9.2.2.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.2.1.1.2.1

Faktorisiere $50$ aus $50$ heraus.

$u' (0) = \frac{50 (x \cdot (0))}{50 (1)} + 70$

Schritt 9.2.2.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u' (0) = \frac{50 (x \cdot (0))}{50 \cdot 1} + 70$

Schritt 9.2.2.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$u' (0) = \frac{x \cdot (0)}{1} + 70$

Schritt 9.2.2.1.1.2.4

Dividiere $x \cdot (0)$ durch $1$ .

$u' (0) = x \cdot (0) + 70$

Schritt 9.2.2.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $0$ .

$u' (0) = 0 + 70$

Schritt 9.2.2.2

Addiere $0$ und $70$ .

$u' (0) = 70$

Schritt 9.2.2.3

Die endgültige Lösung ist $70$ .

$70$

Schritt 9.3

Keine lokalen Maxima oder Minima für $u (y) = 20 \cdot (x) + 70 \cdot (y) + \frac{{(x)}^{2}}{1000} + \frac{(x) \cdot {(y)}^{2}}{100}$ gefunden.

Keine lokalen Maxima oder Minima

Schritt 10