Analysis Beispiele

$s (t) = \frac{{(t - 1)}^{3} (3 t + 1)}{12}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Da $\frac{1}{12}$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $\frac{{(t - 1)}^{3} (3 t + 1)}{12}$ nach $t$ gleich $\frac{1}{12} \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3} (3 t + 1)]$ .

$\frac{1}{12} \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3} (3 t + 1)]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ gleich $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ist mit $f (t) = {(t - 1)}^{3}$ und $g (t) = 3 t + 1$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [3 t + 1] + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Schritt 1.3

Differenziere.

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Schritt 1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 t + 1$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} (\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [1]) + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Schritt 1.3.2

Da $3$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $3 t$ nach $t$ gleich $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} (3 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]) + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [1]) + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Schritt 1.3.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} (3 + \frac{d}{d t} [1]) + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Schritt 1.3.5

Da $1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} (3 + 0) + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Schritt 1.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.3.6.1

Addiere $3$ und $0$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} \cdot 3 + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Schritt 1.3.6.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von ${(t - 1)}^{3}$ .

$\frac{1}{12} (3 \cdot {(t - 1)}^{3} + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Schritt 1.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{3}$ und $g (t) = t - 1$ .

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Schritt 1.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $t - 1$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + (3 t + 1) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d t} [t - 1]))$

Schritt 1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + (3 t + 1) (3 u^{2} \frac{d}{d t} [t - 1]))$

Schritt 1.4.3

Ersetze alle $u$ durch $t - 1$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + (3 t + 1) (3 {(t - 1)}^{2} \frac{d}{d t} [t - 1]))$

Schritt 1.5

Differenziere.

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Schritt 1.5.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $3 t + 1$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + 3 \cdot (3 t + 1) {(t - 1)}^{2} \frac{d}{d t} [t - 1])$

Schritt 1.5.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t - 1$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + 3 (3 t + 1) {(t - 1)}^{2} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]))$

Schritt 1.5.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + 3 (3 t + 1) {(t - 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d t} [- 1]))$

Schritt 1.5.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + 3 (3 t + 1) {(t - 1)}^{2} (1 + 0))$

Schritt 1.5.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.5.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + 3 (3 t + 1) {(t - 1)}^{2} \cdot 1)$

Schritt 1.5.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + 3 (3 t + 1) {(t - 1)}^{2})$

Schritt 1.6

Vereinfache.

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Schritt 1.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + (3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Schritt 1.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3}) + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Schritt 1.6.3

Vereine die Terme

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Schritt 1.6.3.1

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{12}$ .

$\frac{3}{12} {(t - 1)}^{3} + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Schritt 1.6.3.2

Kombiniere $\frac{3}{12}$ und ${(t - 1)}^{3}$ .

$\frac{3 {(t - 1)}^{3}}{12} + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Schritt 1.6.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $12$ .

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Schritt 1.6.3.3.1

Faktorisiere $3$ aus $3 {(t - 1)}^{3}$ heraus.

$\frac{3 ({(t - 1)}^{3})}{12} + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Schritt 1.6.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.6.3.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$\frac{3 {(t - 1)}^{3}}{3 \cdot 4} + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Schritt 1.6.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 {(t - 1)}^{3}}{3 \cdot 4} + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Schritt 1.6.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{{(t - 1)}^{3}}{4} + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Schritt 1.6.3.4

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3}}{4} + \frac{1}{12} ((9 t + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Schritt 1.6.3.5

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3}}{4} + \frac{1}{12} ((9 t + 3) {(t - 1)}^{2})$

Schritt 1.6.3.6

Kombiniere ${(t - 1)}^{2}$ und $\frac{1}{12}$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3}}{4} + \frac{{(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3)$

Schritt 1.6.3.7

Um $\frac{{(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3}}{4} + \frac{{(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3) \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 1.6.3.8

Kombiniere $\frac{{(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3)$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3}}{4} + \frac{\frac{{(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3) \cdot 4}{4}$

Schritt 1.6.3.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{{(t - 1)}^{3} + \frac{{(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3) \cdot 4}{4}$

Schritt 1.6.3.10

Kombiniere $4$ und $\frac{{(t - 1)}^{2}}{12}$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3} + \frac{4 {(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3)}{4}$

Schritt 1.6.3.11

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $12$ .

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Schritt 1.6.3.11.1

Faktorisiere $4$ aus $4 {(t - 1)}^{2}$ heraus.

$\frac{{(t - 1)}^{3} + \frac{4 ({(t - 1)}^{2})}{12} (9 t + 3)}{4}$

Schritt 1.6.3.11.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.6.3.11.2.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$\frac{{(t - 1)}^{3} + \frac{4 {(t - 1)}^{2}}{4 \cdot 3} (9 t + 3)}{4}$

Schritt 1.6.3.11.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(t - 1)}^{3} + \frac{4 {(t - 1)}^{2}}{4 \cdot 3} (9 t + 3)}{4}$

Schritt 1.6.3.11.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{{(t - 1)}^{3} + \frac{{(t - 1)}^{2}}{3} (9 t + 3)}{4}$

Schritt 1.6.4

Stelle die Terme um.

$\frac{{(t - 1)}^{3} + (9 t + 3) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Schritt 1.6.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.6.5.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$\frac{t^{3} + 3 t^{2} \cdot - 1 + 3 t {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + (9 t + 3) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Schritt 1.6.5.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.6.5.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + (9 t + 3) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Schritt 1.6.5.2.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t \cdot 1 + {(- 1)}^{3} + (9 t + 3) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Schritt 1.6.5.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t + {(- 1)}^{3} + (9 t + 3) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Schritt 1.6.5.2.4

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + (9 t + 3) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Schritt 1.6.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 9 t \frac{{(t - 1)}^{2}}{3} + 3 \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Schritt 1.6.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.6.5.4.1

Faktorisiere $3$ aus $9 t$ heraus.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 (3 t) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3} + 3 \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Schritt 1.6.5.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 (3 t) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3} + 3 \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Schritt 1.6.5.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t {(t - 1)}^{2} + 3 \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Schritt 1.6.5.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.6.5.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t {(t - 1)}^{2} + 3 \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Schritt 1.6.5.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t {(t - 1)}^{2} + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Schritt 1.6.5.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.6.5.6.1

Schreibe ${(t - 1)}^{2}$ als $(t - 1) (t - 1)$ um.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t ((t - 1) (t - 1)) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Schritt 1.6.5.6.2

Multipliziere $(t - 1) (t - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.6.5.6.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t (t - 1) - 1 (t - 1)) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Schritt 1.6.5.6.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t \cdot t + t \cdot - 1 - 1 (t - 1)) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Schritt 1.6.5.6.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t \cdot t + t \cdot - 1 - 1 t - 1 \cdot - 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Schritt 1.6.5.6.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.6.5.6.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.6.5.6.3.1.1

Mutltipliziere $t$ mit $t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t^{2} + t \cdot - 1 - 1 t - 1 \cdot - 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Schritt 1.6.5.6.3.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t^{2} - 1 \cdot t - 1 t - 1 \cdot - 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Schritt 1.6.5.6.3.1.3

Schreibe $- 1 t$ als $- t$ um.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t^{2} - t - 1 t - 1 \cdot - 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Schritt 1.6.5.6.3.1.4

Schreibe $- 1 t$ als $- t$ um.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t^{2} - t - t - 1 \cdot - 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Schritt 1.6.5.6.3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t^{2} - t - t + 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Schritt 1.6.5.6.3.2

Subtrahiere $t$ von $- t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t^{2} - 2 t + 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Schritt 1.6.5.6.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t \cdot t^{2} + 3 t (- 2 t) + 3 t \cdot 1 + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Schritt 1.6.5.6.5

Vereinfache.

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Schritt 1.6.5.6.5.1

Multipliziere $t$ mit $t^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.6.5.6.5.1.1

Bewege $t^{2}$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 (t^{2} t) + 3 t (- 2 t) + 3 t \cdot 1 + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Schritt 1.6.5.6.5.1.2

Mutltipliziere $t^{2}$ mit $t$ .

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Schritt 1.6.5.6.5.1.2.1

Potenziere $t$ mit $1$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 (t^{2} t^{1}) + 3 t (- 2 t) + 3 t \cdot 1 + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Schritt 1.6.5.6.5.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{2 + 1} + 3 t (- 2 t) + 3 t \cdot 1 + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Schritt 1.6.5.6.5.1.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} + 3 t (- 2 t) + 3 t \cdot 1 + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Schritt 1.6.5.6.5.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} + 3 \cdot - 2 t \cdot t + 3 t \cdot 1 + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Schritt 1.6.5.6.5.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} + 3 \cdot - 2 t \cdot t + 3 t + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Schritt 1.6.5.6.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.6.5.6.6.1

Multipliziere $t$ mit $t$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.6.5.6.6.1.1

Bewege $t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} + 3 \cdot - 2 (t \cdot t) + 3 t + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Schritt 1.6.5.6.6.1.2

Mutltipliziere $t$ mit $t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} + 3 \cdot - 2 t^{2} + 3 t + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Schritt 1.6.5.6.6.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Schritt 1.6.5.6.7

Schreibe ${(t - 1)}^{2}$ als $(t - 1) (t - 1)$ um.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + (t - 1) (t - 1)}{4}$

Schritt 1.6.5.6.8

Multipliziere $(t - 1) (t - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.6.5.6.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t (t - 1) - 1 (t - 1)}{4}$

Schritt 1.6.5.6.8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t \cdot t + t \cdot - 1 - 1 (t - 1)}{4}$

Schritt 1.6.5.6.8.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t \cdot t + t \cdot - 1 - 1 t - 1 \cdot - 1}{4}$

Schritt 1.6.5.6.9

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.6.5.6.9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.6.5.6.9.1.1

Mutltipliziere $t$ mit $t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t^{2} + t \cdot - 1 - 1 t - 1 \cdot - 1}{4}$

Schritt 1.6.5.6.9.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t^{2} - 1 \cdot t - 1 t - 1 \cdot - 1}{4}$

Schritt 1.6.5.6.9.1.3

Schreibe $- 1 t$ als $- t$ um.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t^{2} - t - 1 t - 1 \cdot - 1}{4}$

Schritt 1.6.5.6.9.1.4

Schreibe $- 1 t$ als $- t$ um.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t^{2} - t - t - 1 \cdot - 1}{4}$

Schritt 1.6.5.6.9.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t^{2} - t - t + 1}{4}$

Schritt 1.6.5.6.9.2

Subtrahiere $t$ von $- t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t^{2} - 2 t + 1}{4}$

Schritt 1.6.5.7

Addiere $- 6 t^{2}$ und $t^{2}$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 5 t^{2} + 3 t - 2 t + 1}{4}$

Schritt 1.6.5.8

Subtrahiere $2 t$ von $3 t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 5 t^{2} + t + 1}{4}$

Schritt 1.6.5.9

Addiere $t^{3}$ und $3 t^{3}$ .

$\frac{4 t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 - 5 t^{2} + t + 1}{4}$

Schritt 1.6.5.10

Subtrahiere $5 t^{2}$ von $- 3 t^{2}$ .

$\frac{4 t^{3} - 8 t^{2} + 3 t - 1 + t + 1}{4}$

Schritt 1.6.5.11

Addiere $3 t$ und $t$ .

$\frac{4 t^{3} - 8 t^{2} + 4 t - 1 + 1}{4}$

Schritt 1.6.5.12

Addiere $- 1$ und $1$ .

$\frac{4 t^{3} - 8 t^{2} + 4 t + 0}{4}$

Schritt 1.6.5.13

Addiere $4 t^{3} - 8 t^{2} + 4 t$ und $0$ .

$\frac{4 t^{3} - 8 t^{2} + 4 t}{4}$

Schritt 1.6.5.14

Schreibe $4 t^{3} - 8 t^{2} + 4 t$ in eine faktorisierte Form um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.6.5.14.1

Faktorisiere $4 t$ aus $4 t^{3} - 8 t^{2} + 4 t$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.6.5.14.1.1

Faktorisiere $4 t$ aus $4 t^{3}$ heraus.

$\frac{4 t (t^{2}) - 8 t^{2} + 4 t}{4}$

Schritt 1.6.5.14.1.2

Faktorisiere $4 t$ aus $- 8 t^{2}$ heraus.

$\frac{4 t (t^{2}) + 4 t (- 2 t) + 4 t}{4}$

Schritt 1.6.5.14.1.3

Faktorisiere $4 t$ aus $4 t$ heraus.

$\frac{4 t (t^{2}) + 4 t (- 2 t) + 4 t (1)}{4}$

Schritt 1.6.5.14.1.4

Faktorisiere $4 t$ aus $4 t (t^{2}) + 4 t (- 2 t)$ heraus.

$\frac{4 t (t^{2} - 2 t) + 4 t (1)}{4}$

Schritt 1.6.5.14.1.5

Faktorisiere $4 t$ aus $4 t (t^{2} - 2 t) + 4 t (1)$ heraus.

$\frac{4 t (t^{2} - 2 t + 1)}{4}$

Schritt 1.6.5.14.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 1.6.5.14.2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{4 t (t^{2} - 2 t + 1^{2})}{4}$

Schritt 1.6.5.14.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 t = 2 \cdot t \cdot 1$

Schritt 1.6.5.14.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{4 t (t^{2} - 2 \cdot t \cdot 1 + 1^{2})}{4}$

Schritt 1.6.5.14.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = t$ und $b = 1$ .

$\frac{4 t {(t - 1)}^{2}}{4}$

Schritt 1.6.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.6.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 t {(t - 1)}^{2}}{4}$

Schritt 1.6.6.2

Dividiere $t {(t - 1)}^{2}$ durch $1$ .

$t {(t - 1)}^{2}$

Schritt 1.6.7

Schreibe ${(t - 1)}^{2}$ als $(t - 1) (t - 1)$ um.

$t ((t - 1) (t - 1))$

Schritt 1.6.8

Multipliziere $(t - 1) (t - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.6.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$t (t (t - 1) - 1 (t - 1))$

Schritt 1.6.8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$t (t \cdot t + t \cdot - 1 - 1 (t - 1))$

Schritt 1.6.8.3

Wende das Distributivgesetz an.

$t (t \cdot t + t \cdot - 1 - 1 t - 1 \cdot - 1)$

Schritt 1.6.9

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.6.9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.6.9.1.1

Mutltipliziere $t$ mit $t$ .

$t (t^{2} + t \cdot - 1 - 1 t - 1 \cdot - 1)$

Schritt 1.6.9.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $t$ .

$t (t^{2} - 1 \cdot t - 1 t - 1 \cdot - 1)$

Schritt 1.6.9.1.3

Schreibe $- 1 t$ als $- t$ um.

$t (t^{2} - t - 1 t - 1 \cdot - 1)$

Schritt 1.6.9.1.4

Schreibe $- 1 t$ als $- t$ um.

$t (t^{2} - t - t - 1 \cdot - 1)$

Schritt 1.6.9.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$t (t^{2} - t - t + 1)$

Schritt 1.6.9.2

Subtrahiere $t$ von $- t$ .

$t (t^{2} - 2 t + 1)$

Schritt 1.6.10

Wende das Distributivgesetz an.

$t \cdot t^{2} + t (- 2 t) + t \cdot 1$

Schritt 1.6.11

Vereinfache.

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Schritt 1.6.11.1

Multipliziere $t$ mit $t^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.6.11.1.1

Mutltipliziere $t$ mit $t^{2}$ .

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Schritt 1.6.11.1.1.1

Potenziere $t$ mit $1$ .

$t^{1} t^{2} + t (- 2 t) + t \cdot 1$

Schritt 1.6.11.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$t^{1 + 2} + t (- 2 t) + t \cdot 1$

Schritt 1.6.11.1.2

Addiere $1$ und $2$ .

$t^{3} + t (- 2 t) + t \cdot 1$

Schritt 1.6.11.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$t^{3} - 2 t \cdot t + t \cdot 1$

Schritt 1.6.11.3

Mutltipliziere $t$ mit $1$ .

$t^{3} - 2 t \cdot t + t$

Schritt 1.6.12

Multipliziere $t$ mit $t$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.6.12.1

Bewege $t$ .

$t^{3} - 2 (t \cdot t) + t$

Schritt 1.6.12.2

Mutltipliziere $t$ mit $t$ .

$t^{3} - 2 t^{2} + t$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t^{3} - 2 t^{2} + t$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [t]$ .

$s'' (t) = \frac{d}{d t} (t^{3}) + \frac{d}{d t} (- 2 t^{2}) + \frac{d}{d t} (t)$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$s'' (t) = 3 t^{2} + \frac{d}{d t} (- 2 t^{2}) + \frac{d}{d t} (t)$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d t} [- 2 t^{2}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 2 t^{2}$ nach $t$ gleich $- 2 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$s'' (t) = 3 t^{2} - 2 \frac{d}{d t} t^{2} + \frac{d}{d t} (t)$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$s'' (t) = 3 t^{2} - 2 (2 t) + \frac{d}{d t} (t)$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$s'' (t) = 3 t^{2} - 4 t + \frac{d}{d t} (t)$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$s'' (t) = 3 t^{2} - 4 t + 1$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$t^{3} - 2 t^{2} + t = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Da $\frac{1}{12}$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $\frac{{(t - 1)}^{3} (3 t + 1)}{12}$ nach $t$ gleich $\frac{1}{12} \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3} (3 t + 1)]$ .

$\frac{1}{12} \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3} (3 t + 1)]$

Schritt 4.1.2

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [3 t + 1] + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Schritt 4.1.3

Differenziere.

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Schritt 4.1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 t + 1$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} (\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [1]) + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Schritt 4.1.3.2

Da $3$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $3 t$ nach $t$ gleich $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} (3 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]) + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Schritt 4.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [1]) + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Schritt 4.1.3.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} (3 + \frac{d}{d t} [1]) + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Schritt 4.1.3.5

Da $1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} (3 + 0) + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Schritt 4.1.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.3.6.1

Addiere $3$ und $0$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} \cdot 3 + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Schritt 4.1.3.6.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von ${(t - 1)}^{3}$ .

$\frac{1}{12} (3 \cdot {(t - 1)}^{3} + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Schritt 4.1.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{3}$ und $g (t) = t - 1$ .

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Schritt 4.1.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $t - 1$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + (3 t + 1) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d t} [t - 1]))$

Schritt 4.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + (3 t + 1) (3 u^{2} \frac{d}{d t} [t - 1]))$

Schritt 4.1.4.3

Ersetze alle $u$ durch $t - 1$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + (3 t + 1) (3 {(t - 1)}^{2} \frac{d}{d t} [t - 1]))$

Schritt 4.1.5

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.5.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $3 t + 1$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + 3 \cdot (3 t + 1) {(t - 1)}^{2} \frac{d}{d t} [t - 1])$

Schritt 4.1.5.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t - 1$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + 3 (3 t + 1) {(t - 1)}^{2} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]))$

Schritt 4.1.5.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + 3 (3 t + 1) {(t - 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d t} [- 1]))$

Schritt 4.1.5.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + 3 (3 t + 1) {(t - 1)}^{2} (1 + 0))$

Schritt 4.1.5.5

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.5.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + 3 (3 t + 1) {(t - 1)}^{2} \cdot 1)$

Schritt 4.1.5.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + 3 (3 t + 1) {(t - 1)}^{2})$

Schritt 4.1.6

Vereinfache.

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Schritt 4.1.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + (3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Schritt 4.1.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3}) + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Schritt 4.1.6.3

Vereine die Terme

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Schritt 4.1.6.3.1

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{12}$ .

$\frac{3}{12} {(t - 1)}^{3} + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Schritt 4.1.6.3.2

Kombiniere $\frac{3}{12}$ und ${(t - 1)}^{3}$ .

$\frac{3 {(t - 1)}^{3}}{12} + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Schritt 4.1.6.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $12$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.6.3.3.1

Faktorisiere $3$ aus $3 {(t - 1)}^{3}$ heraus.

$\frac{3 ({(t - 1)}^{3})}{12} + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Schritt 4.1.6.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.6.3.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$\frac{3 {(t - 1)}^{3}}{3 \cdot 4} + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Schritt 4.1.6.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 {(t - 1)}^{3}}{3 \cdot 4} + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Schritt 4.1.6.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{{(t - 1)}^{3}}{4} + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Schritt 4.1.6.3.4

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3}}{4} + \frac{1}{12} ((9 t + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Schritt 4.1.6.3.5

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3}}{4} + \frac{1}{12} ((9 t + 3) {(t - 1)}^{2})$

Schritt 4.1.6.3.6

Kombiniere ${(t - 1)}^{2}$ und $\frac{1}{12}$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3}}{4} + \frac{{(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3)$

Schritt 4.1.6.3.7

Um $\frac{{(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3}}{4} + \frac{{(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3) \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 4.1.6.3.8

Kombiniere $\frac{{(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3)$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3}}{4} + \frac{\frac{{(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3) \cdot 4}{4}$

Schritt 4.1.6.3.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{{(t - 1)}^{3} + \frac{{(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3) \cdot 4}{4}$

Schritt 4.1.6.3.10

Kombiniere $4$ und $\frac{{(t - 1)}^{2}}{12}$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3} + \frac{4 {(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3)}{4}$

Schritt 4.1.6.3.11

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $12$ .

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Schritt 4.1.6.3.11.1

Faktorisiere $4$ aus $4 {(t - 1)}^{2}$ heraus.

$\frac{{(t - 1)}^{3} + \frac{4 ({(t - 1)}^{2})}{12} (9 t + 3)}{4}$

Schritt 4.1.6.3.11.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.6.3.11.2.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$\frac{{(t - 1)}^{3} + \frac{4 {(t - 1)}^{2}}{4 \cdot 3} (9 t + 3)}{4}$

Schritt 4.1.6.3.11.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(t - 1)}^{3} + \frac{4 {(t - 1)}^{2}}{4 \cdot 3} (9 t + 3)}{4}$

Schritt 4.1.6.3.11.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{{(t - 1)}^{3} + \frac{{(t - 1)}^{2}}{3} (9 t + 3)}{4}$

Schritt 4.1.6.4

Stelle die Terme um.

$\frac{{(t - 1)}^{3} + (9 t + 3) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Schritt 4.1.6.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.6.5.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$\frac{t^{3} + 3 t^{2} \cdot - 1 + 3 t {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + (9 t + 3) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Schritt 4.1.6.5.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.6.5.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + (9 t + 3) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Schritt 4.1.6.5.2.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t \cdot 1 + {(- 1)}^{3} + (9 t + 3) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Schritt 4.1.6.5.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t + {(- 1)}^{3} + (9 t + 3) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Schritt 4.1.6.5.2.4

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + (9 t + 3) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Schritt 4.1.6.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 9 t \frac{{(t - 1)}^{2}}{3} + 3 \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Schritt 4.1.6.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.1.6.5.4.1

Faktorisiere $3$ aus $9 t$ heraus.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 (3 t) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3} + 3 \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Schritt 4.1.6.5.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 (3 t) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3} + 3 \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Schritt 4.1.6.5.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t {(t - 1)}^{2} + 3 \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Schritt 4.1.6.5.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.1.6.5.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t {(t - 1)}^{2} + 3 \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Schritt 4.1.6.5.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t {(t - 1)}^{2} + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Schritt 4.1.6.5.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.6.5.6.1

Schreibe ${(t - 1)}^{2}$ als $(t - 1) (t - 1)$ um.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t ((t - 1) (t - 1)) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Schritt 4.1.6.5.6.2

Multipliziere $(t - 1) (t - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.1.6.5.6.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t (t - 1) - 1 (t - 1)) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Schritt 4.1.6.5.6.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t \cdot t + t \cdot - 1 - 1 (t - 1)) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Schritt 4.1.6.5.6.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t \cdot t + t \cdot - 1 - 1 t - 1 \cdot - 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Schritt 4.1.6.5.6.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.1.6.5.6.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.6.5.6.3.1.1

Mutltipliziere $t$ mit $t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t^{2} + t \cdot - 1 - 1 t - 1 \cdot - 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Schritt 4.1.6.5.6.3.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t^{2} - 1 \cdot t - 1 t - 1 \cdot - 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Schritt 4.1.6.5.6.3.1.3

Schreibe $- 1 t$ als $- t$ um.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t^{2} - t - 1 t - 1 \cdot - 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Schritt 4.1.6.5.6.3.1.4

Schreibe $- 1 t$ als $- t$ um.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t^{2} - t - t - 1 \cdot - 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Schritt 4.1.6.5.6.3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t^{2} - t - t + 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Schritt 4.1.6.5.6.3.2

Subtrahiere $t$ von $- t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t^{2} - 2 t + 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Schritt 4.1.6.5.6.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t \cdot t^{2} + 3 t (- 2 t) + 3 t \cdot 1 + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Schritt 4.1.6.5.6.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.6.5.6.5.1

Multipliziere $t$ mit $t^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.6.5.6.5.1.1

Bewege $t^{2}$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 (t^{2} t) + 3 t (- 2 t) + 3 t \cdot 1 + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Schritt 4.1.6.5.6.5.1.2

Mutltipliziere $t^{2}$ mit $t$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.6.5.6.5.1.2.1

Potenziere $t$ mit $1$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 (t^{2} t^{1}) + 3 t (- 2 t) + 3 t \cdot 1 + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Schritt 4.1.6.5.6.5.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{2 + 1} + 3 t (- 2 t) + 3 t \cdot 1 + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Schritt 4.1.6.5.6.5.1.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} + 3 t (- 2 t) + 3 t \cdot 1 + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Schritt 4.1.6.5.6.5.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} + 3 \cdot - 2 t \cdot t + 3 t \cdot 1 + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Schritt 4.1.6.5.6.5.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} + 3 \cdot - 2 t \cdot t + 3 t + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Schritt 4.1.6.5.6.6

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.6.5.6.6.1

Multipliziere $t$ mit $t$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.6.5.6.6.1.1

Bewege $t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} + 3 \cdot - 2 (t \cdot t) + 3 t + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Schritt 4.1.6.5.6.6.1.2

Mutltipliziere $t$ mit $t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} + 3 \cdot - 2 t^{2} + 3 t + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Schritt 4.1.6.5.6.6.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Schritt 4.1.6.5.6.7

Schreibe ${(t - 1)}^{2}$ als $(t - 1) (t - 1)$ um.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + (t - 1) (t - 1)}{4}$

Schritt 4.1.6.5.6.8

Multipliziere $(t - 1) (t - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.6.5.6.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t (t - 1) - 1 (t - 1)}{4}$

Schritt 4.1.6.5.6.8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t \cdot t + t \cdot - 1 - 1 (t - 1)}{4}$

Schritt 4.1.6.5.6.8.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t \cdot t + t \cdot - 1 - 1 t - 1 \cdot - 1}{4}$

Schritt 4.1.6.5.6.9

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.6.5.6.9.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.6.5.6.9.1.1

Mutltipliziere $t$ mit $t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t^{2} + t \cdot - 1 - 1 t - 1 \cdot - 1}{4}$

Schritt 4.1.6.5.6.9.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t^{2} - 1 \cdot t - 1 t - 1 \cdot - 1}{4}$

Schritt 4.1.6.5.6.9.1.3

Schreibe $- 1 t$ als $- t$ um.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t^{2} - t - 1 t - 1 \cdot - 1}{4}$

Schritt 4.1.6.5.6.9.1.4

Schreibe $- 1 t$ als $- t$ um.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t^{2} - t - t - 1 \cdot - 1}{4}$

Schritt 4.1.6.5.6.9.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t^{2} - t - t + 1}{4}$

Schritt 4.1.6.5.6.9.2

Subtrahiere $t$ von $- t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t^{2} - 2 t + 1}{4}$

Schritt 4.1.6.5.7

Addiere $- 6 t^{2}$ und $t^{2}$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 5 t^{2} + 3 t - 2 t + 1}{4}$

Schritt 4.1.6.5.8

Subtrahiere $2 t$ von $3 t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 5 t^{2} + t + 1}{4}$

Schritt 4.1.6.5.9

Addiere $t^{3}$ und $3 t^{3}$ .

$\frac{4 t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 - 5 t^{2} + t + 1}{4}$

Schritt 4.1.6.5.10

Subtrahiere $5 t^{2}$ von $- 3 t^{2}$ .

$\frac{4 t^{3} - 8 t^{2} + 3 t - 1 + t + 1}{4}$

Schritt 4.1.6.5.11

Addiere $3 t$ und $t$ .

$\frac{4 t^{3} - 8 t^{2} + 4 t - 1 + 1}{4}$

Schritt 4.1.6.5.12

Addiere $- 1$ und $1$ .

$\frac{4 t^{3} - 8 t^{2} + 4 t + 0}{4}$

Schritt 4.1.6.5.13

Addiere $4 t^{3} - 8 t^{2} + 4 t$ und $0$ .

$\frac{4 t^{3} - 8 t^{2} + 4 t}{4}$

Schritt 4.1.6.5.14

Schreibe $4 t^{3} - 8 t^{2} + 4 t$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.1.6.5.14.1

Faktorisiere $4 t$ aus $4 t^{3} - 8 t^{2} + 4 t$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.6.5.14.1.1

Faktorisiere $4 t$ aus $4 t^{3}$ heraus.

$\frac{4 t (t^{2}) - 8 t^{2} + 4 t}{4}$

Schritt 4.1.6.5.14.1.2

Faktorisiere $4 t$ aus $- 8 t^{2}$ heraus.

$\frac{4 t (t^{2}) + 4 t (- 2 t) + 4 t}{4}$

Schritt 4.1.6.5.14.1.3

Faktorisiere $4 t$ aus $4 t$ heraus.

$\frac{4 t (t^{2}) + 4 t (- 2 t) + 4 t (1)}{4}$

Schritt 4.1.6.5.14.1.4

Faktorisiere $4 t$ aus $4 t (t^{2}) + 4 t (- 2 t)$ heraus.

$\frac{4 t (t^{2} - 2 t) + 4 t (1)}{4}$

Schritt 4.1.6.5.14.1.5

Faktorisiere $4 t$ aus $4 t (t^{2} - 2 t) + 4 t (1)$ heraus.

$\frac{4 t (t^{2} - 2 t + 1)}{4}$

Schritt 4.1.6.5.14.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.6.5.14.2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{4 t (t^{2} - 2 t + 1^{2})}{4}$

Schritt 4.1.6.5.14.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 t = 2 \cdot t \cdot 1$

Schritt 4.1.6.5.14.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{4 t (t^{2} - 2 \cdot t \cdot 1 + 1^{2})}{4}$

Schritt 4.1.6.5.14.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = t$ und $b = 1$ .

$\frac{4 t {(t - 1)}^{2}}{4}$

Schritt 4.1.6.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.6.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 t {(t - 1)}^{2}}{4}$

Schritt 4.1.6.6.2

Dividiere $t {(t - 1)}^{2}$ durch $1$ .

$t {(t - 1)}^{2}$

Schritt 4.1.6.7

Schreibe ${(t - 1)}^{2}$ als $(t - 1) (t - 1)$ um.

$t ((t - 1) (t - 1))$

Schritt 4.1.6.8

Multipliziere $(t - 1) (t - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.1.6.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$t (t (t - 1) - 1 (t - 1))$

Schritt 4.1.6.8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$t (t \cdot t + t \cdot - 1 - 1 (t - 1))$

Schritt 4.1.6.8.3

Wende das Distributivgesetz an.

$t (t \cdot t + t \cdot - 1 - 1 t - 1 \cdot - 1)$

Schritt 4.1.6.9

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.1.6.9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.6.9.1.1

Mutltipliziere $t$ mit $t$ .

$t (t^{2} + t \cdot - 1 - 1 t - 1 \cdot - 1)$

Schritt 4.1.6.9.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $t$ .

$t (t^{2} - 1 \cdot t - 1 t - 1 \cdot - 1)$

Schritt 4.1.6.9.1.3

Schreibe $- 1 t$ als $- t$ um.

$t (t^{2} - t - 1 t - 1 \cdot - 1)$

Schritt 4.1.6.9.1.4

Schreibe $- 1 t$ als $- t$ um.

$t (t^{2} - t - t - 1 \cdot - 1)$

Schritt 4.1.6.9.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$t (t^{2} - t - t + 1)$

Schritt 4.1.6.9.2

Subtrahiere $t$ von $- t$ .

$t (t^{2} - 2 t + 1)$

Schritt 4.1.6.10

Wende das Distributivgesetz an.

$t \cdot t^{2} + t (- 2 t) + t \cdot 1$

Schritt 4.1.6.11

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.6.11.1

Multipliziere $t$ mit $t^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.6.11.1.1

Mutltipliziere $t$ mit $t^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.6.11.1.1.1

Potenziere $t$ mit $1$ .

$t^{1} t^{2} + t (- 2 t) + t \cdot 1$

Schritt 4.1.6.11.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$t^{1 + 2} + t (- 2 t) + t \cdot 1$

Schritt 4.1.6.11.1.2

Addiere $1$ und $2$ .

$t^{3} + t (- 2 t) + t \cdot 1$

Schritt 4.1.6.11.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$t^{3} - 2 t \cdot t + t \cdot 1$

Schritt 4.1.6.11.3

Mutltipliziere $t$ mit $1$ .

$t^{3} - 2 t \cdot t + t$

Schritt 4.1.6.12

Multipliziere $t$ mit $t$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.6.12.1

Bewege $t$ .

$t^{3} - 2 (t \cdot t) + t$

Schritt 4.1.6.12.2

Mutltipliziere $t$ mit $t$ .

$f' (t) = t^{3} - 2 t^{2} + t$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $s (t)$ nach $t$ ist $t^{3} - 2 t^{2} + t$ .

$t^{3} - 2 t^{2} + t$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $t^{3} - 2 t^{2} + t = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$t^{3} - 2 t^{2} + t = 0$

Schritt 5.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $t$ aus $t^{3} - 2 t^{2} + t$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1

Faktorisiere $t$ aus $t^{3}$ heraus.

$t \cdot t^{2} - 2 t^{2} + t = 0$

Schritt 5.2.1.2

Faktorisiere $t$ aus $- 2 t^{2}$ heraus.

$t \cdot t^{2} + t (- 2 t) + t = 0$

Schritt 5.2.1.3

Potenziere $t$ mit $1$ .

$t \cdot t^{2} + t (- 2 t) + t = 0$

Schritt 5.2.1.4

Faktorisiere $t$ aus $t^{1}$ heraus.

$t \cdot t^{2} + t (- 2 t) + t \cdot 1 = 0$

Schritt 5.2.1.5

Faktorisiere $t$ aus $t \cdot t^{2} + t (- 2 t)$ heraus.

$t (t^{2} - 2 t) + t \cdot 1 = 0$

Schritt 5.2.1.6

Faktorisiere $t$ aus $t (t^{2} - 2 t) + t \cdot 1$ heraus.

$t (t^{2} - 2 t + 1) = 0$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 5.2.2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$t (t^{2} - 2 t + 1^{2}) = 0$

Schritt 5.2.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 t = 2 \cdot t \cdot 1$

Schritt 5.2.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$t (t^{2} - 2 \cdot t \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Schritt 5.2.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = t$ und $b = 1$ .

$t {(t - 1)}^{2} = 0$

Schritt 5.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$t = 0$

${(t - 1)}^{2} = 0$

Schritt 5.4

Setze $t$ gleich $0$ .

$t = 0$

Schritt 5.5

Setze ${(t - 1)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $t$ auf.

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Schritt 5.5.1

Setze ${(t - 1)}^{2}$ gleich $0$ .

${(t - 1)}^{2} = 0$

Schritt 5.5.2

Löse ${(t - 1)}^{2} = 0$ nach $t$ auf.

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Schritt 5.5.2.1

Setze $t - 1$ gleich $0$ .

$t - 1 = 0$

Schritt 5.5.2.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$t = 1$

Schritt 5.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $t {(t - 1)}^{2} = 0$ wahr machen.

$t = 0, 1$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$t = 0, 1$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $t = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$3 {(0)}^{2} - 4 \cdot 0 + 1$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$3 \cdot 0 - 4 \cdot 0 + 1$

Schritt 9.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$0 - 4 \cdot 0 + 1$

Schritt 9.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $0$ .

$0 + 0 + 1$

Schritt 9.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 9.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$0 + 1$

Schritt 9.2.2

Addiere $0$ und $1$ .

$1$

Schritt 10

$t = 0$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$t = 0$ ist ein lokales Minimum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $t = 0$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $t$ durch $0$ .

$s (0) = \frac{{((0) - 1)}^{3} (3 (0) + 1)}{12}$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.2.1.1

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$s (0) = \frac{{(- 1)}^{3} (3 (0) + 1)}{12}$

Schritt 11.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$s (0) = \frac{{(- 1)}^{3} (0 + 1)}{12}$

Schritt 11.2.1.3

Addiere $0$ und $1$ .

$s (0) = \frac{{(- 1)}^{3} \cdot 1}{12}$

Schritt 11.2.1.4

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$s (0) = \frac{- 1 \cdot 1}{12}$

Schritt 11.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 11.2.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$s (0) = \frac{- 1}{12}$

Schritt 11.2.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$s (0) = - \frac{1}{12}$

Schritt 11.2.3

Die endgültige Lösung ist $- \frac{1}{12}$ .

$y = - \frac{1}{12}$

Schritt 12

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $t = 1$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$3 {(1)}^{2} - 4 \cdot 1 + 1$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 13.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$3 \cdot 1 - 4 \cdot 1 + 1$

Schritt 13.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 - 4 \cdot 1 + 1$

Schritt 13.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$3 - 4 + 1$

Schritt 13.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 13.2.1

Subtrahiere $4$ von $3$ .

$- 1 + 1$

Schritt 13.2.2

Addiere $- 1$ und $1$ .

$0$

Schritt 14

Da es mindestens einen Punkt mit $0$ oder eine nicht definierte zweite Ableitung gibt, wende den ersten Ableitungstest an.

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Schritt 14.1

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $t$ -Werte herum auf, die die erste Ableitung zu $0$ oder nicht definiert machen.

$(- \infty, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Schritt 14.2

Setze eine beliebige Zahl, wie $- 2$ , aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die erste Ableitung $t^{3} - 2 t^{2} + t$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 14.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $t$ durch $- 2$ .

$s' (- 2) = {(- 2)}^{3} - 2 {(- 2)}^{2} - 2$

Schritt 14.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 14.2.2.1

Entferne die Klammern.

$s' (- 2) = {(- 2)}^{3} - 2 {(- 2)}^{2} - 2$

Schritt 14.2.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 14.2.2.2.1

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$s' (- 2) = - 8 - 2 {(- 2)}^{2} - 2$

Schritt 14.2.2.2.2

Multipliziere $- 2$ mit ${(- 2)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 14.2.2.2.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit ${(- 2)}^{2}$ .

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Schritt 14.2.2.2.2.1.1

Potenziere $- 2$ mit $1$ .

$s' (- 2) = - 8 + (- 2) {(- 2)}^{2} - 2$

Schritt 14.2.2.2.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$s' (- 2) = - 8 + {(- 2)}^{1 + 2} - 2$

Schritt 14.2.2.2.2.2

Addiere $1$ und $2$ .

$s' (- 2) = - 8 + {(- 2)}^{3} - 2$

Schritt 14.2.2.2.3

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$s' (- 2) = - 8 - 8 - 2$

Schritt 14.2.2.3

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 14.2.2.3.1

Subtrahiere $8$ von $- 8$ .

$s' (- 2) = - 16 - 2$

Schritt 14.2.2.3.2

Subtrahiere $2$ von $- 16$ .

$s' (- 2) = - 18$

Schritt 14.2.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 18$ .

$- 18$

Schritt 14.3

Setze eine beliebige Zahl, wie $0.5$ , aus dem Intervall $(0, 1)$ in die erste Ableitung $t^{3} - 2 t^{2} + t$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 14.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $t$ durch $0.5$ .

$s' (0.5) = {(0.5)}^{3} - 2 {(0.5)}^{2} + 0.5$

Schritt 14.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 14.3.2.1

Entferne die Klammern.

$s' (0.5) = {(0.5)}^{3} - 2 {(0.5)}^{2} + 0.5$

Schritt 14.3.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 14.3.2.2.1

Potenziere $0.5$ mit $3$ .

$s' (0.5) = 0.125 - 2 {(0.5)}^{2} + 0.5$

Schritt 14.3.2.2.2

Potenziere $0.5$ mit $2$ .

$s' (0.5) = 0.125 - 2 \cdot 0.25 + 0.5$

Schritt 14.3.2.2.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $0.25$ .

$s' (0.5) = 0.125 - 0.5 + 0.5$

Schritt 14.3.2.3

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 14.3.2.3.1

Subtrahiere $0.5$ von $0.125$ .

$s' (0.5) = - 0.375 + 0.5$

Schritt 14.3.2.3.2

Addiere $- 0.375$ und $0.5$ .

$s' (0.5) = 0.125$

Schritt 14.3.2.4

Die endgültige Lösung ist $0.125$ .

$0.125$

Schritt 14.4

Setze eine beliebige Zahl, wie $4$ , aus dem Intervall $(1, \infty)$ in die erste Ableitung $t^{3} - 2 t^{2} + t$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 14.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $t$ durch $4$ .

$s' (4) = {(4)}^{3} - 2 {(4)}^{2} + 4$

Schritt 14.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 14.4.2.1

Entferne die Klammern.

$s' (4) = {(4)}^{3} - 2 {(4)}^{2} + 4$

Schritt 14.4.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 14.4.2.2.1

Potenziere $4$ mit $3$ .

$s' (4) = 64 - 2 {(4)}^{2} + 4$

Schritt 14.4.2.2.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$s' (4) = 64 - 2 \cdot 16 + 4$

Schritt 14.4.2.2.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $16$ .

$s' (4) = 64 - 32 + 4$

Schritt 14.4.2.3

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 14.4.2.3.1

Subtrahiere $32$ von $64$ .

$s' (4) = 32 + 4$

Schritt 14.4.2.3.2

Addiere $32$ und $4$ .

$s' (4) = 36$

Schritt 14.4.2.4

Die endgültige Lösung ist $36$ .

$36$

Schritt 14.5

Da die erste Ableitung um $t = 0$ herum das Vorzeichen von negativ zu positiv gewechselt hat, ist $t = 0$ ein lokales Minimum.

$t = 0$ ist ein lokales Minimum

Schritt 14.6

Da die erste Ableitung das Vorzeichen um $t = 1$ nicht gewechselt hat, ist dies kein lokales Maximum oder Minimum.

Kein lokales Maximum oder Minimum

Schritt 14.7

Dies sind die lokalen Extrema für $s (t) = \frac{{(t - 1)}^{3} (3 t + 1)}{12}$ .

$t = 0$ ist ein lokales Minimum

Schritt 15