Analysis Beispiele

$P (x) = \ln (- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1)$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = - x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1$ .

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Schritt 1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1]$

Schritt 1.1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1]$

Schritt 1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1} \frac{d}{d x} [- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [27 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1} (\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [27 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 1.2.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1} (- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [27 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1} (- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [27 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 1.2.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1} (- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [27 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 1.2.5

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12 x^{2}$ nach $x$ gleich $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1} (- 3 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 1.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1} (- 3 x^{2} + 12 (2 x) + \frac{d}{d x} [27 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 1.2.7

Mutltipliziere $2$ mit $12$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1} (- 3 x^{2} + 24 x + \frac{d}{d x} [27 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 1.2.8

Da $27$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $27 x$ nach $x$ gleich $27 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1} (- 3 x^{2} + 24 x + 27 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 1.2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1} (- 3 x^{2} + 24 x + 27 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 1.2.10

Mutltipliziere $27$ mit $1$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1} (- 3 x^{2} + 24 x + 27 + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 1.2.11

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1} (- 3 x^{2} + 24 x + 27 + 0)$

Schritt 1.2.12

Addiere $- 3 x^{2} + 24 x + 27$ und $0$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1} (- 3 x^{2} + 24 x + 27)$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Stelle die Faktoren von $\frac{1}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1} (- 3 x^{2} + 24 x + 27)$ um.

$(- 3 x^{2} + 24 x + 27) \frac{1}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $- 3 x^{2} + 24 x + 27$ mit $\frac{1}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$ .

$\frac{- 3 x^{2} + 24 x + 27}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

Schritt 1.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.3.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x^{2} + 24 x + 27$ heraus.

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Schritt 1.3.3.1.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$\frac{3 (- x^{2}) + 24 x + 27}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

Schritt 1.3.3.1.2

Faktorisiere $3$ aus $24 x$ heraus.

$\frac{3 (- x^{2}) + 3 (8 x) + 27}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

Schritt 1.3.3.1.3

Faktorisiere $3$ aus $27$ heraus.

$\frac{3 (- x^{2}) + 3 (8 x) + 3 (9)}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

Schritt 1.3.3.1.4

Faktorisiere $3$ aus $3 (- x^{2}) + 3 (8 x)$ heraus.

$\frac{3 (- x^{2} + 8 x) + 3 (9)}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

Schritt 1.3.3.1.5

Faktorisiere $3$ aus $3 (- x^{2} + 8 x) + 3 (9)$ heraus.

$\frac{3 (- x^{2} + 8 x + 9)}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

Schritt 1.3.3.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.3.3.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot 9 = - 9$ und deren Summe gleich $b = 8$ ist.

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Schritt 1.3.3.2.1.1

Faktorisiere $8$ aus $8 x$ heraus.

$\frac{3 (- x^{2} + 8 (x) + 9)}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

Schritt 1.3.3.2.1.2

Schreibe $8$ um als $- 1$ plus $9$

$\frac{3 (- x^{2} + (- 1 + 9) x + 9)}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

Schritt 1.3.3.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 (- x^{2} - 1 x + 9 x + 9)}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

Schritt 1.3.3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.3.3.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{3 ((- x^{2} - 1 x) + 9 x + 9)}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

Schritt 1.3.3.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{3 (x (- x - 1) - 9 (- x - 1))}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

Schritt 1.3.3.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- x - 1$ .

$\frac{3 ((- x - 1) (x - 9))}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

$\frac{3 (- x - 1) (x - 9)}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

Schritt 1.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{3 (- (x) - 1) (x - 9)}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

Schritt 1.3.5

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{3 (- (x) - 1 (1)) (x - 9)}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

Schritt 1.3.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (1)$ heraus.

$\frac{3 (- (x + 1)) (x - 9)}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

Schritt 1.3.7

Schreibe $- (x + 1)$ als $- 1 (x + 1)$ um.

$\frac{3 (- 1 (x + 1)) (x - 9)}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

Schritt 1.3.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{3}$ heraus.

$\frac{3 (- 1 (x + 1)) (x - 9)}{- (x^{3}) + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

Schritt 1.3.9

Faktorisiere $- 1$ aus $12 x^{2}$ heraus.

$\frac{3 (- 1 (x + 1)) (x - 9)}{- (x^{3}) - (- 12 x^{2}) + 27 x + 1}$

Schritt 1.3.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{3}) - (- 12 x^{2})$ heraus.

$\frac{3 (- 1 (x + 1)) (x - 9)}{- (x^{3} - 12 x^{2}) + 27 x + 1}$

Schritt 1.3.11

Faktorisiere $- 1$ aus $27 x$ heraus.

$\frac{3 (- 1 (x + 1)) (x - 9)}{- (x^{3} - 12 x^{2}) - (- 27 x) + 1}$

Schritt 1.3.12

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{3} - 12 x^{2}) - (- 27 x)$ heraus.

$\frac{3 (- 1 (x + 1)) (x - 9)}{- (x^{3} - 12 x^{2} - 27 x) + 1}$

Schritt 1.3.13

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{3 (- 1 (x + 1)) (x - 9)}{- (x^{3} - 12 x^{2} - 27 x) - 1 (- 1)}$

Schritt 1.3.14

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{3} - 12 x^{2} - 27 x) - 1 (- 1)$ heraus.

$\frac{3 (- 1 (x + 1)) (x - 9)}{- (x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}$

Schritt 1.3.15

Schreibe $- (x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)$ als $- 1 (x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)$ um.

$\frac{3 (- 1 (x + 1)) (x - 9)}{- 1 (x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}$

Schritt 1.3.16

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (- 1 (x + 1)) (x - 9)}{- 1 (x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}$

Schritt 1.3.17

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 (x + 1) (x - 9)}{x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{3 (x + 1) (x - 9)}{x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [\frac{(x + 1) (x - 9)}{x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1}]$ .

$P'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (\frac{(x + 1) (x - 9)}{x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1})$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = (x + 1) (x - 9)$ und $g (x) = x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1$ .

$P'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1) \frac{d}{d x} ((x + 1) (x - 9)) - (x + 1) (x - 9) \frac{d}{d x} (x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}})$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x + 1$ und $g (x) = x - 9$ .

$P'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1) ((x + 1) \frac{d}{d x} (x - 9) + (x - 9) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 9) \frac{d}{d x} (x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}})$

Schritt 2.4

Differenziere.

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Schritt 2.4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$P'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1) ((x + 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 9)) + (x - 9) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 9) \frac{d}{d x} (x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}})$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$P'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1) ((x + 1) (1 + \frac{d}{d x} (- 9)) + (x - 9) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 9) \frac{d}{d x} (x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}})$

Schritt 2.4.3

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$P'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1) ((x + 1) (1 + 0) + (x - 9) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 9) \frac{d}{d x} (x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}})$

Schritt 2.4.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.4.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$P'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1) ((x + 1) \cdot 1 + (x - 9) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 9) \frac{d}{d x} (x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}})$

Schritt 2.4.4.2

Mutltipliziere $x + 1$ mit $1$ .

$P'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1) (x + 1 + (x - 9) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 9) \frac{d}{d x} (x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}})$

Schritt 2.4.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$P'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1) (x + 1 + (x - 9) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))) - (x + 1) (x - 9) \frac{d}{d x} (x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}})$

Schritt 2.4.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$P'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1) (x + 1 + (x - 9) (1 + \frac{d}{d x} (1))) - (x + 1) (x - 9) \frac{d}{d x} (x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}})$

Schritt 2.4.7

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$P'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1) (x + 1 + (x - 9) (1 + 0)) - (x + 1) (x - 9) \frac{d}{d x} (x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}})$

Schritt 2.4.8

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.4.8.1

Addiere $1$ und $0$ .

$P'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1) (x + 1 + (x - 9) \cdot 1) - (x + 1) (x - 9) \frac{d}{d x} (x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}})$

Schritt 2.4.8.2

Mutltipliziere $x - 9$ mit $1$ .

$P'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1) (x + 1 + x - 9) - (x + 1) (x - 9) \frac{d}{d x} (x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}})$

Schritt 2.4.8.3

Addiere $x$ und $x$ .

$P'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1) (2 x + 1 - 9) - (x + 1) (x - 9) \frac{d}{d x} (x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}})$

Schritt 2.4.8.4

Subtrahiere $9$ von $1$ .

$P'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1) (2 x - 8) - (x + 1) (x - 9) \frac{d}{d x} (x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}})$

Schritt 2.4.9

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 27 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$P'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1) (2 x - 8) - (x + 1) (x - 9) (\frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 27 x) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}})$

Schritt 2.4.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$P'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1) (2 x - 8) - (x + 1) (x - 9) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 27 x) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}})$

Schritt 2.4.11

Da $- 12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 12 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$P'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1) (2 x - 8) - (x + 1) (x - 9) (3 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 27 x) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}})$

Schritt 2.4.12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$P'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1) (2 x - 8) - (x + 1) (x - 9) (3 x^{2} - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 27 x) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}})$

Schritt 2.4.13

Mutltipliziere $2$ mit $- 12$ .

$P'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1) (2 x - 8) - (x + 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x + \frac{d}{d x} (- 27 x) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}})$

Schritt 2.4.14

Da $- 27$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 27 x$ nach $x$ gleich $- 27 \frac{d}{d x} [x]$ .

$P'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1) (2 x - 8) - (x + 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}})$

Schritt 2.4.15

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$P'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1) (2 x - 8) - (x + 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}})$

Schritt 2.4.16

Mutltipliziere $- 27$ mit $1$ .

$P'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1) (2 x - 8) - (x + 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27 + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}})$

Schritt 2.4.17

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$P'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1) (2 x - 8) - (x + 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27 + 0)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}})$

Schritt 2.4.18

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.18.1

Addiere $3 x^{2} - 24 x - 27$ und $0$ .

$P'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1) (2 x - 8) - (x + 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}})$

Schritt 2.4.18.2

Kombiniere $3$ und $\frac{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1) (2 x - 8) - (x + 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$ .

$P'' (x) = \frac{3 ((x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1) (2 x - 8) - (x + 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$P'' (x) = \frac{3 ((x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1) (2 x - 8) + (- x - 1 \cdot 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$P'' (x) = \frac{3 ((x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1) (2 x - 8)) + 3 ((- x - 1 \cdot 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.3.1.1

Multipliziere $(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1) (2 x - 8)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$P'' (x) = \frac{3 (x^{3} (2 x) + x^{3} \cdot - 8 - 12 x^{2} (2 x) - 12 x^{2} \cdot - 8 - 27 x (2 x) - 27 x \cdot - 8 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 8) + 3 ((- x - 1 \cdot 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5.3.1.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.3.1.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$P'' (x) = \frac{3 (2 x^{3} x + x^{3} \cdot - 8 - 12 x^{2} (2 x) - 12 x^{2} \cdot - 8 - 27 x (2 x) - 27 x \cdot - 8 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 8) + 3 ((- x - 1 \cdot 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5.3.1.2.2

Multipliziere $x^{3}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.3.1.2.2.1

Bewege $x$ .

$P'' (x) = \frac{3 (2 (x \cdot x^{3}) + x^{3} \cdot - 8 - 12 x^{2} (2 x) - 12 x^{2} \cdot - 8 - 27 x (2 x) - 27 x \cdot - 8 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 8) + 3 ((- x - 1 \cdot 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5.3.1.2.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.3.1.2.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

Schritt 2.5.3.1.2.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$P'' (x) = \frac{3 (2 x^{1 + 3} + x^{3} \cdot - 8 - 12 x^{2} (2 x) - 12 x^{2} \cdot - 8 - 27 x (2 x) - 27 x \cdot - 8 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 8) + 3 ((- x - 1 \cdot 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5.3.1.2.2.3

Addiere $1$ und $3$ .

$P'' (x) = \frac{3 (2 x^{4} + x^{3} \cdot - 8 - 12 x^{2} (2 x) - 12 x^{2} \cdot - 8 - 27 x (2 x) - 27 x \cdot - 8 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 8) + 3 ((- x - 1 \cdot 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5.3.1.2.3

Bringe $- 8$ auf die linke Seite von $x^{3}$ .

$P'' (x) = \frac{3 (2 x^{4} - 8 \cdot x^{3} - 12 x^{2} (2 x) - 12 x^{2} \cdot - 8 - 27 x (2 x) - 27 x \cdot - 8 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 8) + 3 ((- x - 1 \cdot 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5.3.1.2.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$P'' (x) = \frac{3 (2 x^{4} - 8 x^{3} - 12 \cdot (2 x^{2} x) - 12 x^{2} \cdot - 8 - 27 x (2 x) - 27 x \cdot - 8 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 8) + 3 ((- x - 1 \cdot 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5.3.1.2.5

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.5.3.1.2.5.1

Bewege $x$ .

$P'' (x) = \frac{3 (2 x^{4} - 8 x^{3} - 12 \cdot (2 (x \cdot x^{2})) - 12 x^{2} \cdot - 8 - 27 x (2 x) - 27 x \cdot - 8 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 8) + 3 ((- x - 1 \cdot 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5.3.1.2.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.3.1.2.5.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

Schritt 2.5.3.1.2.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$P'' (x) = \frac{3 (2 x^{4} - 8 x^{3} - 12 \cdot (2 x^{1 + 2}) - 12 x^{2} \cdot - 8 - 27 x (2 x) - 27 x \cdot - 8 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 8) + 3 ((- x - 1 \cdot 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5.3.1.2.5.3

Addiere $1$ und $2$ .

$P'' (x) = \frac{3 (2 x^{4} - 8 x^{3} - 12 \cdot (2 x^{3}) - 12 x^{2} \cdot - 8 - 27 x (2 x) - 27 x \cdot - 8 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 8) + 3 ((- x - 1 \cdot 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5.3.1.2.6

Mutltipliziere $- 12$ mit $2$ .

$P'' (x) = \frac{3 (2 x^{4} - 8 x^{3} - 24 x^{3} - 12 x^{2} \cdot - 8 - 27 x (2 x) - 27 x \cdot - 8 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 8) + 3 ((- x - 1 \cdot 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5.3.1.2.7

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 12$ .

$P'' (x) = \frac{3 (2 x^{4} - 8 x^{3} - 24 x^{3} + 96 x^{2} - 27 x (2 x) - 27 x \cdot - 8 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 8) + 3 ((- x - 1 \cdot 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5.3.1.2.8

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$P'' (x) = \frac{3 (2 x^{4} - 8 x^{3} - 24 x^{3} + 96 x^{2} - 27 \cdot (2 x \cdot x) - 27 x \cdot - 8 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 8) + 3 ((- x - 1 \cdot 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5.3.1.2.9

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.3.1.2.9.1

Bewege $x$ .

$P'' (x) = \frac{3 (2 x^{4} - 8 x^{3} - 24 x^{3} + 96 x^{2} - 27 \cdot (2 (x \cdot x)) - 27 x \cdot - 8 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 8) + 3 ((- x - 1 \cdot 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5.3.1.2.9.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$P'' (x) = \frac{3 (2 x^{4} - 8 x^{3} - 24 x^{3} + 96 x^{2} - 27 \cdot (2 x^{2}) - 27 x \cdot - 8 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 8) + 3 ((- x - 1 \cdot 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5.3.1.2.10

Mutltipliziere $- 27$ mit $2$ .

$P'' (x) = \frac{3 (2 x^{4} - 8 x^{3} - 24 x^{3} + 96 x^{2} - 54 x^{2} - 27 x \cdot - 8 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 8) + 3 ((- x - 1 \cdot 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5.3.1.2.11

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 27$ .

$P'' (x) = \frac{3 (2 x^{4} - 8 x^{3} - 24 x^{3} + 96 x^{2} - 54 x^{2} + 216 x - 1 (2 x) - 1 \cdot - 8) + 3 ((- x - 1 \cdot 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5.3.1.2.12

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$P'' (x) = \frac{3 (2 x^{4} - 8 x^{3} - 24 x^{3} + 96 x^{2} - 54 x^{2} + 216 x - 2 x - 1 \cdot - 8) + 3 ((- x - 1 \cdot 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5.3.1.2.13

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 8$ .

$P'' (x) = \frac{3 (2 x^{4} - 8 x^{3} - 24 x^{3} + 96 x^{2} - 54 x^{2} + 216 x - 2 x + 8) + 3 ((- x - 1 \cdot 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5.3.1.3

Subtrahiere $24 x^{3}$ von $- 8 x^{3}$ .

$P'' (x) = \frac{3 (2 x^{4} - 32 x^{3} + 96 x^{2} - 54 x^{2} + 216 x - 2 x + 8) + 3 ((- x - 1 \cdot 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5.3.1.4

Subtrahiere $54 x^{2}$ von $96 x^{2}$ .

$P'' (x) = \frac{3 (2 x^{4} - 32 x^{3} + 42 x^{2} + 216 x - 2 x + 8) + 3 ((- x - 1 \cdot 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5.3.1.5

Subtrahiere $2 x$ von $216 x$ .

$P'' (x) = \frac{3 (2 x^{4} - 32 x^{3} + 42 x^{2} + 214 x + 8) + 3 ((- x - 1 \cdot 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5.3.1.6

Wende das Distributivgesetz an.

$P'' (x) = \frac{3 (2 x^{4}) + 3 (- 32 x^{3}) + 3 (42 x^{2}) + 3 (214 x) + 3 \cdot 8 + 3 ((- x - 1 \cdot 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5.3.1.7

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.3.1.7.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} + 3 (- 32 x^{3}) + 3 (42 x^{2}) + 3 (214 x) + 3 \cdot 8 + 3 ((- x - 1 \cdot 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5.3.1.7.2

Mutltipliziere $- 32$ mit $3$ .

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 3 (42 x^{2}) + 3 (214 x) + 3 \cdot 8 + 3 ((- x - 1 \cdot 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5.3.1.7.3

Mutltipliziere $42$ mit $3$ .

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 3 (214 x) + 3 \cdot 8 + 3 ((- x - 1 \cdot 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5.3.1.7.4

Mutltipliziere $214$ mit $3$ .

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 3 \cdot 8 + 3 ((- x - 1 \cdot 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5.3.1.7.5

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 ((- x - 1 \cdot 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5.3.1.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 ((- x - 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5.3.1.9

Multipliziere $(- x - 1) (x - 9)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.5.3.1.9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 ((- x (x - 9) - 1 (x - 9)) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5.3.1.9.2

Wende das Distributivgesetz an.

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 ((- x \cdot x - x \cdot - 9 - 1 (x - 9)) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5.3.1.9.3

Wende das Distributivgesetz an.

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 ((- x \cdot x - x \cdot - 9 - 1 x - 1 \cdot - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5.3.1.10

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.5.3.1.10.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.3.1.10.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.5.3.1.10.1.1.1

Bewege $x$ .

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 ((- (x \cdot x) - x \cdot - 9 - 1 x - 1 \cdot - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5.3.1.10.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 ((- x^{2} - x \cdot - 9 - 1 x - 1 \cdot - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5.3.1.10.1.2

Mutltipliziere $- 9$ mit $- 1$ .

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 ((- x^{2} + 9 x - 1 x - 1 \cdot - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5.3.1.10.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 ((- x^{2} + 9 x - x - 1 \cdot - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5.3.1.10.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 9$ .

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 ((- x^{2} + 9 x - x + 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5.3.1.10.2

Subtrahiere $x$ von $9 x$ .

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 ((- x^{2} + 8 x + 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5.3.1.11

Multipliziere $(- x^{2} + 8 x + 9) (3 x^{2} - 24 x - 27)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 (- x^{2} (3 x^{2}) - x^{2} (- 24 x) - x^{2} \cdot - 27 + 8 x (3 x^{2}) + 8 x (- 24 x) + 8 x \cdot - 27 + 9 (3 x^{2}) + 9 (- 24 x) + 9 \cdot - 27)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5.3.1.12

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.3.1.12.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 (- 1 \cdot (3 x^{2} x^{2}) - x^{2} (- 24 x) - x^{2} \cdot - 27 + 8 x (3 x^{2}) + 8 x (- 24 x) + 8 x \cdot - 27 + 9 (3 x^{2}) + 9 (- 24 x) + 9 \cdot - 27)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5.3.1.12.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.3.1.12.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 (- 1 \cdot (3 (x^{2} x^{2})) - x^{2} (- 24 x) - x^{2} \cdot - 27 + 8 x (3 x^{2}) + 8 x (- 24 x) + 8 x \cdot - 27 + 9 (3 x^{2}) + 9 (- 24 x) + 9 \cdot - 27)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5.3.1.12.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 (- 1 \cdot (3 x^{2 + 2}) - x^{2} (- 24 x) - x^{2} \cdot - 27 + 8 x (3 x^{2}) + 8 x (- 24 x) + 8 x \cdot - 27 + 9 (3 x^{2}) + 9 (- 24 x) + 9 \cdot - 27)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5.3.1.12.2.3

Addiere $2$ und $2$ .

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 (- 1 \cdot (3 x^{4}) - x^{2} (- 24 x) - x^{2} \cdot - 27 + 8 x (3 x^{2}) + 8 x (- 24 x) + 8 x \cdot - 27 + 9 (3 x^{2}) + 9 (- 24 x) + 9 \cdot - 27)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5.3.1.12.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 (- 3 x^{4} - x^{2} (- 24 x) - x^{2} \cdot - 27 + 8 x (3 x^{2}) + 8 x (- 24 x) + 8 x \cdot - 27 + 9 (3 x^{2}) + 9 (- 24 x) + 9 \cdot - 27)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5.3.1.12.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 (- 3 x^{4} - 1 \cdot (- 24 x^{2} x) - x^{2} \cdot - 27 + 8 x (3 x^{2}) + 8 x (- 24 x) + 8 x \cdot - 27 + 9 (3 x^{2}) + 9 (- 24 x) + 9 \cdot - 27)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5.3.1.12.5

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.3.1.12.5.1

Bewege $x$ .

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 (- 3 x^{4} - 1 \cdot (- 24 (x \cdot x^{2})) - x^{2} \cdot - 27 + 8 x (3 x^{2}) + 8 x (- 24 x) + 8 x \cdot - 27 + 9 (3 x^{2}) + 9 (- 24 x) + 9 \cdot - 27)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5.3.1.12.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.3.1.12.5.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

Schritt 2.5.3.1.12.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 (- 3 x^{4} - 1 \cdot (- 24 x^{1 + 2}) - x^{2} \cdot - 27 + 8 x (3 x^{2}) + 8 x (- 24 x) + 8 x \cdot - 27 + 9 (3 x^{2}) + 9 (- 24 x) + 9 \cdot - 27)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5.3.1.12.5.3

Addiere $1$ und $2$ .

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 (- 3 x^{4} - 1 \cdot (- 24 x^{3}) - x^{2} \cdot - 27 + 8 x (3 x^{2}) + 8 x (- 24 x) + 8 x \cdot - 27 + 9 (3 x^{2}) + 9 (- 24 x) + 9 \cdot - 27)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5.3.1.12.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 24$ .

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 (- 3 x^{4} + 24 x^{3} - x^{2} \cdot - 27 + 8 x (3 x^{2}) + 8 x (- 24 x) + 8 x \cdot - 27 + 9 (3 x^{2}) + 9 (- 24 x) + 9 \cdot - 27)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5.3.1.12.7

Mutltipliziere $- 27$ mit $- 1$ .

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 (- 3 x^{4} + 24 x^{3} + 27 x^{2} + 8 x (3 x^{2}) + 8 x (- 24 x) + 8 x \cdot - 27 + 9 (3 x^{2}) + 9 (- 24 x) + 9 \cdot - 27)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5.3.1.12.8

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 (- 3 x^{4} + 24 x^{3} + 27 x^{2} + 8 \cdot (3 x \cdot x^{2}) + 8 x (- 24 x) + 8 x \cdot - 27 + 9 (3 x^{2}) + 9 (- 24 x) + 9 \cdot - 27)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5.3.1.12.9

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.3.1.12.9.1

Bewege $x^{2}$ .

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 (- 3 x^{4} + 24 x^{3} + 27 x^{2} + 8 \cdot (3 (x^{2} x)) + 8 x (- 24 x) + 8 x \cdot - 27 + 9 (3 x^{2}) + 9 (- 24 x) + 9 \cdot - 27)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5.3.1.12.9.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.3.1.12.9.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

Schritt 2.5.3.1.12.9.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 (- 3 x^{4} + 24 x^{3} + 27 x^{2} + 8 \cdot (3 x^{2 + 1}) + 8 x (- 24 x) + 8 x \cdot - 27 + 9 (3 x^{2}) + 9 (- 24 x) + 9 \cdot - 27)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5.3.1.12.9.3

Addiere $2$ und $1$ .

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 (- 3 x^{4} + 24 x^{3} + 27 x^{2} + 8 \cdot (3 x^{3}) + 8 x (- 24 x) + 8 x \cdot - 27 + 9 (3 x^{2}) + 9 (- 24 x) + 9 \cdot - 27)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5.3.1.12.10

Mutltipliziere $8$ mit $3$ .

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 (- 3 x^{4} + 24 x^{3} + 27 x^{2} + 24 x^{3} + 8 x (- 24 x) + 8 x \cdot - 27 + 9 (3 x^{2}) + 9 (- 24 x) + 9 \cdot - 27)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5.3.1.12.11

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 (- 3 x^{4} + 24 x^{3} + 27 x^{2} + 24 x^{3} + 8 \cdot (- 24 x \cdot x) + 8 x \cdot - 27 + 9 (3 x^{2}) + 9 (- 24 x) + 9 \cdot - 27)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5.3.1.12.12

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.3.1.12.12.1

Bewege $x$ .

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 (- 3 x^{4} + 24 x^{3} + 27 x^{2} + 24 x^{3} + 8 \cdot (- 24 (x \cdot x)) + 8 x \cdot - 27 + 9 (3 x^{2}) + 9 (- 24 x) + 9 \cdot - 27)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5.3.1.12.12.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 (- 3 x^{4} + 24 x^{3} + 27 x^{2} + 24 x^{3} + 8 \cdot (- 24 x^{2}) + 8 x \cdot - 27 + 9 (3 x^{2}) + 9 (- 24 x) + 9 \cdot - 27)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5.3.1.12.13

Mutltipliziere $8$ mit $- 24$ .

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 (- 3 x^{4} + 24 x^{3} + 27 x^{2} + 24 x^{3} - 192 x^{2} + 8 x \cdot - 27 + 9 (3 x^{2}) + 9 (- 24 x) + 9 \cdot - 27)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5.3.1.12.14

Mutltipliziere $- 27$ mit $8$ .

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 (- 3 x^{4} + 24 x^{3} + 27 x^{2} + 24 x^{3} - 192 x^{2} - 216 x + 9 (3 x^{2}) + 9 (- 24 x) + 9 \cdot - 27)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5.3.1.12.15

Mutltipliziere $3$ mit $9$ .

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 (- 3 x^{4} + 24 x^{3} + 27 x^{2} + 24 x^{3} - 192 x^{2} - 216 x + 27 x^{2} + 9 (- 24 x) + 9 \cdot - 27)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5.3.1.12.16

Mutltipliziere $- 24$ mit $9$ .

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 (- 3 x^{4} + 24 x^{3} + 27 x^{2} + 24 x^{3} - 192 x^{2} - 216 x + 27 x^{2} - 216 x + 9 \cdot - 27)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5.3.1.12.17

Mutltipliziere $9$ mit $- 27$ .

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 (- 3 x^{4} + 24 x^{3} + 27 x^{2} + 24 x^{3} - 192 x^{2} - 216 x + 27 x^{2} - 216 x - 243)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5.3.1.13

Addiere $24 x^{3}$ und $24 x^{3}$ .

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 (- 3 x^{4} + 48 x^{3} + 27 x^{2} - 192 x^{2} - 216 x + 27 x^{2} - 216 x - 243)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5.3.1.14

Subtrahiere $192 x^{2}$ von $27 x^{2}$ .

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 (- 3 x^{4} + 48 x^{3} - 165 x^{2} - 216 x + 27 x^{2} - 216 x - 243)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5.3.1.15

Addiere $- 165 x^{2}$ und $27 x^{2}$ .

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 (- 3 x^{4} + 48 x^{3} - 138 x^{2} - 216 x - 216 x - 243)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5.3.1.16

Subtrahiere $216 x$ von $- 216 x$ .

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 (- 3 x^{4} + 48 x^{3} - 138 x^{2} - 432 x - 243)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5.3.1.17

Wende das Distributivgesetz an.

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 (- 3 x^{4}) + 3 (48 x^{3}) + 3 (- 138 x^{2}) + 3 (- 432 x) + 3 \cdot - 243}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5.3.1.18

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.3.1.18.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $3$ .

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 - 9 x^{4} + 3 (48 x^{3}) + 3 (- 138 x^{2}) + 3 (- 432 x) + 3 \cdot - 243}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5.3.1.18.2

Mutltipliziere $48$ mit $3$ .

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 - 9 x^{4} + 144 x^{3} + 3 (- 138 x^{2}) + 3 (- 432 x) + 3 \cdot - 243}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5.3.1.18.3

Mutltipliziere $- 138$ mit $3$ .

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 - 9 x^{4} + 144 x^{3} - 414 x^{2} + 3 (- 432 x) + 3 \cdot - 243}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5.3.1.18.4

Mutltipliziere $- 432$ mit $3$ .

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 - 9 x^{4} + 144 x^{3} - 414 x^{2} - 1296 x + 3 \cdot - 243}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5.3.1.18.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 243$ .

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 - 9 x^{4} + 144 x^{3} - 414 x^{2} - 1296 x - 729}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5.3.2

Subtrahiere $9 x^{4}$ von $6 x^{4}$ .

$P'' (x) = \frac{- 3 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 144 x^{3} - 414 x^{2} - 1296 x - 729}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5.3.3

Addiere $- 96 x^{3}$ und $144 x^{3}$ .

$P'' (x) = \frac{- 3 x^{4} + 48 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 - 414 x^{2} - 1296 x - 729}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5.3.4

Subtrahiere $414 x^{2}$ von $126 x^{2}$ .

$P'' (x) = \frac{- 3 x^{4} + 48 x^{3} - 288 x^{2} + 642 x + 24 - 1296 x - 729}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5.3.5

Subtrahiere $1296 x$ von $642 x$ .

$P'' (x) = \frac{- 3 x^{4} + 48 x^{3} - 288 x^{2} - 654 x + 24 - 729}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5.3.6

Subtrahiere $729$ von $24$ .

$P'' (x) = \frac{- 3 x^{4} + 48 x^{3} - 288 x^{2} - 654 x - 705}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5.4

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x^{4} + 48 x^{3} - 288 x^{2} - 654 x - 705$ heraus.

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Schritt 2.5.4.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x^{4}$ heraus.

$P'' (x) = \frac{3 (- x^{4}) + 48 x^{3} - 288 x^{2} - 654 x - 705}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5.4.2

Faktorisiere $3$ aus $48 x^{3}$ heraus.

$P'' (x) = \frac{3 (- x^{4}) + 3 (16 x^{3}) - 288 x^{2} - 654 x - 705}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5.4.3

Faktorisiere $3$ aus $- 288 x^{2}$ heraus.

$P'' (x) = \frac{3 (- x^{4}) + 3 (16 x^{3}) + 3 (- 96 x^{2}) - 654 x - 705}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5.4.4

Faktorisiere $3$ aus $- 654 x$ heraus.

$P'' (x) = \frac{3 (- x^{4}) + 3 (16 x^{3}) + 3 (- 96 x^{2}) + 3 (- 218 x) - 705}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5.4.5

Faktorisiere $3$ aus $- 705$ heraus.

$P'' (x) = \frac{3 (- x^{4}) + 3 (16 x^{3}) + 3 (- 96 x^{2}) + 3 (- 218 x) + 3 (- 235)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5.4.6

Faktorisiere $3$ aus $3 (- x^{4}) + 3 (16 x^{3})$ heraus.

$P'' (x) = \frac{3 (- x^{4} + 16 x^{3}) + 3 (- 96 x^{2}) + 3 (- 218 x) + 3 (- 235)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5.4.7

Faktorisiere $3$ aus $3 (- x^{4} + 16 x^{3}) + 3 (- 96 x^{2})$ heraus.

$P'' (x) = \frac{3 (- x^{4} + 16 x^{3} - 96 x^{2}) + 3 (- 218 x) + 3 (- 235)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5.4.8

Faktorisiere $3$ aus $3 (- x^{4} + 16 x^{3} - 96 x^{2}) + 3 (- 218 x)$ heraus.

$P'' (x) = \frac{3 (- x^{4} + 16 x^{3} - 96 x^{2} - 218 x) + 3 (- 235)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5.4.9

Faktorisiere $3$ aus $3 (- x^{4} + 16 x^{3} - 96 x^{2} - 218 x) + 3 (- 235)$ heraus.

$P'' (x) = \frac{3 (- x^{4} + 16 x^{3} - 96 x^{2} - 218 x - 235)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{4}$ heraus.

$P'' (x) = \frac{3 (- (x^{4}) + 16 x^{3} - 96 x^{2} - 218 x - 235)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5.6

Faktorisiere $- 1$ aus $16 x^{3}$ heraus.

$P'' (x) = \frac{3 (- (x^{4}) - (- 16 x^{3}) - 96 x^{2} - 218 x - 235)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{4}) - (- 16 x^{3})$ heraus.

$P'' (x) = \frac{3 (- (x^{4} - 16 x^{3}) - 96 x^{2} - 218 x - 235)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- 96 x^{2}$ heraus.

$P'' (x) = \frac{3 (- (x^{4} - 16 x^{3}) - (96 x^{2}) - 218 x - 235)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{4} - 16 x^{3}) - (96 x^{2})$ heraus.

$P'' (x) = \frac{3 (- (x^{4} - 16 x^{3} + 96 x^{2}) - 218 x - 235)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- 218 x$ heraus.

$P'' (x) = \frac{3 (- (x^{4} - 16 x^{3} + 96 x^{2}) - (218 x) - 235)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5.11

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{4} - 16 x^{3} + 96 x^{2}) - (218 x)$ heraus.

$P'' (x) = \frac{3 (- (x^{4} - 16 x^{3} + 96 x^{2} + 218 x) - 235)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5.12

Schreibe $- 235$ als $- 1 (235)$ um.

$P'' (x) = \frac{3 (- (x^{4} - 16 x^{3} + 96 x^{2} + 218 x) - 1 \cdot 235)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5.13

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{4} - 16 x^{3} + 96 x^{2} + 218 x) - 1 (235)$ heraus.

$P'' (x) = \frac{3 (- (x^{4} - 16 x^{3} + 96 x^{2} + 218 x + 235))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5.14

Schreibe $- (x^{4} - 16 x^{3} + 96 x^{2} + 218 x + 235)$ als $- 1 (x^{4} - 16 x^{3} + 96 x^{2} + 218 x + 235)$ um.

$P'' (x) = \frac{3 (- 1 (x^{4} - 16 x^{3} + 96 x^{2} + 218 x + 235))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5.15

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$P'' (x) = - \frac{3 (x^{4} - 16 x^{3} + 96 x^{2} + 218 x + 235)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{3 (x + 1) (x - 9)}{x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1} = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = - x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1$ .

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Schritt 4.1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1)$

Schritt 4.1.1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$f' (x) = \frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1)$

Schritt 4.1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1)$

Schritt 4.1.2

Differenziere.

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Schritt 4.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [27 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{1}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1} \cdot (\frac{d}{d x} (- x^{3}) + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (27 x) + \frac{d}{d x} (1))$

Schritt 4.1.2.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (27 x) + \frac{d}{d x} (1))$

Schritt 4.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f' (x) = \frac{1}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1} \cdot (- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (27 x) + \frac{d}{d x} (1))$

Schritt 4.1.2.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1} \cdot (- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (27 x) + \frac{d}{d x} (1))$

Schritt 4.1.2.5

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12 x^{2}$ nach $x$ gleich $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1} \cdot (- 3 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (27 x) + \frac{d}{d x} (1))$

Schritt 4.1.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{1}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1} \cdot (- 3 x^{2} + 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (27 x) + \frac{d}{d x} (1))$

Schritt 4.1.2.7

Mutltipliziere $2$ mit $12$ .

$f' (x) = \frac{1}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1} \cdot (- 3 x^{2} + 24 x + \frac{d}{d x} (27 x) + \frac{d}{d x} (1))$

Schritt 4.1.2.8

Da $27$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $27 x$ nach $x$ gleich $27 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{1}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1} \cdot (- 3 x^{2} + 24 x + 27 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))$

Schritt 4.1.2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1} \cdot (- 3 x^{2} + 24 x + 27 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1))$

Schritt 4.1.2.10

Mutltipliziere $27$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1} \cdot (- 3 x^{2} + 24 x + 27 + \frac{d}{d x} (1))$

Schritt 4.1.2.11

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1} \cdot (- 3 x^{2} + 24 x + 27 + 0)$

Schritt 4.1.2.12

Addiere $- 3 x^{2} + 24 x + 27$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1} \cdot (- 3 x^{2} + 24 x + 27)$

Schritt 4.1.3

Vereinfache.

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Schritt 4.1.3.1

Stelle die Faktoren von $\frac{1}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1} (- 3 x^{2} + 24 x + 27)$ um.

$f' (x) = (- 3 x^{2} + 24 x + 27) (\frac{1}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1})$

Schritt 4.1.3.2

Mutltipliziere $- 3 x^{2} + 24 x + 27$ mit $\frac{1}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$ .

$f' (x) = \frac{- 3 x^{2} + 24 x + 27}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

Schritt 4.1.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.3.3.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x^{2} + 24 x + 27$ heraus.

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Schritt 4.1.3.3.1.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$f' (x) = \frac{3 (- x^{2}) + 24 x + 27}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

Schritt 4.1.3.3.1.2

Faktorisiere $3$ aus $24 x$ heraus.

$f' (x) = \frac{3 (- x^{2}) + 3 (8 x) + 27}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

Schritt 4.1.3.3.1.3

Faktorisiere $3$ aus $27$ heraus.

$f' (x) = \frac{3 (- x^{2}) + 3 (8 x) + 3 (9)}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

Schritt 4.1.3.3.1.4

Faktorisiere $3$ aus $3 (- x^{2}) + 3 (8 x)$ heraus.

$f' (x) = \frac{3 (- x^{2} + 8 x) + 3 (9)}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

Schritt 4.1.3.3.1.5

Faktorisiere $3$ aus $3 (- x^{2} + 8 x) + 3 (9)$ heraus.

$f' (x) = \frac{3 (- x^{2} + 8 x + 9)}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

Schritt 4.1.3.3.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.1.3.3.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot 9 = - 9$ und deren Summe gleich $b = 8$ ist.

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Schritt 4.1.3.3.2.1.1

Faktorisiere $8$ aus $8 x$ heraus.

$f' (x) = \frac{3 (- x^{2} + 8 (x) + 9)}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

Schritt 4.1.3.3.2.1.2

Schreibe $8$ um als $- 1$ plus $9$

$f' (x) = \frac{3 (- x^{2} + (- 1 + 9) x + 9)}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

Schritt 4.1.3.3.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{3 (- x^{2} - 1 x + 9 x + 9)}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

Schritt 4.1.3.3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.1.3.3.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$f' (x) = \frac{3 ((- x^{2} - 1 x) + 9 x + 9)}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

Schritt 4.1.3.3.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$f' (x) = \frac{3 (x (- x - 1) - 9 (- x - 1))}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

Schritt 4.1.3.3.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- x - 1$ .

$f' (x) = \frac{3 ((- x - 1) (x - 9))}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

$f' (x) = \frac{3 (- x - 1) (x - 9)}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

Schritt 4.1.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$f' (x) = \frac{3 (- (x) - 1) (x - 9)}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

Schritt 4.1.3.5

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$f' (x) = \frac{3 (- (x) - 1 \cdot 1) (x - 9)}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

Schritt 4.1.3.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (1)$ heraus.

$f' (x) = \frac{3 (- (x + 1)) (x - 9)}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

Schritt 4.1.3.7

Schreibe $- (x + 1)$ als $- 1 (x + 1)$ um.

$f' (x) = \frac{3 (- 1 (x + 1)) (x - 9)}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

Schritt 4.1.3.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{3}$ heraus.

$f' (x) = \frac{3 (- 1 (x + 1)) (x - 9)}{- (x^{3}) + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

Schritt 4.1.3.9

Faktorisiere $- 1$ aus $12 x^{2}$ heraus.

$f' (x) = \frac{3 (- 1 (x + 1)) (x - 9)}{- (x^{3}) - (- 12 x^{2}) + 27 x + 1}$

Schritt 4.1.3.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{3}) - (- 12 x^{2})$ heraus.

$f' (x) = \frac{3 (- 1 (x + 1)) (x - 9)}{- (x^{3} - 12 x^{2}) + 27 x + 1}$

Schritt 4.1.3.11

Faktorisiere $- 1$ aus $27 x$ heraus.

$f' (x) = \frac{3 (- 1 (x + 1)) (x - 9)}{- (x^{3} - 12 x^{2}) - (- 27 x) + 1}$

Schritt 4.1.3.12

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{3} - 12 x^{2}) - (- 27 x)$ heraus.

$f' (x) = \frac{3 (- 1 (x + 1)) (x - 9)}{- (x^{3} - 12 x^{2} - 27 x) + 1}$

Schritt 4.1.3.13

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$f' (x) = \frac{3 (- 1 (x + 1)) (x - 9)}{- (x^{3} - 12 x^{2} - 27 x) - 1 \cdot - 1}$

Schritt 4.1.3.14

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{3} - 12 x^{2} - 27 x) - 1 (- 1)$ heraus.

$f' (x) = \frac{3 (- 1 (x + 1)) (x - 9)}{- (x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}$

Schritt 4.1.3.15

Schreibe $- (x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)$ als $- 1 (x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)$ um.

$f' (x) = \frac{3 (- 1 (x + 1)) (x - 9)}{- 1 (x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}$

Schritt 4.1.3.16

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = \frac{3 (- 1 (x + 1)) (x - 9)}{- 1 (x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}$

Schritt 4.1.3.17

Forme den Ausdruck um.

$f' (x) = \frac{3 (x + 1) (x - 9)}{x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1}$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $P (x)$ nach $x$ ist $\frac{3 (x + 1) (x - 9)}{x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1}$ .

$\frac{3 (x + 1) (x - 9)}{x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1}$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{3 (x + 1) (x - 9)}{x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1} = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{3 (x + 1) (x - 9)}{x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1} = 0$

Schritt 5.2

Setze den Zähler gleich Null.

$3 (x + 1) (x - 9) = 0$

Schritt 5.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 9 = 0$

Schritt 5.3.2

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.2.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 5.3.2.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 5.3.3

Setze $x - 9$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.3.1

Setze $x - 9$ gleich $0$ .

$x - 9 = 0$

Schritt 5.3.3.2

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 9$

Schritt 5.3.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $3 (x + 1) (x - 9) = 0$ wahr machen.

$x = - 1, 9$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Setze den Nenner in $\frac{3 (x + 1) (x - 9)}{x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1 = 0$

Schritt 6.2

Stelle jede Seite der Gleichung graphisch dar. Die Lösung ist der x-Wert des Schnittpunktes.

$x \approx - 1.90410133, - 0.03766968, 13.94177101$

Schritt 6.3

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x = - 1.90410133, x = - 0.03766968, x = 13.94177101$

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 9, - 1.90410133, - 0.03766968$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 9$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \frac{3 ({(9)}^{4} - 16 {(9)}^{3} + 96 {(9)}^{2} + 218 (9) + 235)}{{({(9)}^{3} - 12 {(9)}^{2} - 27 \cdot 9 - 1)}^{2}}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.1

Potenziere $9$ mit $4$ .

$- \frac{3 (6561 - 16 \cdot 9^{3} + 96 \cdot 9^{2} + 218 (9) + 235)}{{(9^{3} - 12 \cdot 9^{2} - 27 \cdot 9 - 1)}^{2}}$

Schritt 9.1.2

Potenziere $9$ mit $3$ .

$- \frac{3 (6561 - 16 \cdot 729 + 96 \cdot 9^{2} + 218 (9) + 235)}{{(9^{3} - 12 \cdot 9^{2} - 27 \cdot 9 - 1)}^{2}}$

Schritt 9.1.3

Mutltipliziere $- 16$ mit $729$ .

$- \frac{3 (6561 - 11664 + 96 \cdot 9^{2} + 218 (9) + 235)}{{(9^{3} - 12 \cdot 9^{2} - 27 \cdot 9 - 1)}^{2}}$

Schritt 9.1.4

Potenziere $9$ mit $2$ .

$- \frac{3 (6561 - 11664 + 96 \cdot 81 + 218 (9) + 235)}{{(9^{3} - 12 \cdot 9^{2} - 27 \cdot 9 - 1)}^{2}}$

Schritt 9.1.5

Mutltipliziere $96$ mit $81$ .

$- \frac{3 (6561 - 11664 + 7776 + 218 (9) + 235)}{{(9^{3} - 12 \cdot 9^{2} - 27 \cdot 9 - 1)}^{2}}$

Schritt 9.1.6

Mutltipliziere $218$ mit $9$ .

$- \frac{3 (6561 - 11664 + 7776 + 1962 + 235)}{{(9^{3} - 12 \cdot 9^{2} - 27 \cdot 9 - 1)}^{2}}$

Schritt 9.1.7

Subtrahiere $11664$ von $6561$ .

$- \frac{3 (- 5103 + 7776 + 1962 + 235)}{{(9^{3} - 12 \cdot 9^{2} - 27 \cdot 9 - 1)}^{2}}$

Schritt 9.1.8

Addiere $- 5103$ und $7776$ .

$- \frac{3 (2673 + 1962 + 235)}{{(9^{3} - 12 \cdot 9^{2} - 27 \cdot 9 - 1)}^{2}}$

Schritt 9.1.9

Addiere $2673$ und $1962$ .

$- \frac{3 (4635 + 235)}{{(9^{3} - 12 \cdot 9^{2} - 27 \cdot 9 - 1)}^{2}}$

Schritt 9.1.10

Addiere $4635$ und $235$ .

$- \frac{3 \cdot 4870}{{(9^{3} - 12 \cdot 9^{2} - 27 \cdot 9 - 1)}^{2}}$

Schritt 9.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.1

Potenziere $9$ mit $3$ .

$- \frac{3 \cdot 4870}{{(729 - 12 \cdot 9^{2} - 27 \cdot 9 - 1)}^{2}}$

Schritt 9.2.2

Potenziere $9$ mit $2$ .

$- \frac{3 \cdot 4870}{{(729 - 12 \cdot 81 - 27 \cdot 9 - 1)}^{2}}$

Schritt 9.2.3

Mutltipliziere $- 12$ mit $81$ .

$- \frac{3 \cdot 4870}{{(729 - 972 - 27 \cdot 9 - 1)}^{2}}$

Schritt 9.2.4

Mutltipliziere $- 27$ mit $9$ .

$- \frac{3 \cdot 4870}{{(729 - 972 - 243 - 1)}^{2}}$

Schritt 9.2.5

Subtrahiere $972$ von $729$ .

$- \frac{3 \cdot 4870}{{(- 243 - 243 - 1)}^{2}}$

Schritt 9.2.6

Subtrahiere $243$ von $- 243$ .

$- \frac{3 \cdot 4870}{{(- 486 - 1)}^{2}}$

Schritt 9.2.7

Subtrahiere $1$ von $- 486$ .

$- \frac{3 \cdot 4870}{{(- 487)}^{2}}$

Schritt 9.2.8

Potenziere $- 487$ mit $2$ .

$- \frac{3 \cdot 4870}{237169}$

Schritt 9.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $4870$ .

$- \frac{14610}{237169}$

Schritt 9.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $14610$ und $237169$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.2.1

Faktorisiere $487$ aus $14610$ heraus.

$- \frac{487 (30)}{237169}$

Schritt 9.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.2.2.1

Faktorisiere $487$ aus $237169$ heraus.

$- \frac{487 \cdot 30}{487 \cdot 487}$

Schritt 9.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{487 \cdot 30}{487 \cdot 487}$

Schritt 9.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{30}{487}$

Schritt 10

$x = 9$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 9$ ist ein lokales Maximum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 9$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $9$ .

$P (9) = \ln (- {(9)}^{3} + 12 {(9)}^{2} + 27 (9) + 1)$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1.1

Potenziere $9$ mit $3$ .

$P (9) = \ln (- 1 \cdot 729 + 12 {(9)}^{2} + 27 (9) + 1)$

Schritt 11.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $729$ .

$P (9) = \ln (- 729 + 12 {(9)}^{2} + 27 (9) + 1)$

Schritt 11.2.1.3

Potenziere $9$ mit $2$ .

$P (9) = \ln (- 729 + 12 \cdot 81 + 27 (9) + 1)$

Schritt 11.2.1.4

Mutltipliziere $12$ mit $81$ .

$P (9) = \ln (- 729 + 972 + 27 (9) + 1)$

Schritt 11.2.1.5

Mutltipliziere $27$ mit $9$ .

$P (9) = \ln (- 729 + 972 + 243 + 1)$

Schritt 11.2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 11.2.2.1

Addiere $- 729$ und $972$ .

$P (9) = \ln (243 + 243 + 1)$

Schritt 11.2.2.2

Addiere $243$ und $243$ .

$P (9) = \ln (486 + 1)$

Schritt 11.2.2.3

Addiere $486$ und $1$ .

$P (9) = \ln (487)$

Schritt 11.2.3

Die endgültige Lösung ist $\ln (487)$ .

$y = \ln (487)$

Schritt 12

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - 1.90410133$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \frac{3 ({(- 1.90410133)}^{4} - 16 {(- 1.90410133)}^{3} + 96 {(- 1.90410133)}^{2} + 218 (- 1.90410133) + 235)}{{({(- 1.90410133)}^{3} - 12 {(- 1.90410133)}^{2} - 27 \cdot - 1.90410133 - 1)}^{2}}$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 13.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1.1

Potenziere $- 1.90410133$ mit $3$ .

$- \frac{3 ({(- 1.90410133)}^{4} - 16 {(- 1.90410133)}^{3} + 96 {(- 1.90410133)}^{2} + 218 (- 1.90410133) + 235)}{{(- 6.90351337 - 12 {(- 1.90410133)}^{2} - 27 \cdot - 1.90410133 - 1)}^{2}}$

Schritt 13.1.2

Potenziere $- 1.90410133$ mit $2$ .

$- \frac{3 ({(- 1.90410133)}^{4} - 16 {(- 1.90410133)}^{3} + 96 {(- 1.90410133)}^{2} + 218 (- 1.90410133) + 235)}{{(- 6.90351337 - 12 \cdot 3.62560188 - 27 \cdot - 1.90410133 - 1)}^{2}}$

Schritt 13.1.3

Mutltipliziere $- 12$ mit $3.62560188$ .

$- \frac{3 ({(- 1.90410133)}^{4} - 16 {(- 1.90410133)}^{3} + 96 {(- 1.90410133)}^{2} + 218 (- 1.90410133) + 235)}{{(- 6.90351337 - 43.50722259 - 27 \cdot - 1.90410133 - 1)}^{2}}$

Schritt 13.1.4

Mutltipliziere $- 27$ mit $- 1.90410133$ .

$- \frac{3 ({(- 1.90410133)}^{4} - 16 {(- 1.90410133)}^{3} + 96 {(- 1.90410133)}^{2} + 218 (- 1.90410133) + 235)}{{(- 6.90351337 - 43.50722259 + 51.41073596 - 1)}^{2}}$

Schritt 13.2

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.2.1

Subtrahiere $43.50722259$ von $- 6.90351337$ .

$- \frac{3 ({(- 1.90410133)}^{4} - 16 {(- 1.90410133)}^{3} + 96 {(- 1.90410133)}^{2} + 218 (- 1.90410133) + 235)}{{(- 50.41073596 + 51.41073596 - 1)}^{2}}$

Schritt 13.2.2

Addiere $- 50.41073596$ und $51.41073596$ .

$- \frac{3 ({(- 1.90410133)}^{4} - 16 {(- 1.90410133)}^{3} + 96 {(- 1.90410133)}^{2} + 218 (- 1.90410133) + 235)}{{(0.99999999 - 1)}^{2}}$

Schritt 13.2.3

Subtrahiere $1$ von $0.99999999$ .

$- \frac{3 ({(- 1.90410133)}^{4} - 16 {(- 1.90410133)}^{3} + 96 {(- 1.90410133)}^{2} + 218 (- 1.90410133) + 235)}{{(0)}^{2}}$

Schritt 13.2.4

Potenziere $0$ mit $2$ .

$- \frac{3 ({(- 1.90410133)}^{4} - 16 {(- 1.90410133)}^{3} + 96 {(- 1.90410133)}^{2} + 218 (- 1.90410133) + 235)}{0}$

Schritt 13.2.5

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$- \frac{3 ({(- 1.90410133)}^{4} - 16 {(- 1.90410133)}^{3} + 96 {(- 1.90410133)}^{2} + 218 (- 1.90410133) + 235)}{0}$

Schritt 13.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 14

Da es mindestens einen Punkt mit $0$ oder eine nicht definierte zweite Ableitung gibt, wende den ersten Ableitungstest an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.1

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum auf, die die erste Ableitung zu $0$ oder nicht definiert machen.

$(- \infty, - 1.90410133) \cup (- 1.90410133, - 0.03766968) \cup (- 0.03766968, 9) \cup (9, \infty)$

Schritt 14.2

Setze eine beliebige Zahl, wie $- 4$ , aus dem Intervall $(- \infty, - 1.90410133)$ in die erste Ableitung $\frac{3 (x + 1) (x - 9)}{x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 4$ .

$P' (- 4) = \frac{3 ((- 4) + 1) ((- 4) - 9)}{{(- 4)}^{3} - 12 {(- 4)}^{2} - 27 \cdot - 4 - 1}$

Schritt 14.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.2.2.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.2.2.1.1

Addiere $- 4$ und $1$ .

$P' (- 4) = \frac{3 \cdot (- 3 (- 4 - 9))}{{(- 4)}^{3} - 12 {(- 4)}^{2} - 27 \cdot - 4 - 1}$

Schritt 14.2.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$P' (- 4) = \frac{- 9 (- 4 - 9)}{{(- 4)}^{3} - 12 {(- 4)}^{2} - 27 \cdot - 4 - 1}$

Schritt 14.2.2.1.3

Subtrahiere $9$ von $- 4$ .

$P' (- 4) = \frac{- 9 \cdot - 13}{{(- 4)}^{3} - 12 {(- 4)}^{2} - 27 \cdot - 4 - 1}$

Schritt 14.2.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.2.2.2.1

Potenziere $- 4$ mit $3$ .

$P' (- 4) = \frac{- 9 \cdot - 13}{- 64 - 12 {(- 4)}^{2} - 27 \cdot - 4 - 1}$

Schritt 14.2.2.2.2

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$P' (- 4) = \frac{- 9 \cdot - 13}{- 64 - 12 \cdot 16 - 27 \cdot - 4 - 1}$

Schritt 14.2.2.2.3

Mutltipliziere $- 12$ mit $16$ .

$P' (- 4) = \frac{- 9 \cdot - 13}{- 64 - 192 - 27 \cdot - 4 - 1}$

Schritt 14.2.2.2.4

Mutltipliziere $- 27$ mit $- 4$ .

$P' (- 4) = \frac{- 9 \cdot - 13}{- 64 - 192 + 108 - 1}$

Schritt 14.2.2.2.5

Subtrahiere $192$ von $- 64$ .

$P' (- 4) = \frac{- 9 \cdot - 13}{- 256 + 108 - 1}$

Schritt 14.2.2.2.6

Addiere $- 256$ und $108$ .

$P' (- 4) = \frac{- 9 \cdot - 13}{- 148 - 1}$

Schritt 14.2.2.2.7

Subtrahiere $1$ von $- 148$ .

$P' (- 4) = \frac{- 9 \cdot - 13}{- 149}$

Schritt 14.2.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.2.2.3.1

Mutltipliziere $- 9$ mit $- 13$ .

$P' (- 4) = \frac{117}{- 149}$

Schritt 14.2.2.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$P' (- 4) = - \frac{117}{149}$

Schritt 14.2.2.4

Die endgültige Lösung ist $- \frac{117}{149}$ .

$- \frac{117}{149}$

Schritt 14.3

Setze eine beliebige Zahl, wie $- 1$ , aus dem Intervall $(- 1.90410133, - 0.03766968)$ in die erste Ableitung $\frac{3 (x + 1) (x - 9)}{x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$P' (- 1) = \frac{3 ((- 1) + 1) ((- 1) - 9)}{{(- 1)}^{3} - 12 {(- 1)}^{2} - 27 \cdot - 1 - 1}$

Schritt 14.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.3.2.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.3.2.1.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$P' (- 1) = \frac{3 \cdot (0 (- 1 - 9))}{{(- 1)}^{3} - 12 {(- 1)}^{2} - 27 \cdot - 1 - 1}$

Schritt 14.3.2.1.2

Kombiniere Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.3.2.1.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$P' (- 1) = \frac{0 (- 1 - 9)}{{(- 1)}^{3} - 12 {(- 1)}^{2} - 27 \cdot - 1 - 1}$

Schritt 14.3.2.1.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $- 1 - 9$ .

$P' (- 1) = \frac{0}{{(- 1)}^{3} - 12 {(- 1)}^{2} - 27 \cdot - 1 - 1}$

Schritt 14.3.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.3.2.2.1

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$P' (- 1) = \frac{0}{- 1 - 12 {(- 1)}^{2} - 27 \cdot - 1 - 1}$

Schritt 14.3.2.2.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$P' (- 1) = \frac{0}{- 1 - 12 \cdot 1 - 27 \cdot - 1 - 1}$

Schritt 14.3.2.2.3

Mutltipliziere $- 12$ mit $1$ .

$P' (- 1) = \frac{0}{- 1 - 12 - 27 \cdot - 1 - 1}$

Schritt 14.3.2.2.4

Mutltipliziere $- 27$ mit $- 1$ .

$P' (- 1) = \frac{0}{- 1 - 12 + 27 - 1}$

Schritt 14.3.2.2.5

Subtrahiere $12$ von $- 1$ .

$P' (- 1) = \frac{0}{- 13 + 27 - 1}$

Schritt 14.3.2.2.6

Addiere $- 13$ und $27$ .

$P' (- 1) = \frac{0}{14 - 1}$

Schritt 14.3.2.2.7

Subtrahiere $1$ von $14$ .

$P' (- 1) = \frac{0}{13}$

Schritt 14.3.2.3

Dividiere $0$ durch $13$ .

$P' (- 1) = 0$

Schritt 14.3.2.4

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 14.4

Setze eine beliebige Zahl, wie $0$ , aus dem Intervall $(- 0.03766968, 9)$ in die erste Ableitung $\frac{3 (x + 1) (x - 9)}{x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$P' (0) = \frac{3 ((0) + 1) ((0) - 9)}{{(0)}^{3} - 12 {(0)}^{2} - 27 \cdot 0 - 1}$

Schritt 14.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.4.2.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.4.2.1.1

Addiere $0$ und $1$ .

$P' (0) = \frac{3 \cdot (1 (0 - 9))}{0^{3} - 12 \cdot 0^{2} - 27 \cdot 0 - 1}$

Schritt 14.4.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$P' (0) = \frac{3 (0 - 9)}{0^{3} - 12 \cdot 0^{2} - 27 \cdot 0 - 1}$

Schritt 14.4.2.1.3

Subtrahiere $9$ von $0$ .

$P' (0) = \frac{3 \cdot - 9}{0^{3} - 12 \cdot 0^{2} - 27 \cdot 0 - 1}$

Schritt 14.4.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.4.2.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$P' (0) = \frac{3 \cdot - 9}{0 - 12 \cdot 0^{2} - 27 \cdot 0 - 1}$

Schritt 14.4.2.2.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$P' (0) = \frac{3 \cdot - 9}{0 - 12 \cdot 0 - 27 \cdot 0 - 1}$

Schritt 14.4.2.2.3

Mutltipliziere $- 12$ mit $0$ .

$P' (0) = \frac{3 \cdot - 9}{0 + 0 - 27 \cdot 0 - 1}$

Schritt 14.4.2.2.4

Mutltipliziere $- 27$ mit $0$ .

$P' (0) = \frac{3 \cdot - 9}{0 + 0 + 0 - 1}$

Schritt 14.4.2.2.5

Addiere $0$ und $0$ .

$P' (0) = \frac{3 \cdot - 9}{0 + 0 - 1}$

Schritt 14.4.2.2.6

Addiere $0$ und $0$ .

$P' (0) = \frac{3 \cdot - 9}{0 - 1}$

Schritt 14.4.2.2.7

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$P' (0) = \frac{3 \cdot - 9}{- 1}$

Schritt 14.4.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.4.2.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 9$ .

$P' (0) = \frac{- 27}{- 1}$

Schritt 14.4.2.3.2

Dividiere $- 27$ durch $- 1$ .

$P' (0) = 27$

Schritt 14.4.2.4

Die endgültige Lösung ist $27$ .

$27$

Schritt 14.5

Setze eine beliebige Zahl, wie $11$ , aus dem Intervall $(9, \infty)$ in die erste Ableitung $\frac{3 (x + 1) (x - 9)}{x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 14.5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $11$ .

$P' (11) = \frac{3 ((11) + 1) ((11) - 9)}{{(11)}^{3} - 12 {(11)}^{2} - 27 \cdot 11 - 1}$

Schritt 14.5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 14.5.2.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.5.2.1.1

Addiere $11$ und $1$ .

$P' (11) = \frac{3 \cdot (12 (11 - 9))}{11^{3} - 12 \cdot 11^{2} - 27 \cdot 11 - 1}$

Schritt 14.5.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $12$ .

$P' (11) = \frac{36 (11 - 9)}{11^{3} - 12 \cdot 11^{2} - 27 \cdot 11 - 1}$

Schritt 14.5.2.1.3

Subtrahiere $9$ von $11$ .

$P' (11) = \frac{36 \cdot 2}{11^{3} - 12 \cdot 11^{2} - 27 \cdot 11 - 1}$

Schritt 14.5.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.5.2.2.1

Potenziere $11$ mit $3$ .

$P' (11) = \frac{36 \cdot 2}{1331 - 12 \cdot 11^{2} - 27 \cdot 11 - 1}$

Schritt 14.5.2.2.2

Potenziere $11$ mit $2$ .

$P' (11) = \frac{36 \cdot 2}{1331 - 12 \cdot 121 - 27 \cdot 11 - 1}$

Schritt 14.5.2.2.3

Mutltipliziere $- 12$ mit $121$ .

$P' (11) = \frac{36 \cdot 2}{1331 - 1452 - 27 \cdot 11 - 1}$

Schritt 14.5.2.2.4

Mutltipliziere $- 27$ mit $11$ .

$P' (11) = \frac{36 \cdot 2}{1331 - 1452 - 297 - 1}$

Schritt 14.5.2.2.5

Subtrahiere $1452$ von $1331$ .

$P' (11) = \frac{36 \cdot 2}{- 121 - 297 - 1}$

Schritt 14.5.2.2.6

Subtrahiere $297$ von $- 121$ .

$P' (11) = \frac{36 \cdot 2}{- 418 - 1}$

Schritt 14.5.2.2.7

Subtrahiere $1$ von $- 418$ .

$P' (11) = \frac{36 \cdot 2}{- 419}$

Schritt 14.5.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.5.2.3.1

Mutltipliziere $36$ mit $2$ .

$P' (11) = \frac{72}{- 419}$

Schritt 14.5.2.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$P' (11) = - \frac{72}{419}$

Schritt 14.5.2.4

Die endgültige Lösung ist $- \frac{72}{419}$ .

$- \frac{72}{419}$

Schritt 14.6

Da die erste Ableitung das Vorzeichen um $x = - 1.90410133$ nicht gewechselt hat, ist dies kein lokales Maximum oder Minimum.

Kein lokales Maximum oder Minimum

Schritt 14.7

Da die erste Ableitung um $x = - 0.03766968$ herum das Vorzeichen von negativ zu positiv gewechselt hat, ist $x = - 0.03766968$ ein lokales Minimum.

$x = - 0.03766968$ ist ein lokales Minimum

Schritt 14.8

Da die erste Ableitung um $x = 9$ herum das Vorzeichen von positiv zu negativ gewechselt hat, ist $x = 9$ ein lokales Maximum.

$x = 9$ ist ein lokales Maximum

Schritt 14.9

Dies sind die lokalen Extrema für $P (x) = \ln (- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1)$ .

$x = - 0.03766968$ ist ein lokales Minimum

$x = 9$ ist ein lokales Maximum

$x = - 0.03766968$ ist ein lokales Minimum

$x = 9$ ist ein lokales Maximum

Schritt 15