Analysis Beispiele

$p (x) = x^{2} (a - x)$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = a - x$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [a - x] + (a - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $a - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{2} (\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [- x]) + (a - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.2.2

Da $a$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $a$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (a - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [- x] + (a - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.2.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (- \frac{d}{d x} [x]) + (a - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x^{2} (- 1 \cdot 1) + (a - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$x^{2} \cdot - 1 + (a - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.2.6.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$- 1 \cdot x^{2} + (a - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.2.6.3

Schreibe $- 1 x^{2}$ als $- x^{2}$ um.

$- x^{2} + (a - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.2.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- x^{2} + (a - x) (2 x)$

Schritt 1.2.8

Bringe $2$ auf die linke Seite von $a - x$ .

$- x^{2} + 2 \cdot (a - x) x$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- x^{2} + (2 a + 2 (- x)) x$

Schritt 1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- x^{2} + 2 a x + 2 (- x) x$

Schritt 1.3.3

Vereine die Terme

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Schritt 1.3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- x^{2} + 2 a x - 2 x \cdot x$

Schritt 1.3.3.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- x^{2} + 2 a x - 2 (x^{1} x)$

Schritt 1.3.3.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- x^{2} + 2 a x - 2 (x^{1} x^{1})$

Schritt 1.3.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- x^{2} + 2 a x - 2 x^{1 + 1}$

Schritt 1.3.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$- x^{2} + 2 a x - 2 x^{2}$

Schritt 1.3.3.6

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $- x^{2}$ .

$- 3 x^{2} + 2 a x$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 3 x^{2} + 2 a x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 a x]$ .

$p'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 a x)$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$p'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (2 a x)$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$p'' (x) = - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (2 a x)$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$p'' (x) = - 6 x + \frac{d}{d x} (2 a x)$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 a x]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $2 a$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 a x$ nach $x$ gleich $2 a \frac{d}{d x} [x]$ .

$p'' (x) = - 6 x + 2 a \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$p'' (x) = - 6 x + 2 a \cdot 1$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$p'' (x) = - 6 x + 2 a$

Schritt 2.4

Stelle die Terme um.

$p'' (x) = 2 a - 6 x$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- 3 x^{2} + 2 a x = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

$x^{2} \frac{d}{d x} [a - x] + (a - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4.1.2

Differenziere.

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Schritt 4.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $a - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{2} (\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [- x]) + (a - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4.1.2.2

Da $a$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $a$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (a - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4.1.2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [- x] + (a - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4.1.2.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (- \frac{d}{d x} [x]) + (a - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4.1.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x^{2} (- 1 \cdot 1) + (a - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4.1.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$x^{2} \cdot - 1 + (a - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4.1.2.6.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$- 1 \cdot x^{2} + (a - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4.1.2.6.3

Schreibe $- 1 x^{2}$ als $- x^{2}$ um.

$- x^{2} + (a - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4.1.2.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- x^{2} + (a - x) (2 x)$

Schritt 4.1.2.8

Bringe $2$ auf die linke Seite von $a - x$ .

$- x^{2} + 2 \cdot (a - x) x$

Schritt 4.1.3

Vereinfache.

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Schritt 4.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- x^{2} + (2 a + 2 (- x)) x$

Schritt 4.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- x^{2} + 2 a x + 2 (- x) x$

Schritt 4.1.3.3

Vereine die Terme

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Schritt 4.1.3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- x^{2} + 2 a x - 2 x \cdot x$

Schritt 4.1.3.3.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- x^{2} + 2 a x - 2 (x^{1} x)$

Schritt 4.1.3.3.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- x^{2} + 2 a x - 2 (x^{1} x^{1})$

Schritt 4.1.3.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- x^{2} + 2 a x - 2 x^{1 + 1}$

Schritt 4.1.3.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$- x^{2} + 2 a x - 2 x^{2}$

Schritt 4.1.3.3.6

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $- x^{2}$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 2 a x$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $p (x)$ nach $x$ ist $- 3 x^{2} + 2 a x$ .

$- 3 x^{2} + 2 a x$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 3 x^{2} + 2 a x = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- 3 x^{2} + 2 a x = 0$

Schritt 5.2

Faktorisiere $x$ aus $- 3 x^{2} + 2 a x$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $x$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$x (- 3 x) + 2 a x = 0$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $x$ aus $2 a x$ heraus.

$x (- 3 x) + x (2 a) = 0$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $x$ aus $x (- 3 x) + x (2 a)$ heraus.

$x (- 3 x + 2 a) = 0$

Schritt 5.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$- 3 x + 2 a = 0$

Schritt 5.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 5.5

Setze $- 3 x + 2 a$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.5.1

Setze $- 3 x + 2 a$ gleich $0$ .

$- 3 x + 2 a = 0$

Schritt 5.5.2

Löse $- 3 x + 2 a = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.5.2.1

Subtrahiere $2 a$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 x = - 2 a$

Schritt 5.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- 3 x = - 2 a$ durch $- 3$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 3 x = - 2 a$ durch $- 3$ .

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 2 a}{- 3}$

Schritt 5.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

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Schritt 5.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 2 a}{- 3}$

Schritt 5.5.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 2 a}{- 3}$

Schritt 5.5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.2.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{2 a}{3}$

Schritt 5.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (- 3 x + 2 a) = 0$ wahr machen.

$x = 0$

$x = \frac{2 a}{3}$

$x = 0$

$x = \frac{2 a}{3}$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 0$

$x = \frac{2 a}{3}$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$2 a - 6 \cdot 0$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $- 6$ mit $0$ .

$2 a + 0$

Schritt 9.2

Addiere $2 a$ und $0$ .

$2 a$

Schritt 10

Da der erste Ableitungstest nicht erfolgreich war, gibt es kein lokales Extremum.

Keine lokalen Extrema

Schritt 11