Analysis Beispiele

$k (x) = 2 \cos (x) - \sin (x)$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 \cos (x) - \sin (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 \cos (x)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Schritt 1.2.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \sin (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$- 2 \sin (x) - \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 1.3.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$- 2 \sin (x) - \cos (x)$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 2 \sin (x) - \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$k'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- \cos (x))$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 \sin (x)$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$k'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \sin (x) + \frac{d}{d x} (- \cos (x))$

Schritt 2.2.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$k'' (x) = - 2 \cos (x) + \frac{d}{d x} (- \cos (x))$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \cos (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$k'' (x) = - 2 \cos (x) - \frac{d}{d x} \cos (x)$

Schritt 2.3.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$k'' (x) = - 2 \cos (x) + \sin (x)$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$k'' (x) = - 2 \cos (x) + 1 \sin (x)$

Schritt 2.3.4

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$k'' (x) = - 2 \cos (x) + \sin (x)$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- 2 \sin (x) - \cos (x) = 0$

Schritt 4

Teile jeden Term in der Gleichung durch $\cos (x)$ .

$\frac{- 2 \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 5

Separiere Brüche.

$\frac{- 2}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 6

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$\frac{- 2}{1} \cdot \tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 7

Dividiere $- 2$ durch $1$ .

$- 2 \tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 2 \tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 8.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$- 2 \tan (x) - 1 = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 9

Separiere Brüche.

$- 2 \tan (x) - 1 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 10

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$- 2 \tan (x) - 1 = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Schritt 11

Dividiere $0$ durch $1$ .

$- 2 \tan (x) - 1 = 0 \sec (x)$

Schritt 12

Mutltipliziere $0$ mit $\sec (x)$ .

$- 2 \tan (x) - 1 = 0$

Schritt 13

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 \tan (x) = 1$

Schritt 14

Teile jeden Ausdruck in $- 2 \tan (x) = 1$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 14.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 \tan (x) = 1$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 \tan (x)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Schritt 14.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 14.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 14.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 \tan (x)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Schritt 14.2.1.2

Dividiere $\tan (x)$ durch $1$ .

$\tan (x) = \frac{1}{- 2}$

Schritt 14.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 14.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\tan (x) = - \frac{1}{2}$

Schritt 15

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (- \frac{1}{2})$

Schritt 16

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 16.1

Berechne $\arctan (- \frac{1}{2})$ .

$x = - 0.4636476$

Schritt 17

Die Tangensfunktion ist negativ im zweiten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = - 0.4636476 - (3.14159265)$

Schritt 18

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 18.1

Addiere $2 π$ zu $- 0.4636476 - (3.14159265)$ .

$x = - 0.4636476 - (3.14159265) + 2 π$

Schritt 18.2

Der resultierende Winkel von $2.67794504$ ist positiv und gleich $- 0.4636476 - (3.14159265)$ .

$x = 2.67794504$

Schritt 19

Die Lösung der Gleichung $x = - 0.4636476$ .

$x = - 0.4636476, 2.67794504$

Schritt 20

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - 0.4636476$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- 2 \cos (- 0.4636476) + \sin (- 0.4636476)$

Schritt 21

$x = - 0.4636476$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = - 0.4636476$ ist ein lokales Maximum

Schritt 22

Ermittele den y-Wert, wenn $x = - 0.4636476$ .

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Schritt 22.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.4636476$ .

$k (- 0.4636476) = 2 \cos (- 0.4636476) - \sin (- 0.4636476)$

Schritt 22.2

Die endgültige Lösung ist $2 \cos (- 0.4636476) - \sin (- 0.4636476)$ .

$y = 2 \cos (- 0.4636476) - \sin (- 0.4636476)$

Schritt 23

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 2.67794504$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- 2 \cos (2.67794504) + \sin (2.67794504)$

Schritt 24

$x = 2.67794504$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 2.67794504$ ist ein lokales Minimum

Schritt 25

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 2.67794504$ .

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Schritt 25.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2.67794504$ .

$k (2.67794504) = 2 \cos (2.67794504) - \sin (2.67794504)$

Schritt 25.2

Die endgültige Lösung ist $2 \cos (2.67794504) - \sin (2.67794504)$ .

$y = 2 \cos (2.67794504) - \sin (2.67794504)$

Schritt 26

Dies sind die lokalen Extrema für $k (x) = 2 \cos (x) - \sin (x)$ .

$(- 0.4636476, 2 \cos (- 0.4636476) - \sin (- 0.4636476))$ ist ein lokales Maximum

$(2.67794504, 2 \cos (2.67794504) - \sin (2.67794504))$ ist ein lokales Minimum

Schritt 27