Analysis Beispiele

$k (x) = \frac{\ln (x)}{\sqrt{x}}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{1}}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Schritt 1.5

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Schritt 1.6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.6.1

Kombiniere $x^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Schritt 1.6.2

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{\frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Schritt 1.7

Multipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.7.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Schritt 1.7.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Schritt 1.7.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Schritt 1.7.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Schritt 1.7.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Schritt 1.7.4

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Schritt 1.8

Mutltipliziere $\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$ mit $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Schritt 1.9

Kombinieren.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1}{2}} x}$

Schritt 1.10

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1}{2}} x}$

Schritt 1.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 1.11.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1}{2}} x}$

Schritt 1.11.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1}{2}} x}$

Schritt 1.12

Multipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.12.1

Mutltipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $x$ .

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Schritt 1.12.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1}{2}} x^{1}}$

Schritt 1.12.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1}{2} + 1}}$

Schritt 1.12.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Schritt 1.12.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Schritt 1.12.4

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 1.13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 1.14

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 1.15

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 1.16

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 1.17

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.17.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 1.17.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 1.18

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.18.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 1.18.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 1.18.3

Kombiniere $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ und $\ln (x)$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} \ln (x)}{2})}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 1.18.4

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 1.18.5

Kombiniere $x^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1 - \frac{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 1.18.6

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 - \frac{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 1.18.7

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 - \frac{\ln (x)}{2}}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 1.19

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.19.1

Schreibe $\frac{\ln (x)}{2}$ als $\frac{1}{2} \ln (x)$ um.

$\frac{1 - (\frac{1}{2} \ln (x))}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 1.19.2

Vereinfache $\frac{1}{2} \ln (x)$ , indem du $\frac{1}{2}$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

$k'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{{(x^{\frac{3}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$k'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$k'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{\frac{1}{2}})]$ .

$k'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- \ln (x^{\frac{1}{2}}))) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Schritt 2.2.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$k'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} (0 + \frac{d}{d x} (- \ln (x^{\frac{1}{2}}))) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Schritt 2.2.4

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- \ln (x^{\frac{1}{2}})]$ .

$k'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (- \ln (x^{\frac{1}{2}})) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Schritt 2.2.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \ln (x^{\frac{1}{2}})$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\ln (x^{\frac{1}{2}})]$ .

$k'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} (- \frac{d}{d x} \ln (x^{\frac{1}{2}})) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{\frac{1}{2}}$ .

$k'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} (- (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}}))) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Schritt 2.3.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$k'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} (- (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}}))) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{\frac{1}{2}}$ .

$k'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} (- (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}}))) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Schritt 2.4

Kombiniere $x^{\frac{3}{2}}$ und $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$k'' (x) = \frac{- \frac{x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Schritt 2.5

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$k'' (x) = \frac{- x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Schritt 2.6

Multipliziere $x^{\frac{3}{2}}$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.6.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$k'' (x) = \frac{- x^{\frac{3}{2} - \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Schritt 2.6.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$k'' (x) = \frac{- x^{\frac{3 - 1}{2}} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Schritt 2.6.3

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$k'' (x) = \frac{- x^{\frac{2}{2}} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Schritt 2.6.4

Dividiere $2$ durch $2$ .

$k'' (x) = \frac{- x \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Schritt 2.7

Vereinfache $x^{1}$ .

$k'' (x) = \frac{- x \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Schritt 2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$k'' (x) = \frac{- x (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Schritt 2.9

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$k'' (x) = \frac{- x (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Schritt 2.10

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$k'' (x) = \frac{- x (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Schritt 2.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$k'' (x) = \frac{- x (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Schritt 2.12

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.12.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$k'' (x) = \frac{- x (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Schritt 2.12.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$k'' (x) = \frac{- x (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Schritt 2.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$k'' (x) = \frac{- x (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Schritt 2.14

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$k'' (x) = \frac{- x \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Schritt 2.15

Kombiniere $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ und $x$ .

$k'' (x) = \frac{- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Schritt 2.16

Multipliziere $x^{- \frac{1}{2}}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.16.1

Mutltipliziere $x^{- \frac{1}{2}}$ mit $x$ .

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Schritt 2.16.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$k'' (x) = \frac{- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Schritt 2.16.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$k'' (x) = \frac{- \frac{x^{- \frac{1}{2} + 1}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Schritt 2.16.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$k'' (x) = \frac{- \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Schritt 2.16.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$k'' (x) = \frac{- \frac{x^{\frac{- 1 + 2}{2}}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Schritt 2.16.4

Addiere $- 1$ und $2$ .

$k'' (x) = \frac{- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Schritt 2.17

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{3}{2}$ .

$k'' (x) = \frac{- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})}{x^{3}}$

Schritt 2.18

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$k'' (x) = \frac{- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{x^{3}}$

Schritt 2.19

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$k'' (x) = \frac{- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{x^{3}}$

Schritt 2.20

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$k'' (x) = \frac{- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})}{x^{3}}$

Schritt 2.21

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.21.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$k'' (x) = \frac{- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})}{x^{3}}$

Schritt 2.21.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$k'' (x) = \frac{- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})}{x^{3}}$

Schritt 2.22

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $x^{\frac{1}{2}}$ .

$k'' (x) = \frac{- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{x^{3}}$

Schritt 2.23

Um $- (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$k'' (x) = \frac{- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{2}{2}}{x^{3}}$

Schritt 2.24

Kombiniere $- (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ und $\frac{2}{2}$ .

$k'' (x) = \frac{- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot 2}{2}}{x^{3}}$

Schritt 2.25

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$k'' (x) = \frac{\frac{- x^{\frac{1}{2}} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot 2}{2}}{x^{3}}$

Schritt 2.26

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$k'' (x) = \frac{\frac{- x^{\frac{1}{2}} - 2 (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{2}}{x^{3}}$

Schritt 2.27

Kombiniere $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ und $- 2$ .

$k'' (x) = \frac{\frac{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 x^{\frac{1}{2}} \cdot - 2}{2} \cdot (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}}))}{2}}{x^{3}}$

Schritt 2.28

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$k'' (x) = \frac{\frac{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 6 x^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}}))}{2}}{x^{3}}$

Schritt 2.29

Faktorisiere $2$ aus $- 6 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$k'' (x) = \frac{\frac{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- 3 x^{\frac{1}{2}})}{2} \cdot (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}}))}{2}}{x^{3}}$

Schritt 2.30

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.30.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$k'' (x) = \frac{\frac{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- 3 x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} \cdot (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}}))}{2}}{x^{3}}$

Schritt 2.30.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$k'' (x) = \frac{\frac{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- 3 x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} \cdot (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}}))}{2}}{x^{3}}$

Schritt 2.30.3

Forme den Ausdruck um.

$k'' (x) = \frac{\frac{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}}}{1} \cdot (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}}))}{2}}{x^{3}}$

Schritt 2.30.4

Dividiere $- 3 x^{\frac{1}{2}}$ durch $1$ .

$k'' (x) = \frac{\frac{- x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{1}{2}} (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}}))}{2}}{x^{3}}$

Schritt 2.31

Schreibe $\frac{\frac{- x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{1}{2}} (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}}))}{2}}{x^{3}}$ als ein Produkt um.

$k'' (x) = \frac{- x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{1}{2}} (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}}))}{2} \cdot \frac{1}{x^{3}}$

Schritt 2.32

Mutltipliziere $\frac{- x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{1}{2}} (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}}))}{2}$ mit $\frac{1}{x^{3}}$ .

$k'' (x) = \frac{- x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{1}{2}} (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}}))}{2 x^{3}}$

Schritt 2.33

Vereinfache.

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Schritt 2.33.1

Wende das Distributivgesetz an.

$k'' (x) = \frac{- x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - 3 x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x^{\frac{1}{2}}))}{2 x^{3}}$

Schritt 2.33.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.33.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.33.2.1.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$k'' (x) = \frac{- x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x^{\frac{1}{2}}))}{2 x^{3}}$

Schritt 2.33.2.1.2

Multipliziere $- 3 x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x^{\frac{1}{2}}))$ .

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Schritt 2.33.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$k'' (x) = \frac{- x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{1}{2}} + 3 x^{\frac{1}{2}} \ln (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{3}}$

Schritt 2.33.2.1.2.2

Vereinfache $3 \ln (x^{\frac{1}{2}})$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$k'' (x) = \frac{- x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{3})}{2 x^{3}}$

Schritt 2.33.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{3}$ .

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Schritt 2.33.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k'' (x) = \frac{- x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \ln (x^{\frac{1}{2} \cdot 3})}{2 x^{3}}$

Schritt 2.33.2.1.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $3$ .

$k'' (x) = \frac{- x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \ln (x^{\frac{3}{2}})}{2 x^{3}}$

Schritt 2.33.2.2

Subtrahiere $3 x^{\frac{1}{2}}$ von $- x^{\frac{1}{2}}$ .

$k'' (x) = \frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \ln (x^{\frac{3}{2}})}{2 x^{3}}$

Schritt 2.33.3

Stelle die Terme um.

$k'' (x) = \frac{x^{\frac{1}{2}} \ln (x^{\frac{3}{2}}) - 4 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{3}}$

Schritt 2.33.4

Faktorisiere $x^{\frac{1}{2}}$ aus $x^{\frac{1}{2}} \ln (x^{\frac{3}{2}}) - 4 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

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Schritt 2.33.4.1

Faktorisiere $x^{\frac{1}{2}}$ aus $x^{\frac{1}{2}} \ln (x^{\frac{3}{2}})$ heraus.

$k'' (x) = \frac{x^{\frac{1}{2}} (\ln (x^{\frac{3}{2}})) - 4 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{3}}$

Schritt 2.33.4.2

Faktorisiere $x^{\frac{1}{2}}$ aus $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$k'' (x) = \frac{x^{\frac{1}{2}} (\ln (x^{\frac{3}{2}})) + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 4}{2 x^{3}}$

Schritt 2.33.4.3

Faktorisiere $x^{\frac{1}{2}}$ aus $x^{\frac{1}{2}} (\ln (x^{\frac{3}{2}})) + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 4$ heraus.

$k'' (x) = \frac{x^{\frac{1}{2}} (\ln (x^{\frac{3}{2}}) - 4)}{2 x^{3}}$

Schritt 2.33.5

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$k'' (x) = \frac{\ln (x^{\frac{3}{2}}) - 4}{2 x^{3} x^{- \frac{1}{2}}}$

Schritt 2.33.6

Multipliziere $x^{3}$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.33.6.1

Bewege $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$k'' (x) = \frac{\ln (x^{\frac{3}{2}}) - 4}{2 (x^{- \frac{1}{2}} x^{3})}$

Schritt 2.33.6.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$k'' (x) = \frac{\ln (x^{\frac{3}{2}}) - 4}{2 x^{- \frac{1}{2} + 3}}$

Schritt 2.33.6.3

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$k'' (x) = \frac{\ln (x^{\frac{3}{2}}) - 4}{2 x^{- \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}}}$

Schritt 2.33.6.4

Kombiniere $3$ und $\frac{2}{2}$ .

$k'' (x) = \frac{\ln (x^{\frac{3}{2}}) - 4}{2 x^{- \frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}}}$

Schritt 2.33.6.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$k'' (x) = \frac{\ln (x^{\frac{3}{2}}) - 4}{2 x^{\frac{- 1 + 3 \cdot 2}{2}}}$

Schritt 2.33.6.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.33.6.6.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$k'' (x) = \frac{\ln (x^{\frac{3}{2}}) - 4}{2 x^{\frac{- 1 + 6}{2}}}$

Schritt 2.33.6.6.2

Addiere $- 1$ und $6$ .

$k'' (x) = \frac{\ln (x^{\frac{3}{2}}) - 4}{2 x^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{3}{2}}} = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 4.1.2

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{1}}$

Schritt 4.1.4

Vereinfache.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Schritt 4.1.5

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Schritt 4.1.6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.1.6.1

Kombiniere $x^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Schritt 4.1.6.2

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{\frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Schritt 4.1.7

Multipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.7.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Schritt 4.1.7.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Schritt 4.1.7.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Schritt 4.1.7.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Schritt 4.1.7.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Schritt 4.1.7.4

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Schritt 4.1.8

Mutltipliziere $\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$ mit $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Schritt 4.1.9

Kombinieren.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1}{2}} x}$

Schritt 4.1.10

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1}{2}} x}$

Schritt 4.1.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 4.1.11.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1}{2}} x}$

Schritt 4.1.11.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1}{2}} x}$

Schritt 4.1.12

Multipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.12.1

Mutltipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $x$ .

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Schritt 4.1.12.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1}{2}} x^{1}}$

Schritt 4.1.12.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1}{2} + 1}}$

Schritt 4.1.12.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Schritt 4.1.12.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Schritt 4.1.12.4

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.1.13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.1.14

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.1.15

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.1.16

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.1.17

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.17.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.1.17.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.1.18

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.1.18.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.1.18.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.1.18.3

Kombiniere $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ und $\ln (x)$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} \ln (x)}{2})}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.1.18.4

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.1.18.5

Kombiniere $x^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1 - \frac{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.1.18.6

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 - \frac{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.1.18.7

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 - \frac{\ln (x)}{2}}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.1.19

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.19.1

Schreibe $\frac{\ln (x)}{2}$ als $\frac{1}{2} \ln (x)$ um.

$\frac{1 - (\frac{1}{2} \ln (x))}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.1.19.2

Vereinfache $\frac{1}{2} \ln (x)$ , indem du $\frac{1}{2}$ in den Logarithmus ziehst.

$f' (x) = \frac{1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $k (x)$ nach $x$ ist $\frac{1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{3}{2}}} = 0$

Schritt 5.2

Setze den Zähler gleich Null.

$1 - \ln (x^{\frac{1}{2}}) = 0$

Schritt 5.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \ln (x^{\frac{1}{2}}) = - 1$

Schritt 5.3.2

Teile jeden Ausdruck in $- \ln (x^{\frac{1}{2}}) = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- \ln (x^{\frac{1}{2}}) = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- \ln (x^{\frac{1}{2}})}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 5.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\ln (x^{\frac{1}{2}})}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 5.3.2.2.2

Dividiere $\ln (x^{\frac{1}{2}})$ durch $1$ .

$\ln (x^{\frac{1}{2}}) = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 5.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.2.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$\ln (x^{\frac{1}{2}}) = 1$

Schritt 5.3.3

Um nach $x$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (x^{\frac{1}{2}})} = e^{1}$

Schritt 5.3.4

Schreibe $\ln (x^{\frac{1}{2}}) = 1$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{1} = x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 5.3.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.5.1

Schreibe die Gleichung als $x^{\frac{1}{2}} = e^{1}$ um.

$x^{\frac{1}{2}} = e$

Schritt 5.3.5.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $2$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(e^{1})}^{2}$

Schritt 5.3.5.3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 5.3.5.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.5.3.1.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.3.5.3.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.5.3.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(e^{1})}^{2}$

Schritt 5.3.5.3.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.5.3.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(e^{1})}^{2}$

Schritt 5.3.5.3.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = {(e^{1})}^{2}$

Schritt 5.3.5.3.1.1.2

Vereinfache.

$x = {(e^{1})}^{2}$

Schritt 5.3.5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.5.3.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{1})}^{2}$ .

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Schritt 5.3.5.3.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = e^{1 \cdot 2}$

Schritt 5.3.5.3.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = e^{2}$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

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Schritt 6.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\frac{1 - \ln (\sqrt{x^{1}})}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 6.1.2

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\frac{1 - \ln (\sqrt{x^{1}})}{\sqrt{x^{3}}}$

Schritt 6.1.3

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$\frac{1 - \ln (\sqrt{x})}{\sqrt{x^{3}}}$

Schritt 6.2

Setze den Nenner in $\frac{1 - \ln (\sqrt{x})}{\sqrt{x^{3}}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\sqrt{x^{3}} = 0$

Schritt 6.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{x^{3}}}^{2} = 0^{2}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 6.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{3}}$ als $x^{\frac{3}{2}}$ neu zu schreiben.

${(x^{\frac{3}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.3.2.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.2.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{3} = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x^{3} = 0$

Schritt 6.3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.3.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \sqrt[3]{0}$

Schritt 6.3.3.2

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

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Schritt 6.3.3.2.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 6.3.3.2.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$x = 0$

Schritt 6.4

Setze das Argument in $\ln (\sqrt{x})$ kleiner oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\sqrt{x} \leq 0$

Schritt 6.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.5.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Ungleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Ungleichung.

${\sqrt{x}}^{2} \leq 0^{2}$

Schritt 6.5.2

Vereinfache jede Seite der Ungleichung.

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Schritt 6.5.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 0^{2}$

Schritt 6.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.5.2.2.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.5.2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.5.2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 0^{2}$

Schritt 6.5.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.5.2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 0^{2}$

Schritt 6.5.2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} \leq 0^{2}$

Schritt 6.5.2.2.1.2

Vereinfache.

$x \leq 0^{2}$

Schritt 6.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.5.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x \leq 0$

Schritt 6.6

Setze den Radikanden in $\sqrt{x}$ kleiner als $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x < 0$

Schritt 6.7

Setze den Radikanden in $\sqrt{x^{3}}$ kleiner als $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{3} < 0$

Schritt 6.8

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.8.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Ungleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\sqrt[3]{x^{3}} < \sqrt[3]{0}$

Schritt 6.8.2

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 6.8.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.8.2.1.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x < \sqrt[3]{0}$

Schritt 6.8.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.8.2.2.1

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

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Schritt 6.8.2.2.1.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$x < \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 6.8.2.2.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x < 0$

Schritt 6.9

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = e^{2}$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = e^{2}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{\ln ({(e^{2})}^{\frac{3}{2}}) - 4}{2 {(e^{2})}^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Schritt 9.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\ln (e^{2 (\frac{3}{2})}) - 4}{2 {(e^{2})}^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 9.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\ln (e^{2 (\frac{3}{2})}) - 4}{2 {(e^{2})}^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 9.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\ln (e^{3}) - 4}{2 {(e^{2})}^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 9.1.2

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $3$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$\frac{3 \ln (e) - 4}{2 {(e^{2})}^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 9.1.3

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$\frac{3 \cdot 1 - 4}{2 {(e^{2})}^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 9.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{3 - 4}{2 {(e^{2})}^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 9.1.5

Subtrahiere $4$ von $3$ .

$\frac{- 1}{2 {(e^{2})}^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 9.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{2})}^{\frac{5}{2}}$ .

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Schritt 9.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 1}{2 e^{2 (\frac{5}{2})}}$

Schritt 9.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{2 e^{2 (\frac{5}{2})}}$

Schritt 9.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{2 e^{5}}$

Schritt 9.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{2 e^{5}}$

Schritt 10

$x = e^{2}$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = e^{2}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = e^{2}$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $e^{2}$ .

$k (e^{2}) = \frac{\ln (e^{2})}{\sqrt{e^{2}}}$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

Entferne die Klammern.

$k (e^{2}) = \frac{\ln (e^{2})}{\sqrt{e^{2}}}$

Schritt 11.2.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.2.2.1

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $2$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$k (e^{2}) = \frac{2 \ln (e)}{\sqrt{e^{2}}}$

Schritt 11.2.2.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$k (e^{2}) = \frac{2 \cdot 1}{\sqrt{e^{2}}}$

Schritt 11.2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$k (e^{2}) = \frac{2}{\sqrt{e^{2}}}$

Schritt 11.2.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$k (e^{2}) = \frac{2}{e}$

Schritt 11.2.4

Die endgültige Lösung ist $\frac{2}{e}$ .

$y = \frac{2}{e}$

Schritt 12

Dies sind die lokalen Extrema für $k (x) = \frac{\ln (x)}{\sqrt{x}}$ .

$(e^{2}, \frac{2}{e})$ ist ein lokales Maximum

Schritt 13