Analysis Beispiele

$P (x) = \frac{- {0.1}^{2} + 100 x - 60}{4000 x}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1.1

Potenziere $0.1$ mit $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{- 1 \cdot 0.01 + 100 x - 60}{4000 x}]$

Schritt 1.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.01$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{- 0.01 + 100 x - 60}{4000 x}]$

Schritt 1.1.2.2

Subtrahiere $60$ von $- 0.01$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{100 x - 60.01}{4000 x}]$

Schritt 1.1.3

Da $\frac{1}{4000}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{100 x - 60.01}{4000 x}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4000} \frac{d}{d x} [\frac{100 x - 60.01}{x}]$ .

$\frac{1}{4000} \frac{d}{d x} [\frac{100 x - 60.01}{x}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 100 x - 60.01$ und $g (x) = x$ .

$\frac{1}{4000} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [100 x - 60.01] - (100 x - 60.01) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.3

Differenziere.

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Schritt 1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $100 x - 60.01$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [100 x] + \frac{d}{d x} [- 60.01]$ .

$\frac{1}{4000} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [100 x] + \frac{d}{d x} [- 60.01]) - (100 x - 60.01) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.3.2

Da $100$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $100 x$ nach $x$ gleich $100 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4000} \cdot \frac{x (100 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 60.01]) - (100 x - 60.01) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{4000} \cdot \frac{x (100 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 60.01]) - (100 x - 60.01) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.3.4

Mutltipliziere $100$ mit $1$ .

$\frac{1}{4000} \cdot \frac{x (100 + \frac{d}{d x} [- 60.01]) - (100 x - 60.01) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.3.5

Da $- 60.01$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 60.01$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{4000} \cdot \frac{x (100 + 0) - (100 x - 60.01) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.3.6.1

Addiere $100$ und $0$ .

$\frac{1}{4000} \cdot \frac{x \cdot 100 - (100 x - 60.01) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.3.6.2

Bringe $100$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{1}{4000} \cdot \frac{100 \cdot x - (100 x - 60.01) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{4000} \cdot \frac{100 x - (100 x - 60.01) \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 1.3.8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.3.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{4000} \cdot \frac{100 x - (100 x - 60.01)}{x^{2}}$

Schritt 1.3.8.2

Mutltipliziere $\frac{1}{4000}$ mit $\frac{100 x - (100 x - 60.01)}{x^{2}}$ .

$\frac{100 x - (100 x - 60.01)}{4000 x^{2}}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{100 x - (100 x) - - 60.01}{4000 x^{2}}$

Schritt 1.4.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.2.1.1

Mutltipliziere $100$ mit $- 1$ .

$\frac{100 x - 100 x - - 60.01}{4000 x^{2}}$

Schritt 1.4.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 60.01$ .

$\frac{100 x - 100 x + 60.01}{4000 x^{2}}$

Schritt 1.4.2.2

Subtrahiere $100 x$ von $100 x$ .

$\frac{0 + 60.01}{4000 x^{2}}$

Schritt 1.4.2.3

Addiere $0$ und $60.01$ .

$\frac{60.01}{4000 x^{2}}$

Schritt 1.4.3

Faktorisiere $60.01$ aus $60.01$ heraus.

$\frac{60.01 (1)}{4000 x^{2}}$

Schritt 1.4.4

Faktorisiere $4000$ aus $4000 x^{2}$ heraus.

$\frac{60.01 (1)}{4000 (x^{2})}$

Schritt 1.4.5

Separiere Brüche.

$\frac{60.01}{4000} \cdot \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 1.4.6

Dividiere $60.01$ durch $4000$ .

$0.0150025 \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 1.4.7

Kombiniere $0.0150025$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{0.0150025}{x^{2}}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Da $0.0150025$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{0.0150025}{x^{2}}$ nach $x$ gleich $0.0150025 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$P'' (x) = 0.0150025 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2}})$

Schritt 2.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.2.1

Schreibe $\frac{1}{x^{2}}$ als ${(x^{2})}^{- 1}$ um.

$P'' (x) = 0.0150025 \frac{d}{d x} ({(x^{2})}^{- 1})$

Schritt 2.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$P'' (x) = 0.0150025 \frac{d}{d x} (x^{2 \cdot - 1})$

Schritt 2.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$P'' (x) = 0.0150025 \frac{d}{d x} (x^{- 2})$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 2$ .

$P'' (x) = 0.0150025 (- 2 x^{- 3})$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $0.0150025$ .

$P'' (x) = - 0.030005 x^{- 3}$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$P'' (x) = - 0.030005 \frac{1}{x^{3}}$

Schritt 2.5.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.5.2.1

Kombiniere $- 0.030005$ und $\frac{1}{x^{3}}$ .

$P'' (x) = \frac{- 0.030005}{x^{3}}$

Schritt 2.5.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$P'' (x) = - \frac{0.030005}{x^{3}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{0.0150025}{x^{2}} = 0$

Schritt 4

Da es keinen Wert von $x$ gibt, der die erste Ableitung gleich $0$ macht, gibt es keine lokalen Extrema.

Keine lokalen Extrema

Schritt 5

Keine lokalen Extrema

Schritt 6