Analysis Beispiele

$- (x + 1) {(x - 1)}^{2}$

Schritt 1

Schreibe $- (x + 1) {(x - 1)}^{2}$ als Funktion.

$f (x) = - (x + 1) {(x - 1)}^{2}$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Schreibe ${(x - 1)}^{2}$ als $(x - 1) (x - 1)$ um.

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) ((x - 1) (x - 1))]$

Schritt 2.2

Multipliziere $(x - 1) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x (x - 1) - 1 (x - 1))]$

Schritt 2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1))]$

Schritt 2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Schritt 2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Schritt 2.3.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Schritt 2.3.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Schritt 2.3.1.4

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1)]$

Schritt 2.3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - x - x + 1)]$

Schritt 2.3.2

Subtrahiere $x$ von $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - 2 x + 1)]$

Schritt 2.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- (x + 1) (x^{2} - 2 x + 1)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 2 x + 1)]$ .

$- \frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 2 x + 1)]$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x + 1$ und $g (x) = x^{2} - 2 x + 1$ .

$- ((x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1] + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Schritt 2.6

Differenziere.

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Schritt 2.6.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 2 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- ((x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Schritt 2.6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- ((x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Schritt 2.6.3

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Schritt 2.6.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Schritt 2.6.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Schritt 2.6.6

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2 + 0) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Schritt 2.6.7

Addiere $2 x - 2$ und $0$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Schritt 2.6.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Schritt 2.6.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]))$

Schritt 2.6.10

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (1 + 0))$

Schritt 2.6.11

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.6.11.1

Addiere $1$ und $0$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) \cdot 1)$

Schritt 2.6.11.2

Mutltipliziere $x^{2} - 2 x + 1$ mit $1$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2) + x^{2} - 2 x + 1)$

Schritt 2.7

Vereinfache.

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Schritt 2.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- ((x + 1) (2 x - 2)) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Schritt 2.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- ((x + 1) (2 x) + (x + 1) \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Schritt 2.7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- (x (2 x) + 1 (2 x) + (x + 1) \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Schritt 2.7.4

Wende das Distributivgesetz an.

$- (x (2 x) + 1 (2 x) + x \cdot - 2 + 1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Schritt 2.7.5

Wende das Distributivgesetz an.

$- (x (2 x)) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Schritt 2.7.6

Vereine die Terme

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Schritt 2.7.6.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- (2 (x^{1} x)) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Schritt 2.7.6.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- (2 (x^{1} x^{1})) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Schritt 2.7.6.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- (2 x^{1 + 1}) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Schritt 2.7.6.4

Addiere $1$ und $1$ .

$- (2 x^{2}) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Schritt 2.7.6.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 x^{2} - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Schritt 2.7.6.6

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- 2 x^{2} - (2 x) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Schritt 2.7.6.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 x^{2} - 2 x - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Schritt 2.7.6.8

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x$ .

$- 2 x^{2} - 2 x - (- 2 \cdot x) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Schritt 2.7.6.9

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$- 2 x^{2} - 2 x + 2 x - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Schritt 2.7.6.10

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 2 x^{2} - 2 x + 2 x - - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Schritt 2.7.6.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$- 2 x^{2} - 2 x + 2 x + 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Schritt 2.7.6.12

Addiere $- 2 x$ und $2 x$ .

$- 2 x^{2} + 0 + 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Schritt 2.7.6.13

Addiere $- 2 x^{2}$ und $0$ .

$- 2 x^{2} + 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Schritt 2.7.6.14

Subtrahiere $x^{2}$ von $- 2 x^{2}$ .

$- 3 x^{2} + 2 - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Schritt 2.7.6.15

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$- 3 x^{2} + 2 + 2 x - 1 \cdot 1$

Schritt 2.7.6.16

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 3 x^{2} + 2 + 2 x - 1$

Schritt 2.7.6.17

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$- 3 x^{2} + 2 x + 1$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 3 x^{2} + 2 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$f'' (x) = - 6 x + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 6 x + 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - 6 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 6 x + 2 + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 3.4.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - 6 x + 2 + 0$

Schritt 3.4.2

Addiere $- 6 x + 2$ und $0$ .

$f'' (x) = - 6 x + 2$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- 3 x^{2} + 2 x + 1 = 0$

Schritt 5

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1.1

Schreibe ${(x - 1)}^{2}$ als $(x - 1) (x - 1)$ um.

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) ((x - 1) (x - 1))]$

Schritt 5.1.2

Multipliziere $(x - 1) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x (x - 1) - 1 (x - 1))]$

Schritt 5.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1))]$

Schritt 5.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Schritt 5.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Schritt 5.1.3.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Schritt 5.1.3.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Schritt 5.1.3.1.4

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1)]$

Schritt 5.1.3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - x - x + 1)]$

Schritt 5.1.3.2

Subtrahiere $x$ von $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - 2 x + 1)]$

Schritt 5.1.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- (x + 1) (x^{2} - 2 x + 1)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 2 x + 1)]$ .

$- \frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 2 x + 1)]$

Schritt 5.1.5

$- ((x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1] + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Schritt 5.1.6

Differenziere.

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Schritt 5.1.6.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 2 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- ((x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Schritt 5.1.6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- ((x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Schritt 5.1.6.3

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Schritt 5.1.6.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Schritt 5.1.6.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Schritt 5.1.6.6

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2 + 0) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Schritt 5.1.6.7

Addiere $2 x - 2$ und $0$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Schritt 5.1.6.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Schritt 5.1.6.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]))$

Schritt 5.1.6.10

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (1 + 0))$

Schritt 5.1.6.11

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.6.11.1

Addiere $1$ und $0$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) \cdot 1)$

Schritt 5.1.6.11.2

Mutltipliziere $x^{2} - 2 x + 1$ mit $1$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2) + x^{2} - 2 x + 1)$

Schritt 5.1.7

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- ((x + 1) (2 x - 2)) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Schritt 5.1.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- ((x + 1) (2 x) + (x + 1) \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Schritt 5.1.7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- (x (2 x) + 1 (2 x) + (x + 1) \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Schritt 5.1.7.4

Wende das Distributivgesetz an.

$- (x (2 x) + 1 (2 x) + x \cdot - 2 + 1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Schritt 5.1.7.5

Wende das Distributivgesetz an.

$- (x (2 x)) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Schritt 5.1.7.6

Vereine die Terme

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Schritt 5.1.7.6.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- (2 (x^{1} x)) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Schritt 5.1.7.6.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- (2 (x^{1} x^{1})) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Schritt 5.1.7.6.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- (2 x^{1 + 1}) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Schritt 5.1.7.6.4

Addiere $1$ und $1$ .

$- (2 x^{2}) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Schritt 5.1.7.6.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 x^{2} - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Schritt 5.1.7.6.6

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- 2 x^{2} - (2 x) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Schritt 5.1.7.6.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 x^{2} - 2 x - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Schritt 5.1.7.6.8

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x$ .

$- 2 x^{2} - 2 x - (- 2 \cdot x) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Schritt 5.1.7.6.9

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$- 2 x^{2} - 2 x + 2 x - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Schritt 5.1.7.6.10

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 2 x^{2} - 2 x + 2 x - - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Schritt 5.1.7.6.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$- 2 x^{2} - 2 x + 2 x + 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Schritt 5.1.7.6.12

Addiere $- 2 x$ und $2 x$ .

$- 2 x^{2} + 0 + 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Schritt 5.1.7.6.13

Addiere $- 2 x^{2}$ und $0$ .

$- 2 x^{2} + 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Schritt 5.1.7.6.14

Subtrahiere $x^{2}$ von $- 2 x^{2}$ .

$- 3 x^{2} + 2 - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Schritt 5.1.7.6.15

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$- 3 x^{2} + 2 + 2 x - 1 \cdot 1$

Schritt 5.1.7.6.16

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 3 x^{2} + 2 + 2 x - 1$

Schritt 5.1.7.6.17

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 2 x + 1$

Schritt 5.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 3 x^{2} + 2 x + 1$ .

$- 3 x^{2} + 2 x + 1$

Schritt 6

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 3 x^{2} + 2 x + 1 = 0$ .

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Schritt 6.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- 3 x^{2} + 2 x + 1 = 0$

Schritt 6.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 x^{2} + 2 x + 1$ heraus.

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Schritt 6.2.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$- (3 x^{2}) + 2 x + 1 = 0$

Schritt 6.2.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $2 x$ heraus.

$- (3 x^{2}) - (- 2 x) + 1 = 0$

Schritt 6.2.1.3

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$- (3 x^{2}) - (- 2 x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Schritt 6.2.1.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x^{2}) - (- 2 x)$ heraus.

$- (3 x^{2} - 2 x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Schritt 6.2.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x^{2} - 2 x) - 1 (- 1)$ heraus.

$- (3 x^{2} - 2 x - 1) = 0$

Schritt 6.2.2

Faktorisiere.

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Schritt 6.2.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 6.2.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot - 1 = - 3$ und deren Summe gleich $b = - 2$ ist.

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Schritt 6.2.2.1.1.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 x$ heraus.

$- (3 x^{2} - 2 x - 1) = 0$

Schritt 6.2.2.1.1.2

Schreibe $- 2$ um als $1$ plus $- 3$

$- (3 x^{2} + (1 - 3) x - 1) = 0$

Schritt 6.2.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- (3 x^{2} + 1 x - 3 x - 1) = 0$

Schritt 6.2.2.1.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$- (3 x^{2} + x - 3 x - 1) = 0$

Schritt 6.2.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 6.2.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$- ((3 x^{2} + x) - 3 x - 1) = 0$

Schritt 6.2.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$- (x (3 x + 1) - (3 x + 1)) = 0$

Schritt 6.2.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 x + 1$ .

$- ((3 x + 1) (x - 1)) = 0$

Schritt 6.2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (3 x + 1) (x - 1) = 0$

Schritt 6.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 6.4

Setze $3 x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.4.1

Setze $3 x + 1$ gleich $0$ .

$3 x + 1 = 0$

Schritt 6.4.2

Löse $3 x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.4.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = - 1$

Schritt 6.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 1$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 6.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 1$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Schritt 6.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Schritt 6.4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{3}$

Schritt 6.4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.4.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{3}$

Schritt 6.5

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.5.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 6.5.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 6.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- (3 x + 1) (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{1}{3}, 1$

Schritt 7

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 7.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 8

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = - \frac{1}{3}, 1$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - \frac{1}{3}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- 6 (- \frac{1}{3}) + 2$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 10.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 10.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{3}$ in den Zähler.

$- 6 (\frac{- 1}{3}) + 2$

Schritt 10.1.1.2

Faktorisiere $3$ aus $- 6$ heraus.

$3 (- 2) \frac{- 1}{3} + 2$

Schritt 10.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \cdot - 2 \frac{- 1}{3} + 2$

Schritt 10.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$- 2 \cdot - 1 + 2$

Schritt 10.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$2 + 2$

Schritt 10.2

Addiere $2$ und $2$ .

$4$

Schritt 11

$x = - \frac{1}{3}$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = - \frac{1}{3}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 12

Ermittele den y-Wert, wenn $x = - \frac{1}{3}$ .

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Schritt 12.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{1}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - ((- \frac{1}{3}) + 1) {((- \frac{1}{3}) - 1)}^{2}$

Schritt 12.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 12.2.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{1}{3}) = - (- \frac{1}{3} + \frac{3}{3}) {((- \frac{1}{3}) - 1)}^{2}$

Schritt 12.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{- 1 + 3}{3} \cdot {((- \frac{1}{3}) - 1)}^{2}$

Schritt 12.2.3

Addiere $- 1$ und $3$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot {((- \frac{1}{3}) - 1)}^{2}$

Schritt 12.2.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3})}^{2}$

Schritt 12.2.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3})}^{2}$

Schritt 12.2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot {(\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3})}^{2}$

Schritt 12.2.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.2.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot {(\frac{- 1 - 3}{3})}^{2}$

Schritt 12.2.7.2

Subtrahiere $3$ von $- 1$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot {(\frac{- 4}{3})}^{2}$

Schritt 12.2.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{4}{3})}^{2}$

Schritt 12.2.9

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 12.2.9.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{4}{3}$ an.

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot ({(- 1)}^{2} {(\frac{4}{3})}^{2})$

Schritt 12.2.9.2

Wende die Produktregel auf $\frac{4}{3}$ an.

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot ({(- 1)}^{2} (\frac{4^{2}}{3^{2}}))$

Schritt 12.2.10

Multipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 12.2.10.1

Bewege ${(- 1)}^{2}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 (\frac{2}{3})) \cdot \frac{4^{2}}{3^{2}}$

Schritt 12.2.10.2

Mutltipliziere ${(- 1)}^{2}$ mit $- 1$ .

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Schritt 12.2.10.2.1

Potenziere $- 1$ mit $1$ .

$f (- \frac{1}{3}) = {(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) (\frac{2}{3})) \cdot \frac{4^{2}}{3^{2}}$

Schritt 12.2.10.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (- \frac{1}{3}) = {(- 1)}^{2 + 1} (\frac{2}{3}) \cdot \frac{4^{2}}{3^{2}}$

Schritt 12.2.10.3

Addiere $2$ und $1$ .

$f (- \frac{1}{3}) = {(- 1)}^{3} (\frac{2}{3}) \cdot \frac{4^{2}}{3^{2}}$

Schritt 12.2.11

Potenziere $4$ mit $2$ .

$f (- \frac{1}{3}) = {(- 1)}^{3} (\frac{2}{3}) \cdot \frac{16}{3^{2}}$

Schritt 12.2.12

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (- \frac{1}{3}) = {(- 1)}^{3} (\frac{2}{3}) \cdot \frac{16}{9}$

Schritt 12.2.13

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{16}{9}$

Schritt 12.2.14

Multipliziere $- \frac{2}{3} \cdot \frac{16}{9}$ .

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Schritt 12.2.14.1

Mutltipliziere $\frac{16}{9}$ mit $\frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{16 \cdot 2}{9 \cdot 3}$

Schritt 12.2.14.2

Mutltipliziere $16$ mit $2$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{32}{9 \cdot 3}$

Schritt 12.2.14.3

Mutltipliziere $9$ mit $3$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{32}{27}$

Schritt 12.2.15

Die endgültige Lösung ist $- \frac{32}{27}$ .

$y = - \frac{32}{27}$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 1$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- 6 \cdot 1 + 2$

Schritt 14

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 14.1

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$- 6 + 2$

Schritt 14.2

Addiere $- 6$ und $2$ .

$- 4$

Schritt 15

$x = 1$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 1$ ist ein lokales Maximum

Schritt 16

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 1$ .

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Schritt 16.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = - ((1) + 1) {((1) - 1)}^{2}$

Schritt 16.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 16.2.1

Addiere $1$ und $1$ .

$f (1) = - 1 \cdot (2 {((1) - 1)}^{2})$

Schritt 16.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f (1) = - 2 {((1) - 1)}^{2}$

Schritt 16.2.3

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f (1) = - 2 \cdot 0^{2}$

Schritt 16.2.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (1) = - 2 \cdot 0$

Schritt 16.2.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$f (1) = 0$

Schritt 16.2.6

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$y = 0$

Schritt 17

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = - (x + 1) {(x - 1)}^{2}$ .

$(- \frac{1}{3}, - \frac{32}{27})$ ist ein lokales Minimum

$(1, 0)$ ist ein lokales Maximum

Schritt 18