Analysis Beispiele

$k (t) = t^{2} {(t^{2} - 4)}^{3}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ gleich $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ist mit $f (t) = t^{2}$ und $g (t) = {(t^{2} - 4)}^{3}$ .

$t^{2} \frac{d}{d t} [{(t^{2} - 4)}^{3}] + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{3}$ und $g (t) = t^{2} - 4$ .

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Schritt 1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $t^{2} - 4$ .

$t^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d t} [t^{2} - 4]) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$t^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} - 4]) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $t^{2} - 4$ .

$t^{2} (3 {(t^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} - 4]) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 1.3

Differenziere.

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Schritt 1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t^{2} - 4$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4]$ .

$t^{2} (3 {(t^{2} - 4)}^{2} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4])) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$t^{2} (3 {(t^{2} - 4)}^{2} (2 t + \frac{d}{d t} [- 4])) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 1.3.3

Da $- 4$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$t^{2} (3 {(t^{2} - 4)}^{2} (2 t + 0)) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 1.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.3.4.1

Addiere $2 t$ und $0$ .

$t^{2} (3 {(t^{2} - 4)}^{2} (2 t)) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 1.3.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$t^{2} (6 {(t^{2} - 4)}^{2} t) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 1.4

Multipliziere $t^{2}$ mit $t$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.4.1

Bewege $t$ .

$t \cdot t^{2} (6 {(t^{2} - 4)}^{2}) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 1.4.2

Mutltipliziere $t$ mit $t^{2}$ .

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Schritt 1.4.2.1

Potenziere $t$ mit $1$ .

$t^{1} t^{2} (6 {(t^{2} - 4)}^{2}) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 1.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$t^{1 + 2} (6 {(t^{2} - 4)}^{2}) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 1.4.3

Addiere $1$ und $2$ .

$t^{3} (6 {(t^{2} - 4)}^{2}) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 1.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$t^{3} (6 {(t^{2} - 4)}^{2}) + {(t^{2} - 4)}^{3} (2 t)$

Schritt 1.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(t^{2} - 4)}^{3}$ .

$t^{3} (6 {(t^{2} - 4)}^{2}) + 2 \cdot {(t^{2} - 4)}^{3} t$

Schritt 1.7

Vereinfache.

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Schritt 1.7.1

Faktorisiere $t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2}$ aus $t^{3} (6 {(t^{2} - 4)}^{2}) + 2 {(t^{2} - 4)}^{3} t$ heraus.

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Schritt 1.7.1.1

Faktorisiere $t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2}$ aus $t^{3} (6 {(t^{2} - 4)}^{2})$ heraus.

$t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2} (t^{2} \cdot (3)) + 2 {(t^{2} - 4)}^{3} t$

Schritt 1.7.1.2

Faktorisiere $t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2}$ aus $2 {(t^{2} - 4)}^{3} t$ heraus.

$t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2} (t^{2} \cdot (3)) + t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2} (t^{2} - 4)$

Schritt 1.7.1.3

Faktorisiere $t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2}$ aus $t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2} (t^{2} \cdot (3)) + t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2} (t^{2} - 4)$ heraus.

$t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2} (t^{2} \cdot (3) + t^{2} - 4)$

Schritt 1.7.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.7.2.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $t$ .

$2 \cdot t {(t^{2} - 4)}^{2} (t^{2} \cdot (3) + t^{2} - 4)$

Schritt 1.7.2.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $t^{2}$ .

$2 t {(t^{2} - 4)}^{2} (3 \cdot t^{2} + t^{2} - 4)$

Schritt 1.7.2.3

Addiere $3 t^{2}$ und $t^{2}$ .

$2 t {(t^{2} - 4)}^{2} (4 t^{2} - 4)$

Schritt 1.7.3

Schreibe ${(t^{2} - 4)}^{2}$ als $(t^{2} - 4) (t^{2} - 4)$ um.

$2 t ((t^{2} - 4) (t^{2} - 4)) (4 t^{2} - 4)$

Schritt 1.7.4

Multipliziere $(t^{2} - 4) (t^{2} - 4)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.7.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 t (t^{2} (t^{2} - 4) - 4 (t^{2} - 4)) (4 t^{2} - 4)$

Schritt 1.7.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 t (t^{2} t^{2} + t^{2} \cdot - 4 - 4 (t^{2} - 4)) (4 t^{2} - 4)$

Schritt 1.7.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 t (t^{2} t^{2} + t^{2} \cdot - 4 - 4 t^{2} - 4 \cdot - 4) (4 t^{2} - 4)$

Schritt 1.7.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.7.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.7.5.1.1

Multipliziere $t^{2}$ mit $t^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.7.5.1.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 t (t^{2 + 2} + t^{2} \cdot - 4 - 4 t^{2} - 4 \cdot - 4) (4 t^{2} - 4)$

Schritt 1.7.5.1.1.2

Addiere $2$ und $2$ .

$2 t (t^{4} + t^{2} \cdot - 4 - 4 t^{2} - 4 \cdot - 4) (4 t^{2} - 4)$

Schritt 1.7.5.1.2

Bringe $- 4$ auf die linke Seite von $t^{2}$ .

$2 t (t^{4} - 4 \cdot t^{2} - 4 t^{2} - 4 \cdot - 4) (4 t^{2} - 4)$

Schritt 1.7.5.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$2 t (t^{4} - 4 t^{2} - 4 t^{2} + 16) (4 t^{2} - 4)$

Schritt 1.7.5.2

Subtrahiere $4 t^{2}$ von $- 4 t^{2}$ .

$2 t (t^{4} - 8 t^{2} + 16) (4 t^{2} - 4)$

Schritt 1.7.6

Wende das Distributivgesetz an.

$(2 t \cdot t^{4} + 2 t (- 8 t^{2}) + 2 t \cdot 16) (4 t^{2} - 4)$

Schritt 1.7.7

Vereinfache.

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Schritt 1.7.7.1

Multipliziere $t$ mit $t^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.7.7.1.1

Bewege $t^{4}$ .

$(2 (t^{4} t) + 2 t (- 8 t^{2}) + 2 t \cdot 16) (4 t^{2} - 4)$

Schritt 1.7.7.1.2

Mutltipliziere $t^{4}$ mit $t$ .

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Schritt 1.7.7.1.2.1

Potenziere $t$ mit $1$ .

$(2 (t^{4} t^{1}) + 2 t (- 8 t^{2}) + 2 t \cdot 16) (4 t^{2} - 4)$

Schritt 1.7.7.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(2 t^{4 + 1} + 2 t (- 8 t^{2}) + 2 t \cdot 16) (4 t^{2} - 4)$

Schritt 1.7.7.1.3

Addiere $4$ und $1$ .

$(2 t^{5} + 2 t (- 8 t^{2}) + 2 t \cdot 16) (4 t^{2} - 4)$

Schritt 1.7.7.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(2 t^{5} + 2 \cdot - 8 t \cdot t^{2} + 2 t \cdot 16) (4 t^{2} - 4)$

Schritt 1.7.7.3

Mutltipliziere $16$ mit $2$ .

$(2 t^{5} + 2 \cdot - 8 t \cdot t^{2} + 32 t) (4 t^{2} - 4)$

Schritt 1.7.8

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.7.8.1

Multipliziere $t$ mit $t^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.7.8.1.1

Bewege $t^{2}$ .

$(2 t^{5} + 2 \cdot - 8 (t^{2} t) + 32 t) (4 t^{2} - 4)$

Schritt 1.7.8.1.2

Mutltipliziere $t^{2}$ mit $t$ .

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Schritt 1.7.8.1.2.1

Potenziere $t$ mit $1$ .

$(2 t^{5} + 2 \cdot - 8 (t^{2} t^{1}) + 32 t) (4 t^{2} - 4)$

Schritt 1.7.8.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(2 t^{5} + 2 \cdot - 8 t^{2 + 1} + 32 t) (4 t^{2} - 4)$

Schritt 1.7.8.1.3

Addiere $2$ und $1$ .

$(2 t^{5} + 2 \cdot - 8 t^{3} + 32 t) (4 t^{2} - 4)$

Schritt 1.7.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 8$ .

$(2 t^{5} - 16 t^{3} + 32 t) (4 t^{2} - 4)$

Schritt 1.7.9

Multipliziere $(2 t^{5} - 16 t^{3} + 32 t) (4 t^{2} - 4)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$2 t^{5} (4 t^{2}) + 2 t^{5} \cdot - 4 - 16 t^{3} (4 t^{2}) - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Schritt 1.7.10

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.7.10.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 \cdot 4 t^{5} t^{2} + 2 t^{5} \cdot - 4 - 16 t^{3} (4 t^{2}) - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Schritt 1.7.10.2

Multipliziere $t^{5}$ mit $t^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.7.10.2.1

Bewege $t^{2}$ .

$2 \cdot 4 (t^{2} t^{5}) + 2 t^{5} \cdot - 4 - 16 t^{3} (4 t^{2}) - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Schritt 1.7.10.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 \cdot 4 t^{2 + 5} + 2 t^{5} \cdot - 4 - 16 t^{3} (4 t^{2}) - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Schritt 1.7.10.2.3

Addiere $2$ und $5$ .

$2 \cdot 4 t^{7} + 2 t^{5} \cdot - 4 - 16 t^{3} (4 t^{2}) - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Schritt 1.7.10.3

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$8 t^{7} + 2 t^{5} \cdot - 4 - 16 t^{3} (4 t^{2}) - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Schritt 1.7.10.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 16 t^{3} (4 t^{2}) - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Schritt 1.7.10.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 16 \cdot 4 t^{3} t^{2} - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Schritt 1.7.10.6

Multipliziere $t^{3}$ mit $t^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.7.10.6.1

Bewege $t^{2}$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 16 \cdot 4 (t^{2} t^{3}) - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Schritt 1.7.10.6.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 16 \cdot 4 t^{2 + 3} - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Schritt 1.7.10.6.3

Addiere $2$ und $3$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 16 \cdot 4 t^{5} - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Schritt 1.7.10.7

Mutltipliziere $- 16$ mit $4$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Schritt 1.7.10.8

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 16$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} + 64 t^{3} + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Schritt 1.7.10.9

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} + 64 t^{3} + 32 \cdot 4 t \cdot t^{2} + 32 t \cdot - 4$

Schritt 1.7.10.10

Multipliziere $t$ mit $t^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.7.10.10.1

Bewege $t^{2}$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} + 64 t^{3} + 32 \cdot 4 (t^{2} t) + 32 t \cdot - 4$

Schritt 1.7.10.10.2

Mutltipliziere $t^{2}$ mit $t$ .

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Schritt 1.7.10.10.2.1

Potenziere $t$ mit $1$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} + 64 t^{3} + 32 \cdot 4 (t^{2} t^{1}) + 32 t \cdot - 4$

Schritt 1.7.10.10.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} + 64 t^{3} + 32 \cdot 4 t^{2 + 1} + 32 t \cdot - 4$

Schritt 1.7.10.10.3

Addiere $2$ und $1$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} + 64 t^{3} + 32 \cdot 4 t^{3} + 32 t \cdot - 4$

Schritt 1.7.10.11

Mutltipliziere $32$ mit $4$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} + 64 t^{3} + 128 t^{3} + 32 t \cdot - 4$

Schritt 1.7.10.12

Mutltipliziere $- 4$ mit $32$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} + 64 t^{3} + 128 t^{3} - 128 t$

Schritt 1.7.11

Subtrahiere $64 t^{5}$ von $- 8 t^{5}$ .

$8 t^{7} - 72 t^{5} + 64 t^{3} + 128 t^{3} - 128 t$

Schritt 1.7.12

Addiere $64 t^{3}$ und $128 t^{3}$ .

$8 t^{7} - 72 t^{5} + 192 t^{3} - 128 t$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 t^{7} - 72 t^{5} + 192 t^{3} - 128 t$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [8 t^{7}] + \frac{d}{d t} [- 72 t^{5}] + \frac{d}{d t} [192 t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 128 t]$ .

$k'' (t) = \frac{d}{d t} (8 t^{7}) + \frac{d}{d t} (- 72 t^{5}) + \frac{d}{d t} (192 t^{3}) + \frac{d}{d t} (- 128 t)$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d t} [8 t^{7}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $8$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $8 t^{7}$ nach $t$ gleich $8 \frac{d}{d t} [t^{7}]$ .

$k'' (t) = 8 \frac{d}{d t} (t^{7}) + \frac{d}{d t} (- 72 t^{5}) + \frac{d}{d t} (192 t^{3}) + \frac{d}{d t} (- 128 t)$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 7$ .

$k'' (t) = 8 (7 t^{6}) + \frac{d}{d t} (- 72 t^{5}) + \frac{d}{d t} (192 t^{3}) + \frac{d}{d t} (- 128 t)$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $7$ mit $8$ .

$k'' (t) = 56 t^{6} + \frac{d}{d t} (- 72 t^{5}) + \frac{d}{d t} (192 t^{3}) + \frac{d}{d t} (- 128 t)$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d t} [- 72 t^{5}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 72$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 72 t^{5}$ nach $t$ gleich $- 72 \frac{d}{d t} [t^{5}]$ .

$k'' (t) = 56 t^{6} - 72 \frac{d}{d t} t^{5} + \frac{d}{d t} (192 t^{3}) + \frac{d}{d t} (- 128 t)$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$k'' (t) = 56 t^{6} - 72 (5 t^{4}) + \frac{d}{d t} (192 t^{3}) + \frac{d}{d t} (- 128 t)$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 72$ .

$k'' (t) = 56 t^{6} - 360 t^{4} + \frac{d}{d t} (192 t^{3}) + \frac{d}{d t} (- 128 t)$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d t} [192 t^{3}]$ .

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Schritt 2.4.1

Da $192$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $192 t^{3}$ nach $t$ gleich $192 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$k'' (t) = 56 t^{6} - 360 t^{4} + 192 \frac{d}{d t} (t^{3}) + \frac{d}{d t} (- 128 t)$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$k'' (t) = 56 t^{6} - 360 t^{4} + 192 (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} (- 128 t)$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $3$ mit $192$ .

$k'' (t) = 56 t^{6} - 360 t^{4} + 576 t^{2} + \frac{d}{d t} (- 128 t)$

Schritt 2.5

Berechne $\frac{d}{d t} [- 128 t]$ .

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Schritt 2.5.1

Da $- 128$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 128 t$ nach $t$ gleich $- 128 \frac{d}{d t} [t]$ .

$k'' (t) = 56 t^{6} - 360 t^{4} + 576 t^{2} - 128 \frac{d}{d t} t$

Schritt 2.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$k'' (t) = 56 t^{6} - 360 t^{4} + 576 t^{2} - 128 \cdot 1$

Schritt 2.5.3

Mutltipliziere $- 128$ mit $1$ .

$k'' (t) = 56 t^{6} - 360 t^{4} + 576 t^{2} - 128$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$8 t^{7} - 72 t^{5} + 192 t^{3} - 128 t = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

$t^{2} \frac{d}{d t} [{(t^{2} - 4)}^{3}] + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 4.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{3}$ und $g (t) = t^{2} - 4$ .

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Schritt 4.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $t^{2} - 4$ .

$t^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d t} [t^{2} - 4]) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$t^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} - 4]) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 4.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $t^{2} - 4$ .

$t^{2} (3 {(t^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} - 4]) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 4.1.3

Differenziere.

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Schritt 4.1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t^{2} - 4$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4]$ .

$t^{2} (3 {(t^{2} - 4)}^{2} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4])) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 4.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$t^{2} (3 {(t^{2} - 4)}^{2} (2 t + \frac{d}{d t} [- 4])) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 4.1.3.3

Da $- 4$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$t^{2} (3 {(t^{2} - 4)}^{2} (2 t + 0)) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 4.1.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1.3.4.1

Addiere $2 t$ und $0$ .

$t^{2} (3 {(t^{2} - 4)}^{2} (2 t)) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 4.1.3.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$t^{2} (6 {(t^{2} - 4)}^{2} t) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 4.1.4

Multipliziere $t^{2}$ mit $t$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.4.1

Bewege $t$ .

$t \cdot t^{2} (6 {(t^{2} - 4)}^{2}) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 4.1.4.2

Mutltipliziere $t$ mit $t^{2}$ .

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Schritt 4.1.4.2.1

Potenziere $t$ mit $1$ .

$t^{1} t^{2} (6 {(t^{2} - 4)}^{2}) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 4.1.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$t^{1 + 2} (6 {(t^{2} - 4)}^{2}) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 4.1.4.3

Addiere $1$ und $2$ .

$t^{3} (6 {(t^{2} - 4)}^{2}) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 4.1.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$t^{3} (6 {(t^{2} - 4)}^{2}) + {(t^{2} - 4)}^{3} (2 t)$

Schritt 4.1.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(t^{2} - 4)}^{3}$ .

$t^{3} (6 {(t^{2} - 4)}^{2}) + 2 \cdot {(t^{2} - 4)}^{3} t$

Schritt 4.1.7

Vereinfache.

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Schritt 4.1.7.1

Faktorisiere $t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2}$ aus $t^{3} (6 {(t^{2} - 4)}^{2}) + 2 {(t^{2} - 4)}^{3} t$ heraus.

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Schritt 4.1.7.1.1

Faktorisiere $t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2}$ aus $t^{3} (6 {(t^{2} - 4)}^{2})$ heraus.

$t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2} (t^{2} \cdot (3)) + 2 {(t^{2} - 4)}^{3} t$

Schritt 4.1.7.1.2

Faktorisiere $t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2}$ aus $2 {(t^{2} - 4)}^{3} t$ heraus.

$t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2} (t^{2} \cdot (3)) + t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2} (t^{2} - 4)$

Schritt 4.1.7.1.3

Faktorisiere $t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2}$ aus $t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2} (t^{2} \cdot (3)) + t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2} (t^{2} - 4)$ heraus.

$t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2} (t^{2} \cdot (3) + t^{2} - 4)$

Schritt 4.1.7.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.1.7.2.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $t$ .

$2 \cdot t {(t^{2} - 4)}^{2} (t^{2} \cdot (3) + t^{2} - 4)$

Schritt 4.1.7.2.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $t^{2}$ .

$2 t {(t^{2} - 4)}^{2} (3 \cdot t^{2} + t^{2} - 4)$

Schritt 4.1.7.2.3

Addiere $3 t^{2}$ und $t^{2}$ .

$2 t {(t^{2} - 4)}^{2} (4 t^{2} - 4)$

Schritt 4.1.7.3

Schreibe ${(t^{2} - 4)}^{2}$ als $(t^{2} - 4) (t^{2} - 4)$ um.

$2 t ((t^{2} - 4) (t^{2} - 4)) (4 t^{2} - 4)$

Schritt 4.1.7.4

Multipliziere $(t^{2} - 4) (t^{2} - 4)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.1.7.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 t (t^{2} (t^{2} - 4) - 4 (t^{2} - 4)) (4 t^{2} - 4)$

Schritt 4.1.7.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 t (t^{2} t^{2} + t^{2} \cdot - 4 - 4 (t^{2} - 4)) (4 t^{2} - 4)$

Schritt 4.1.7.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 t (t^{2} t^{2} + t^{2} \cdot - 4 - 4 t^{2} - 4 \cdot - 4) (4 t^{2} - 4)$

Schritt 4.1.7.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.1.7.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.7.5.1.1

Multipliziere $t^{2}$ mit $t^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.7.5.1.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 t (t^{2 + 2} + t^{2} \cdot - 4 - 4 t^{2} - 4 \cdot - 4) (4 t^{2} - 4)$

Schritt 4.1.7.5.1.1.2

Addiere $2$ und $2$ .

$2 t (t^{4} + t^{2} \cdot - 4 - 4 t^{2} - 4 \cdot - 4) (4 t^{2} - 4)$

Schritt 4.1.7.5.1.2

Bringe $- 4$ auf die linke Seite von $t^{2}$ .

$2 t (t^{4} - 4 \cdot t^{2} - 4 t^{2} - 4 \cdot - 4) (4 t^{2} - 4)$

Schritt 4.1.7.5.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$2 t (t^{4} - 4 t^{2} - 4 t^{2} + 16) (4 t^{2} - 4)$

Schritt 4.1.7.5.2

Subtrahiere $4 t^{2}$ von $- 4 t^{2}$ .

$2 t (t^{4} - 8 t^{2} + 16) (4 t^{2} - 4)$

Schritt 4.1.7.6

Wende das Distributivgesetz an.

$(2 t \cdot t^{4} + 2 t (- 8 t^{2}) + 2 t \cdot 16) (4 t^{2} - 4)$

Schritt 4.1.7.7

Vereinfache.

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Schritt 4.1.7.7.1

Multipliziere $t$ mit $t^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.7.7.1.1

Bewege $t^{4}$ .

$(2 (t^{4} t) + 2 t (- 8 t^{2}) + 2 t \cdot 16) (4 t^{2} - 4)$

Schritt 4.1.7.7.1.2

Mutltipliziere $t^{4}$ mit $t$ .

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Schritt 4.1.7.7.1.2.1

Potenziere $t$ mit $1$ .

$(2 (t^{4} t^{1}) + 2 t (- 8 t^{2}) + 2 t \cdot 16) (4 t^{2} - 4)$

Schritt 4.1.7.7.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(2 t^{4 + 1} + 2 t (- 8 t^{2}) + 2 t \cdot 16) (4 t^{2} - 4)$

Schritt 4.1.7.7.1.3

Addiere $4$ und $1$ .

$(2 t^{5} + 2 t (- 8 t^{2}) + 2 t \cdot 16) (4 t^{2} - 4)$

Schritt 4.1.7.7.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(2 t^{5} + 2 \cdot - 8 t \cdot t^{2} + 2 t \cdot 16) (4 t^{2} - 4)$

Schritt 4.1.7.7.3

Mutltipliziere $16$ mit $2$ .

$(2 t^{5} + 2 \cdot - 8 t \cdot t^{2} + 32 t) (4 t^{2} - 4)$

Schritt 4.1.7.8

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.7.8.1

Multipliziere $t$ mit $t^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.7.8.1.1

Bewege $t^{2}$ .

$(2 t^{5} + 2 \cdot - 8 (t^{2} t) + 32 t) (4 t^{2} - 4)$

Schritt 4.1.7.8.1.2

Mutltipliziere $t^{2}$ mit $t$ .

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Schritt 4.1.7.8.1.2.1

Potenziere $t$ mit $1$ .

$(2 t^{5} + 2 \cdot - 8 (t^{2} t^{1}) + 32 t) (4 t^{2} - 4)$

Schritt 4.1.7.8.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(2 t^{5} + 2 \cdot - 8 t^{2 + 1} + 32 t) (4 t^{2} - 4)$

Schritt 4.1.7.8.1.3

Addiere $2$ und $1$ .

$(2 t^{5} + 2 \cdot - 8 t^{3} + 32 t) (4 t^{2} - 4)$

Schritt 4.1.7.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 8$ .

$(2 t^{5} - 16 t^{3} + 32 t) (4 t^{2} - 4)$

Schritt 4.1.7.9

Multipliziere $(2 t^{5} - 16 t^{3} + 32 t) (4 t^{2} - 4)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$2 t^{5} (4 t^{2}) + 2 t^{5} \cdot - 4 - 16 t^{3} (4 t^{2}) - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Schritt 4.1.7.10

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.7.10.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 \cdot 4 t^{5} t^{2} + 2 t^{5} \cdot - 4 - 16 t^{3} (4 t^{2}) - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Schritt 4.1.7.10.2

Multipliziere $t^{5}$ mit $t^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.7.10.2.1

Bewege $t^{2}$ .

$2 \cdot 4 (t^{2} t^{5}) + 2 t^{5} \cdot - 4 - 16 t^{3} (4 t^{2}) - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Schritt 4.1.7.10.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 \cdot 4 t^{2 + 5} + 2 t^{5} \cdot - 4 - 16 t^{3} (4 t^{2}) - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Schritt 4.1.7.10.2.3

Addiere $2$ und $5$ .

$2 \cdot 4 t^{7} + 2 t^{5} \cdot - 4 - 16 t^{3} (4 t^{2}) - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Schritt 4.1.7.10.3

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$8 t^{7} + 2 t^{5} \cdot - 4 - 16 t^{3} (4 t^{2}) - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Schritt 4.1.7.10.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 16 t^{3} (4 t^{2}) - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Schritt 4.1.7.10.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 16 \cdot 4 t^{3} t^{2} - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Schritt 4.1.7.10.6

Multipliziere $t^{3}$ mit $t^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.7.10.6.1

Bewege $t^{2}$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 16 \cdot 4 (t^{2} t^{3}) - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Schritt 4.1.7.10.6.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 16 \cdot 4 t^{2 + 3} - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Schritt 4.1.7.10.6.3

Addiere $2$ und $3$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 16 \cdot 4 t^{5} - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Schritt 4.1.7.10.7

Mutltipliziere $- 16$ mit $4$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Schritt 4.1.7.10.8

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 16$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} + 64 t^{3} + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Schritt 4.1.7.10.9

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} + 64 t^{3} + 32 \cdot 4 t \cdot t^{2} + 32 t \cdot - 4$

Schritt 4.1.7.10.10

Multipliziere $t$ mit $t^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.7.10.10.1

Bewege $t^{2}$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} + 64 t^{3} + 32 \cdot 4 (t^{2} t) + 32 t \cdot - 4$

Schritt 4.1.7.10.10.2

Mutltipliziere $t^{2}$ mit $t$ .

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Schritt 4.1.7.10.10.2.1

Potenziere $t$ mit $1$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} + 64 t^{3} + 32 \cdot 4 (t^{2} t^{1}) + 32 t \cdot - 4$

Schritt 4.1.7.10.10.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} + 64 t^{3} + 32 \cdot 4 t^{2 + 1} + 32 t \cdot - 4$

Schritt 4.1.7.10.10.3

Addiere $2$ und $1$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} + 64 t^{3} + 32 \cdot 4 t^{3} + 32 t \cdot - 4$

Schritt 4.1.7.10.11

Mutltipliziere $32$ mit $4$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} + 64 t^{3} + 128 t^{3} + 32 t \cdot - 4$

Schritt 4.1.7.10.12

Mutltipliziere $- 4$ mit $32$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} + 64 t^{3} + 128 t^{3} - 128 t$

Schritt 4.1.7.11

Subtrahiere $64 t^{5}$ von $- 8 t^{5}$ .

$8 t^{7} - 72 t^{5} + 64 t^{3} + 128 t^{3} - 128 t$

Schritt 4.1.7.12

Addiere $64 t^{3}$ und $128 t^{3}$ .

$f' (t) = 8 t^{7} - 72 t^{5} + 192 t^{3} - 128 t$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $k (t)$ nach $t$ ist $8 t^{7} - 72 t^{5} + 192 t^{3} - 128 t$ .

$8 t^{7} - 72 t^{5} + 192 t^{3} - 128 t$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $8 t^{7} - 72 t^{5} + 192 t^{3} - 128 t = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$8 t^{7} - 72 t^{5} + 192 t^{3} - 128 t = 0$

Schritt 5.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $8 t$ aus $8 t^{7} - 72 t^{5} + 192 t^{3} - 128 t$ heraus.

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Schritt 5.2.1.1

Faktorisiere $8 t$ aus $8 t^{7}$ heraus.

$8 t (t^{6}) - 72 t^{5} + 192 t^{3} - 128 t = 0$

Schritt 5.2.1.2

Faktorisiere $8 t$ aus $- 72 t^{5}$ heraus.

$8 t (t^{6}) + 8 t (- 9 t^{4}) + 192 t^{3} - 128 t = 0$

Schritt 5.2.1.3

Faktorisiere $8 t$ aus $192 t^{3}$ heraus.

$8 t (t^{6}) + 8 t (- 9 t^{4}) + 8 t (24 t^{2}) - 128 t = 0$

Schritt 5.2.1.4

Faktorisiere $8 t$ aus $- 128 t$ heraus.

$8 t (t^{6}) + 8 t (- 9 t^{4}) + 8 t (24 t^{2}) + 8 t (- 16) = 0$

Schritt 5.2.1.5

Faktorisiere $8 t$ aus $8 t (t^{6}) + 8 t (- 9 t^{4})$ heraus.

$8 t (t^{6} - 9 t^{4}) + 8 t (24 t^{2}) + 8 t (- 16) = 0$

Schritt 5.2.1.6

Faktorisiere $8 t$ aus $8 t (t^{6} - 9 t^{4}) + 8 t (24 t^{2})$ heraus.

$8 t (t^{6} - 9 t^{4} + 24 t^{2}) + 8 t (- 16) = 0$

Schritt 5.2.1.7

Faktorisiere $8 t$ aus $8 t (t^{6} - 9 t^{4} + 24 t^{2}) + 8 t (- 16)$ heraus.

$8 t (t^{6} - 9 t^{4} + 24 t^{2} - 16) = 0$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 9 t^{4} + 24 t^{2} - 16$ heraus.

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Schritt 5.2.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 9 t^{4}$ heraus.

$8 t (t^{6} - (9 t^{4}) + 24 t^{2} - 16) = 0$

Schritt 5.2.2.2

Faktorisiere $- 1$ aus $24 t^{2}$ heraus.

$8 t (t^{6} - (9 t^{4}) - (- 24 t^{2}) - 16) = 0$

Schritt 5.2.2.3

Schreibe $- 16$ als $- 1 (16)$ um.

$8 t (t^{6} - (9 t^{4}) - (- 24 t^{2}) - 1 \cdot 16) = 0$

Schritt 5.2.2.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (9 t^{4}) - (- 24 t^{2})$ heraus.

$8 t (t^{6} - (9 t^{4} - 24 t^{2}) - 1 \cdot 16) = 0$

Schritt 5.2.2.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (9 t^{4} - 24 t^{2}) - 1 (16)$ heraus.

$8 t (t^{6} - (9 t^{4} - 24 t^{2} + 16)) = 0$

Schritt 5.2.3

Schreibe $t^{4}$ als ${(t^{2})}^{2}$ um.

$8 t (t^{6} - (9 {(t^{2})}^{2} - 24 t^{2} + 16)) = 0$

Schritt 5.2.4

Es sei $u = t^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $t^{2}$ .

$8 t (t^{6} - (9 u^{2} - 24 u + 16)) = 0$

Schritt 5.2.5

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 5.2.5.1

Schreibe $9 u^{2}$ als ${(3 u)}^{2}$ um.

$8 t (t^{6} - ({(3 u)}^{2} - 24 u + 16)) = 0$

Schritt 5.2.5.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$8 t (t^{6} - ({(3 u)}^{2} - 24 u + 4^{2})) = 0$

Schritt 5.2.5.3

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$24 u = 2 \cdot (3 u) \cdot 4$

Schritt 5.2.5.4

Schreibe das Polynom neu.

$8 t (t^{6} - ({(3 u)}^{2} - 2 \cdot (3 u) \cdot 4 + 4^{2})) = 0$

Schritt 5.2.5.5

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = 3 u$ und $b = 4$ .

$8 t (t^{6} - {(3 u - 4)}^{2}) = 0$

Schritt 5.2.6

Ersetze alle $u$ durch $t^{2}$ .

$8 t (t^{6} - {(3 t^{2} - 4)}^{2}) = 0$

Schritt 5.2.7

Schreibe $t^{6}$ als ${(t^{3})}^{2}$ um.

$8 t ({(t^{3})}^{2} - {(3 t^{2} - 4)}^{2}) = 0$

Schritt 5.2.8

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = t^{3}$ und $b = 3 t^{2} - 4$ .

$8 t ((t^{3} + 3 t^{2} - 4) (t^{3} - (3 t^{2} - 4))) = 0$

Schritt 5.2.9

Faktorisiere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.9.1

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.9.1.1

Entferne unnötige Klammern.

$8 t ((t^{3} + 3 t^{2} - 4) (t^{3} - (3 t^{2} - 4))) = 0$

Schritt 5.2.9.1.2

Schreibe $t^{3} + 3 t^{2} - 4$ in eine faktorisierte Form um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.9.1.2.1

Faktorisiere $t^{3} + 3 t^{2} - 4$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.9.1.2.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1$

Schritt 5.2.9.1.2.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 4, \pm 2$

Schritt 5.2.9.1.2.1.3

Setze $1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $1$ eine Wurzel des Polynoms.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.9.1.2.1.3.1

Setze $1$ in das Polynom ein.

$1^{3} + 3 \cdot 1^{2} - 4$

Schritt 5.2.9.1.2.1.3.2

Potenziere $1$ mit $3$ .

$1 + 3 \cdot 1^{2} - 4$

Schritt 5.2.9.1.2.1.3.3

Potenziere $1$ mit $2$ .

$1 + 3 \cdot 1 - 4$

Schritt 5.2.9.1.2.1.3.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$1 + 3 - 4$

Schritt 5.2.9.1.2.1.3.5

Addiere $1$ und $3$ .

$4 - 4$

Schritt 5.2.9.1.2.1.3.6

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$0$

Schritt 5.2.9.1.2.1.4

Da $1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $t - 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{t^{3} + 3 t^{2} - 4}{t - 1}$

Schritt 5.2.9.1.2.1.5

Dividiere $t^{3} + 3 t^{2} - 4$ durch $t - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.9.1.2.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$t$

$1$

$t^{3}$

$3 t^{2}$

$0 t$

$4$

Schritt 5.2.9.1.2.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $t^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $t$ .

					$t^{2}$
	$t$	-	$1$		$t^{3}$	+	$3 t^{2}$	+	$0 t$	-	$4$

Schritt 5.2.9.1.2.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$t^{2}$
$t$	-	$1$		$t^{3}$	+	$3 t^{2}$	+	$0 t$	-	$4$
			+	$t^{3}$	-	$t^{2}$

Schritt 5.2.9.1.2.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $t^{3} - t^{2}$

				$t^{2}$
$t$	-	$1$		$t^{3}$	+	$3 t^{2}$	+	$0 t$	-	$4$
			-	$t^{3}$	+	$t^{2}$

Schritt 5.2.9.1.2.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$t^{2}$
$t$	-	$1$		$t^{3}$	+	$3 t^{2}$	+	$0 t$	-	$4$
			-	$t^{3}$	+	$t^{2}$
					+	$4 t^{2}$

Schritt 5.2.9.1.2.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$t^{2}$
$t$	-	$1$		$t^{3}$	+	$3 t^{2}$	+	$0 t$	-	$4$
			-	$t^{3}$	+	$t^{2}$
					+	$4 t^{2}$	+	$0 t$

Schritt 5.2.9.1.2.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $4 t^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $t$ .

				$t^{2}$	+	$4 t$
$t$	-	$1$		$t^{3}$	+	$3 t^{2}$	+	$0 t$	-	$4$
			-	$t^{3}$	+	$t^{2}$
					+	$4 t^{2}$	+	$0 t$

Schritt 5.2.9.1.2.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$t^{2}$	+	$4 t$
$t$	-	$1$		$t^{3}$	+	$3 t^{2}$	+	$0 t$	-	$4$
			-	$t^{3}$	+	$t^{2}$
					+	$4 t^{2}$	+	$0 t$
					+	$4 t^{2}$	-	$4 t$

Schritt 5.2.9.1.2.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $4 t^{2} - 4 t$

				$t^{2}$	+	$4 t$
$t$	-	$1$		$t^{3}$	+	$3 t^{2}$	+	$0 t$	-	$4$
			-	$t^{3}$	+	$t^{2}$
					+	$4 t^{2}$	+	$0 t$
					-	$4 t^{2}$	+	$4 t$

Schritt 5.2.9.1.2.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$t^{2}$	+	$4 t$
$t$	-	$1$		$t^{3}$	+	$3 t^{2}$	+	$0 t$	-	$4$
			-	$t^{3}$	+	$t^{2}$
					+	$4 t^{2}$	+	$0 t$
					-	$4 t^{2}$	+	$4 t$
							+	$4 t$

Schritt 5.2.9.1.2.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$t^{2}$	+	$4 t$
$t$	-	$1$		$t^{3}$	+	$3 t^{2}$	+	$0 t$	-	$4$
			-	$t^{3}$	+	$t^{2}$
					+	$4 t^{2}$	+	$0 t$
					-	$4 t^{2}$	+	$4 t$
							+	$4 t$	-	$4$

Schritt 5.2.9.1.2.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $4 t$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $t$ .

				$t^{2}$	+	$4 t$	+	$4$
$t$	-	$1$		$t^{3}$	+	$3 t^{2}$	+	$0 t$	-	$4$
			-	$t^{3}$	+	$t^{2}$
					+	$4 t^{2}$	+	$0 t$
					-	$4 t^{2}$	+	$4 t$
							+	$4 t$	-	$4$

Schritt 5.2.9.1.2.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$t^{2}$	+	$4 t$	+	$4$
$t$	-	$1$		$t^{3}$	+	$3 t^{2}$	+	$0 t$	-	$4$
			-	$t^{3}$	+	$t^{2}$
					+	$4 t^{2}$	+	$0 t$
					-	$4 t^{2}$	+	$4 t$
							+	$4 t$	-	$4$
							+	$4 t$	-	$4$

Schritt 5.2.9.1.2.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $4 t - 4$

				$t^{2}$	+	$4 t$	+	$4$
$t$	-	$1$		$t^{3}$	+	$3 t^{2}$	+	$0 t$	-	$4$
			-	$t^{3}$	+	$t^{2}$
					+	$4 t^{2}$	+	$0 t$
					-	$4 t^{2}$	+	$4 t$
							+	$4 t$	-	$4$
							-	$4 t$	+	$4$

Schritt 5.2.9.1.2.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$t^{2}$	+	$4 t$	+	$4$
$t$	-	$1$		$t^{3}$	+	$3 t^{2}$	+	$0 t$	-	$4$
			-	$t^{3}$	+	$t^{2}$
					+	$4 t^{2}$	+	$0 t$
					-	$4 t^{2}$	+	$4 t$
							+	$4 t$	-	$4$
							-	$4 t$	+	$4$
										$0$

Schritt 5.2.9.1.2.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$t^{2} + 4 t + 4$

Schritt 5.2.9.1.2.1.6

Schreibe $t^{3} + 3 t^{2} - 4$ als eine Menge von Faktoren.

$8 t ((t - 1) (t^{2} + 4 t + 4) (t^{3} - (3 t^{2} - 4))) = 0$

Schritt 5.2.9.1.2.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.9.1.2.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$8 t ((t - 1) (t^{2} + 4 t + 2^{2}) (t^{3} - (3 t^{2} - 4))) = 0$

Schritt 5.2.9.1.2.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$4 t = 2 \cdot t \cdot 2$

Schritt 5.2.9.1.2.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$8 t ((t - 1) (t^{2} + 2 \cdot t \cdot 2 + 2^{2}) (t^{3} - (3 t^{2} - 4))) = 0$

Schritt 5.2.9.1.2.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = t$ und $b = 2$ .

$8 t ((t - 1) {(t + 2)}^{2} (t^{3} - (3 t^{2} - 4))) = 0$

Schritt 5.2.9.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$8 t ((t - 1) {(t + 2)}^{2} (t^{3} - (3 t^{2}) + 4)) = 0$

Schritt 5.2.9.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$8 t ((t - 1) {(t + 2)}^{2} (t^{3} - 3 t^{2} + 4)) = 0$

Schritt 5.2.9.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$8 t ((t - 1) {(t + 2)}^{2} (t^{3} - 3 t^{2} + 4)) = 0$

Schritt 5.2.9.1.6

Faktorisiere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.9.1.6.1

Schreibe $t^{3} - 3 t^{2} + 4$ in eine faktorisierte Form um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.9.1.6.1.1

Faktorisiere $t^{3} - 3 t^{2} + 4$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.9.1.6.1.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1$

Schritt 5.2.9.1.6.1.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 4, \pm 2$

Schritt 5.2.9.1.6.1.1.3

Setze $- 1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 1$ eine Wurzel des Polynoms.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.9.1.6.1.1.3.1

Setze $- 1$ in das Polynom ein.

${(- 1)}^{3} - 3 {(- 1)}^{2} + 4$

Schritt 5.2.9.1.6.1.1.3.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$- 1 - 3 {(- 1)}^{2} + 4$

Schritt 5.2.9.1.6.1.1.3.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$- 1 - 3 \cdot 1 + 4$

Schritt 5.2.9.1.6.1.1.3.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$- 1 - 3 + 4$

Schritt 5.2.9.1.6.1.1.3.5

Subtrahiere $3$ von $- 1$ .

$- 4 + 4$

Schritt 5.2.9.1.6.1.1.3.6

Addiere $- 4$ und $4$ .

$0$

Schritt 5.2.9.1.6.1.1.4

Da $- 1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $t + 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 4}{t + 1}$

Schritt 5.2.9.1.6.1.1.5

Dividiere $t^{3} - 3 t^{2} + 4$ durch $t + 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.9.1.6.1.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$t$

$1$

$t^{3}$

$3 t^{2}$

$0 t$

$4$

Schritt 5.2.9.1.6.1.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $t^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $t$ .

					$t^{2}$
	$t$	+	$1$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$

Schritt 5.2.9.1.6.1.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$t^{2}$
$t$	+	$1$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$
			+	$t^{3}$	+	$t^{2}$

Schritt 5.2.9.1.6.1.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $t^{3} + t^{2}$

				$t^{2}$
$t$	+	$1$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$
			-	$t^{3}$	-	$t^{2}$

Schritt 5.2.9.1.6.1.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$t^{2}$
$t$	+	$1$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$
			-	$t^{3}$	-	$t^{2}$
					-	$4 t^{2}$

Schritt 5.2.9.1.6.1.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$t^{2}$
$t$	+	$1$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$
			-	$t^{3}$	-	$t^{2}$
					-	$4 t^{2}$	+	$0 t$

Schritt 5.2.9.1.6.1.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 4 t^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $t$ .

				$t^{2}$	-	$4 t$
$t$	+	$1$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$
			-	$t^{3}$	-	$t^{2}$
					-	$4 t^{2}$	+	$0 t$

Schritt 5.2.9.1.6.1.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$t^{2}$	-	$4 t$
$t$	+	$1$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$
			-	$t^{3}$	-	$t^{2}$
					-	$4 t^{2}$	+	$0 t$
					-	$4 t^{2}$	-	$4 t$

Schritt 5.2.9.1.6.1.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 4 t^{2} - 4 t$

				$t^{2}$	-	$4 t$
$t$	+	$1$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$
			-	$t^{3}$	-	$t^{2}$
					-	$4 t^{2}$	+	$0 t$
					+	$4 t^{2}$	+	$4 t$

Schritt 5.2.9.1.6.1.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$t^{2}$	-	$4 t$
$t$	+	$1$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$
			-	$t^{3}$	-	$t^{2}$
					-	$4 t^{2}$	+	$0 t$
					+	$4 t^{2}$	+	$4 t$
							+	$4 t$

Schritt 5.2.9.1.6.1.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$t^{2}$	-	$4 t$
$t$	+	$1$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$
			-	$t^{3}$	-	$t^{2}$
					-	$4 t^{2}$	+	$0 t$
					+	$4 t^{2}$	+	$4 t$
							+	$4 t$	+	$4$

Schritt 5.2.9.1.6.1.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $4 t$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $t$ .

				$t^{2}$	-	$4 t$	+	$4$
$t$	+	$1$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$
			-	$t^{3}$	-	$t^{2}$
					-	$4 t^{2}$	+	$0 t$
					+	$4 t^{2}$	+	$4 t$
							+	$4 t$	+	$4$

Schritt 5.2.9.1.6.1.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$t^{2}$	-	$4 t$	+	$4$
$t$	+	$1$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$
			-	$t^{3}$	-	$t^{2}$
					-	$4 t^{2}$	+	$0 t$
					+	$4 t^{2}$	+	$4 t$
							+	$4 t$	+	$4$
							+	$4 t$	+	$4$

Schritt 5.2.9.1.6.1.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $4 t + 4$

				$t^{2}$	-	$4 t$	+	$4$
$t$	+	$1$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$
			-	$t^{3}$	-	$t^{2}$
					-	$4 t^{2}$	+	$0 t$
					+	$4 t^{2}$	+	$4 t$
							+	$4 t$	+	$4$
							-	$4 t$	-	$4$

Schritt 5.2.9.1.6.1.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$t^{2}$	-	$4 t$	+	$4$
$t$	+	$1$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$
			-	$t^{3}$	-	$t^{2}$
					-	$4 t^{2}$	+	$0 t$
					+	$4 t^{2}$	+	$4 t$
							+	$4 t$	+	$4$
							-	$4 t$	-	$4$
										$0$

Schritt 5.2.9.1.6.1.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$t^{2} - 4 t + 4$

Schritt 5.2.9.1.6.1.1.6

Schreibe $t^{3} - 3 t^{2} + 4$ als eine Menge von Faktoren.

$8 t ((t - 1) {(t + 2)}^{2} ((t + 1) (t^{2} - 4 t + 4))) = 0$

Schritt 5.2.9.1.6.1.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.9.1.6.1.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$8 t ((t - 1) {(t + 2)}^{2} ((t + 1) (t^{2} - 4 t + 2^{2}))) = 0$

Schritt 5.2.9.1.6.1.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$4 t = 2 \cdot t \cdot 2$

Schritt 5.2.9.1.6.1.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$8 t ((t - 1) {(t + 2)}^{2} ((t + 1) (t^{2} - 2 \cdot t \cdot 2 + 2^{2}))) = 0$

Schritt 5.2.9.1.6.1.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = t$ und $b = 2$ .

$8 t ((t - 1) {(t + 2)}^{2} ((t + 1) {(t - 2)}^{2})) = 0$

Schritt 5.2.9.1.6.2

Entferne unnötige Klammern.

$8 t ((t - 1) {(t + 2)}^{2} (t + 1) {(t - 2)}^{2}) = 0$

Schritt 5.2.9.2

Entferne unnötige Klammern.

$8 t (t - 1) {(t + 2)}^{2} (t + 1) {(t - 2)}^{2} = 0$

Schritt 5.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$t = 0$

$t - 1 = 0$

${(t + 2)}^{2} = 0$

$t + 1 = 0$

${(t - 2)}^{2} = 0$

Schritt 5.4

Setze $t$ gleich $0$ .

$t = 0$

Schritt 5.5

Setze $t - 1$ gleich $0$ und löse nach $t$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.1

Setze $t - 1$ gleich $0$ .

$t - 1 = 0$

Schritt 5.5.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$t = 1$

Schritt 5.6

Setze ${(t + 2)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $t$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.1

Setze ${(t + 2)}^{2}$ gleich $0$ .

${(t + 2)}^{2} = 0$

Schritt 5.6.2

Löse ${(t + 2)}^{2} = 0$ nach $t$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.2.1

Setze $t + 2$ gleich $0$ .

$t + 2 = 0$

Schritt 5.6.2.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$t = - 2$

Schritt 5.7

Setze $t + 1$ gleich $0$ und löse nach $t$ auf.

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Schritt 5.7.1

Setze $t + 1$ gleich $0$ .

$t + 1 = 0$

Schritt 5.7.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$t = - 1$

Schritt 5.8

Setze ${(t - 2)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $t$ auf.

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Schritt 5.8.1

Setze ${(t - 2)}^{2}$ gleich $0$ .

${(t - 2)}^{2} = 0$

Schritt 5.8.2

Löse ${(t - 2)}^{2} = 0$ nach $t$ auf.

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Schritt 5.8.2.1

Setze $t - 2$ gleich $0$ .

$t - 2 = 0$

Schritt 5.8.2.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$t = 2$

Schritt 5.9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $8 t (t - 1) {(t + 2)}^{2} (t + 1) {(t - 2)}^{2} = 0$ wahr machen.

$t = 0, 1, - 2, - 1, 2$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$t = 0, 1, - 2, - 1, 2$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $t = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$56 {(0)}^{6} - 360 {(0)}^{4} + 576 {(0)}^{2} - 128$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$56 \cdot 0 - 360 {(0)}^{4} + 576 {(0)}^{2} - 128$

Schritt 9.1.2

Mutltipliziere $56$ mit $0$ .

$0 - 360 {(0)}^{4} + 576 {(0)}^{2} - 128$

Schritt 9.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 - 360 \cdot 0 + 576 {(0)}^{2} - 128$

Schritt 9.1.4

Mutltipliziere $- 360$ mit $0$ .

$0 + 0 + 576 {(0)}^{2} - 128$

Schritt 9.1.5

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 + 0 + 576 \cdot 0 - 128$

Schritt 9.1.6

Mutltipliziere $576$ mit $0$ .

$0 + 0 + 0 - 128$

Schritt 9.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 9.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$0 + 0 - 128$

Schritt 9.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$0 - 128$

Schritt 9.2.3

Subtrahiere $128$ von $0$ .

$- 128$

Schritt 10

$t = 0$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$t = 0$ ist ein lokales Maximum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $t = 0$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $t$ durch $0$ .

$k (0) = {(0)}^{2} {({(0)}^{2} - 4)}^{3}$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$k (0) = 0 {({(0)}^{2} - 4)}^{3}$

Schritt 11.2.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$k (0) = 0 {(0 - 4)}^{3}$

Schritt 11.2.3

Subtrahiere $4$ von $0$ .

$k (0) = 0 {(- 4)}^{3}$

Schritt 11.2.4

Potenziere $- 4$ mit $3$ .

$k (0) = 0 \cdot - 64$

Schritt 11.2.5

Mutltipliziere $0$ mit $- 64$ .

$k (0) = 0$

Schritt 11.2.6

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$y = 0$

Schritt 12

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $t = 1$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$56 {(1)}^{6} - 360 {(1)}^{4} + 576 {(1)}^{2} - 128$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 13.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$56 \cdot 1 - 360 {(1)}^{4} + 576 {(1)}^{2} - 128$

Schritt 13.1.2

Mutltipliziere $56$ mit $1$ .

$56 - 360 {(1)}^{4} + 576 {(1)}^{2} - 128$

Schritt 13.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$56 - 360 \cdot 1 + 576 {(1)}^{2} - 128$

Schritt 13.1.4

Mutltipliziere $- 360$ mit $1$ .

$56 - 360 + 576 {(1)}^{2} - 128$

Schritt 13.1.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$56 - 360 + 576 \cdot 1 - 128$

Schritt 13.1.6

Mutltipliziere $576$ mit $1$ .

$56 - 360 + 576 - 128$

Schritt 13.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 13.2.1

Subtrahiere $360$ von $56$ .

$- 304 + 576 - 128$

Schritt 13.2.2

Addiere $- 304$ und $576$ .

$272 - 128$

Schritt 13.2.3

Subtrahiere $128$ von $272$ .

$144$

Schritt 14

$t = 1$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$t = 1$ ist ein lokales Minimum

Schritt 15

Ermittele den y-Wert, wenn $t = 1$ .

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Schritt 15.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $t$ durch $1$ .

$k (1) = {(1)}^{2} {({(1)}^{2} - 4)}^{3}$

Schritt 15.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 15.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$k (1) = 1 {({(1)}^{2} - 4)}^{3}$

Schritt 15.2.2

Mutltipliziere ${({(1)}^{2} - 4)}^{3}$ mit $1$ .

$k (1) = {({(1)}^{2} - 4)}^{3}$

Schritt 15.2.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$k (1) = {(1 - 4)}^{3}$

Schritt 15.2.4

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$k (1) = {(- 3)}^{3}$

Schritt 15.2.5

Potenziere $- 3$ mit $3$ .

$k (1) = - 27$

Schritt 15.2.6

Die endgültige Lösung ist $- 27$ .

$y = - 27$

Schritt 16

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $t = - 2$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$56 {(- 2)}^{6} - 360 {(- 2)}^{4} + 576 {(- 2)}^{2} - 128$

Schritt 17

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 17.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 17.1.1

Potenziere $- 2$ mit $6$ .

$56 \cdot 64 - 360 {(- 2)}^{4} + 576 {(- 2)}^{2} - 128$

Schritt 17.1.2

Mutltipliziere $56$ mit $64$ .

$3584 - 360 {(- 2)}^{4} + 576 {(- 2)}^{2} - 128$

Schritt 17.1.3

Potenziere $- 2$ mit $4$ .

$3584 - 360 \cdot 16 + 576 {(- 2)}^{2} - 128$

Schritt 17.1.4

Mutltipliziere $- 360$ mit $16$ .

$3584 - 5760 + 576 {(- 2)}^{2} - 128$

Schritt 17.1.5

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$3584 - 5760 + 576 \cdot 4 - 128$

Schritt 17.1.6

Mutltipliziere $576$ mit $4$ .

$3584 - 5760 + 2304 - 128$

Schritt 17.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 17.2.1

Subtrahiere $5760$ von $3584$ .

$- 2176 + 2304 - 128$

Schritt 17.2.2

Addiere $- 2176$ und $2304$ .

$128 - 128$

Schritt 17.2.3

Subtrahiere $128$ von $128$ .

$0$

Schritt 18

Da es mindestens einen Punkt mit $0$ oder eine nicht definierte zweite Ableitung gibt, wende den ersten Ableitungstest an.

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Schritt 18.1

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $t$ -Werte herum auf, die die erste Ableitung zu $0$ oder nicht definiert machen.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, 2) \cup (2, \infty)$

Schritt 18.2

Setze eine beliebige Zahl, wie $- 4$ , aus dem Intervall $(- \infty, - 2)$ in die erste Ableitung $8 t^{7} - 72 t^{5} + 192 t^{3} - 128 t$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 18.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $t$ durch $- 4$ .

$k' (- 4) = 8 {(- 4)}^{7} - 72 {(- 4)}^{5} + 192 {(- 4)}^{3} - 128 \cdot - 4$

Schritt 18.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 18.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 18.2.2.1.1

Potenziere $- 4$ mit $7$ .

$k' (- 4) = 8 \cdot - 16384 - 72 {(- 4)}^{5} + 192 {(- 4)}^{3} - 128 \cdot - 4$

Schritt 18.2.2.1.2

Mutltipliziere $8$ mit $- 16384$ .

$k' (- 4) = - 131072 - 72 {(- 4)}^{5} + 192 {(- 4)}^{3} - 128 \cdot - 4$

Schritt 18.2.2.1.3

Potenziere $- 4$ mit $5$ .

$k' (- 4) = - 131072 - 72 \cdot - 1024 + 192 {(- 4)}^{3} - 128 \cdot - 4$

Schritt 18.2.2.1.4

Mutltipliziere $- 72$ mit $- 1024$ .

$k' (- 4) = - 131072 + 73728 + 192 {(- 4)}^{3} - 128 \cdot - 4$

Schritt 18.2.2.1.5

Potenziere $- 4$ mit $3$ .

$k' (- 4) = - 131072 + 73728 + 192 \cdot - 64 - 128 \cdot - 4$

Schritt 18.2.2.1.6

Mutltipliziere $192$ mit $- 64$ .

$k' (- 4) = - 131072 + 73728 - 12288 - 128 \cdot - 4$

Schritt 18.2.2.1.7

Mutltipliziere $- 128$ mit $- 4$ .

$k' (- 4) = - 131072 + 73728 - 12288 + 512$

Schritt 18.2.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 18.2.2.2.1

Addiere $- 131072$ und $73728$ .

$k' (- 4) = - 57344 - 12288 + 512$

Schritt 18.2.2.2.2

Subtrahiere $12288$ von $- 57344$ .

$k' (- 4) = - 69632 + 512$

Schritt 18.2.2.2.3

Addiere $- 69632$ und $512$ .

$k' (- 4) = - 69120$

Schritt 18.2.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 69120$ .

$- 69120$

Schritt 18.3

Setze eine beliebige Zahl, wie $- 1.5$ , aus dem Intervall $(- 2, - 1)$ in die erste Ableitung $8 t^{7} - 72 t^{5} + 192 t^{3} - 128 t$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 18.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $t$ durch $- 1.5$ .

$k' (- 1.5) = 8 {(- 1.5)}^{7} - 72 {(- 1.5)}^{5} + 192 {(- 1.5)}^{3} - 128 \cdot - 1.5$

Schritt 18.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 18.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 18.3.2.1.1

Potenziere $- 1.5$ mit $7$ .

$k' (- 1.5) = 8 \cdot - 17.0859375 - 72 {(- 1.5)}^{5} + 192 {(- 1.5)}^{3} - 128 \cdot - 1.5$

Schritt 18.3.2.1.2

Mutltipliziere $8$ mit $- 17.0859375$ .

$k' (- 1.5) = - 136.6875 - 72 {(- 1.5)}^{5} + 192 {(- 1.5)}^{3} - 128 \cdot - 1.5$

Schritt 18.3.2.1.3

Potenziere $- 1.5$ mit $5$ .

$k' (- 1.5) = - 136.6875 - 72 \cdot - 7.59375 + 192 {(- 1.5)}^{3} - 128 \cdot - 1.5$

Schritt 18.3.2.1.4

Mutltipliziere $- 72$ mit $- 7.59375$ .

$k' (- 1.5) = - 136.6875 + 546.75 + 192 {(- 1.5)}^{3} - 128 \cdot - 1.5$

Schritt 18.3.2.1.5

Potenziere $- 1.5$ mit $3$ .

$k' (- 1.5) = - 136.6875 + 546.75 + 192 \cdot - 3.375 - 128 \cdot - 1.5$

Schritt 18.3.2.1.6

Mutltipliziere $192$ mit $- 3.375$ .

$k' (- 1.5) = - 136.6875 + 546.75 - 648 - 128 \cdot - 1.5$

Schritt 18.3.2.1.7

Mutltipliziere $- 128$ mit $- 1.5$ .

$k' (- 1.5) = - 136.6875 + 546.75 - 648 + 192$

Schritt 18.3.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 18.3.2.2.1

Addiere $- 136.6875$ und $546.75$ .

$k' (- 1.5) = 410.0625 - 648 + 192$

Schritt 18.3.2.2.2

Subtrahiere $648$ von $410.0625$ .

$k' (- 1.5) = - 237.9375 + 192$

Schritt 18.3.2.2.3

Addiere $- 237.9375$ und $192$ .

$k' (- 1.5) = - 45.9375$

Schritt 18.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 45.9375$ .

$- 45.9375$

Schritt 18.4

Setze eine beliebige Zahl, wie $- 0.5$ , aus dem Intervall $(- 1, 0)$ in die erste Ableitung $8 t^{7} - 72 t^{5} + 192 t^{3} - 128 t$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 18.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $t$ durch $- 0.5$ .

$k' (- 0.5) = 8 {(- 0.5)}^{7} - 72 {(- 0.5)}^{5} + 192 {(- 0.5)}^{3} - 128 \cdot - 0.5$

Schritt 18.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 18.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 18.4.2.1.1

Potenziere $- 0.5$ mit $7$ .

$k' (- 0.5) = 8 \cdot - 0.0078125 - 72 {(- 0.5)}^{5} + 192 {(- 0.5)}^{3} - 128 \cdot - 0.5$

Schritt 18.4.2.1.2

Mutltipliziere $8$ mit $- 0.0078125$ .

$k' (- 0.5) = - 0.0625 - 72 {(- 0.5)}^{5} + 192 {(- 0.5)}^{3} - 128 \cdot - 0.5$

Schritt 18.4.2.1.3

Potenziere $- 0.5$ mit $5$ .

$k' (- 0.5) = - 0.0625 - 72 \cdot - 0.03125 + 192 {(- 0.5)}^{3} - 128 \cdot - 0.5$

Schritt 18.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 72$ mit $- 0.03125$ .

$k' (- 0.5) = - 0.0625 + 2.25 + 192 {(- 0.5)}^{3} - 128 \cdot - 0.5$

Schritt 18.4.2.1.5

Potenziere $- 0.5$ mit $3$ .

$k' (- 0.5) = - 0.0625 + 2.25 + 192 \cdot - 0.125 - 128 \cdot - 0.5$

Schritt 18.4.2.1.6

Mutltipliziere $192$ mit $- 0.125$ .

$k' (- 0.5) = - 0.0625 + 2.25 - 24 - 128 \cdot - 0.5$

Schritt 18.4.2.1.7

Mutltipliziere $- 128$ mit $- 0.5$ .

$k' (- 0.5) = - 0.0625 + 2.25 - 24 + 64$

Schritt 18.4.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 18.4.2.2.1

Addiere $- 0.0625$ und $2.25$ .

$k' (- 0.5) = 2.1875 - 24 + 64$

Schritt 18.4.2.2.2

Subtrahiere $24$ von $2.1875$ .

$k' (- 0.5) = - 21.8125 + 64$

Schritt 18.4.2.2.3

Addiere $- 21.8125$ und $64$ .

$k' (- 0.5) = 42.1875$

Schritt 18.4.2.3

Die endgültige Lösung ist $42.1875$ .

$42.1875$

Schritt 18.5

Setze eine beliebige Zahl, wie $0.5$ , aus dem Intervall $(0, 1)$ in die erste Ableitung $8 t^{7} - 72 t^{5} + 192 t^{3} - 128 t$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 18.5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $t$ durch $0.5$ .

$k' (0.5) = 8 {(0.5)}^{7} - 72 {(0.5)}^{5} + 192 {(0.5)}^{3} - 128 \cdot 0.5$

Schritt 18.5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 18.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 18.5.2.1.1

Potenziere $0.5$ mit $7$ .

$k' (0.5) = 8 \cdot 0.0078125 - 72 {(0.5)}^{5} + 192 {(0.5)}^{3} - 128 \cdot 0.5$

Schritt 18.5.2.1.2

Mutltipliziere $8$ mit $0.0078125$ .

$k' (0.5) = 0.0625 - 72 {(0.5)}^{5} + 192 {(0.5)}^{3} - 128 \cdot 0.5$

Schritt 18.5.2.1.3

Potenziere $0.5$ mit $5$ .

$k' (0.5) = 0.0625 - 72 \cdot 0.03125 + 192 {(0.5)}^{3} - 128 \cdot 0.5$

Schritt 18.5.2.1.4

Mutltipliziere $- 72$ mit $0.03125$ .

$k' (0.5) = 0.0625 - 2.25 + 192 {(0.5)}^{3} - 128 \cdot 0.5$

Schritt 18.5.2.1.5

Potenziere $0.5$ mit $3$ .

$k' (0.5) = 0.0625 - 2.25 + 192 \cdot 0.125 - 128 \cdot 0.5$

Schritt 18.5.2.1.6

Mutltipliziere $192$ mit $0.125$ .

$k' (0.5) = 0.0625 - 2.25 + 24 - 128 \cdot 0.5$

Schritt 18.5.2.1.7

Mutltipliziere $- 128$ mit $0.5$ .

$k' (0.5) = 0.0625 - 2.25 + 24 - 64$

Schritt 18.5.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 18.5.2.2.1

Subtrahiere $2.25$ von $0.0625$ .

$k' (0.5) = - 2.1875 + 24 - 64$

Schritt 18.5.2.2.2

Addiere $- 2.1875$ und $24$ .

$k' (0.5) = 21.8125 - 64$

Schritt 18.5.2.2.3

Subtrahiere $64$ von $21.8125$ .

$k' (0.5) = - 42.1875$

Schritt 18.5.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 42.1875$ .

$- 42.1875$

Schritt 18.6

Setze eine beliebige Zahl, wie $1.5$ , aus dem Intervall $(1, 2)$ in die erste Ableitung $8 t^{7} - 72 t^{5} + 192 t^{3} - 128 t$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 18.6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $t$ durch $1.5$ .

$k' (1.5) = 8 {(1.5)}^{7} - 72 {(1.5)}^{5} + 192 {(1.5)}^{3} - 128 \cdot 1.5$

Schritt 18.6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 18.6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 18.6.2.1.1

Potenziere $1.5$ mit $7$ .

$k' (1.5) = 8 \cdot 17.0859375 - 72 {(1.5)}^{5} + 192 {(1.5)}^{3} - 128 \cdot 1.5$

Schritt 18.6.2.1.2

Mutltipliziere $8$ mit $17.0859375$ .

$k' (1.5) = 136.6875 - 72 {(1.5)}^{5} + 192 {(1.5)}^{3} - 128 \cdot 1.5$

Schritt 18.6.2.1.3

Potenziere $1.5$ mit $5$ .

$k' (1.5) = 136.6875 - 72 \cdot 7.59375 + 192 {(1.5)}^{3} - 128 \cdot 1.5$

Schritt 18.6.2.1.4

Mutltipliziere $- 72$ mit $7.59375$ .

$k' (1.5) = 136.6875 - 546.75 + 192 {(1.5)}^{3} - 128 \cdot 1.5$

Schritt 18.6.2.1.5

Potenziere $1.5$ mit $3$ .

$k' (1.5) = 136.6875 - 546.75 + 192 \cdot 3.375 - 128 \cdot 1.5$

Schritt 18.6.2.1.6

Mutltipliziere $192$ mit $3.375$ .

$k' (1.5) = 136.6875 - 546.75 + 648 - 128 \cdot 1.5$

Schritt 18.6.2.1.7

Mutltipliziere $- 128$ mit $1.5$ .

$k' (1.5) = 136.6875 - 546.75 + 648 - 192$

Schritt 18.6.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 18.6.2.2.1

Subtrahiere $546.75$ von $136.6875$ .

$k' (1.5) = - 410.0625 + 648 - 192$

Schritt 18.6.2.2.2

Addiere $- 410.0625$ und $648$ .

$k' (1.5) = 237.9375 - 192$

Schritt 18.6.2.2.3

Subtrahiere $192$ von $237.9375$ .

$k' (1.5) = 45.9375$

Schritt 18.6.2.3

Die endgültige Lösung ist $45.9375$ .

$45.9375$

Schritt 18.7

Setze eine beliebige Zahl, wie $4$ , aus dem Intervall $(2, \infty)$ in die erste Ableitung $8 t^{7} - 72 t^{5} + 192 t^{3} - 128 t$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 18.7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $t$ durch $4$ .

$k' (4) = 8 {(4)}^{7} - 72 {(4)}^{5} + 192 {(4)}^{3} - 128 \cdot 4$

Schritt 18.7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 18.7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 18.7.2.1.1

Potenziere $4$ mit $7$ .

$k' (4) = 8 \cdot 16384 - 72 {(4)}^{5} + 192 {(4)}^{3} - 128 \cdot 4$

Schritt 18.7.2.1.2

Mutltipliziere $8$ mit $16384$ .

$k' (4) = 131072 - 72 {(4)}^{5} + 192 {(4)}^{3} - 128 \cdot 4$

Schritt 18.7.2.1.3

Potenziere $4$ mit $5$ .

$k' (4) = 131072 - 72 \cdot 1024 + 192 {(4)}^{3} - 128 \cdot 4$

Schritt 18.7.2.1.4

Mutltipliziere $- 72$ mit $1024$ .

$k' (4) = 131072 - 73728 + 192 {(4)}^{3} - 128 \cdot 4$

Schritt 18.7.2.1.5

Potenziere $4$ mit $3$ .

$k' (4) = 131072 - 73728 + 192 \cdot 64 - 128 \cdot 4$

Schritt 18.7.2.1.6

Mutltipliziere $192$ mit $64$ .

$k' (4) = 131072 - 73728 + 12288 - 128 \cdot 4$

Schritt 18.7.2.1.7

Mutltipliziere $- 128$ mit $4$ .

$k' (4) = 131072 - 73728 + 12288 - 512$

Schritt 18.7.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 18.7.2.2.1

Subtrahiere $73728$ von $131072$ .

$k' (4) = 57344 + 12288 - 512$

Schritt 18.7.2.2.2

Addiere $57344$ und $12288$ .

$k' (4) = 69632 - 512$

Schritt 18.7.2.2.3

Subtrahiere $512$ von $69632$ .

$k' (4) = 69120$

Schritt 18.7.2.3

Die endgültige Lösung ist $69120$ .

$69120$

Schritt 18.8

Da die erste Ableitung das Vorzeichen um $t = - 2$ nicht gewechselt hat, ist dies kein lokales Maximum oder Minimum.

Kein lokales Maximum oder Minimum

Schritt 18.9

Da die erste Ableitung um $t = - 1$ herum das Vorzeichen von negativ zu positiv gewechselt hat, ist $t = - 1$ ein lokales Minimum.

$t = - 1$ ist ein lokales Minimum

Schritt 18.10

Da die erste Ableitung um $t = 0$ herum das Vorzeichen von positiv zu negativ gewechselt hat, ist $t = 0$ ein lokales Maximum.

$t = 0$ ist ein lokales Maximum

Schritt 18.11

Da die erste Ableitung um $t = 1$ herum das Vorzeichen von negativ zu positiv gewechselt hat, ist $t = 1$ ein lokales Minimum.

$t = 1$ ist ein lokales Minimum

Schritt 18.12

Da die erste Ableitung das Vorzeichen um $t = 2$ nicht gewechselt hat, ist dies kein lokales Maximum oder Minimum.

Kein lokales Maximum oder Minimum

Schritt 18.13

Dies sind die lokalen Extrema für $k (t) = t^{2} {(t^{2} - 4)}^{3}$ .

$t = - 1$ ist ein lokales Minimum

$t = 0$ ist ein lokales Maximum

$t = 1$ ist ein lokales Minimum

$t = - 1$ ist ein lokales Minimum

$t = 0$ ist ein lokales Maximum

$t = 1$ ist ein lokales Minimum

Schritt 19