Analysis Beispiele

$h (y) = \arctan (y^{2})$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = \arctan (y)$ und $g (y) = y^{2}$ .

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Schritt 1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 1.1.2

Die Ableitung von $\arctan (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y^{2}$ .

$\frac{1}{1 + {(y^{2})}^{2}} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 1.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{2})}^{2}$ .

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Schritt 1.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + y^{2 \cdot 2}} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 1.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{1 + y^{4}} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{1 + y^{4}} (2 y)$

Schritt 1.2.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.2.3.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{1 + y^{4}}$ .

$\frac{2}{1 + y^{4}} y$

Schritt 1.2.3.2

Kombiniere $\frac{2}{1 + y^{4}}$ und $y$ .

$\frac{2 y}{1 + y^{4}}$

Schritt 1.2.3.3

Stelle die Terme um.

$\frac{2 y}{y^{4} + 1}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2 y}{y^{4} + 1}$ nach $y$ gleich $2 \frac{d}{d y} [\frac{y}{y^{4} + 1}]$ .

$h'' (y) = 2 \frac{d}{d y} (\frac{y}{y^{4} + 1})$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ gleich $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ ist mit $f (y) = y$ und $g (y) = y^{4} + 1$ .

$h'' (y) = 2 (\frac{(y^{4} + 1) \frac{d}{d y} (y) - y \frac{d}{d y} (y^{4} + 1)}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

Schritt 2.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$h'' (y) = 2 (\frac{(y^{4} + 1) \cdot 1 - y \frac{d}{d y} (y^{4} + 1)}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $y^{4} + 1$ mit $1$ .

$h'' (y) = 2 (\frac{y^{4} + 1 - y \frac{d}{d y} (y^{4} + 1)}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{4} + 1$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$h'' (y) = 2 (\frac{y^{4} + 1 - y (\frac{d}{d y} (y^{4}) + \frac{d}{d y} (1))}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$h'' (y) = 2 (\frac{y^{4} + 1 - y (4 y^{3} + \frac{d}{d y} (1))}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

Schritt 2.3.5

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$h'' (y) = 2 (\frac{y^{4} + 1 - y (4 y^{3} + 0)}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

Schritt 2.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.6.1

Addiere $4 y^{3}$ und $0$ .

$h'' (y) = 2 (\frac{y^{4} + 1 - y (4 y^{3})}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

Schritt 2.3.6.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$h'' (y) = 2 (\frac{y^{4} + 1 - 4 y \cdot y^{3}}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

Schritt 2.4

Multipliziere $y$ mit $y^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.4.1

Bewege $y^{3}$ .

$h'' (y) = 2 (\frac{y^{4} + 1 - 4 (y^{3} y)}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $y^{3}$ mit $y$ .

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Schritt 2.4.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$h'' (y) = 2 (\frac{y^{4} + 1 - 4 (y^{3} y)}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

Schritt 2.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$h'' (y) = 2 (\frac{y^{4} + 1 - 4 y^{3 + 1}}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

Schritt 2.4.3

Addiere $3$ und $1$ .

$h'' (y) = 2 (\frac{y^{4} + 1 - 4 y^{4}}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

Schritt 2.5

Subtrahiere $4 y^{4}$ von $y^{4}$ .

$h'' (y) = 2 (\frac{- 3 y^{4} + 1}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

Schritt 2.6

Kombiniere $2$ und $\frac{- 3 y^{4} + 1}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$ .

$h'' (y) = \frac{2 (- 3 y^{4} + 1)}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.7

Vereinfache.

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Schritt 2.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$h'' (y) = \frac{2 (- 3 y^{4}) + 2 \cdot 1}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.7.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.7.2.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$h'' (y) = \frac{- 6 y^{4} + 2 \cdot 1}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.7.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$h'' (y) = \frac{- 6 y^{4} + 2}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.7.3

Faktorisiere $2$ aus $- 6 y^{4} + 2$ heraus.

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Schritt 2.7.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 6 y^{4}$ heraus.

$h'' (y) = \frac{2 (- 3 y^{4}) + 2}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.7.3.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$h'' (y) = \frac{2 (- 3 y^{4}) + 2 (1)}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.7.3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- 3 y^{4}) + 2 (1)$ heraus.

$h'' (y) = \frac{2 (- 3 y^{4} + 1)}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.7.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 y^{4}$ heraus.

$h'' (y) = \frac{2 (- (3 y^{4}) + 1)}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.7.5

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$h'' (y) = \frac{2 (- (3 y^{4}) - 1 \cdot - 1)}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.7.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 y^{4}) - 1 (- 1)$ heraus.

$h'' (y) = \frac{2 (- (3 y^{4} - 1))}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.7.7

Schreibe $- (3 y^{4} - 1)$ als $- 1 (3 y^{4} - 1)$ um.

$h'' (y) = \frac{2 (- 1 (3 y^{4} - 1))}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.7.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$h'' (y) = - \frac{2 (3 y^{4} - 1)}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{2 y}{y^{4} + 1} = 0$

Schritt 4

Setze den Zähler gleich Null.

$2 y = 0$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $2 y = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 5.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{0}{2}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$y = 0$

Schritt 6

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $y = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \frac{2 (3 {(0)}^{4} - 1)}{{({(0)}^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 7

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{2 (3 \cdot 0 - 1)}{{(0^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 7.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$- \frac{2 (0 - 1)}{{(0^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 7.1.3

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$- \frac{2 \cdot - 1}{{(0^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 7.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{2 \cdot - 1}{{(0 + 1)}^{2}}$

Schritt 7.2.2

Addiere $0$ und $1$ .

$- \frac{2 \cdot - 1}{1^{2}}$

Schritt 7.2.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{2 \cdot - 1}{1}$

Schritt 7.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- \frac{- 2}{1}$

Schritt 7.3.2

Dividiere $- 2$ durch $1$ .

$- - 2$

Schritt 7.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$2$

Schritt 8

$y = 0$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$y = 0$ ist ein lokales Minimum

Schritt 9

Ermittele den y-Wert, wenn $y = 0$ .

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Schritt 9.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $y$ durch $0$ .

$h (0) = \arctan ({(0)}^{2})$

Schritt 9.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 9.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$h (0) = \arctan (0)$

Schritt 9.2.2

Der genau Wert von $\arctan (0)$ ist $0$ .

$h (0) = 0$

Schritt 9.2.3

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$y = 0$

Schritt 10

Dies sind die lokalen Extrema für $h (y) = \arctan (y^{2})$ .

$(0, 0)$ ist ein lokales Minimum

Schritt 11