Analysis Beispiele

$h (x) = \sin (x) + \frac{x}{2}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sin (x) + \frac{x}{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (x) + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\cos (x) + \frac{1}{2} \cdot 1$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$\cos (x) + \frac{1}{2}$

Schritt 1.4

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{2} + \cos (x)$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{2} + \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2}] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$h'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{2}) + \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Schritt 2.1.2

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$h'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$h'' (x) = 0 - \sin (x)$

Schritt 2.3

Subtrahiere $\sin (x)$ von $0$ .

$h'' (x) = - \sin (x)$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{1}{2} + \cos (x) = 0$

Schritt 4

Subtrahiere $\frac{1}{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

Schritt 5

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

Schritt 6

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.1

Der genau Wert von $\arccos (- \frac{1}{2})$ ist $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Schritt 7

Die Cosinus-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Schritt 8

Vereinfache $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

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Schritt 8.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Schritt 8.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 8.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Schritt 8.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Schritt 8.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Schritt 8.3.2

Subtrahiere $2 π$ von $6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Schritt 9

Die Lösung der Gleichung $x = \frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3}$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{2 π}{3}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \sin (\frac{2 π}{3})$

Schritt 11

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 11.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$- \sin (\frac{π}{3})$

Schritt 11.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{3})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 12

$x = \frac{2 π}{3}$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{2 π}{3}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 13

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{2 π}{3}$ .

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Schritt 13.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{2 π}{3}$ .

$h (\frac{2 π}{3}) = \sin (\frac{2 π}{3}) + \frac{\frac{2 π}{3}}{2}$

Schritt 13.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 13.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.2.1.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$h (\frac{2 π}{3}) = \sin (\frac{π}{3}) + \frac{\frac{2 π}{3}}{2}$

Schritt 13.2.1.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{3})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$h (\frac{2 π}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\frac{2 π}{3}}{2}$

Schritt 13.2.1.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$h (\frac{2 π}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 13.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 13.2.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 π$ heraus.

$h (\frac{2 π}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 13.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$h (\frac{2 π}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 13.2.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$h (\frac{2 π}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{π}{3}$

Schritt 13.2.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{π}{3}$ .

$y = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{π}{3}$

Schritt 14

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{4 π}{3}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \sin (\frac{4 π}{3})$

Schritt 15

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 15.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sinus im dritten Quadranten negativ ist.

$- - \sin (\frac{π}{3})$

Schritt 15.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{3})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 15.3

Multipliziere $- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Schritt 15.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 15.3.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 16

$x = \frac{4 π}{3}$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{4 π}{3}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 17

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{4 π}{3}$ .

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Schritt 17.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{4 π}{3}$ .

$h (\frac{4 π}{3}) = \sin (\frac{4 π}{3}) + \frac{\frac{4 π}{3}}{2}$

Schritt 17.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 17.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 17.2.1.1

$h (\frac{4 π}{3}) = - \sin (\frac{π}{3}) + \frac{\frac{4 π}{3}}{2}$

Schritt 17.2.1.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{3})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$h (\frac{4 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\frac{4 π}{3}}{2}$

Schritt 17.2.1.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$h (\frac{4 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{4 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 17.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 17.2.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4 π$ heraus.

$h (\frac{4 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2 (2 π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 17.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$h (\frac{4 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2 (2 π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 17.2.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$h (\frac{4 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2 π}{3}$

Schritt 17.2.2

Die endgültige Lösung ist $- \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2 π}{3}$ .

$y = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2 π}{3}$

Schritt 18

Dies sind die lokalen Extrema für $h (x) = \sin (x) + \frac{x}{2}$ .

$(\frac{2 π}{3}, \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{π}{3})$ ist ein lokales Maximum

$(\frac{4 π}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2 π}{3})$ ist ein lokales Minimum

Schritt 19