Analysis Beispiele

$p (t) = 561 + (36 t^{0.6} - 108)$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $561 + 36 t^{0.6} - 108$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [561] + \frac{d}{d t} [36 t^{0.6}] + \frac{d}{d t} [- 108]$ .

$\frac{d}{d t} [561] + \frac{d}{d t} [36 t^{0.6}] + \frac{d}{d t} [- 108]$

Schritt 1.1.2

Da $561$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $561$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [36 t^{0.6}] + \frac{d}{d t} [- 108]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d t} [36 t^{0.6}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $36$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $36 t^{0.6}$ nach $t$ gleich $36 \frac{d}{d t} [t^{0.6}]$ .

$0 + 36 \frac{d}{d t} [t^{0.6}] + \frac{d}{d t} [- 108]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 0.6$ .

$0 + 36 (0.6 t^{- 0.4}) + \frac{d}{d t} [- 108]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $0.6$ mit $36$ .

$0 + 21.6 t^{- 0.4} + \frac{d}{d t} [- 108]$

Schritt 1.3

Da $- 108$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 108$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$0 + 21.6 t^{- 0.4} + 0$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + 21.6 \frac{1}{t^{0.4}} + 0$

Schritt 1.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.4.2.1

Kombiniere $21.6$ und $\frac{1}{t^{0.4}}$ .

$0 + \frac{21.6}{t^{0.4}} + 0$

Schritt 1.4.2.2

Addiere $0$ und $\frac{21.6}{t^{0.4}}$ .

$\frac{21.6}{t^{0.4}} + 0$

Schritt 1.4.2.3

Addiere $\frac{21.6}{t^{0.4}}$ und $0$ .

$\frac{21.6}{t^{0.4}}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Da $21.6$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $\frac{21.6}{t^{0.4}}$ nach $t$ gleich $21.6 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{0.4}}]$ .

$p'' (t) = 21.6 \frac{d}{d t} (\frac{1}{t^{0.4}})$

Schritt 2.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.2.1

Schreibe $\frac{1}{t^{0.4}}$ als ${(t^{0.4})}^{- 1}$ um.

$p'' (t) = 21.6 \frac{d}{d t} ({(t^{0.4})}^{- 1})$

Schritt 2.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(t^{0.4})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$p'' (t) = 21.6 \frac{d}{d t} (t^{0.4 \cdot - 1})$

Schritt 2.2.2.2

Mutltipliziere $0.4$ mit $- 1$ .

$p'' (t) = 21.6 \frac{d}{d t} (t^{- 0.4})$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = - 0.4$ .

$p'' (t) = 21.6 (- 0.4 t^{- 1.4})$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $- 0.4$ mit $21.6$ .

$p'' (t) = - 8.64 t^{- 1.4}$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$p'' (t) = - 8.64 \frac{1}{t^{1.4}}$

Schritt 2.5.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.5.2.1

Kombiniere $- 8.64$ und $\frac{1}{t^{1.4}}$ .

$p'' (t) = \frac{- 8.64}{t^{1.4}}$

Schritt 2.5.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$p'' (t) = - \frac{8.64}{t^{1.4}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{21.6}{t^{0.4}} = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Differenziere.

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Schritt 4.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $561 + 36 t^{0.6} - 108$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [561] + \frac{d}{d t} [36 t^{0.6}] + \frac{d}{d t} [- 108]$ .

$\frac{d}{d t} [561] + \frac{d}{d t} [36 t^{0.6}] + \frac{d}{d t} [- 108]$

Schritt 4.1.1.2

Da $561$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $561$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [36 t^{0.6}] + \frac{d}{d t} [- 108]$

Schritt 4.1.2

Berechne $\frac{d}{d t} [36 t^{0.6}]$ .

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Schritt 4.1.2.1

Da $36$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $36 t^{0.6}$ nach $t$ gleich $36 \frac{d}{d t} [t^{0.6}]$ .

$0 + 36 \frac{d}{d t} [t^{0.6}] + \frac{d}{d t} [- 108]$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 0.6$ .

$0 + 36 (0.6 t^{- 0.4}) + \frac{d}{d t} [- 108]$

Schritt 4.1.2.3

Mutltipliziere $0.6$ mit $36$ .

$0 + 21.6 t^{- 0.4} + \frac{d}{d t} [- 108]$

Schritt 4.1.3

Da $- 108$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 108$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$0 + 21.6 t^{- 0.4} + 0$

Schritt 4.1.4

Vereinfache.

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Schritt 4.1.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + 21.6 \frac{1}{t^{0.4}} + 0$

Schritt 4.1.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.1.4.2.1

Kombiniere $21.6$ und $\frac{1}{t^{0.4}}$ .

$0 + \frac{21.6}{t^{0.4}} + 0$

Schritt 4.1.4.2.2

Addiere $0$ und $\frac{21.6}{t^{0.4}}$ .

$\frac{21.6}{t^{0.4}} + 0$

Schritt 4.1.4.2.3

Addiere $\frac{21.6}{t^{0.4}}$ und $0$ .

$f' (t) = \frac{21.6}{t^{0.4}}$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $p (t)$ nach $t$ ist $\frac{21.6}{t^{0.4}}$ .

$\frac{21.6}{t^{0.4}}$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{21.6}{t^{0.4}} = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{21.6}{t^{0.4}} = 0$

Schritt 5.2

Setze den Zähler gleich Null.

$21.6 = 0$

Schritt 5.3

Da $21.6 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

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Schritt 6.1.1

Wandle $0.4$ in einen Bruch um.

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Schritt 6.1.1.1

Multipliziere mit $\frac{10}{10}$ , um die Dezimalstellen zu beseitigen.

$\frac{21.6}{t^{\frac{10 \cdot 0.4}{10}}}$

Schritt 6.1.1.2

Mutltipliziere $10$ mit $0.4$ .

$\frac{21.6}{t^{\frac{4}{10}}}$

Schritt 6.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $10$ .

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Schritt 6.1.1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{21.6}{t^{\frac{2 (2)}{10}}}$

Schritt 6.1.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.1.1.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$\frac{21.6}{t^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5}}}$

Schritt 6.1.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{21.6}{t^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5}}}$

Schritt 6.1.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{21.6}{t^{\frac{2}{5}}}$

Schritt 6.1.2

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\frac{21.6}{\sqrt[5]{t^{2}}}$

Schritt 6.2

Setze den Nenner in $\frac{21.6}{\sqrt[5]{t^{2}}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\sqrt[5]{t^{2}} = 0$

Schritt 6.3

Löse nach $t$ auf.

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Schritt 6.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur $5$ . Potenz.

${\sqrt[5]{t^{2}}}^{5} = 0^{5}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 6.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[5]{t^{2}}$ als $t^{\frac{2}{5}}$ neu zu schreiben.

${(t^{\frac{2}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Schritt 6.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(t^{\frac{2}{5}})}^{5}$ .

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Schritt 6.3.2.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$t^{\frac{2}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

Schritt 6.3.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 6.3.2.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$t^{\frac{2}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

Schritt 6.3.2.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$t^{2} = 0^{5}$

Schritt 6.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$t^{2} = 0$

Schritt 6.3.3

Löse nach $t$ auf.

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Schritt 6.3.3.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$t = \pm \sqrt{0}$

Schritt 6.3.3.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 6.3.3.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$t = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 6.3.3.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$t = \pm 0$

Schritt 6.3.3.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$t = 0$

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$t = 0$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $t = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \frac{8.64}{{(0)}^{1.4}}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{8.64}{0}$

Schritt 9.2

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 10

Da der erste Ableitungstest nicht erfolgreich war, gibt es kein lokales Extremum.

Keine lokalen Extrema

Schritt 11