Analysis Beispiele

$x \sqrt[3]{x - 6}$

Schritt 1

Schreibe $x \sqrt[3]{x - 6}$ als Funktion.

$f (x) = x \sqrt[3]{x - 6}$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x - 6}$ als ${(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [x {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{\frac{1}{3}}] + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ und $g (x) = x - 6$ .

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Schritt 2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 6$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$x (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 6$ .

$x (\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x (\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$x (\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x (\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$x (\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.7.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$x (\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.8.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x (\frac{1}{3} {(x - 6)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.8.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und ${(x - 6)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$x (\frac{{(x - 6)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.8.3

Bringe ${(x - 6)}^{- \frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.8.4

Kombiniere $\frac{1}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$ und $x$ .

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 6] + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.9

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.11

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} (1 + 0) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.12

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.12.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1 + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.12.2

Mutltipliziere $\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$ mit $1$ .

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \cdot 1$

Schritt 2.14

Mutltipliziere ${(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ mit $1$ .

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 2.15

Um ${(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.16

Kombiniere ${(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ und $\frac{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.17

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.18

Multipliziere ${(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ mit ${(x - 6)}^{\frac{2}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.18.1

Bewege ${(x - 6)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{x + {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.18.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x + {(x - 6)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 3}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.18.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x + {(x - 6)}^{\frac{2 + 1}{3}} \cdot 3}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.18.4

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{x + {(x - 6)}^{\frac{3}{3}} \cdot 3}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.18.5

Dividiere $3$ durch $3$ .

$\frac{x + {(x - 6)}^{1} \cdot 3}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.19

Vereinfache ${(x - 6)}^{1} \cdot 3$ .

$\frac{x + (x - 6) \cdot 3}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.20

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x - 6$ .

$\frac{x + 3 \cdot (x - 6)}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.21

Vereinfache.

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Schritt 2.21.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x + 3 x + 3 \cdot - 6}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.21.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.21.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 6$ .

$\frac{x + 3 x - 18}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.21.2.2

Addiere $x$ und $3 x$ .

$\frac{4 x - 18}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.21.3

Faktorisiere $2$ aus $4 x - 18$ heraus.

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Schritt 2.21.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x$ heraus.

$\frac{2 (2 x) - 18}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.21.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 18$ heraus.

$\frac{2 (2 x) + 2 (- 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.21.3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 x) + 2 (- 9)$ heraus.

$\frac{2 (2 x - 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 3.1

Da $\frac{2}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2 (2 x - 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 9}{{(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{2 x - 9}{{(x - 6)}^{\frac{2}{3}}})$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 2 x - 9$ und $g (x) = {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (2 x - 9) - (2 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}{{({(x - 6)}^{\frac{2}{3}})}^{2}}$

Schritt 3.3

Differenziere.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 6)}^{\frac{2}{3}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (2 x - 9) - (2 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 6)}^{\frac{2}{3} \cdot 2}}$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere $\frac{2}{3} \cdot 2$ .

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Schritt 3.3.1.2.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (2 x - 9) - (2 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 6)}^{\frac{2 \cdot 2}{3}}}$

Schritt 3.3.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (2 x - 9) - (2 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{2}{3}} (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 9)) - (2 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.3.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{2}{3}} (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 9)) - (2 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{2}{3}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 9)) - (2 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{2}{3}} (2 + \frac{d}{d x} (- 9)) - (2 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.3.6

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{2}{3}} (2 + 0) - (2 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.3.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.7.1

Addiere $2$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{2}{3}} \cdot 2 - (2 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.3.7.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(x - 6)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 \cdot {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ und $g (x) = x - 6$ .

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Schritt 3.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 6$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{2}{3}}) \frac{d}{d x} (x - 6))}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 6))}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.4.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 6$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) (\frac{2}{3} \cdot {(x - 6)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 6))}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.5

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) (\frac{2}{3} \cdot {(x - 6)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 6))}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.6

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) (\frac{2}{3} \cdot {(x - 6)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 6))}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) (\frac{2}{3} \cdot {(x - 6)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 6))}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) (\frac{2}{3} \cdot {(x - 6)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 6))}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.8.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) (\frac{2}{3} \cdot {(x - 6)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} (x - 6))}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.9

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.9.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) (\frac{2}{3} \cdot {(x - 6)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x - 6))}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.9.2

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und ${(x - 6)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) (\frac{2 {(x - 6)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x - 6))}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.9.3

Bringe ${(x - 6)}^{- \frac{1}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) (\frac{2}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x - 6))}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.10

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) (\frac{2}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 6)))}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) (\frac{2}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (- 6)))}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.12

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) (\frac{2}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (1 + 0))}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.13

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.13.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) (\frac{2}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}} \cdot 1)}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.13.2

Mutltipliziere $\frac{2}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) \frac{2}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.13.3

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $\frac{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) \frac{2}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) \frac{2}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.14

Vereinfache.

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Schritt 3.14.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{2 (2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} + (- (2 x) + 9) (\frac{2}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}))}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.14.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{2 (2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}) + 2 ((- (2 x) + 9) (\frac{2}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}))}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.14.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.14.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} + 2 ((- (2 x) + 9) (\frac{2}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}))}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.14.3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.14.3.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} + 2 ((- 2 x + 9) (\frac{2}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}))}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.14.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 9$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} + 2 ((- 2 x + 9) (\frac{2}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}))}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.14.3.3

Mutltipliziere $- 2 x + 9$ mit $\frac{2}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} + 2 (\frac{(- 2 x + 9) \cdot 2}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.14.3.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $- 2 x + 9$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} + 2 (\frac{2 \cdot (- 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.14.3.5

Multipliziere $2 \frac{2 (- 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.14.3.5.1

Kombiniere $2$ und $\frac{2 (- 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} + \frac{2 (2 (- 2 x + 9))}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.14.3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} + \frac{4 (- 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.14.3.6

Um $4 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} \cdot \frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{4 (- 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.14.3.7

Kombiniere $4 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}$ und $\frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{4 (- 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.14.3.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{\frac{4 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}) + 4 (- 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.14.3.9

Schreibe $\frac{4 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}) + 4 (- 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 3.14.3.9.1

Faktorisiere $4$ aus $4 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}) + 4 (- 2 x + 9)$ heraus.

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Schritt 3.14.3.9.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}})$ heraus.

$f'' (x) = \frac{\frac{4 ({(x - 6)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}})) + 4 (- 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.14.3.9.1.2

Faktorisiere $4$ aus $4 ({(x - 6)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}})) + 4 (- 2 x + 9)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{\frac{4 ({(x - 6)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}) - 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.14.3.9.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} - 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.14.3.9.3

Multipliziere ${(x - 6)}^{\frac{2}{3}}$ mit ${(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.14.3.9.3.1

Bewege ${(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (3 ({(x - 6)}^{\frac{1}{3}} {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}) - 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.14.3.9.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} - 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.14.3.9.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (3 {(x - 6)}^{\frac{1 + 2}{3}} - 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.14.3.9.3.4

Addiere $1$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (3 {(x - 6)}^{\frac{3}{3}} - 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.14.3.9.3.5

Dividiere $3$ durch $3$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (3 (x - 6) - 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.14.3.9.4

Vereinfache $3 {(x - 6)}^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (3 (x - 6) - 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.14.3.9.5

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (3 x + 3 \cdot - 6 - 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.14.3.9.6

Mutltipliziere $3$ mit $- 6$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (3 x - 18 - 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.14.3.9.7

Subtrahiere $2 x$ von $3 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (x - 18 + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.14.3.9.8

Addiere $- 18$ und $9$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (x - 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.14.4

Vereine die Terme

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Schritt 3.14.4.1

Schreibe $\frac{\frac{4 (x - 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$ als ein Produkt um.

$f'' (x) = \frac{4 (x - 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.14.4.2

Mutltipliziere $\frac{4 (x - 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}$ mit $\frac{1}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x - 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}})}$

Schritt 3.14.4.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x - 9)}{9 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.14.4.4

Multipliziere ${(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ mit ${(x - 6)}^{\frac{4}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.14.4.4.1

Bewege ${(x - 6)}^{\frac{4}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x - 9)}{9 ({(x - 6)}^{\frac{4}{3}} {(x - 6)}^{\frac{1}{3}})}$

Schritt 3.14.4.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{4 (x - 9)}{9 {(x - 6)}^{\frac{4}{3} + \frac{1}{3}}}$

Schritt 3.14.4.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{4 (x - 9)}{9 {(x - 6)}^{\frac{4 + 1}{3}}}$

Schritt 3.14.4.4.4

Addiere $4$ und $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x - 9)}{9 {(x - 6)}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{2 (2 x - 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} = 0$

Schritt 5

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x - 6}$ als ${(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [x {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 5.1.2

$x \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{\frac{1}{3}}] + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ und $g (x) = x - 6$ .

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Schritt 5.1.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 6$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$x (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 6$ .

$x (\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x (\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$x (\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x (\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$x (\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.7.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$x (\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.1.8.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x (\frac{1}{3} {(x - 6)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.8.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und ${(x - 6)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$x (\frac{{(x - 6)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.8.3

Bringe ${(x - 6)}^{- \frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.8.4

Kombiniere $\frac{1}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$ und $x$ .

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 6] + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.9

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.11

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} (1 + 0) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.12

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1.12.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1 + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.12.2

Mutltipliziere $\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$ mit $1$ .

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \cdot 1$

Schritt 5.1.14

Mutltipliziere ${(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ mit $1$ .

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 5.1.15

Um ${(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5.1.16

Kombiniere ${(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ und $\frac{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5.1.17

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5.1.18

Multipliziere ${(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ mit ${(x - 6)}^{\frac{2}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.1.18.1

Bewege ${(x - 6)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{x + {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5.1.18.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x + {(x - 6)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 3}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5.1.18.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x + {(x - 6)}^{\frac{2 + 1}{3}} \cdot 3}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5.1.18.4

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{x + {(x - 6)}^{\frac{3}{3}} \cdot 3}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5.1.18.5

Dividiere $3$ durch $3$ .

$\frac{x + {(x - 6)}^{1} \cdot 3}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5.1.19

Vereinfache ${(x - 6)}^{1} \cdot 3$ .

$\frac{x + (x - 6) \cdot 3}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5.1.20

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x - 6$ .

$\frac{x + 3 \cdot (x - 6)}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5.1.21

Vereinfache.

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Schritt 5.1.21.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x + 3 x + 3 \cdot - 6}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5.1.21.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.21.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 6$ .

$\frac{x + 3 x - 18}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5.1.21.2.2

Addiere $x$ und $3 x$ .

$\frac{4 x - 18}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5.1.21.3

Faktorisiere $2$ aus $4 x - 18$ heraus.

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Schritt 5.1.21.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x$ heraus.

$\frac{2 (2 x) - 18}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5.1.21.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 18$ heraus.

$\frac{2 (2 x) + 2 (- 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5.1.21.3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 x) + 2 (- 9)$ heraus.

$f' (x) = \frac{2 (2 x - 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{2 (2 x - 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{2 (2 x - 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 6

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{2 (2 x - 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

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Schritt 6.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{2 (2 x - 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} = 0$

Schritt 6.2

Setze den Zähler gleich Null.

$2 (2 x - 9) = 0$

Schritt 6.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 (2 x - 9) = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $2 (2 x - 9) = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 (2 x - 9)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 6.3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (2 x - 9)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 6.3.1.2.1.2

Dividiere $2 x - 9$ durch $1$ .

$2 x - 9 = \frac{0}{2}$

Schritt 6.3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$2 x - 9 = 0$

Schritt 6.3.2

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 9$

Schritt 6.3.3

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 9$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 9$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{9}{2}$

Schritt 6.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{9}{2}$

Schritt 6.3.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{9}{2}$

Schritt 7

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 7.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\frac{2 (2 x - 9)}{3 \sqrt[3]{{(x - 6)}^{2}}}$

Schritt 7.2

Setze den Nenner in $\frac{2 (2 x - 9)}{3 \sqrt[3]{{(x - 6)}^{2}}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$3 \sqrt[3]{{(x - 6)}^{2}} = 0$

Schritt 7.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${(3 \sqrt[3]{{(x - 6)}^{2}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 7.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 7.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{{(x - 6)}^{2}}$ als ${(x - 6)}^{\frac{2}{3}}$ neu zu schreiben.

${(3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 7.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.3.2.2.1

Vereinfache ${(3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 7.3.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}$ an.

$3^{3} {({(x - 6)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 7.3.2.2.1.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$27 {({(x - 6)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 7.3.2.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 6)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 7.3.2.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 {(x - 6)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 7.3.2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 7.3.2.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$27 {(x - 6)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 7.3.2.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$27 {(x - 6)}^{2} = 0^{3}$

Schritt 7.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$27 {(x - 6)}^{2} = 0$

Schritt 7.3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $27 {(x - 6)}^{2} = 0$ durch $27$ und vereinfache.

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Schritt 7.3.3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $27 {(x - 6)}^{2} = 0$ durch $27$ .

$\frac{27 {(x - 6)}^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Schritt 7.3.3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.3.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $27$ .

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Schritt 7.3.3.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{27 {(x - 6)}^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Schritt 7.3.3.1.2.1.2

Dividiere ${(x - 6)}^{2}$ durch $1$ .

${(x - 6)}^{2} = \frac{0}{27}$

Schritt 7.3.3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.3.1.3.1

Dividiere $0$ durch $27$ .

${(x - 6)}^{2} = 0$

Schritt 7.3.3.2

Setze $x - 6$ gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

Schritt 7.3.3.3

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 6$

Schritt 8

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = \frac{9}{2}, 6$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{9}{2}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{4 ((\frac{9}{2}) - 9)}{9 {((\frac{9}{2}) - 6)}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 10.1

Faktorisiere $9$ aus $4 ((\frac{9}{2}) - 9)$ heraus.

$\frac{9 (4 (\frac{1}{2} - 1))}{9 {((\frac{9}{2}) - 6)}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.2.1

Faktorisiere $9$ aus $9 {((\frac{9}{2}) - 6)}^{\frac{5}{3}}$ heraus.

$\frac{9 (4 (\frac{1}{2} - 1))}{9 ({((\frac{9}{2}) - 6)}^{\frac{5}{3}})}$

Schritt 10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 (4 (\frac{1}{2} - 1))}{9 {((\frac{9}{2}) - 6)}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 (\frac{1}{2} - 1)}{{((\frac{9}{2}) - 6)}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 10.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.3.1

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 (\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})}{{(\frac{9}{2} - 6)}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 10.3.2

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 (\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})}{{(\frac{9}{2} - 6)}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 10.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4 \frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}{{(\frac{9}{2} - 6)}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 10.3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.3.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{4 \frac{1 - 2}{2}}{{(\frac{9}{2} - 6)}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 10.3.4.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{4 (\frac{- 1}{2})}{{(\frac{9}{2} - 6)}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 10.3.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{1}{2}}{{(\frac{9}{2} - 6)}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 10.3.6

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 10.3.6.1

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\frac{- (4 (\frac{1}{2}))}{{(\frac{9}{2} - 6)}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 10.3.6.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- \frac{4}{2}}{{(\frac{9}{2} - 6)}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 10.3.7

Dividiere $4$ durch $2$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{{(\frac{9}{2} - 6)}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 10.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.4.1

Um $- 6$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{{(\frac{9}{2} - 6 \cdot \frac{2}{2})}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 10.4.2

Kombiniere $- 6$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{{(\frac{9}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2})}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 10.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 1 \cdot 2}{{(\frac{9 - 6 \cdot 2}{2})}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 10.4.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.4.4.1

Mutltipliziere $- 6$ mit $2$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{{(\frac{9 - 12}{2})}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 10.4.4.2

Subtrahiere $12$ von $9$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{{(\frac{- 3}{2})}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 10.4.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{- 1 \cdot 2}{{(- \frac{3}{2})}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 10.4.6

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 10.4.6.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{3}{2}$ an.

$\frac{- 1 \cdot 2}{{(- 1)}^{\frac{5}{3}} {(\frac{3}{2})}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 10.4.6.2

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{2}$ an.

$\frac{- 1 \cdot 2}{{(- 1)}^{\frac{5}{3}} \frac{3^{\frac{5}{3}}}{2^{\frac{5}{3}}}}$

Schritt 10.4.7

Schreibe $- 1$ als ${(- 1)}^{3}$ um.

$\frac{- 1 \cdot 2}{{({(- 1)}^{3})}^{\frac{5}{3}} \frac{3^{\frac{5}{3}}}{2^{\frac{5}{3}}}}$

Schritt 10.4.8

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{{(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})} \frac{3^{\frac{5}{3}}}{2^{\frac{5}{3}}}}$

Schritt 10.4.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 10.4.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1 \cdot 2}{{(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})} \frac{3^{\frac{5}{3}}}{2^{\frac{5}{3}}}}$

Schritt 10.4.9.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1 \cdot 2}{{(- 1)}^{5} \frac{3^{\frac{5}{3}}}{2^{\frac{5}{3}}}}$

Schritt 10.4.10

Potenziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{- \frac{3^{\frac{5}{3}}}{2^{\frac{5}{3}}}}$

Schritt 10.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{- 2}{- \frac{3^{\frac{5}{3}}}{2^{\frac{5}{3}}}}$

Schritt 10.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- 2 (- \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{5}{3}}})$

Schritt 10.7

Multipliziere $- 2 (- \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{5}{3}}})$ .

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Schritt 10.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$2 \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 10.7.2

Kombiniere $2$ und $\frac{2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 10.7.3

Multipliziere $2$ mit $2^{\frac{5}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 10.7.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2^{\frac{5}{3}}$ .

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Schritt 10.7.3.1.1

Potenziere $2$ mit $1$ .

$\frac{2^{1} \cdot 2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 10.7.3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2^{1 + \frac{5}{3}}}{3^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 10.7.3.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2^{\frac{3}{3} + \frac{5}{3}}}{3^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 10.7.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2^{\frac{3 + 5}{3}}}{3^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 10.7.3.4

Addiere $3$ und $5$ .

$\frac{2^{\frac{8}{3}}}{3^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 11

$x = \frac{9}{2}$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{9}{2}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 12

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{9}{2}$ .

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Schritt 12.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{9}{2}$ .

$f (\frac{9}{2}) = (\frac{9}{2}) \sqrt[3]{(\frac{9}{2}) - 6}$

Schritt 12.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 12.2.1

Um $- 6$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot \sqrt[3]{\frac{9}{2} - 6 \cdot \frac{2}{2}}$

Schritt 12.2.2

Kombiniere $- 6$ und $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot \sqrt[3]{\frac{9}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2}}$

Schritt 12.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot \sqrt[3]{\frac{9 - 6 \cdot 2}{2}}$

Schritt 12.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.2.4.1

Mutltipliziere $- 6$ mit $2$ .

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot \sqrt[3]{\frac{9 - 12}{2}}$

Schritt 12.2.4.2

Subtrahiere $12$ von $9$ .

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot \sqrt[3]{\frac{- 3}{2}}$

Schritt 12.2.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot \sqrt[3]{- \frac{3}{2}}$

Schritt 12.2.6

Schreibe $- \frac{3}{2}$ als ${({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{3}{2}$ um.

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Schritt 12.2.6.1

Schreibe $- 1$ als ${(- 1)}^{3}$ um.

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} (\frac{3}{2})}$

Schritt 12.2.6.2

Schreibe $- 1$ als ${(- 1)}^{3}$ um.

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot \sqrt[3]{{({(- 1)}^{3})}^{3} (\frac{3}{2})}$

Schritt 12.2.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot ({(- 1)}^{3} \sqrt[3]{\frac{3}{2}})$

Schritt 12.2.8

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \sqrt[3]{\frac{3}{2}})$

Schritt 12.2.9

Schreibe $\sqrt[3]{\frac{3}{2}}$ als $\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{2}}$ um.

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{2}})$

Schritt 12.2.10

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{2}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- (\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}))$

Schritt 12.2.11

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 12.2.11.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{2}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}})$

Schritt 12.2.11.2

Potenziere $\sqrt[3]{2}$ mit $1$ .

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}})$

Schritt 12.2.11.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}})$

Schritt 12.2.11.4

Addiere $1$ und $2$ .

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}})$

Schritt 12.2.11.5

Schreibe ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ als $2$ um.

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Schritt 12.2.11.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{2}$ als $2^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}})$

Schritt 12.2.11.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}})$

Schritt 12.2.11.5.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}})$

Schritt 12.2.11.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 12.2.11.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}})$

Schritt 12.2.11.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2})$

Schritt 12.2.11.5.5

Berechne den Exponenten.

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2})$

Schritt 12.2.12

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.2.12.1

Schreibe ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ als $\sqrt[3]{2^{2}}$ um.

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{2^{2}}}{2})$

Schritt 12.2.12.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{4}}{2})$

Schritt 12.2.13

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.2.13.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{3 \cdot 4}}{2})$

Schritt 12.2.13.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{12}}{2})$

Schritt 12.2.14

Multipliziere $\frac{9}{2} (- \frac{\sqrt[3]{12}}{2})$ .

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Schritt 12.2.14.1

Mutltipliziere $\frac{9}{2}$ mit $\frac{\sqrt[3]{12}}{2}$ .

$f (\frac{9}{2}) = - \frac{9 \sqrt[3]{12}}{2 \cdot 2}$

Schritt 12.2.14.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (\frac{9}{2}) = - \frac{9 \sqrt[3]{12}}{4}$

Schritt 12.2.15

Die endgültige Lösung ist $- \frac{9 \sqrt[3]{12}}{4}$ .

$y = - \frac{9 \sqrt[3]{12}}{4}$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 6$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{4 ((6) - 9)}{9 {((6) - 6)}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 14

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 14.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 14.1.1

Subtrahiere $6$ von $6$ .

$\frac{4 ((6) - 9)}{9 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 14.1.2

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$\frac{4 ((6) - 9)}{9 \cdot {(0^{3})}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 14.1.3

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 ((6) - 9)}{9 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}$

Schritt 14.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 14.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 ((6) - 9)}{9 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}$

Schritt 14.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 ((6) - 9)}{9 \cdot 0^{5}}$

Schritt 14.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 14.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{4 ((6) - 9)}{9 \cdot 0}$

Schritt 14.3.2

Mutltipliziere $9$ mit $0$ .

$\frac{4 ((6) - 9)}{0}$

Schritt 14.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{4 ((6) - 9)}{0}$

Schritt 14.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 15

Da es mindestens einen Punkt mit $0$ oder eine nicht definierte zweite Ableitung gibt, wende den ersten Ableitungstest an.

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Schritt 15.1

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum auf, die die erste Ableitung zu $0$ oder nicht definiert machen.

$(- \infty, \frac{9}{2}) \cup (\frac{9}{2}, 6) \cup (6, \infty)$

Schritt 15.2

Setze eine beliebige Zahl, wie $0$ , aus dem Intervall $(- \infty, \frac{9}{2})$ in die erste Ableitung $\frac{2 (2 x - 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 15.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f' (0) = \frac{2 (2 (0) - 9)}{3 {((0) - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 15.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 15.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $2 (2 (0) - 9)$ heraus.

$f' (0) = \frac{3 (2 (2 \cdot (0) - 3))}{3 {((0) - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 15.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 15.2.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 {((0) - 6)}^{\frac{2}{3}}$ heraus.

$f' (0) = \frac{3 (2 (2 \cdot (0) - 3))}{3 ({((0) - 6)}^{\frac{2}{3}})}$

Schritt 15.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (0) = \frac{3 (2 (2 \cdot (0) - 3))}{3 {((0) - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 15.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (0) = \frac{2 (2 \cdot (0) - 3)}{{((0) - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 15.2.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 15.2.2.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$f' (0) = \frac{2 (0 - 3)}{{(0 - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 15.2.2.3.2

Subtrahiere $3$ von $0$ .

$f' (0) = \frac{2 \cdot - 3}{{(0 - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 15.2.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 15.2.2.4.1

Subtrahiere $6$ von $0$ .

$f' (0) = \frac{2 \cdot - 3}{{(- 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 15.2.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$f' (0) = \frac{- 6}{{(- 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 15.2.2.5

Bringe ${(- 6)}^{\frac{2}{3}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f' (0) = - 6 {(- 6)}^{- \frac{2}{3}}$

Schritt 15.2.2.6

Multipliziere $- 6$ mit ${(- 6)}^{- \frac{2}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 15.2.2.6.1

Mutltipliziere $- 6$ mit ${(- 6)}^{- \frac{2}{3}}$ .

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Schritt 15.2.2.6.1.1

Potenziere $- 6$ mit $1$ .

$f' (0) = (- 6) {(- 6)}^{- \frac{2}{3}}$

Schritt 15.2.2.6.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (0) = {(- 6)}^{1 - \frac{2}{3}}$

Schritt 15.2.2.6.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f' (0) = {(- 6)}^{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}}$

Schritt 15.2.2.6.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (0) = {(- 6)}^{\frac{3 - 2}{3}}$

Schritt 15.2.2.6.4

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$f' (0) = {(- 6)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 15.2.2.7

Die endgültige Lösung ist ${(- 6)}^{\frac{1}{3}}$ .

${(- 6)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 15.3

Setze eine beliebige Zahl, wie $5$ , aus dem Intervall $(\frac{9}{2}, 6)$ in die erste Ableitung $\frac{2 (2 x - 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 15.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $5$ .

$f' (5) = \frac{2 (2 (5) - 9)}{3 {((5) - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 15.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 15.3.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 15.3.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$f' (5) = \frac{2 (10 - 9)}{3 {(5 - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 15.3.2.1.2

Subtrahiere $9$ von $10$ .

$f' (5) = \frac{2 \cdot 1}{3 {(5 - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 15.3.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 15.3.2.2.1

Subtrahiere $6$ von $5$ .

$f' (5) = \frac{2 \cdot 1}{3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 15.3.2.2.2

Schreibe $- 1$ als ${(- 1)}^{3}$ um.

$f' (5) = \frac{2 \cdot 1}{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 15.3.2.2.3

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (5) = \frac{2 \cdot 1}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}}$

Schritt 15.3.2.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 15.3.2.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (5) = \frac{2 \cdot 1}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}}$

Schritt 15.3.2.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f' (5) = \frac{2 \cdot 1}{3 {(- 1)}^{2}}$

Schritt 15.3.2.2.5

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (5) = \frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 1}$

Schritt 15.3.2.3

Vereinfache.

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Schritt 15.3.2.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f' (5) = \frac{2}{3 \cdot 1}$

Schritt 15.3.2.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$f' (5) = \frac{2}{3}$

Schritt 15.3.2.4

Die endgültige Lösung ist $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3}$

Schritt 15.4

Setze eine beliebige Zahl, wie $8$ , aus dem Intervall $(6, \infty)$ in die erste Ableitung $\frac{2 (2 x - 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 15.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $8$ .

$f' (8) = \frac{2 (2 (8) - 9)}{3 {((8) - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 15.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 15.4.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 15.4.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$f' (8) = \frac{2 (16 - 9)}{3 {(8 - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 15.4.2.1.2

Subtrahiere $9$ von $16$ .

$f' (8) = \frac{2 \cdot 7}{3 {(8 - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 15.4.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 15.4.2.2.1

Subtrahiere $6$ von $8$ .

$f' (8) = \frac{2 \cdot 7}{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 15.4.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$f' (8) = \frac{14}{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 15.4.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{14}{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{14}{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 15.5

Da die erste Ableitung um $x = \frac{9}{2}$ herum das Vorzeichen von negativ zu positiv gewechselt hat, ist $x = \frac{9}{2}$ ein lokales Minimum.

$x = \frac{9}{2}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 15.6

Da die erste Ableitung das Vorzeichen um $x = 6$ nicht gewechselt hat, ist dies kein lokales Maximum oder Minimum.

Kein lokales Maximum oder Minimum

Schritt 15.7

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = x \sqrt[3]{x - 6}$ .

$x = \frac{9}{2}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 16