Analysis Beispiele

$x {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 1

Schreibe $x {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}$ als Funktion.

$f (x) = x {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(8 - x)}^{\frac{1}{3}}] + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ und $g (x) = 8 - x$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $8 - x$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [8 - x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$x (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [8 - x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $8 - x$ .

$x (\frac{1}{3} {(8 - x)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [8 - x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x (\frac{1}{3} {(8 - x)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$x (\frac{1}{3} {(8 - x)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x (\frac{1}{3} {(8 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$x (\frac{1}{3} {(8 - x)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.6.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$x (\frac{1}{3} {(8 - x)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x (\frac{1}{3} {(8 - x)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.7.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und ${(8 - x)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$x (\frac{{(8 - x)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [8 - x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.7.3

Bringe ${(8 - x)}^{- \frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [8 - x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.7.4

Kombiniere $\frac{1}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ und $x$ .

$\frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [8 - x] + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.9

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.10

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [- x] + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.11

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} (- \frac{d}{d x} [x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} (- 1 \cdot 1) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.13

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.13.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot - 1 + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.13.2

Kombiniere $\frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ und $- 1$ .

$\frac{x \cdot - 1}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.13.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.13.3.1

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{- 1 \cdot x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.13.3.2

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\frac{- x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.13.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.14

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \cdot 1$

Schritt 2.15

Mutltipliziere ${(8 - x)}^{\frac{1}{3}}$ mit $1$ .

$- \frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 2.16

Um ${(8 - x)}^{\frac{1}{3}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.17

Kombiniere ${(8 - x)}^{\frac{1}{3}}$ und $\frac{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{{(8 - x)}^{\frac{1}{3}} (3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.18

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- x + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} (3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.19

Multipliziere ${(8 - x)}^{\frac{1}{3}}$ mit ${(8 - x)}^{\frac{2}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.19.1

Bewege ${(8 - x)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{- x + {(8 - x)}^{\frac{2}{3}} {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.19.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- x + {(8 - x)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 3}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.19.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- x + {(8 - x)}^{\frac{2 + 1}{3}} \cdot 3}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.19.4

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{- x + {(8 - x)}^{\frac{3}{3}} \cdot 3}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.19.5

Dividiere $3$ durch $3$ .

$\frac{- x + {(8 - x)}^{1} \cdot 3}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.20

Vereinfache ${(8 - x)}^{1} \cdot 3$ .

$\frac{- x + (8 - x) \cdot 3}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.21

Bringe $3$ auf die linke Seite von $8 - x$ .

$\frac{- x + 3 \cdot (8 - x)}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.22

Vereinfache.

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Schritt 2.22.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- x + 3 \cdot 8 + 3 (- x)}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.22.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.22.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.22.2.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$\frac{- x + 24 + 3 (- x)}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.22.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{- x + 24 - 3 x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.22.2.2

Subtrahiere $3 x$ von $- x$ .

$\frac{- 4 x + 24}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.22.3

Faktorisiere $4$ aus $- 4 x + 24$ heraus.

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Schritt 2.22.3.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4 x$ heraus.

$\frac{4 (- x) + 24}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.22.3.2

Faktorisiere $4$ aus $24$ heraus.

$\frac{4 (- x) + 4 (6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.22.3.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (- x) + 4 (6)$ heraus.

$\frac{4 (- x + 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.22.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{4 (- (x) + 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.22.5

Schreibe $6$ als $- 1 (- 6)$ um.

$\frac{4 (- (x) - 1 (- 6))}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.22.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 6)$ heraus.

$\frac{4 (- (x - 6))}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.22.7

Schreibe $- (x - 6)$ als $- 1 (x - 6)$ um.

$\frac{4 (- 1 (x - 6))}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.22.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{4 (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 3.1

Da $- \frac{4}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{4 (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ nach $x$ gleich $- \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\frac{x - 6}{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} \frac{x - 6}{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x - 6$ und $g (x) = {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x - 6) - (x - 6) \frac{d}{d x} {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}{{({(8 - x)}^{\frac{2}{3}})}^{2}}$

Schritt 3.3

Differenziere.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(8 - x)}^{\frac{2}{3}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x - 6) - (x - 6) \frac{d}{d x} {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}{{(8 - x)}^{\frac{2}{3} \cdot 2}}$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere $\frac{2}{3} \cdot 2$ .

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Schritt 3.3.1.2.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $2$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x - 6) - (x - 6) \frac{d}{d x} {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}{{(8 - x)}^{\frac{2 \cdot 2}{3}}}$

Schritt 3.3.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x - 6) - (x - 6) \frac{d}{d x} {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 6)) - (x - 6) \frac{d}{d x} {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} (1 + \frac{d}{d x} (- 6)) - (x - 6) \frac{d}{d x} {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.3.4

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} (1 + 0) - (x - 6) \frac{d}{d x} {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} \cdot 1 - (x - 6) \frac{d}{d x} {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.3.5.2

Mutltipliziere ${(8 - x)}^{\frac{2}{3}}$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 6) \frac{d}{d x} {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ und $g (x) = 8 - x$ .

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Schritt 3.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $8 - x$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 6) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{2}{3}}) \frac{d}{d x} (8 - x))}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 6) (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (8 - x))}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.4.3

Ersetze alle $u$ durch $8 - x$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 6) (\frac{2}{3} \cdot {(8 - x)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (8 - x))}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.5

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 6) (\frac{2}{3} \cdot {(8 - x)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (8 - x))}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.6

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 6) (\frac{2}{3} \cdot {(8 - x)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (8 - x))}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 6) (\frac{2}{3} \cdot {(8 - x)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (8 - x))}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 6) (\frac{2}{3} \cdot {(8 - x)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (8 - x))}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.8.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 6) (\frac{2}{3} \cdot {(8 - x)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} (8 - x))}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.9

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.9.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 6) (\frac{2}{3} \cdot {(8 - x)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (8 - x))}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.9.2

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und ${(8 - x)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 6) (\frac{2 {(8 - x)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (8 - x))}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.9.3

Bringe ${(8 - x)}^{- \frac{1}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 6) (\frac{2}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (8 - x))}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.10

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 6) (\frac{2}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (8) + \frac{d}{d x} (- x)))}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.11

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 6) (\frac{2}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x)))}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.12

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 6) (\frac{2}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x))}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.13

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 6) (\frac{2}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x))}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.14

Multipliziere.

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Schritt 3.14.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} + 1 (x - 6) (\frac{2}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x)))}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.14.2

Mutltipliziere $x - 6$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} + (x - 6) (\frac{2}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x)))}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.15

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} + (x - 6) (\frac{2}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}}) \cdot 1}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.16

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.16.1

Mutltipliziere $x - 6$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} + (x - 6) (\frac{2}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.16.2

Mutltipliziere $\frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} + (x - 6) \frac{2}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}}}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$ mit $\frac{4}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{({(8 - x)}^{\frac{2}{3}} + (x - 6) (\frac{2}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}})) \cdot 4}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}} \cdot 3}$

Schritt 3.16.3

Stelle um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.16.3.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von ${(8 - x)}^{\frac{2}{3}} + (x - 6) \frac{2}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 \cdot ({(8 - x)}^{\frac{2}{3}} + (x - 6) (\frac{2}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}}))}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}} \cdot 3}$

Schritt 3.16.3.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von ${(8 - x)}^{\frac{4}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 ({(8 - x)}^{\frac{2}{3}} + (x - 6) (\frac{2}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}}))}{3 \cdot {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.17

Vereinfache.

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Schritt 3.17.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{4 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}} + 4 ((x - 6) (\frac{2}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}}))}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.17.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.17.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}} + 4 (x - 6) \frac{2}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ heraus.

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Schritt 3.17.2.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{4 ({(8 - x)}^{\frac{2}{3}}) + 4 (x - 6) (\frac{2}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.17.2.1.2

Faktorisiere $4$ aus $4 (x - 6) \frac{2}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{4 ({(8 - x)}^{\frac{2}{3}}) + 4 ((x - 6) (\frac{2}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}}))}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.17.2.1.3

Faktorisiere $4$ aus $4 ({(8 - x)}^{\frac{2}{3}}) + 4 ((x - 6) \frac{2}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}})$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{4 ({(8 - x)}^{\frac{2}{3}} + (x - 6) (\frac{2}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}}))}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.17.2.2

Mutltipliziere $x - 6$ mit $\frac{2}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 ({(8 - x)}^{\frac{2}{3}} + \frac{(x - 6) \cdot 2}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.17.2.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x - 6$ .

$f'' (x) = - \frac{4 ({(8 - x)}^{\frac{2}{3}} + \frac{2 \cdot (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.17.2.4

Um ${(8 - x)}^{\frac{2}{3}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 ({(8 - x)}^{\frac{2}{3}} \cdot \frac{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.17.2.5

Kombiniere ${(8 - x)}^{\frac{2}{3}}$ und $\frac{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (\frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} (3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.17.2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = - \frac{4 (\frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} (3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}) + 2 (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.17.2.7

Schreibe $\frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} (3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}) + 2 (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 3.17.2.7.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = - \frac{4 (\frac{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}} {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} + 2 (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.17.2.7.2

Multipliziere ${(8 - x)}^{\frac{2}{3}}$ mit ${(8 - x)}^{\frac{1}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.17.2.7.2.1

Bewege ${(8 - x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (\frac{3 ({(8 - x)}^{\frac{1}{3}} {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}) + 2 (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.17.2.7.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - \frac{4 (\frac{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} + 2 (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.17.2.7.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = - \frac{4 (\frac{3 {(8 - x)}^{\frac{1 + 2}{3}} + 2 (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.17.2.7.2.4

Addiere $1$ und $2$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (\frac{3 {(8 - x)}^{\frac{3}{3}} + 2 (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.17.2.7.2.5

Dividiere $3$ durch $3$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (\frac{3 (8 - x) + 2 (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.17.2.7.3

Vereinfache $3 {(8 - x)}^{1}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (\frac{3 (8 - x) + 2 (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.17.2.7.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{4 (\frac{3 \cdot 8 + 3 (- x) + 2 (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.17.2.7.5

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (\frac{24 + 3 (- x) + 2 (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.17.2.7.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (\frac{24 - 3 x + 2 (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.17.2.7.7

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{4 (\frac{24 - 3 x + 2 x + 2 \cdot - 6}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.17.2.7.8

Mutltipliziere $2$ mit $- 6$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (\frac{24 - 3 x + 2 x - 12}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.17.2.7.9

Subtrahiere $12$ von $24$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (\frac{- 3 x + 2 x + 12}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.17.2.7.10

Addiere $- 3 x$ und $2 x$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (\frac{- x + 12}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.17.3

Vereine die Terme

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Schritt 3.17.3.1

Kombiniere $4$ und $\frac{- x + 12}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{4 (- x + 12)}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.17.3.2

Schreibe $\frac{\frac{4 (- x + 12)}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$ als ein Produkt um.

$f'' (x) = - (\frac{4 (- x + 12)}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}})$

Schritt 3.17.3.3

Mutltipliziere $\frac{4 (- x + 12)}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ mit $\frac{1}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (- x + 12)}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} (3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}})}$

Schritt 3.17.3.4

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (- x + 12)}{9 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.17.3.5

Multipliziere ${(8 - x)}^{\frac{1}{3}}$ mit ${(8 - x)}^{\frac{4}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.17.3.5.1

Bewege ${(8 - x)}^{\frac{4}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (- x + 12)}{9 ({(8 - x)}^{\frac{4}{3}} {(8 - x)}^{\frac{1}{3}})}$

Schritt 3.17.3.5.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - \frac{4 (- x + 12)}{9 {(8 - x)}^{\frac{4}{3} + \frac{1}{3}}}$

Schritt 3.17.3.5.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = - \frac{4 (- x + 12)}{9 {(8 - x)}^{\frac{4 + 1}{3}}}$

Schritt 3.17.3.5.4

Addiere $4$ und $1$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (- x + 12)}{9 {(8 - x)}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 3.17.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{4 (- (x) + 12)}{9 {(8 - x)}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 3.17.5

Schreibe $12$ als $- 1 (- 12)$ um.

$f'' (x) = - \frac{4 (- (x) - 1 \cdot - 12)}{9 {(8 - x)}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 3.17.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 12)$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{4 (- (x - 12))}{9 {(8 - x)}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 3.17.7

Schreibe $- (x - 12)$ als $- 1 (x - 12)$ um.

$f'' (x) = - \frac{4 (- 1 (x - 12))}{9 {(8 - x)}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 3.17.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{4 (x - 12)}{9 {(8 - x)}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 3.17.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{4 (x - 12)}{9 {(8 - x)}^{\frac{5}{3}}})$

Schritt 3.17.10

Mutltipliziere $\frac{4 (x - 12)}{9 {(8 - x)}^{\frac{5}{3}}}$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x - 12)}{9 {(8 - x)}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- \frac{4 (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} = 0$

Schritt 5

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1.1

$x \frac{d}{d x} [{(8 - x)}^{\frac{1}{3}}] + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ und $g (x) = 8 - x$ .

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Schritt 5.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $8 - x$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [8 - x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$x (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [8 - x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $8 - x$ .

$x (\frac{1}{3} {(8 - x)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [8 - x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x (\frac{1}{3} {(8 - x)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$x (\frac{1}{3} {(8 - x)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x (\frac{1}{3} {(8 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$x (\frac{1}{3} {(8 - x)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.6.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$x (\frac{1}{3} {(8 - x)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.1.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x (\frac{1}{3} {(8 - x)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.7.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und ${(8 - x)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$x (\frac{{(8 - x)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [8 - x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.7.3

Bringe ${(8 - x)}^{- \frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [8 - x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.7.4

Kombiniere $\frac{1}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ und $x$ .

$\frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [8 - x] + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.9

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.10

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [- x] + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.11

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} (- \frac{d}{d x} [x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} (- 1 \cdot 1) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.13

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.1.13.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot - 1 + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.13.2

Kombiniere $\frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ und $- 1$ .

$\frac{x \cdot - 1}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.13.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1.13.3.1

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{- 1 \cdot x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.13.3.2

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\frac{- x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.13.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.14

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \cdot 1$

Schritt 5.1.15

Mutltipliziere ${(8 - x)}^{\frac{1}{3}}$ mit $1$ .

$- \frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 5.1.16

Um ${(8 - x)}^{\frac{1}{3}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5.1.17

Kombiniere ${(8 - x)}^{\frac{1}{3}}$ und $\frac{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{{(8 - x)}^{\frac{1}{3}} (3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5.1.18

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- x + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} (3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5.1.19

Multipliziere ${(8 - x)}^{\frac{1}{3}}$ mit ${(8 - x)}^{\frac{2}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.1.19.1

Bewege ${(8 - x)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{- x + {(8 - x)}^{\frac{2}{3}} {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5.1.19.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- x + {(8 - x)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 3}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5.1.19.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- x + {(8 - x)}^{\frac{2 + 1}{3}} \cdot 3}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5.1.19.4

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{- x + {(8 - x)}^{\frac{3}{3}} \cdot 3}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5.1.19.5

Dividiere $3$ durch $3$ .

$\frac{- x + {(8 - x)}^{1} \cdot 3}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5.1.20

Vereinfache ${(8 - x)}^{1} \cdot 3$ .

$\frac{- x + (8 - x) \cdot 3}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5.1.21

Bringe $3$ auf die linke Seite von $8 - x$ .

$\frac{- x + 3 \cdot (8 - x)}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5.1.22

Vereinfache.

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Schritt 5.1.22.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- x + 3 \cdot 8 + 3 (- x)}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5.1.22.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.22.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.22.2.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$\frac{- x + 24 + 3 (- x)}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5.1.22.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{- x + 24 - 3 x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5.1.22.2.2

Subtrahiere $3 x$ von $- x$ .

$\frac{- 4 x + 24}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5.1.22.3

Faktorisiere $4$ aus $- 4 x + 24$ heraus.

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Schritt 5.1.22.3.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4 x$ heraus.

$\frac{4 (- x) + 24}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5.1.22.3.2

Faktorisiere $4$ aus $24$ heraus.

$\frac{4 (- x) + 4 (6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5.1.22.3.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (- x) + 4 (6)$ heraus.

$\frac{4 (- x + 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5.1.22.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{4 (- (x) + 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5.1.22.5

Schreibe $6$ als $- 1 (- 6)$ um.

$\frac{4 (- (x) - 1 (- 6))}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5.1.22.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 6)$ heraus.

$\frac{4 (- (x - 6))}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5.1.22.7

Schreibe $- (x - 6)$ als $- 1 (x - 6)$ um.

$\frac{4 (- 1 (x - 6))}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5.1.22.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{4 (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{4 (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{4 (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 6

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{4 (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

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Schritt 6.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{4 (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} = 0$

Schritt 6.2

Setze den Zähler gleich Null.

$4 (x - 6) = 0$

Schritt 6.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.1

Teile jeden Ausdruck in $4 (x - 6) = 0$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $4 (x - 6) = 0$ durch $4$ .

$\frac{4 (x - 6)}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 6.3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 6.3.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 (x - 6)}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 6.3.1.2.1.2

Dividiere $x - 6$ durch $1$ .

$x - 6 = \frac{0}{4}$

Schritt 6.3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1.3.1

Dividiere $0$ durch $4$ .

$x - 6 = 0$

Schritt 6.3.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 6$

Schritt 7

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 7.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$- \frac{4 (x - 6)}{3 \sqrt[3]{{(8 - x)}^{2}}}$

Schritt 7.2

Setze den Nenner in $\frac{4 (x - 6)}{3 \sqrt[3]{{(8 - x)}^{2}}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$3 \sqrt[3]{{(8 - x)}^{2}} = 0$

Schritt 7.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${(3 \sqrt[3]{{(8 - x)}^{2}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 7.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 7.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{{(8 - x)}^{2}}$ als ${(8 - x)}^{\frac{2}{3}}$ neu zu schreiben.

${(3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 7.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.3.2.2.1

Vereinfache ${(3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 7.3.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}$ an.

$3^{3} {({(8 - x)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 7.3.2.2.1.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$27 {({(8 - x)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 7.3.2.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(8 - x)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 7.3.2.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 {(8 - x)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 7.3.2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 7.3.2.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$27 {(8 - x)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 7.3.2.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$27 {(8 - x)}^{2} = 0^{3}$

Schritt 7.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$27 {(8 - x)}^{2} = 0$

Schritt 7.3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $27 {(8 - x)}^{2} = 0$ durch $27$ und vereinfache.

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Schritt 7.3.3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $27 {(8 - x)}^{2} = 0$ durch $27$ .

$\frac{27 {(8 - x)}^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Schritt 7.3.3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.3.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $27$ .

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Schritt 7.3.3.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{27 {(8 - x)}^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Schritt 7.3.3.1.2.1.2

Dividiere ${(8 - x)}^{2}$ durch $1$ .

${(8 - x)}^{2} = \frac{0}{27}$

Schritt 7.3.3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.3.1.3.1

Dividiere $0$ durch $27$ .

${(8 - x)}^{2} = 0$

Schritt 7.3.3.2

Setze $8 - x$ gleich $0$ .

$8 - x = 0$

Schritt 7.3.3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.3.3.3.1

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 8$

Schritt 7.3.3.3.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 8$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 7.3.3.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 8$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 8}{- 1}$

Schritt 7.3.3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.3.3.3.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 8}{- 1}$

Schritt 7.3.3.3.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 8}{- 1}$

Schritt 7.3.3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.3.3.2.3.1

Dividiere $- 8$ durch $- 1$ .

$x = 8$

Schritt 8

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 6, 8$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 6$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{4 ((6) - 12)}{9 {(8 - (6))}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 10.1

Faktorisiere $3$ aus $4 ((6) - 12)$ heraus.

$\frac{3 (4 (2 - 4))}{9 {(8 - (6))}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9 {(8 - (6))}^{\frac{5}{3}}$ heraus.

$\frac{3 (4 (2 - 4))}{3 (3 {(8 - (6))}^{\frac{5}{3}})}$

Schritt 10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (4 (2 - 4))}{3 (3 {(8 - (6))}^{\frac{5}{3}})}$

Schritt 10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 (2 - 4)}{3 {(8 - (6))}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 10.3

Subtrahiere $4$ von $2$ .

$\frac{4 \cdot - 2}{3 {(8 - (6))}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 10.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$\frac{4 \cdot - 2}{3 {(8 - 6)}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 10.4.2

Subtrahiere $6$ von $8$ .

$\frac{4 \cdot - 2}{3 \cdot 2^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 10.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 10.5.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$\frac{- 8}{3 \cdot 2^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 10.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{8}{3 \cdot 2^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 11

$x = 6$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 6$ ist ein lokales Maximum

Schritt 12

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 6$ .

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Schritt 12.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $6$ .

$f (6) = (6) {(8 - (6))}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 12.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 12.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$f (6) = 6 {(8 - 6)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 12.2.2

Subtrahiere $6$ von $8$ .

$f (6) = 6 \cdot 2^{\frac{1}{3}}$

Schritt 12.2.3

Die endgültige Lösung ist $6 \cdot 2^{\frac{1}{3}}$ .

$y = 6 \cdot 2^{\frac{1}{3}}$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 8$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{4 ((8) - 12)}{9 {(8 - (8))}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 14

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 14.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 14.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$\frac{4 ((8) - 12)}{9 {(8 - 8)}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 14.1.2

Subtrahiere $8$ von $8$ .

$\frac{4 ((8) - 12)}{9 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 14.1.3

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$\frac{4 ((8) - 12)}{9 \cdot {(0^{3})}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 14.1.4

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 ((8) - 12)}{9 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}$

Schritt 14.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 14.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 ((8) - 12)}{9 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}$

Schritt 14.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 ((8) - 12)}{9 \cdot 0^{5}}$

Schritt 14.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 14.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{4 ((8) - 12)}{9 \cdot 0}$

Schritt 14.3.2

Mutltipliziere $9$ mit $0$ .

$\frac{4 ((8) - 12)}{0}$

Schritt 14.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{4 ((8) - 12)}{0}$

Schritt 14.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 15

Da es mindestens einen Punkt mit $0$ oder eine nicht definierte zweite Ableitung gibt, wende den ersten Ableitungstest an.

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Schritt 15.1

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum auf, die die erste Ableitung zu $0$ oder nicht definiert machen.

$(- \infty, 6) \cup (6, 8) \cup (8, \infty)$

Schritt 15.2

Setze eine beliebige Zahl, wie $0$ , aus dem Intervall $(- \infty, 6)$ in die erste Ableitung $- \frac{4 (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 15.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f' (0) = - \frac{4 ((0) - 6)}{3 {(8 - (0))}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 15.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 15.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $4 ((0) - 6)$ heraus.

$f' (0) = - \frac{3 (4 (0 - 2))}{3 {(8 - (0))}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 15.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 15.2.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 {(8 - (0))}^{\frac{2}{3}}$ heraus.

$f' (0) = - \frac{3 (4 (0 - 2))}{3 ({(8 - (0))}^{\frac{2}{3}})}$

Schritt 15.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (0) = - \frac{3 (4 (0 - 2))}{3 {(8 - (0))}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 15.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (0) = - \frac{4 (0 - 2)}{{(8 - (0))}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 15.2.2.3

Subtrahiere $2$ von $0$ .

$f' (0) = - \frac{4 \cdot - 2}{{(8 - (0))}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 15.2.2.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 15.2.2.4.1

Subtrahiere $0$ von $8$ .

$f' (0) = - \frac{4 \cdot - 2}{8^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 15.2.2.4.2

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$f' (0) = - \frac{4 \cdot - 2}{{(2^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 15.2.2.4.3

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (0) = - \frac{4 \cdot - 2}{2^{3 (\frac{2}{3})}}$

Schritt 15.2.2.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 15.2.2.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (0) = - \frac{4 \cdot - 2}{2^{3 (\frac{2}{3})}}$

Schritt 15.2.2.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f' (0) = - \frac{4 \cdot - 2}{2^{2}}$

Schritt 15.2.2.4.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f' (0) = - \frac{4 \cdot - 2}{4}$

Schritt 15.2.2.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 15.2.2.5.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$f' (0) = - \frac{- 8}{4}$

Schritt 15.2.2.5.2

Dividiere $- 8$ durch $4$ .

$f' (0) = 2$

Schritt 15.2.2.5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$f' (0) = 2$

Schritt 15.2.2.6

Die endgültige Lösung ist $2$ .

$2$

Schritt 15.3

Setze eine beliebige Zahl, wie $7$ , aus dem Intervall $(6, 8)$ in die erste Ableitung $- \frac{4 (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 15.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $7$ .

$f' (7) = - \frac{4 ((7) - 6)}{3 {(8 - (7))}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 15.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 15.3.2.1

Subtrahiere $6$ von $7$ .

$f' (7) = - \frac{4 \cdot 1}{3 {(8 - (7))}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 15.3.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 15.3.2.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$f' (7) = - \frac{4 \cdot 1}{3 {(8 - 7)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 15.3.2.2.2

Subtrahiere $7$ von $8$ .

$f' (7) = - \frac{4 \cdot 1}{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 15.3.2.2.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (7) = - \frac{4 \cdot 1}{3 \cdot 1}$

Schritt 15.3.2.3

Vereinfache.

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Schritt 15.3.2.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$f' (7) = - \frac{4}{3 \cdot 1}$

Schritt 15.3.2.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$f' (7) = - \frac{4}{3}$

Schritt 15.3.2.4

Die endgültige Lösung ist $- \frac{4}{3}$ .

$- \frac{4}{3}$

Schritt 15.4

Setze eine beliebige Zahl, wie $10$ , aus dem Intervall $(8, \infty)$ in die erste Ableitung $- \frac{4 (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 15.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $10$ .

$f' (10) = - \frac{4 ((10) - 6)}{3 {(8 - (10))}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 15.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 15.4.2.1

Subtrahiere $6$ von $10$ .

$f' (10) = - \frac{4 \cdot 4}{3 {(8 - (10))}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 15.4.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 15.4.2.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $10$ .

$f' (10) = - \frac{4 \cdot 4}{3 {(8 - 10)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 15.4.2.2.2

Subtrahiere $10$ von $8$ .

$f' (10) = - \frac{4 \cdot 4}{3 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 15.4.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$f' (10) = - \frac{16}{3 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 15.4.2.4

Die endgültige Lösung ist $- \frac{16}{3 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{16}{3 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 15.5

Da die erste Ableitung um $x = 6$ herum das Vorzeichen von positiv zu negativ gewechselt hat, ist $x = 6$ ein lokales Maximum.

$x = 6$ ist ein lokales Maximum

Schritt 15.6

Da die erste Ableitung das Vorzeichen um $x = 8$ nicht gewechselt hat, ist dies kein lokales Maximum oder Minimum.

Kein lokales Maximum oder Minimum

Schritt 15.7

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = x {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$x = 6$ ist ein lokales Maximum

Schritt 16